Theorem orddisj 6353

Description: An ordinal class and its singleton are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
orddisj	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem orddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordirr 6333	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		disjsn 4666	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 234	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3898  ∅c0 4283  {csn 4578  Ord word 6314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-eprel 5522  df-fr 5575  df-we 5577  df-ord 6318

This theorem is referenced by:  orddif  6413  omsucne  7825  tfrlem10  8316  enrefnn  8981  pssnn  9091  unfi  9093  isinf  9163  dif1ennnALT  9175  ackbij1lem5  10131  ackbij1lem14  10140  ackbij1lem16  10142  unsnen  10461  pwfi2f1o  43280