Theorem orddisj 6401

Description: An ordinal class and its singleton are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
orddisj	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem orddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordirr 6380	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		disjsn 4672	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584  Ord word 6361

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-eprel 5551  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6365

This theorem is used by:  orddif  6461  omsucne  7896  tfrlem10  8395  enrefnn  9074  pssnn  9184  unfi  9186  isinf  9256  dif1ennnALT  9268  ackbij1lem5  10301  ackbij1lem14  10310  ackbij1lem16  10312  unsnen  10637  pwfi2f1o  44097