Theorem orddisj 6384

Description: An ordinal class and its singleton are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
orddisj	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem orddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordirr 6364	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		disjsn 4670	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 236	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∩ cin 3903  ∅c0 4285  {csn 4582  Ord word 6345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-br 5101  df-opab 5163  df-eprel 5547  df-fr 5600  df-we 5602  df-ord 6349

This theorem is referenced by:  orddif  6444  omsucne  7865  tfrlem10  8358  enrefnn  9027  pssnn  9137  unfi  9139  isinf  9209  dif1ennnALT  9221  ackbij1lem5  10179  ackbij1lem14  10188  ackbij1lem16  10190  unsnen  10510  pwfi2f1o  43670