Theorem orddisj 6427

Description: An ordinal class and its singleton are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
orddisj	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem orddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordirr 6406	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		disjsn 4673	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  {csn 4588  Ord word 6387

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-br 5109  df-opab 5174  df-eprel 5558  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391

This theorem is used by:  orddif  6487  omsucne  7930  tfrlem10  8433  enrefnn  9112  pssnn  9222  unfi  9224  isinf  9294  dif1ennnALT  9306  ackbij1lem5  10340  ackbij1lem14  10349  ackbij1lem16  10351  unsnen  10676  pwfi2f1o  44364