Theorem orddisj 6404

Description: An ordinal class and its singleton are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
orddisj	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem orddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordirr 6383	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		disjsn 4668	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  {csn 4584  Ord word 6364

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-br 5103  df-opab 5167  df-eprel 5551  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6368

This theorem is used by:  orddif  6464  omsucne  7900  tfrlem10  8403  enrefnn  9082  pssnn  9192  unfi  9194  isinf  9264  dif1ennnALT  9276  ackbij1lem5  10308  ackbij1lem14  10317  ackbij1lem16  10319  unsnen  10644  pwfi2f1o  44235