Theorem orddisj 6403

Description: An ordinal class and its singleton are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
orddisj	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem orddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordirr 6382	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		disjsn 4679	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591  Ord word 6363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-eprel 5563  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367

This theorem is used by:  orddif  6463  omsucne  7887  tfrlem10  8380  enrefnn  9050  pssnn  9160  unfi  9162  isinf  9232  dif1ennnALT  9244  ackbij1lem5  10222  ackbij1lem14  10231  ackbij1lem16  10233  unsnen  10554  pwfi2f1o  43883