Theorem orddisj 6400

Description: An ordinal class and its singleton are disjoint. (Contributed by NM, 19-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
orddisj	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Proof of Theorem orddisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordirr 6379	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		disjsn 4682	. 2 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
3	1, 2	sylibr 237	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∩ {𝐴}) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  {csn 4594  Ord word 6360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-br 5114  df-opab 5178  df-eprel 5562  df-fr 5615  df-we 5617  df-ord 6364

This theorem is referenced by:  orddif  6460  omsucne  7880  tfrlem10  8373  enrefnn  9042  pssnn  9152  unfi  9154  isinf  9224  dif1ennnALT  9236  ackbij1lem5  10205  ackbij1lem14  10214  ackbij1lem16  10216  unsnen  10536  pwfi2f1o  43714