Theorem zorn2lem3 10456

Description: Lemma for zorn2 10464. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem3	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2		zorn2lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3		zorn2lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
4	1, 2, 3	zorn2lem2 10455	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
5	4	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
6	3	ssrab3 4036	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝐴
7	1, 2, 3	zorn2lem1 10454	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
8	6, 7	sselid 3935	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴)
9		breq1 5104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
10	9	biimprcd 252	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥)))
11		poirr 5568	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥))
12	10, 11	nsyli 157	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
13	12	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
14	8, 13	sylan2 602	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
15	5, 14	syld 47	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3077  {crab 3415  Vcvv 3455  ∅c0 4286   class class class wbr 5101   ↦ cmpt 5182   Po wpo 5554   We wwe 5600  ran crn 5649   “ cima 5651  Oncon0 6347  ‘cfv 6522  ℩crio 7353  recscrecs 8342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pr 5391  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343

This theorem is referenced by:  zorn2lem4  10457