Theorem zorn2lem3 10451

Description: Lemma for zorn2 10459. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem3	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2		zorn2lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3		zorn2lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
4	1, 2, 3	zorn2lem2 10450	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
5	4	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
6	3	ssrab3 4045	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝐴
7	1, 2, 3	zorn2lem1 10449	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
8	6, 7	sselid 3944	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴)
9		breq1 5110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
10	9	biimprcd 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥)))
11		poirr 5558	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥))
12	10, 11	nsyli 157	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
13	12	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
14	8, 13	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
15	5, 14	syld 47	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  {crab 3405  Vcvv 3447  ∅c0 4296   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   Po wpo 5544   We wwe 5590  ran crn 5639   “ cima 5641  Oncon0 6332  ‘cfv 6511  ℩crio 7343  recscrecs 8339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340

This theorem is referenced by:  zorn2lem4  10452