MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zorn2lem3 9898
Description: Lemma for zorn2 9906. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
Assertion
Ref Expression
zorn2lem3 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem3
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . 4 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (𝑣𝐶𝑢𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2 zorn2lem.4 . . . 4 𝐶 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3 zorn2lem.5 . . . 4 𝐷 = {𝑧𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹𝑥)𝑔𝑅𝑧}
41, 2, 3zorn2lem2 9897 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
54adantl 484 . 2 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦𝑥 → (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
63ssrab3 4036 . . . 4 𝐷𝐴
71, 2, 3zorn2lem1 9896 . . . 4 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐷)
86, 7sseldi 3944 . . 3 ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐴)
9 breq1 5045 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → ((𝐹𝑥)𝑅(𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥)))
109biimprcd 252 . . . . 5 ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → (𝐹𝑥)𝑅(𝐹𝑥)))
11 poirr 5461 . . . . 5 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹𝑥)𝑅(𝐹𝑥))
1210, 11nsyli 160 . . . 4 ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
1312com12 32 . . 3 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥) → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
148, 13sylan2 594 . 2 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅))) → ((𝐹𝑦)𝑅(𝐹𝑥) → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
155, 14syld 47 1 ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3006  wral 3125  {crab 3129  Vcvv 3473  c0 4269   class class class wbr 5042  cmpt 5122   Po wpo 5448   We wwe 5489  ran crn 5532  cima 5534  Oncon0 6167  cfv 6331  crio 7090  recscrecs 7985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-wrecs 7925  df-recs 7986
This theorem is referenced by:  zorn2lem4  9899
  Copyright terms: Public domain W3C validator