Theorem zorn2lem3 10482

Description: Lemma for zorn2 10490. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem3	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑢,𝑓,𝑔)   𝐷(𝑥,𝑧,𝑤,𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2		zorn2lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3		zorn2lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
4	1, 2, 3	zorn2lem2 10481	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
5	4	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
6	3	ssrab3 4044	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝐴
7	1, 2, 3	zorn2lem1 10480	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
8	6, 7	sselid 3943	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴)
9		breq1 5116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
10	9	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥)))
11		poirr 5582	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥))
12	10, 11	nsyli 158	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
13	12	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
14	8, 13	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
15	5, 14	syld 48	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463  ∅c0 4294   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196   Po wpo 5568   We wwe 5614  ran crn 5663   “ cima 5665  Oncon0 6361  ‘cfv 6537  ℩crio 7367  recscrecs 8357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358

This theorem is referenced by:  zorn2lem4  10483