Theorem zorn2lem3 10589

Description: Lemma for zorn2 10597. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3	⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
zorn2lem.4	⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
zorn2lem.5	⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem3	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝐷,𝑓,𝑢,𝑣,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑅,𝑓,𝑔,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑣,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑢, 𝑓, 𝑔)   𝐷(𝑥, 𝑧, 𝑤, 𝑔)   𝐹(𝑤)

Proof of Theorem zorn2lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . 4 ⊢ 𝐹 = recs((𝑓 ∈ V ↦ (℩𝑣 ∈ 𝐶 ∀𝑢 ∈ 𝐶 ¬ 𝑢𝑤𝑣)))
2		zorn2lem.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ ran 𝑓 𝑔𝑅𝑧}
3		zorn2lem.5	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑧 ∈ 𝐴 ∣ ∀𝑔 ∈ (𝐹 “ 𝑥)𝑔𝑅𝑧}
4	1, 2, 3	zorn2lem2 10588	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
6	3	ssrab3 4010	. . . 4 ⊢ 𝐷 ⊆ 𝐴
7	1, 2, 3	zorn2lem1 10587	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐷)
8	6, 7	sselid 3911	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴)
9		breq1 5109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥)))
10	9	biimprcd 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥)))
11		poirr 5575	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑥)𝑅(𝐹‘𝑥))
12	10, 11	nsyli 158	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
13	12	com12 33	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
14	8, 13	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → ((𝐹‘𝑦)𝑅(𝐹‘𝑥) → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))
15	5, 14	syld 48	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝑥 ∈ On ∧ (𝑤 We 𝐴 ∧ 𝐷 ≠ ∅))) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ¬ (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454  ∅c0 4281   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Po wpo 5561   We wwe 5607  ran crn 5656   “ cima 5658  Oncon0 6369  ‘cfv 6547  ℩crio 7386  recscrecs 8392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-2nd 8012  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393

This theorem is used by:  zorn2lem4  10590