Theorem ex-po 30505

Description: Example for df-po 5539. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-po	⊢ ( < Po ℝ ∧ ¬ ≤ Po ℝ)

Proof of Theorem ex-po

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11226	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2		sopo 5558	. . 3 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ < Po ℝ
4		0le0 12282	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
5		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		poirr 5551	. . . 4 ⊢ (( ≤ Po ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ 0 ≤ 0)
7	5, 6	mpan2 692	. . 3 ⊢ ( ≤ Po ℝ → ¬ 0 ≤ 0)
8	4, 7	mt2 200	. 2 ⊢ ¬ ≤ Po ℝ
9	3, 8	pm3.2i 470	1 ⊢ ( < Po ℝ ∧ ¬ ≤ Po ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085   Po wpo 5537   Or wor 5538  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-addrcl 11099  ax-rnegex 11109  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by: (None)