Theorem ex-po 29678

Description: Example for df-po 5588. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-po	⊢ ( < Po ℝ ∧ ¬ ≤ Po ℝ)

Proof of Theorem ex-po

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11291	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2		sopo 5607	. . 3 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ < Po ℝ
4		0le0 12310	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
5		0re 11213	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		poirr 5600	. . . 4 ⊢ (( ≤ Po ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ 0 ≤ 0)
7	5, 6	mpan2 690	. . 3 ⊢ ( ≤ Po ℝ → ¬ 0 ≤ 0)
8	4, 7	mt2 199	. 2 ⊢ ¬ ≤ Po ℝ
9	3, 8	pm3.2i 472	1 ⊢ ( < Po ℝ ∧ ¬ ≤ Po ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148   Po wpo 5586   Or wor 5587  ℝcr 11106  0cc0 11107   < clt 11245   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-addrcl 11168  ax-rnegex 11178  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251

This theorem is referenced by: (None)