Theorem ex-po 30464

Description: Example for df-po 5597. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-po	⊢ ( < Po ℝ ∧ ¬ ≤ Po ℝ)

Proof of Theorem ex-po

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11339	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2		sopo 5616	. . 3 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ < Po ℝ
4		0le0 12365	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
5		0re 11261	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		poirr 5609	. . . 4 ⊢ (( ≤ Po ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ 0 ≤ 0)
7	5, 6	mpan2 691	. . 3 ⊢ ( ≤ Po ℝ → ¬ 0 ≤ 0)
8	4, 7	mt2 200	. 2 ⊢ ¬ ≤ Po ℝ
9	3, 8	pm3.2i 470	1 ⊢ ( < Po ℝ ∧ ¬ ≤ Po ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   Po wpo 5595   Or wor 5596  ℝcr 11152  0cc0 11153   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299

This theorem is referenced by: (None)