Theorem ex-po 30371

Description: Example for df-po 5549. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-po	⊢ ( < Po ℝ ∧ ¬ ≤ Po ℝ)

Proof of Theorem ex-po

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11261	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2		sopo 5568	. . 3 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ < Po ℝ
4		0le0 12294	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
5		0re 11183	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		poirr 5561	. . . 4 ⊢ (( ≤ Po ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ 0 ≤ 0)
7	5, 6	mpan2 691	. . 3 ⊢ ( ≤ Po ℝ → ¬ 0 ≤ 0)
8	4, 7	mt2 200	. 2 ⊢ ¬ ≤ Po ℝ
9	3, 8	pm3.2i 470	1 ⊢ ( < Po ℝ ∧ ¬ ≤ Po ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110   Po wpo 5547   Or wor 5548  ℝcr 11074  0cc0 11075   < clt 11215   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-addrcl 11136  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221

This theorem is referenced by: (None)