Theorem ex-po 27820

Description: Example for df-po 5233. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-po	⊢ ( < Po ℝ ∧ ¬ ≤ Po ℝ)

Proof of Theorem ex-po

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 10408	. . 3 ⊢ < Or ℝ
2		sopo 5250	. . 3 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ < Po ℝ
4		0le0 11421	. . 3 ⊢ 0 ≤ 0
5		0re 10330	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		poirr 5244	. . . 4 ⊢ (( ≤ Po ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ¬ 0 ≤ 0)
7	5, 6	mpan2 683	. . 3 ⊢ ( ≤ Po ℝ → ¬ 0 ≤ 0)
8	4, 7	mt2 192	. 2 ⊢ ¬ ≤ Po ℝ
9	3, 8	pm3.2i 463	1 ⊢ ( < Po ℝ ∧ ¬ ≤ Po ℝ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843   Po wpo 5231   Or wor 5232  ℝcr 10223  0cc0 10224   < clt 10363   ≤ cle 10364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-addrcl 10285  ax-rnegex 10295  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369

This theorem is referenced by: (None)