Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lubeldm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubeldm2 48753
Description: Member of the domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lubeldm2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubeldm2.l = (le‘𝐾)
lubeldm2.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubeldm2.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
lubeldm2.k (𝜑𝐾 ∈ Poset)
Assertion
Ref Expression
lubeldm2 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lubeldm2
StepHypRef Expression
1 lubeldm2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lubeldm2.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 lubeldm2.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 lubeldm2.p . . . . 5 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
5 lubeldm2.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Poset)
61, 2, 3, 4, 5lubeldm 18411 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)))
76biimpa 476 . . 3 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓))
8 reurex 3382 . . . 4 (∃!𝑥𝐵 𝜓 → ∃𝑥𝐵 𝜓)
98anim2i 617 . . 3 ((𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓) → (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓))
107, 9syl 17 . 2 ((𝜑𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓))
11 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓)) → 𝜑)
12 simprl 771 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓)) → 𝑆𝐵)
132, 1poslubmo 18469 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆𝐵) → ∃*𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
145, 13sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆𝐵) → ∃*𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
154rmobii 3386 . . . . . . 7 (∃*𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃*𝑥𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
1614, 15sylibr 234 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝐵) → ∃*𝑥𝐵 𝜓)
1716anim1ci 616 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝐵) ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓) → (∃𝑥𝐵 𝜓 ∧ ∃*𝑥𝐵 𝜓))
18 reu5 3380 . . . . 5 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ (∃𝑥𝐵 𝜓 ∧ ∃*𝑥𝐵 𝜓))
1917, 18sylibr 234 . . . 4 (((𝜑𝑆𝐵) ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓) → ∃!𝑥𝐵 𝜓)
2019anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥𝐵 𝜓)
216biimpar 477 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵 ∧ ∃!𝑥𝐵 𝜓)) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
2211, 12, 20, 21syl12anc 837 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓)) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
2310, 22impbida 801 1 (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆𝐵 ∧ ∃𝑥𝐵 𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  ∃!wreu 3376  ∃*wrmo 3377  wss 3963   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  Posetcpo 18365  lubclub 18367
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404
This theorem is referenced by:  lubeldm2d  48755  lubsscl  48757  ipolub00  48782
  Copyright terms: Public domain W3C validator