Theorem lubeldm2 48930

Description: Member of the domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by Zhi Wang, 26-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubeldm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubeldm2.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubeldm2.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubeldm2.p	⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑥 ≤ 𝑧)))
lubeldm2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)

Assertion

Ref	Expression
lubeldm2	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑥, ≤ ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem lubeldm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubeldm2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lubeldm2.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lubeldm2.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		lubeldm2.p	. . . . 5 ⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑥 ≤ 𝑧)))
5		lubeldm2.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Poset)
6	1, 2, 3, 4, 5	lubeldm 18363	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))
7	6	biimpa 476	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
8		reurex 3363	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 → ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
9	8	anim2i 617	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
10	7, 9	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ dom 𝑈) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
11		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝜑)
12		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
13	2, 1	poslubmo 18421	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑥 ≤ 𝑧)))
14	5, 13	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑥 ≤ 𝑧)))
15	4	rmobii 3367	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑥 ≤ 𝑧)))
16	14, 15	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
17	16	anim1ci 616	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
18		reu5 3361	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
19	17, 18	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
20	19	anasss 466	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)
21	6	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
22	11, 12, 20, 21	syl12anc 836	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
23	10, 22	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ dom 𝑈 ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∃!wreu 3357  ∃*wrmo 3358   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  lecple 17278  Posetcpo 18319  lubclub 18321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-proset 18306  df-poset 18325  df-lub 18356

This theorem is referenced by:  lubeldm2d  48932  lubsscl  48934  ipolub00  48967