MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odumeet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odumeet 18126
Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odumeet.j = (join‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odumeet = (meet‘𝐷)

Proof of Theorem odumeet
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odumeet.j . 2 = (join‘𝑂)
2 oduglb.d . . . . . . 7 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3 eqid 2740 . . . . . . 7 (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
42, 3oduglb 18125 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
54breqd 5090 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐))
65oprabbidv 7335 . . . 4 (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
7 eqid 2740 . . . . 5 (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
83, 7joinfval 18089 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐})
92fvexi 6785 . . . . 5 𝐷 ∈ V
10 eqid 2740 . . . . . 6 (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
11 eqid 2740 . . . . . 6 (meet‘𝐷) = (meet‘𝐷)
1210, 11meetfval 18103 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
139, 12mp1i 13 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
146, 8, 133eqtr4d 2790 . . 3 (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
15 fvprc 6763 . . . 4 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = ∅)
16 fvprc 6763 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
172, 16eqtrid 2792 . . . . . 6 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
1817fveq2d 6775 . . . . 5 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = (meet‘∅))
19 meet0 18122 . . . . 5 (meet‘∅) = ∅
2018, 19eqtrdi 2796 . . . 4 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = ∅)
2115, 20eqtr4d 2783 . . 3 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
2214, 21pm2.61i 182 . 2 (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
231, 22eqtri 2768 1 = (meet‘𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542  wcel 2110  Vcvv 3431  c0 4262  {cpr 4569   class class class wbr 5079  cfv 6432  {coprab 7272  ODualcodu 18002  lubclub 18025  glbcglb 18026  joincjn 18027  meetcmee 18028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-dec 12437  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ple 16980  df-odu 18003  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065
This theorem is referenced by:  odulatb  18150  latdisd  18213  odudlatb  18241  dlatjmdi  18242
  Copyright terms: Public domain W3C validator