Theorem odumeet 18591

Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odumeet.j	⊢ ∨ = (join‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odumeet	⊢ ∨ = (meet‘𝐷)

Proof of Theorem odumeet

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odumeet.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝑂)
2		oduglb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
4	2, 3	oduglb 18590	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
5	4	breqd 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐))
6	5	oprabbidv 7490	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
7		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
8	3, 7	joinfval 18554	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐})
9	2	fvexi 6904	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
11		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (meet‘𝐷) = (meet‘𝐷)
12	10, 11	meetfval 18568	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
13	9, 12	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
14	6, 8, 13	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
15		fvprc 6882	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = ∅)
16		fvprc 6882	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
17	2, 16	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
18	17	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = (meet‘∅))
19		meet0 18587	. . . . 5 ⊢ (meet‘∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = ∅)
21	15, 20	eqtr4d 2798	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
22	14, 21	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
23	1, 22	eqtri 2783	1 ⊢ ∨ = (meet‘𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4277  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  {coprab 7425  ODualcodu 18469  lubclub 18492  glbcglb 18493  joincjn 18494  meetcmee 18495

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ple 17457  df-odu 18470  df-lub 18527  df-glb 18528  df-join 18529  df-meet 18530

This theorem is used by:  odulatb  18617  latdisd  18680  odudlatb  18708  dlatjmdi  18709