Theorem odumeet 18459

Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odumeet.j	⊢ ∨ = (join‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odumeet	⊢ ∨ = (meet‘𝐷)

Proof of Theorem odumeet

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odumeet.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝑂)
2		oduglb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
4	2, 3	oduglb 18458	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
5	4	breqd 5120	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐))
6	5	oprabbidv 7476	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
8	3, 7	joinfval 18422	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐})
9	2	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
11		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (meet‘𝐷) = (meet‘𝐷)
12	10, 11	meetfval 18436	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
13	9, 12	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
14	6, 8, 13	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
15		fvprc 6873	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = ∅)
16		fvprc 6873	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
17	2, 16	eqtrid 2810	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
18	17	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = (meet‘∅))
19		meet0 18455	. . . . 5 ⊢ (meet‘∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = ∅)
21	15, 20	eqtr4d 2801	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
22	14, 21	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
23	1, 22	eqtri 2786	1 ⊢ ∨ = (meet‘𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ∅c0 4286  {cpr 4591   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  {coprab 7411  ODualcodu 18337  lubclub 18360  glbcglb 18361  joincjn 18362  meetcmee 18363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ple 17325  df-odu 18338  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398

This theorem is referenced by:  odulatb  18485  latdisd  18548  odudlatb  18576  dlatjmdi  18577