Theorem odumeet 18365

Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odumeet.j	⊢ ∨ = (join‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odumeet	⊢ ∨ = (meet‘𝐷)

Proof of Theorem odumeet

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odumeet.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝑂)
2		oduglb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
4	2, 3	oduglb 18364	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
5	4	breqd 5097	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐))
6	5	oprabbidv 7426	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
8	3, 7	joinfval 18328	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐})
9	2	fvexi 6848	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (meet‘𝐷) = (meet‘𝐷)
12	10, 11	meetfval 18342	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
13	9, 12	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
14	6, 8, 13	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
15		fvprc 6826	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = ∅)
16		fvprc 6826	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
17	2, 16	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
18	17	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = (meet‘∅))
19		meet0 18361	. . . . 5 ⊢ (meet‘∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = ∅)
21	15, 20	eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
22	14, 21	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
23	1, 22	eqtri 2760	1 ⊢ ∨ = (meet‘𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  {coprab 7361  ODualcodu 18243  lubclub 18266  glbcglb 18267  joincjn 18268  meetcmee 18269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-dec 12636  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ple 17231  df-odu 18244  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304

This theorem is referenced by:  odulatb  18391  latdisd  18454  odudlatb  18482  dlatjmdi  18483