MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odumeet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odumeet 18307
Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
odumeet.j ∨ = (joinβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
odumeet ∨ = (meetβ€˜π·)

Proof of Theorem odumeet
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odumeet.j . 2 ∨ = (joinβ€˜π‘‚)
2 oduglb.d . . . . . . 7 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (lubβ€˜π‘‚) = (lubβ€˜π‘‚)
42, 3oduglb 18306 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V β†’ (lubβ€˜π‘‚) = (glbβ€˜π·))
54breqd 5120 . . . . 5 (𝑂 ∈ V β†’ ({π‘Ž, 𝑏} (lubβ€˜π‘‚)𝑐 ↔ {π‘Ž, 𝑏} (glbβ€˜π·)𝑐))
65oprabbidv 7427 . . . 4 (𝑂 ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©, π‘βŸ© ∣ {π‘Ž, 𝑏} (lubβ€˜π‘‚)𝑐} = {βŸ¨βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©, π‘βŸ© ∣ {π‘Ž, 𝑏} (glbβ€˜π·)𝑐})
7 eqid 2733 . . . . 5 (joinβ€˜π‘‚) = (joinβ€˜π‘‚)
83, 7joinfval 18270 . . . 4 (𝑂 ∈ V β†’ (joinβ€˜π‘‚) = {βŸ¨βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©, π‘βŸ© ∣ {π‘Ž, 𝑏} (lubβ€˜π‘‚)𝑐})
92fvexi 6860 . . . . 5 𝐷 ∈ V
10 eqid 2733 . . . . . 6 (glbβ€˜π·) = (glbβ€˜π·)
11 eqid 2733 . . . . . 6 (meetβ€˜π·) = (meetβ€˜π·)
1210, 11meetfval 18284 . . . . 5 (𝐷 ∈ V β†’ (meetβ€˜π·) = {βŸ¨βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©, π‘βŸ© ∣ {π‘Ž, 𝑏} (glbβ€˜π·)𝑐})
139, 12mp1i 13 . . . 4 (𝑂 ∈ V β†’ (meetβ€˜π·) = {βŸ¨βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ©, π‘βŸ© ∣ {π‘Ž, 𝑏} (glbβ€˜π·)𝑐})
146, 8, 133eqtr4d 2783 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ (joinβ€˜π‘‚) = (meetβ€˜π·))
15 fvprc 6838 . . . 4 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (joinβ€˜π‘‚) = βˆ…)
16 fvprc 6838 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (ODualβ€˜π‘‚) = βˆ…)
172, 16eqtrid 2785 . . . . . 6 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ 𝐷 = βˆ…)
1817fveq2d 6850 . . . . 5 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (meetβ€˜π·) = (meetβ€˜βˆ…))
19 meet0 18303 . . . . 5 (meetβ€˜βˆ…) = βˆ…
2018, 19eqtrdi 2789 . . . 4 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (meetβ€˜π·) = βˆ…)
2115, 20eqtr4d 2776 . . 3 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (joinβ€˜π‘‚) = (meetβ€˜π·))
2214, 21pm2.61i 182 . 2 (joinβ€˜π‘‚) = (meetβ€˜π·)
231, 22eqtri 2761 1 ∨ = (meetβ€˜π·)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βˆ…c0 4286  {cpr 4592   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  {coprab 7362  ODualcodu 18183  lubclub 18206  glbcglb 18207  joincjn 18208  meetcmee 18209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-dec 12627  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ple 17161  df-odu 18184  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246
This theorem is referenced by:  odulatb  18331  latdisd  18394  odudlatb  18422  dlatjmdi  18423
  Copyright terms: Public domain W3C validator