Theorem odumeet 18486

Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odumeet.j	⊢ ∨ = (join‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odumeet	⊢ ∨ = (meet‘𝐷)

Proof of Theorem odumeet

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odumeet.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝑂)
2		oduglb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
4	2, 3	oduglb 18485	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
5	4	breqd 5122	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐))
6	5	oprabbidv 7485	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
7		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
8	3, 7	joinfval 18449	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐})
9	2	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
10		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
11		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (meet‘𝐷) = (meet‘𝐷)
12	10, 11	meetfval 18463	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
13	9, 12	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
14	6, 8, 13	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
15		fvprc 6877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = ∅)
16		fvprc 6877	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
17	2, 16	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
18	17	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = (meet‘∅))
19		meet0 18482	. . . . 5 ⊢ (meet‘∅) = ∅
20	18, 19	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = ∅)
21	15, 20	eqtr4d 2803	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
22	14, 21	pm2.61i 184	. 2 ⊢ (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
23	1, 22	eqtri 2788	1 ⊢ ∨ = (meet‘𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286  {cpr 4593   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  {coprab 7420  ODualcodu 18364  lubclub 18387  glbcglb 18388  joincjn 18389  meetcmee 18390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ple 17352  df-odu 18365  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425

This theorem is used by:  odulatb  18512  latdisd  18575  odudlatb  18603  dlatjmdi  18604