| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | relopabi.1 |
. . . . . . 7
⊢ 𝐴 = {〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝜑} |
| 2 | | df-opab 5206 |
. . . . . . 7
⊢
{〈𝑥, 𝑦〉 ∣ 𝜑} = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} |
| 3 | 1, 2 | eqtri 2765 |
. . . . . 6
⊢ 𝐴 = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑦(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)} |
| 4 | 3 | eqabri 2885 |
. . . . 5
⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑥∃𝑦(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑)) |
| 5 | | simpl 482 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑) → 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) |
| 6 | 5 | 2eximi 1836 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦(𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 ∧ 𝜑) → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) |
| 7 | 4, 6 | sylbi 217 |
. . . 4
⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → ∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉) |
| 8 | | ax6evr 2014 |
. . . . . . . . 9
⊢
∃𝑢 𝑦 = 𝑢 |
| 9 | | pm3.21 471 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧 → (𝑦 = 𝑢 → (𝑦 = 𝑢 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧))) |
| 10 | 9 | eximdv 1917 |
. . . . . . . . 9
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧 → (∃𝑢 𝑦 = 𝑢 → ∃𝑢(𝑦 = 𝑢 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧))) |
| 11 | 8, 10 | mpi 20 |
. . . . . . . 8
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧 → ∃𝑢(𝑦 = 𝑢 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧)) |
| 12 | | opeq2 4874 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 = 𝑢 → 〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑢〉) |
| 13 | | eqtr2 2761 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑢〉 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧) → 〈𝑥, 𝑢〉 = 𝑧) |
| 14 | 13 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((〈𝑥, 𝑦〉 = 〈𝑥, 𝑢〉 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧) → 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉) |
| 15 | 12, 14 | sylan 580 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑦 = 𝑢 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧) → 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉) |
| 16 | 15 | eximi 1835 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑢(𝑦 = 𝑢 ∧ 〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧) → ∃𝑢 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉) |
| 17 | 11, 16 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢
(〈𝑥, 𝑦〉 = 𝑧 → ∃𝑢 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉) |
| 18 | 17 | eqcoms 2745 |
. . . . . 6
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑢 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉) |
| 19 | 18 | 2eximi 1836 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑥∃𝑦∃𝑢 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉) |
| 20 | | excomim 2163 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑦∃𝑢 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉 → ∃𝑦∃𝑥∃𝑢 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉) |
| 21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . 4
⊢
(∃𝑥∃𝑦 𝑧 = 〈𝑥, 𝑦〉 → ∃𝑦∃𝑥∃𝑢 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉) |
| 22 | | vex 3484 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑥 ∈ V |
| 23 | | vex 3484 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑢 ∈ V |
| 24 | 22, 23 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V) |
| 25 | 24 | jctr 524 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉 → (𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V))) |
| 26 | 25 | 2eximi 1836 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑥∃𝑢 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉 → ∃𝑥∃𝑢(𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V))) |
| 27 | | df-xp 5691 |
. . . . . . . 8
⊢ (V
× V) = {〈𝑥,
𝑢〉 ∣ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V)} |
| 28 | | df-opab 5206 |
. . . . . . . 8
⊢
{〈𝑥, 𝑢〉 ∣ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V)} = {𝑧 ∣ ∃𝑥∃𝑢(𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V))} |
| 29 | 27, 28 | eqtri 2765 |
. . . . . . 7
⊢ (V
× V) = {𝑧 ∣
∃𝑥∃𝑢(𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V))} |
| 30 | 29 | eqabri 2885 |
. . . . . 6
⊢ (𝑧 ∈ (V × V) ↔
∃𝑥∃𝑢(𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉 ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑢 ∈ V))) |
| 31 | 26, 30 | sylibr 234 |
. . . . 5
⊢
(∃𝑥∃𝑢 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉 → 𝑧 ∈ (V × V)) |
| 32 | 31 | eximi 1835 |
. . . 4
⊢
(∃𝑦∃𝑥∃𝑢 𝑧 = 〈𝑥, 𝑢〉 → ∃𝑦 𝑧 ∈ (V × V)) |
| 33 | | ax5e 1912 |
. . . 4
⊢
(∃𝑦 𝑧 ∈ (V × V) →
𝑧 ∈ (V ×
V)) |
| 34 | 7, 21, 32, 33 | 4syl 19 |
. . 3
⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → 𝑧 ∈ (V × V)) |
| 35 | 34 | ssriv 3987 |
. 2
⊢ 𝐴 ⊆ (V ×
V) |
| 36 | | df-rel 5692 |
. 2
⊢ (Rel
𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ (V × V)) |
| 37 | 35, 36 | mpbir 231 |
1
⊢ Rel 𝐴 |