MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsprmpweqnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsprmpweqnn 16004
Description: If an integer greater than 1 divides a prime power, it is a (proper) prime power. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsprmpweqnn ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqnn
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12037 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2 dvdsprmpweq 16003 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛)))
31, 2syl3an2 1164 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛)))
43imp 397 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛))
5 df-n0 11648 . . . . . 6 0 = (ℕ ∪ {0})
65rexeqi 3339 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃𝑛))
7 rexun 4016 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛)))
86, 7bitri 267 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛)))
9 0z 11744 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
10 oveq2 6932 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (𝑃𝑛) = (𝑃↑0))
1110eqeq2d 2788 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
1211rexsng 4445 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
139, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0))
14 prmnn 15803 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1514nncnd 11397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
1615exp0d 13326 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) = 1)
17163ad2ant1 1124 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑0) = 1)
1817eqeq2d 2788 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) ↔ 𝐴 = 1))
19 eluz2b3 12074 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≠ 1))
20 eqneqall 2980 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 1 → (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
2120com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
2219, 21simplbiim 500 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
23223ad2ant2 1125 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
2418, 23sylbid 232 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
2524com12 32 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑃↑0) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
2625impd 400 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑃↑0) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
2713, 26sylbi 209 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
2827jao1i 847 . . . 4 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛)) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
298, 28sylbi 209 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
304, 29mpcom 38 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))
3130ex 403 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 836  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wrex 3091  cun 3790  {csn 4398   class class class wbr 4888  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275  cn 11379  2c2 11435  0cn0 11647  cz 11733  cuz 11997  cexp 13183  cdvds 15396  cprime 15800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fl 12917  df-mod 12993  df-seq 13125  df-exp 13184  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-dvds 15397  df-gcd 15633  df-prm 15801  df-pc 15957
This theorem is referenced by:  difsqpwdvds  16006  lighneallem4  42562
  Copyright terms: Public domain W3C validator