MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsprmpweqnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsprmpweqnn 16210
Description: If an integer greater than 1 divides a prime power, it is a (proper) prime power. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsprmpweqnn ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqnn
StepHypRef Expression
1 eluz2nn 12272 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2 dvdsprmpweq 16209 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛)))
31, 2syl3an2 1161 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛)))
43imp 410 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛))
5 df-n0 11886 . . . . . 6 0 = (ℕ ∪ {0})
65rexeqi 3391 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃𝑛))
7 rexun 4141 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛)))
86, 7bitri 278 . . . 4 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛)))
9 0z 11980 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
10 oveq2 7148 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 0 → (𝑃𝑛) = (𝑃↑0))
1110eqeq2d 2833 . . . . . . . 8 (𝑛 = 0 → (𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
1211rexsng 4588 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
139, 12ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0))
14 prmnn 16007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1514nncnd 11641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
1615exp0d 13500 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) = 1)
17163ad2ant1 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑0) = 1)
1817eqeq2d 2833 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) ↔ 𝐴 = 1))
19 eluz2b3 12310 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≠ 1))
20 eqneqall 3022 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 1 → (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
2120com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
2219, 21simplbiim 508 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
23223ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
2418, 23sylbid 243 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
2524com12 32 . . . . . . 7 (𝐴 = (𝑃↑0) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))))
2625impd 414 . . . . . 6 (𝐴 = (𝑃↑0) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
2713, 26sylbi 220 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
2827jao1i 855 . . . 4 ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃𝑛)) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
298, 28sylbi 220 . . 3 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
304, 29mpcom 38 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛))
3130ex 416 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011  wrex 3131  cun 3906  {csn 4539   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  1c1 10527  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  cexp 13425  cdvds 15598  cprime 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-prm 16005  df-pc 16163
This theorem is referenced by:  difsqpwdvds  16212  lighneallem4  44067
  Copyright terms: Public domain W3C validator