Theorem dvdsprmpweqnn 16514

Description: If an integer greater than 1 divides a prime power, it is a (proper) prime power. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprmpweqnn	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12553	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2		dvdsprmpweq 16513	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
3	1, 2	syl3an2 1162	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
4	3	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
5		df-n0 12164	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
6	5	rexeqi 3338	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃↑𝑛))
7		rexun 4120	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
8	6, 7	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
9		0z 12260	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		oveq2 7263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑0))
11	10	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
12	11	rexsng 4607	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0))
14		prmnn 16307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	nncnd 11919	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16	15	exp0d 13786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) = 1)
17	16	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑0) = 1)
18	17	eqeq2d 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) ↔ 𝐴 = 1))
19		eluz2b3 12591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≠ 1))
20		eqneqall 2953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
21	20	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
22	19, 21	simplbiim 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
23	22	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
24	18, 23	sylbid 239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
25	24	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑0) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
26	25	impd 410	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑0) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
27	13, 26	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
28	27	jao1i 854	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
29	8, 28	sylbi 216	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
30	4, 29	mpcom 38	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∪ cun 3881  {csn 4558   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ↑cexp 13710   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305  df-pc 16466

This theorem is referenced by:  difsqpwdvds  16516  lighneallem4  44950