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Theorem vdwlem6 16919
Description: Lemma for vdw 16927. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdwlem3.v (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ β„•)
vdwlem3.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„•)
vdwlem4.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
vdwlem4.h (πœ‘ β†’ 𝐻:(1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉)))βŸΆπ‘…)
vdwlem4.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉))))))
vdwlem7.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
vdwlem7.g (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...π‘Š)βŸΆπ‘…)
vdwlem7.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
vdwlem7.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
vdwlem7.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•)
vdwlem7.s (πœ‘ β†’ (𝐴(APβ€˜πΎ)𝐷) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝐺}))
vdwlem6.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
vdwlem6.e (πœ‘ β†’ 𝐸:(1...𝑀)βŸΆβ„•)
vdwlem6.s (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}))
vdwlem6.j 𝐽 = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))
vdwlem6.r (πœ‘ β†’ (β™―β€˜ran 𝐽) = 𝑀)
vdwlem6.t 𝑇 = (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1)))
vdwlem6.p 𝑃 = (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘—)) + (π‘Š Β· 𝐷)))
Assertion
Ref Expression
vdwlem6 (πœ‘ β†’ (⟨(𝑀 + 1), 𝐾⟩ PolyAP 𝐻 ∨ (𝐾 + 1) MonoAP 𝐺))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   𝑖,𝑗,π‘₯,𝑦,𝐺   𝑖,𝐾,𝑗,π‘₯,𝑦   𝑖,𝐽,𝑗,π‘₯   𝑃,𝑖,π‘₯   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘₯,𝑦   𝑅,𝑖,π‘₯,𝑦   𝐡,𝑖,𝑗,π‘₯,𝑦   𝑖,𝐻,π‘₯,𝑦   𝑖,𝑀,𝑗,π‘₯,𝑦   𝐷,𝑗,π‘₯,𝑦   𝑖,𝐸,𝑗,π‘₯,𝑦   𝑖,π‘Š,𝑗,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑖,π‘₯   π‘₯,𝑉,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖)   𝑃(𝑦,𝑗)   𝑅(𝑗)   𝑇(𝑦,𝑗)   𝐹(π‘₯,𝑦,𝑖,𝑗)   𝐻(𝑗)   𝐽(𝑦)   𝑉(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem vdwlem6
Dummy variables π‘š 𝑛 𝑧 π‘Ž 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 6905 . . . . . . 7 (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) ∈ V
2 vdwlem6.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑖 ∈ (1...𝑀) ↦ (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))
31, 2fnmpti 6694 . . . . . 6 𝐽 Fn (1...𝑀)
4 fvelrnb 6953 . . . . . 6 (𝐽 Fn (1...𝑀) β†’ ((πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽 ↔ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑀)(π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅)))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 ((πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽 ↔ βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑀)(π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))
6 vdwlem4.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Fin)
76adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ 𝑅 ∈ Fin)
8 vdwlem7.k . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
9 eluz2nn 12868 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
108, 9syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•)
1110adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
12 vdwlem3.w . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„•)
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ π‘Š ∈ β„•)
14 vdwlem7.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...π‘Š)βŸΆπ‘…)
1514adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ 𝐺:(1...π‘Š)βŸΆπ‘…)
16 vdwlem6.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„•)
1716adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
18 vdwlem7.m . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1918adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
20 vdwlem6.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸:(1...𝑀)βŸΆβ„•)
2120adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ 𝐸:(1...𝑀)βŸΆβ„•)
22 vdwlem6.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}))
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}))
24 simprl 770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ π‘š ∈ (1...𝑀))
25 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))
26 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = π‘š β†’ (πΈβ€˜π‘–) = (πΈβ€˜π‘š))
2726oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = π‘š β†’ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) = (𝐡 + (πΈβ€˜π‘š)))
2827fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = π‘š β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘š))))
29 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘š))) ∈ V
3028, 2, 29fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ (1...𝑀) β†’ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘š))))
3124, 30syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘š))))
3225, 31eqtr3d 2775 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ (πΊβ€˜π΅) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘š))))
337, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 24, 32vdwlem1 16914 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘š ∈ (1...𝑀) ∧ (π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅))) β†’ (𝐾 + 1) MonoAP 𝐺)
3433rexlimdvaa 3157 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (1...𝑀)(π½β€˜π‘š) = (πΊβ€˜π΅) β†’ (𝐾 + 1) MonoAP 𝐺))
355, 34biimtrid 241 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽 β†’ (𝐾 + 1) MonoAP 𝐺))
3635imp 408 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (𝐾 + 1) MonoAP 𝐺)
3736olcd 873 . 2 ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (⟨(𝑀 + 1), 𝐾⟩ PolyAP 𝐻 ∨ (𝐾 + 1) MonoAP 𝐺))
38 vdwlem3.v . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ β„•)
39 vdwlem4.h . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻:(1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉)))βŸΆπ‘…)
40 vdwlem4.f . . . . . . 7 𝐹 = (π‘₯ ∈ (1...𝑉) ↦ (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉))))))
41 vdwlem7.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
42 vdwlem7.d . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•)
43 vdwlem7.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(APβ€˜πΎ)𝐷) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝐺}))
44 vdwlem6.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜ran 𝐽) = 𝑀)
45 vdwlem6.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1)))
46 vdwlem6.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘—)) + (π‘Š Β· 𝐷)))
4738, 12, 6, 39, 40, 18, 14, 8, 41, 42, 43, 16, 20, 22, 2, 44, 45, 46vdwlem5 16918 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„•)
4847adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ 𝑇 ∈ β„•)
49 0nn0 12487 . . . . . . . . . 10 0 ∈ β„•0
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑗 = (𝑀 + 1)) β†’ 0 ∈ β„•0)
51 nnuz 12865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
5218, 51eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
54 elfzp1 13551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑀) ∨ 𝑗 = (𝑀 + 1))))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↔ (𝑗 ∈ (1...𝑀) ∨ 𝑗 = (𝑀 + 1))))
5655biimpa 478 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) β†’ (𝑗 ∈ (1...𝑀) ∨ 𝑗 = (𝑀 + 1)))
5756ord 863 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) β†’ (Β¬ 𝑗 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑗 = (𝑀 + 1)))
5857con1d 145 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) β†’ (Β¬ 𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑀)))
5958imp 408 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) ∧ Β¬ 𝑗 = (𝑀 + 1)) β†’ 𝑗 ∈ (1...𝑀))
6020ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) β†’ 𝐸:(1...𝑀)βŸΆβ„•)
6160ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΈβ€˜π‘—) ∈ β„•)
6261nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΈβ€˜π‘—) ∈ β„•0)
6359, 62syldan 592 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) ∧ Β¬ 𝑗 = (𝑀 + 1)) β†’ (πΈβ€˜π‘—) ∈ β„•0)
6450, 63ifclda 4564 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) β†’ if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘—)) ∈ β„•0)
6512, 42nnmulcld 12265 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š Β· 𝐷) ∈ β„•)
6665ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) β†’ (π‘Š Β· 𝐷) ∈ β„•)
67 nn0nnaddcl 12503 . . . . . . . 8 ((if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘—)) ∈ β„•0 ∧ (π‘Š Β· 𝐷) ∈ β„•) β†’ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘—)) + (π‘Š Β· 𝐷)) ∈ β„•)
6864, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑀 + 1))) β†’ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘—)) + (π‘Š Β· 𝐷)) ∈ β„•)
6968, 46fmptd 7114 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ 𝑃:(1...(𝑀 + 1))βŸΆβ„•)
70 nnex 12218 . . . . . . 7 β„• ∈ V
71 ovex 7442 . . . . . . 7 (1...(𝑀 + 1)) ∈ V
7270, 71elmap 8865 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (β„• ↑m (1...(𝑀 + 1))) ↔ 𝑃:(1...(𝑀 + 1))βŸΆβ„•)
7369, 72sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ 𝑃 ∈ (β„• ↑m (1...(𝑀 + 1))))
74 elfzp1 13551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∨ 𝑖 = (𝑀 + 1))))
7552, 74syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↔ (𝑖 ∈ (1...𝑀) ∨ 𝑖 = (𝑀 + 1))))
7616adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ β„•)
7776nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
7920ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΈβ€˜π‘–) ∈ β„•)
8079nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΈβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
8180adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (πΈβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
8278, 81addcld 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ β„‚)
83 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∈ β„• β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
8441, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„•0)
85 nn0nnaddcl 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„•0 ∧ 𝑉 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉) ∈ β„•)
8684, 38, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉) ∈ β„•)
8712, 86nnmulcld 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) ∈ β„•)
8887nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) ∈ β„‚)
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) ∈ β„‚)
90 elfznn0 13594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
9190adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
9291nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
9392adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘š ∈ β„‚)
9493, 81mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)) ∈ β„‚)
9565nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ (π‘Š Β· 𝐷) ∈ β„•0)
9695adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘Š Β· 𝐷) ∈ β„•0)
9791, 96nn0mulcld 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)) ∈ β„•0)
9897nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)) ∈ β„‚)
9998adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)) ∈ β„‚)
10082, 89, 94, 99add4d 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + ((π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))) = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) + ((π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))))
10165nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (π‘Š Β· 𝐷) ∈ β„‚)
102101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘Š Β· 𝐷) ∈ β„‚)
10393, 81, 102adddid 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))) = ((π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))))
104103oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + ((π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))))
10512nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„‚)
106105adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘Š ∈ β„‚)
10786nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉) ∈ β„‚)
108107adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉) ∈ β„‚)
10942nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
110109adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐷 ∈ β„‚)
11192, 110mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘š Β· 𝐷) ∈ β„‚)
112106, 108, 111adddid 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘Š Β· (((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉) + (π‘š Β· 𝐷))) = ((π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) + (π‘Š Β· (π‘š Β· 𝐷))))
11341nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
114113adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
115 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 1 ∈ β„‚)
116114, 111, 115addsubd 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) = ((𝐴 βˆ’ 1) + (π‘š Β· 𝐷)))
117116oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉) = (((𝐴 βˆ’ 1) + (π‘š Β· 𝐷)) + 𝑉))
11884nn0cnd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
119118adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 βˆ’ 1) ∈ β„‚)
12038nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ β„‚)
121120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑉 ∈ β„‚)
122119, 111, 121add32d 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐴 βˆ’ 1) + (π‘š Β· 𝐷)) + 𝑉) = (((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉) + (π‘š Β· 𝐷)))
123117, 122eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉) = (((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉) + (π‘š Β· 𝐷)))
124123oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)) = (π‘Š Β· (((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉) + (π‘š Β· 𝐷))))
12592, 106, 110mul12d 11423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)) = (π‘Š Β· (π‘š Β· 𝐷)))
126125oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) = ((π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) + (π‘Š Β· (π‘š Β· 𝐷))))
127112, 124, 1263eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)) = ((π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))))
128127adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)) = ((π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))))
129128oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))) = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) + ((π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))))
130100, 104, 1293eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))))
13138ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑉 ∈ β„•)
13212ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘Š ∈ β„•)
13343adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴(APβ€˜πΎ)𝐷) βŠ† (◑𝐹 β€œ {𝐺}))
134 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) = (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷))
135 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 Β· 𝐷) = (π‘š Β· 𝐷))
136135oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = π‘š β†’ (𝐴 + (𝑛 Β· 𝐷)) = (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)))
137136rspceeqv 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ∧ (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) = (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 Β· 𝐷)))
138134, 137mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 Β· 𝐷)))
13910nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
140 vdwapval 16906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐷 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (𝐴(APβ€˜πΎ)𝐷) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 Β· 𝐷))))
141139, 41, 42, 140syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (𝐴(APβ€˜πΎ)𝐷) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 Β· 𝐷))))
142141biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) = (𝐴 + (𝑛 Β· 𝐷))) β†’ (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (𝐴(APβ€˜πΎ)𝐷))
143138, 142sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (𝐴(APβ€˜πΎ)𝐷))
144133, 143sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝐺}))
14538, 12, 6, 39, 40vdwlem4 16917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ 𝐹:(1...𝑉)⟢(𝑅 ↑m (1...π‘Š)))
146145ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn (1...𝑉))
147 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹 Fn (1...𝑉) β†’ ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝐺}) ↔ ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (1...𝑉) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷))) = 𝐺)))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝐺}) ↔ ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (1...𝑉) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷))) = 𝐺)))
149148biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (◑𝐹 β€œ {𝐺})) β†’ ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (1...𝑉) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷))) = 𝐺))
150144, 149syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (1...𝑉) ∧ (πΉβ€˜(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷))) = 𝐺))
151150simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (1...𝑉))
152151adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (1...𝑉))
15322r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}))
154153adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}))
155 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))
156 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛 Β· (πΈβ€˜π‘–)) = (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))
157156oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (𝑛 Β· (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))))
158157rspceeqv 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) ∧ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (𝑛 Β· (πΈβ€˜π‘–))))
159155, 158mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (𝑛 Β· (πΈβ€˜π‘–))))
16010adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
161160nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
16276, 79nnaddcld 12264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ β„•)
163 vdwapval 16906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ β„• ∧ (πΈβ€˜π‘–) ∈ β„•) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (𝑛 Β· (πΈβ€˜π‘–)))))
164161, 162, 79, 163syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)) ↔ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (𝑛 Β· (πΈβ€˜π‘–)))))
165164biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ βˆƒπ‘› ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (𝑛 Β· (πΈβ€˜π‘–)))) β†’ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)))
166159, 165sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)))
167154, 166sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}))
16814ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn (1...π‘Š))
169168adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐺 Fn (1...π‘Š))
170 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐺 Fn (1...π‘Š) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}) ↔ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ (1...π‘Š) ∧ (πΊβ€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))))
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}) ↔ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ (1...π‘Š) ∧ (πΊβ€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))))
172171biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))})) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ (1...π‘Š) ∧ (πΊβ€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))))
173167, 172syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ (1...π‘Š) ∧ (πΊβ€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))))
174173simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ (1...π‘Š))
175131, 132, 152, 174vdwlem3 16916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))) ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))))
176130, 175eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))))
177 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) β†’ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))) = (π»β€˜(((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))
178 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))))) = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))
179 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π»β€˜(((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))) ∈ V
180177, 178, 179fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) ∈ (1...π‘Š) β†’ ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))) = (π»β€˜(((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))
181174, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))) = (π»β€˜(((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))
182173simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))
183150simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷))) = 𝐺)
184 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ = (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1))
185184oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ = (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉) = (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))
186185oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ = (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) β†’ (π‘Š Β· ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉)) = (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))
187186oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ = (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) β†’ (𝑦 + (π‘Š Β· ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉))) = (𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))))
188187fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ = (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) β†’ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉)))) = (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))
189188mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = (𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) β†’ (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉))))) = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))))))
190 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1...π‘Š) ∈ V
191190mptex 7225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))))) ∈ V
192189, 40, 191fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) ∈ (1...𝑉) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷))) = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))))))
193151, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝐴 + (π‘š Β· 𝐷))) = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))))))
194183, 193eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))))))
195194adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))))))
196195fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))) = ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))))
197182, 196eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–)))))
198130fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π»β€˜(((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))))) = (π»β€˜(((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘š Β· (πΈβ€˜π‘–))) + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))
199181, 197, 1983eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π»β€˜(((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))
200176, 199jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜(((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))))
201 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) β†’ (π‘₯ ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ↔ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉)))))
202 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) β†’ ((π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) ↔ (π»β€˜(((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))))
203201, 202anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) β†’ ((π‘₯ ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))) ↔ ((((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜(((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))))
204200, 203syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘₯ = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) β†’ (π‘₯ ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))))
205204rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))π‘₯ = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))) β†’ (π‘₯ ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))))
20687adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) ∈ β„•)
207162, 206nnaddcld 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) ∈ β„•)
20865adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘Š Β· 𝐷) ∈ β„•)
20979, 208nnaddcld 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)) ∈ β„•)
210 vdwapval 16906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) ∈ β„• ∧ ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)) ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))(APβ€˜πΎ)((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))π‘₯ = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))))))
211161, 207, 209, 210syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))(APβ€˜πΎ)((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))π‘₯ = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))))))
21239ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))))
213212adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐻 Fn (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))))
214 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 Fn (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐻 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}) ↔ (π‘₯ ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))))
215213, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐻 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}) ↔ (π‘₯ ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜π‘₯) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))))
216205, 211, 2153imtr4d 294 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))(APβ€˜πΎ)((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐻 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))})))
217216ssrdv 3989 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))(APβ€˜πΎ)((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}))
218 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...𝑀) βŠ† ((1...𝑀) βˆͺ {(𝑀 + 1)})
219 fzsuc 13548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (1...(𝑀 + 1)) = ((1...𝑀) βˆͺ {(𝑀 + 1)}))
22052, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (1...(𝑀 + 1)) = ((1...𝑀) βˆͺ {(𝑀 + 1)}))
221218, 220sseqtrrid 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) βŠ† (1...(𝑀 + 1)))
222221sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)))
223 eqeq1 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 β†’ (𝑗 = (𝑀 + 1) ↔ 𝑖 = (𝑀 + 1)))
224 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 β†’ (πΈβ€˜π‘—) = (πΈβ€˜π‘–))
225223, 224ifbieq2d 4555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝑖 β†’ if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘—)) = if(𝑖 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘–)))
226225oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝑖 β†’ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘—)) + (π‘Š Β· 𝐷)) = (if(𝑖 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· 𝐷)))
227 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (if(𝑖 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· 𝐷)) ∈ V
228226, 46, 227fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (if(𝑖 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· 𝐷)))
229222, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (if(𝑖 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· 𝐷)))
23018nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
231230ltp1d 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑀 < (𝑀 + 1))
232 peano2re 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
233230, 232syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
234230, 233ltnled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝑀 < (𝑀 + 1) ↔ Β¬ (𝑀 + 1) ≀ 𝑀))
235231, 234mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑀 + 1) ≀ 𝑀)
236 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ (𝑖 ≀ 𝑀 ↔ (𝑀 + 1) ≀ 𝑀))
237236notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ (Β¬ 𝑖 ≀ 𝑀 ↔ Β¬ (𝑀 + 1) ≀ 𝑀))
238235, 237syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ Β¬ 𝑖 ≀ 𝑀))
239238con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑖 ≀ 𝑀 β†’ Β¬ 𝑖 = (𝑀 + 1)))
240 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ 𝑖 ≀ 𝑀)
241239, 240impel 507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ Β¬ 𝑖 = (𝑀 + 1))
242 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ 𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ if(𝑖 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘–)) = (πΈβ€˜π‘–))
243242oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ (if(𝑖 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· 𝐷)) = ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))
244241, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (if(𝑖 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· 𝐷)) = ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))
245229, 244eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷)))
246245oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)) = (𝑇 + ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))))
24747nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
248247adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
249101adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘Š Β· 𝐷) ∈ β„‚)
250248, 80, 249add12d 11440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑇 + ((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))) = ((πΈβ€˜π‘–) + (𝑇 + (π‘Š Β· 𝐷))))
25145oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 + (π‘Š Β· 𝐷)) = ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1))) + (π‘Š Β· 𝐷))
25216nncnd 12228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
253120, 109subcld 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑉 βˆ’ 𝐷) ∈ β„‚)
254113, 253addcld 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) ∈ β„‚)
255 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ β„‚
256 subcl 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
257254, 255, 256sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
258105, 257mulcld 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (π‘Š Β· ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
259252, 258, 101addassd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1))) + (π‘Š Β· 𝐷)) = (𝐡 + ((π‘Š Β· ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1)) + (π‘Š Β· 𝐷))))
260105, 257, 109adddid 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (π‘Š Β· (((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝐷)) = ((π‘Š Β· ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1)) + (π‘Š Β· 𝐷)))
261113, 253, 109addassd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) + 𝐷) = (𝐴 + ((𝑉 βˆ’ 𝐷) + 𝐷)))
262120, 109npcand 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ ((𝑉 βˆ’ 𝐷) + 𝐷) = 𝑉)
263262oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝐴 + ((𝑉 βˆ’ 𝐷) + 𝐷)) = (𝐴 + 𝑉))
264261, 263eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) + 𝐷) = (𝐴 + 𝑉))
265264oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) + 𝐷) βˆ’ 1) = ((𝐴 + 𝑉) βˆ’ 1))
266 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
267254, 109, 266addsubd 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) + 𝐷) βˆ’ 1) = (((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝐷))
268113, 120, 266addsubd 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + 𝑉) βˆ’ 1) = ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))
269265, 267, 2683eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝐷) = ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))
270269oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (π‘Š Β· (((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝐷)) = (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))
271260, 270eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((π‘Š Β· ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1)) + (π‘Š Β· 𝐷)) = (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))
272271oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐡 + ((π‘Š Β· ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1)) + (π‘Š Β· 𝐷))) = (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))
273259, 272eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 + (𝑉 βˆ’ 𝐷)) βˆ’ 1))) + (π‘Š Β· 𝐷)) = (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))
274251, 273eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑇 + (π‘Š Β· 𝐷)) = (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))
275274oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜π‘–) + (𝑇 + (π‘Š Β· 𝐷))) = ((πΈβ€˜π‘–) + (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
276275adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΈβ€˜π‘–) + (𝑇 + (π‘Š Β· 𝐷))) = ((πΈβ€˜π‘–) + (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
27788adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) ∈ β„‚)
27880, 77, 277addassd 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((πΈβ€˜π‘–) + 𝐡) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) = ((πΈβ€˜π‘–) + (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
27980, 77addcomd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΈβ€˜π‘–) + 𝐡) = (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))
280279oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (((πΈβ€˜π‘–) + 𝐡) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))
281276, 278, 2803eqtr2d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΈβ€˜π‘–) + (𝑇 + (π‘Š Β· 𝐷))) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))
282246, 250, 2813eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)) = ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))
283282, 245oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) = (((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))(APβ€˜πΎ)((πΈβ€˜π‘–) + (π‘Š Β· 𝐷))))
284 cnvimass 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}) βŠ† dom 𝐺
285284, 14fssdm 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}) βŠ† (1...π‘Š))
286285adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}) βŠ† (1...π‘Š))
287 vdwapid1 16908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ β„• ∧ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ β„• ∧ (πΈβ€˜π‘–) ∈ β„•) β†’ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)))
288160, 162, 79, 287syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(πΈβ€˜π‘–)))
289153, 288sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ (◑𝐺 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}))
290286, 289sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ (1...π‘Š))
291 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) β†’ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))) = (π»β€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
292 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))) = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
293 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π»β€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))) ∈ V
294291, 292, 293fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ (1...π‘Š) β†’ ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) = (π»β€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
295290, 294syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) = (π»β€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
296 vdwapid1 16908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„• ∧ 𝐷 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(APβ€˜πΎ)𝐷))
29710, 41, 42, 296syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴(APβ€˜πΎ)𝐷))
29843, 297sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝐺}))
299 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹 Fn (1...𝑉) β†’ (𝐴 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝐺}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑉) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 𝐺)))
300146, 299syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (◑𝐹 β€œ {𝐺}) ↔ (𝐴 ∈ (1...𝑉) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 𝐺)))
301298, 300mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (1...𝑉) ∧ (πΉβ€˜π΄) = 𝐺))
302301simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = 𝐺)
303301simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝑉))
304 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘₯ βˆ’ 1) = (𝐴 βˆ’ 1))
305304oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝐴 β†’ ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉) = ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))
306305oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π‘Š Β· ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉)) = (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))
307306oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝑦 + (π‘Š Β· ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉))) = (𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))
308307fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉)))) = (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
309308mpteq2dv 5251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((π‘₯ βˆ’ 1) + 𝑉))))) = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))))
310190mptex 7225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))) ∈ V
311309, 40, 310fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ (1...𝑉) β†’ (πΉβ€˜π΄) = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))))
312303, 311syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))))
313302, 312eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))))
314313fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))
315314adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) = ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))
316282fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) = (π»β€˜((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
317295, 315, 3163eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))
318317sneqd 4641 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))} = {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))})
319318imaeq2d 6060 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}) = (◑𝐻 β€œ {(πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}))
320217, 283, 3193sstr4d 4030 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}))
321320ex 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))})))
322252adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
32388adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) ∈ β„‚)
324322, 323, 98addassd 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) = (𝐡 + ((π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))))
325127oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐡 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))) = (𝐡 + ((π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))))
326324, 325eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) = (𝐡 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))))
32738adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝑉 ∈ β„•)
32812adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ π‘Š ∈ β„•)
329 eluzfz1 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 1 ∈ (1...𝑀))
33052, 329syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (πœ‘ β†’ 1 ∈ (1...𝑀))
331330ne0d 4336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) β‰  βˆ…)
332 elfzuz3 13498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ (1...π‘Š) β†’ π‘Š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))
333290, 332syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘Š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))))
33416nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„€)
335 uzid 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐡 ∈ β„€ β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΅))
336334, 335syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΅))
337336adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΅))
33879nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΈβ€˜π‘–) ∈ β„•0)
339 uzaddcl 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐡 ∈ (β„€β‰₯β€˜π΅) ∧ (πΈβ€˜π‘–) ∈ β„•0) β†’ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΅))
340337, 338, 339syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΅))
341 uztrn 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Š ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) ∧ (𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)) ∈ (β„€β‰₯β€˜π΅)) β†’ π‘Š ∈ (β„€β‰₯β€˜π΅))
342333, 340, 341syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ π‘Š ∈ (β„€β‰₯β€˜π΅))
343 eluzle 12835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Š ∈ (β„€β‰₯β€˜π΅) β†’ 𝐡 ≀ π‘Š)
344342, 343syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 𝐡 ≀ π‘Š)
345344ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)𝐡 ≀ π‘Š)
346 r19.2z 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((1...𝑀) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑀)𝐡 ≀ π‘Š) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)𝐡 ≀ π‘Š)
347331, 345, 346syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)𝐡 ≀ π‘Š)
348 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ (1...𝑀) β†’ (𝐡 ≀ π‘Š β†’ 𝐡 ≀ π‘Š))
349348rexlimiv 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)𝐡 ≀ π‘Š β†’ 𝐡 ≀ π‘Š)
350347, 349syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ π‘Š)
35112nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ β„€)
352 fznn 13569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Š ∈ β„€ β†’ (𝐡 ∈ (1...π‘Š) ↔ (𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐡 ≀ π‘Š)))
353351, 352syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (1...π‘Š) ↔ (𝐡 ∈ β„• ∧ 𝐡 ≀ π‘Š)))
35416, 350, 353mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (1...π‘Š))
355354adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ 𝐡 ∈ (1...π‘Š))
356327, 328, 151, 355vdwlem3 16916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝐡 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉))) ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))))
357326, 356eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))))
358 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝐡 β†’ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))) = (π»β€˜(𝐡 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))
359 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π»β€˜(𝐡 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))) ∈ V
360358, 178, 359fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 ∈ (1...π‘Š) β†’ ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜π΅) = (π»β€˜(𝐡 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))
361355, 360syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜π΅) = (π»β€˜(𝐡 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))
362194fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (πΊβ€˜π΅) = ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜π΅))
363326fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π»β€˜((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))) = (π»β€˜(𝐡 + (π‘Š Β· (((𝐴 + (π‘š Β· 𝐷)) βˆ’ 1) + 𝑉)))))
364361, 362, 3633eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (π»β€˜((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))) = (πΊβ€˜π΅))
365357, 364jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))) = (πΊβ€˜π΅)))
366 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) β†’ (𝑧 ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ↔ ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉)))))
367 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) β†’ ((π»β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π΅) ↔ (π»β€˜((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))) = (πΊβ€˜π΅)))
368366, 367anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) β†’ ((𝑧 ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π΅)) ↔ (((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))) = (πΊβ€˜π΅))))
369365, 368syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))) β†’ (𝑧 = ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) β†’ (𝑧 ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π΅))))
370369rexlimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))𝑧 = ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷))) β†’ (𝑧 ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π΅))))
37116, 87nnaddcld 12264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) ∈ β„•)
372 vdwapval 16906 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ β„•0 ∧ (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) ∈ β„• ∧ (π‘Š Β· 𝐷) ∈ β„•) β†’ (𝑧 ∈ ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))(APβ€˜πΎ)(π‘Š Β· 𝐷)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))𝑧 = ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))))
373139, 371, 65, 372syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))(APβ€˜πΎ)(π‘Š Β· 𝐷)) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0...(𝐾 βˆ’ 1))𝑧 = ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))) + (π‘š Β· (π‘Š Β· 𝐷)))))
374 fniniseg 7062 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐻 Fn (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ {(πΊβ€˜π΅)}) ↔ (𝑧 ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π΅))))
375212, 374syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ {(πΊβ€˜π΅)}) ↔ (𝑧 ∈ (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∧ (π»β€˜π‘§) = (πΊβ€˜π΅))))
376370, 373, 3753imtr4d 294 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))(APβ€˜πΎ)(π‘Š Β· 𝐷)) β†’ 𝑧 ∈ (◑𝐻 β€œ {(πΊβ€˜π΅)})))
377376ssrdv 3989 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))(APβ€˜πΎ)(π‘Š Β· 𝐷)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(πΊβ€˜π΅)}))
37818peano2nnd 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
379378, 51eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
380 eluzfz2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑀 + 1) ∈ (1...(𝑀 + 1)))
381 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘—)) = 0)
382381oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑀 + 1) β†’ (if(𝑗 = (𝑀 + 1), 0, (πΈβ€˜π‘—)) + (π‘Š Β· 𝐷)) = (0 + (π‘Š Β· 𝐷)))
383 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + (π‘Š Β· 𝐷)) ∈ V
384382, 46, 383fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 + 1) ∈ (1...(𝑀 + 1)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)) = (0 + (π‘Š Β· 𝐷)))
385379, 380, 3843syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)) = (0 + (π‘Š Β· 𝐷)))
386101addlidd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (0 + (π‘Š Β· 𝐷)) = (π‘Š Β· 𝐷))
387385, 386eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)) = (π‘Š Β· 𝐷))
388387oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))) = (𝑇 + (π‘Š Β· 𝐷)))
389388, 274eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))) = (𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉))))
390389, 387oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))) = ((𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))(APβ€˜πΎ)(π‘Š Β· 𝐷)))
391 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝐡 β†’ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))) = (π»β€˜(𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
392 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π»β€˜(𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))) ∈ V
393391, 292, 392fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ (1...π‘Š) β†’ ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜π΅) = (π»β€˜(𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
394354, 393syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜π΅) = (π»β€˜(𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
395313fveq1d 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) = ((𝑦 ∈ (1...π‘Š) ↦ (π»β€˜(𝑦 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))β€˜π΅))
396389fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)))) = (π»β€˜(𝐡 + (π‘Š Β· ((𝐴 βˆ’ 1) + 𝑉)))))
397394, 395, 3963eqtr4rd 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)))) = (πΊβ€˜π΅))
398397sneqd 4641 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))))} = {(πΊβ€˜π΅)})
399398imaeq2d 6060 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))))}) = (◑𝐻 β€œ {(πΊβ€˜π΅)}))
400377, 390, 3993sstr4d 4030 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))))}))
401 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)))
402401oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ (𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)) = (𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))))
403402, 401oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) = ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))))
404402fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)))))
405404sneqd 4641 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))} = {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))))})
406405imaeq2d 6060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}) = (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))))}))
407403, 406sseq12d 4016 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ (((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}) ↔ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))))})))
408400, 407syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))})))
409321, 408jaod 858 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ (1...𝑀) ∨ 𝑖 = (𝑀 + 1)) β†’ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))})))
41075, 409sylbid 239 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) β†’ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))})))
411410ralrimiv 3146 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}))
412411adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}))
413220rexeqdv 3327 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ ((1...𝑀) βˆͺ {(𝑀 + 1)})π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))))
414 rexun 4191 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘– ∈ ((1...𝑀) βˆͺ {(𝑀 + 1)})π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘– ∈ {(𝑀 + 1)}π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))))
415317eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ↔ π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))))
416415rexbidva 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))))
417 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 + 1) ∈ V
418404eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑀 + 1) β†’ (π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ↔ π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1))))))
419417, 418rexsn 4687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒπ‘– ∈ {(𝑀 + 1)}π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ↔ π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)))))
420397eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜(𝑀 + 1)))) ↔ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅)))
421419, 420bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ {(𝑀 + 1)}π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ↔ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅)))
422416, 421orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘– ∈ {(𝑀 + 1)}π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) ∨ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅))))
423414, 422bitrid 283 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ ((1...𝑀) βˆͺ {(𝑀 + 1)})π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) ∨ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅))))
424413, 423bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) ∨ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅))))
425424adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) ∨ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅))))
426425abbidv 2802 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))} = {π‘₯ ∣ (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) ∨ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅))})
427 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))))
428427rnmpt 5955 . . . . . . . . 9 ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))π‘₯ = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}
4292rnmpt 5955 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐽 = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))}
430 df-sn 4630 . . . . . . . . . . 11 {(πΊβ€˜π΅)} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅)}
431429, 430uneq12i 4162 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐽 βˆͺ {(πΊβ€˜π΅)}) = ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))} βˆͺ {π‘₯ ∣ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅)})
432 unab 4299 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–)))} βˆͺ {π‘₯ ∣ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅)}) = {π‘₯ ∣ (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) ∨ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅))}
433431, 432eqtri 2761 . . . . . . . . 9 (ran 𝐽 βˆͺ {(πΊβ€˜π΅)}) = {π‘₯ ∣ (βˆƒπ‘– ∈ (1...𝑀)π‘₯ = (πΊβ€˜(𝐡 + (πΈβ€˜π‘–))) ∨ π‘₯ = (πΊβ€˜π΅))}
434426, 428, 4333eqtr4g 2798 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))) = (ran 𝐽 βˆͺ {(πΊβ€˜π΅)}))
435434fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))))) = (β™―β€˜(ran 𝐽 βˆͺ {(πΊβ€˜π΅)})))
436 fzfi 13937 . . . . . . . . . 10 (1...𝑀) ∈ Fin
437 dffn4 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 Fn (1...𝑀) ↔ 𝐽:(1...𝑀)–ontoβ†’ran 𝐽)
4383, 437mpbi 229 . . . . . . . . . 10 𝐽:(1...𝑀)–ontoβ†’ran 𝐽
439 fofi 9338 . . . . . . . . . 10 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 𝐽:(1...𝑀)–ontoβ†’ran 𝐽) β†’ ran 𝐽 ∈ Fin)
440436, 438, 439mp2an 691 . . . . . . . . 9 ran 𝐽 ∈ Fin
441440a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐽 ∈ Fin)
442 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (πΊβ€˜π΅) ∈ V
443 hashunsng 14352 . . . . . . . . 9 ((πΊβ€˜π΅) ∈ V β†’ ((ran 𝐽 ∈ Fin ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (β™―β€˜(ran 𝐽 βˆͺ {(πΊβ€˜π΅)})) = ((β™―β€˜ran 𝐽) + 1)))
444442, 443ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((ran 𝐽 ∈ Fin ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (β™―β€˜(ran 𝐽 βˆͺ {(πΊβ€˜π΅)})) = ((β™―β€˜ran 𝐽) + 1))
445441, 444sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (β™―β€˜(ran 𝐽 βˆͺ {(πΊβ€˜π΅)})) = ((β™―β€˜ran 𝐽) + 1))
44644adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (β™―β€˜ran 𝐽) = 𝑀)
447446oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ ((β™―β€˜ran 𝐽) + 1) = (𝑀 + 1))
448435, 445, 4473eqtrd 2777 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1))
449412, 448jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}) ∧ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1)))
450 oveq1 7416 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑇 β†’ (π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)) = (𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))
451450oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑇 β†’ ((π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) = ((𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)))
452 fvoveq1 7432 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝑇 β†’ (π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))) = (π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))))
453452sneqd 4641 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑇 β†’ {(π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)))} = {(π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))})
454453imaeq2d 6060 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑇 β†’ (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)))}) = (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))}))
455451, 454sseq12d 4016 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑇 β†’ (((π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)))}) ↔ ((𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))})))
456455ralbidv 3178 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑇 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)))}) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))})))
457452mpteq2dv 5251 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑇 β†’ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))))
458457rneqd 5938 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑇 β†’ ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)))) = ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))))
459458fveqeq2d 6900 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑇 β†’ ((β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1) ↔ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1)))
460456, 459anbi12d 632 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑇 β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)))}) ∧ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1)) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))}) ∧ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1))))
461 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑃 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜π‘–))
462461oveq2d 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑃 β†’ (𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)) = (𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))
463462, 461oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑃 β†’ ((𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) = ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)))
464462fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑃 β†’ (π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))) = (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))))
465464sneqd 4641 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝑃 β†’ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))} = {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))})
466465imaeq2d 6060 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑃 β†’ (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))}) = (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}))
467463, 466sseq12d 4016 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑃 β†’ (((𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))}) ↔ ((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))})))
468467ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑃 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))}) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))})))
469464mpteq2dv 5251 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝑃 β†’ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))) = (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))))
470469rneqd 5938 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑃 β†’ ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))) = ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))))
471470fveqeq2d 6900 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑃 β†’ ((β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1) ↔ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1)))
472468, 471anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑃 β†’ ((βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–)))}) ∧ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘‘β€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1)) ↔ (βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}) ∧ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1))))
473460, 472rspc2ev 3625 . . . . 5 ((𝑇 ∈ β„• ∧ 𝑃 ∈ (β„• ↑m (1...(𝑀 + 1))) ∧ (βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘ƒβ€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–)))}) ∧ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(𝑇 + (π‘ƒβ€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ (β„• ↑m (1...(𝑀 + 1)))(βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)))}) ∧ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1)))
47448, 73, 449, 473syl3anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ (β„• ↑m (1...(𝑀 + 1)))(βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)))}) ∧ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1)))
475 ovex 7442 . . . . 5 (1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉))) ∈ V
47610adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ β„•)
477476nnnn0d 12532 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
47839adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ 𝐻:(1...(π‘Š Β· (2 Β· 𝑉)))βŸΆπ‘…)
47918adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
480479peano2nnd 12229 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (𝑀 + 1) ∈ β„•)
481 eqid 2733 . . . . 5 (1...(𝑀 + 1)) = (1...(𝑀 + 1))
482475, 477, 478, 480, 481vdwpc 16913 . . . 4 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (⟨(𝑀 + 1), 𝐾⟩ PolyAP 𝐻 ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ β„• βˆƒπ‘‘ ∈ (β„• ↑m (1...(𝑀 + 1)))(βˆ€π‘– ∈ (1...(𝑀 + 1))((π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))(APβ€˜πΎ)(π‘‘β€˜π‘–)) βŠ† (◑𝐻 β€œ {(π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–)))}) ∧ (β™―β€˜ran (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 1)) ↦ (π»β€˜(π‘Ž + (π‘‘β€˜π‘–))))) = (𝑀 + 1))))
483474, 482mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ ⟨(𝑀 + 1), 𝐾⟩ PolyAP 𝐻)
484483orcd 872 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ (πΊβ€˜π΅) ∈ ran 𝐽) β†’ (⟨(𝑀 + 1), 𝐾⟩ PolyAP 𝐻 ∨ (𝐾 + 1) MonoAP 𝐺))
48537, 484pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ (⟨(𝑀 + 1), 𝐾⟩ PolyAP 𝐻 ∨ (𝐾 + 1) MonoAP 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  β™―chash 14290  APcvdwa 16898   MonoAP cvdwm 16899   PolyAP cvdwp 16900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-hash 14291  df-vdwap 16901  df-vdwmc 16902  df-vdwpc 16903
This theorem is referenced by:  vdwlem7  16920
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