MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem12 16257
Description: Lemma for rpnnen2 16258. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem12 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem12
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7463 . 2 (0[,]1) ∈ V
2 elpwi 4611 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑦 ⊆ ℕ)
3 nnuz 12918 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
43sumeq1i 15729 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘)
5 1nn 12274 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem6 16251 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
85, 7mpan2 691 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
94, 8eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
102, 9syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
11 1zzd 12645 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 1 ∈ ℤ)
12 eqidd 2735 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑦)‘𝑘))
136rpnnen2lem2 16247 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ ℕ → (𝐹𝑦):ℕ⟶ℝ)
142, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹𝑦):ℕ⟶ℝ)
1514ffvelcdmda 7103 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
166rpnnen2lem5 16250 . . . . . 6 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝐹𝑦)) ∈ dom ⇝ )
172, 5, 16sylancl 586 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → seq1( + , (𝐹𝑦)) ∈ dom ⇝ )
18 ssid 4017 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℕ
196rpnnen2lem4 16249 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
2018, 19mp3an2 1448 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
2120simpld 494 . . . . . 6 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
222, 21sylan 580 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
233, 11, 12, 15, 17, 22isumge0 15798 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
24 halfre 12477 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
26 1re 11258 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 1 ∈ ℝ)
286rpnnen2lem7 16252 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
2918, 5, 28mp3an23 1452 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
302, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
31 eqid 2734 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
32 eqidd 2735 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
33 elnnuz 12919 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
346rpnnen2lem2 16247 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
3518, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ
3635ffvelcdmi 7102 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℝ)
3736recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
3833, 37sylbir 235 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
3938adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
406rpnnen2lem3 16248 . . . . . . . . 9 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2))
4231, 11, 32, 39, 41isumclim 15789 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = (1 / 2))
4330, 42breqtrd 5173 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ (1 / 2))
444, 43eqbrtrid 5182 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ (1 / 2))
45 halflt1 12481 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
4624, 26, 45ltleii 11381 . . . . . 6 (1 / 2) ≤ 1
4746a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (1 / 2) ≤ 1)
4810, 25, 27, 44, 47letrd 11415 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ 1)
49 elicc01 13502 . . . 4 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ (0[,]1) ↔ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ 1))
5010, 23, 48, 49syl3anbrc 1342 . . 3 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ (0[,]1))
51 elpwi 4611 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑧 ⊆ ℕ)
52 ssdifss 4149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ ℕ → (𝑦𝑧) ⊆ ℕ)
53 ssdifss 4149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ⊆ ℕ → (𝑧𝑦) ⊆ ℕ)
54 unss 4199 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝑧) ⊆ ℕ ∧ (𝑧𝑦) ⊆ ℕ) ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
5554biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝑧) ⊆ ℕ ∧ (𝑧𝑦) ⊆ ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
5652, 53, 55syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
572, 51, 56syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
58 eqss 4010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑦𝑧𝑧𝑦))
59 ssdif0 4371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝑧 ↔ (𝑦𝑧) = ∅)
60 ssdif0 4371 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑦 ↔ (𝑧𝑦) = ∅)
6159, 60anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑧𝑧𝑦) ↔ ((𝑦𝑧) = ∅ ∧ (𝑧𝑦) = ∅))
62 un00 4450 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝑧) = ∅ ∧ (𝑧𝑦) = ∅) ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) = ∅)
6358, 61, 623bitri 297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) = ∅)
6463necon3bii 2990 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑧 ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅)
6564biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑧 → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅)
66 nnwo 12952 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ ∧ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛)
6757, 65, 66syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑦𝑧) → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛)
6867ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛))
6957sselda 3994 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) → 𝑚 ∈ ℕ)
70 df-ral 3059 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 ↔ ∀𝑛(𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛))
71 con34b 316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))))
72 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ↔ (𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧))
73 eldif 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦))
7472, 73orbi12i 914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ∨ 𝑛 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ((𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧) ∨ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦)))
75 elun 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ∨ 𝑛 ∈ (𝑧𝑦)))
76 xor 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝑛𝑦𝑛𝑧) ↔ ((𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧) ∨ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦)))
7774, 75, 763bitr4ri 304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑛𝑦𝑛𝑧) ↔ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)))
7877con1bii 356 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑛𝑦𝑛𝑧))
7978imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑚𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8071, 79bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8180albii 1815 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛(𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ ∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8270, 81bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 ↔ ∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
83 alral 3072 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
84 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
85 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
86 ltnle 11337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑛))
8784, 85, 86syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑛))
8887imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
8988ralbidva 3173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9083, 89imbitrrid 246 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9182, 90biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9269, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) → (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9392reximdva 3165 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9468, 93syld 47 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
95 rexun 4205 . . . . . . 7 (∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9694, 95imbitrdi 251 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))))
97 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑦 ⊆ ℕ)
98 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑧 ⊆ ℕ)
99 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑚 ∈ (𝑦𝑧))
100 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
101 biid 261 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
1026, 97, 98, 99, 100, 101rpnnen2lem11 16256 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
103102rexlimdvaa 3153 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
104 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑧 ⊆ ℕ)
105 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑦 ⊆ ℕ)
106 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑚 ∈ (𝑧𝑦))
107 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
108 bicom 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑧𝑛𝑦) ↔ (𝑛𝑦𝑛𝑧))
109108imbi2i 336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)) ↔ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
110109ralbii 3090 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
111107, 110sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)))
112 eqcom 2741 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
1136, 104, 105, 106, 111, 112rpnnen2lem11 16256 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
114113rexlimdvaa 3153 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
115103, 114jaod 859 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → ((∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
1162, 51, 115syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → ((∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
11796, 116syld 47 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
118117necon4ad 2956 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) → 𝑦 = 𝑧))
119 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
120119fveq1d 6908 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑧)‘𝑘))
121120sumeq2sdv 15735 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
122118, 121impbid1 225 . . 3 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ 𝑦 = 𝑧))
12350, 122dom2 9033 . 2 ((0[,]1) ∈ V → 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1))
1241, 123ax-mp 5 1 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  wal 1534   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cdom 8981  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  3c3 12319  cuz 12875  [,]cicc 13386  seqcseq 14038  cexp 14098  cli 15516  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  rpnnen2  16258
  Copyright terms: Public domain W3C validator