MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem12 16114
Description: Lemma for rpnnen2 16115. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem12 𝒫 β„• β‰Ό (0[,]1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem12
Dummy variables π‘š 𝑦 𝑧 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7395 . 2 (0[,]1) ∈ V
2 elpwi 4572 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
3 nnuz 12813 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
43sumeq1i 15590 . . . . . 6 Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜)
5 1nn 12171 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝒫 β„• ↦ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(𝑛 ∈ π‘₯, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem6 16108 . . . . . . 7 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
85, 7mpan2 690 . . . . . 6 (𝑦 βŠ† β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
94, 8eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝑦 βŠ† β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
102, 9syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
11 1zzd 12541 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ 1 ∈ β„€)
12 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
136rpnnen2lem2 16104 . . . . . . 7 (𝑦 βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜π‘¦):β„•βŸΆβ„)
142, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ (πΉβ€˜π‘¦):β„•βŸΆβ„)
1514ffvelcdmda 7040 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
166rpnnen2lem5 16107 . . . . . 6 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ seq1( + , (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
172, 5, 16sylancl 587 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ seq1( + , (πΉβ€˜π‘¦)) ∈ dom ⇝ )
18 ssid 3971 . . . . . . . 8 β„• βŠ† β„•
196rpnnen2lem4 16106 . . . . . . . 8 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ β„• βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
2018, 19mp3an2 1450 . . . . . . 7 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∧ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ≀ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜)))
2120simpld 496 . . . . . 6 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
222, 21sylan 581 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
233, 11, 12, 15, 17, 22isumge0 15658 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
24 halfre 12374 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
26 1re 11162 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
286rpnnen2lem7 16109 . . . . . . . . 9 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ β„• βŠ† β„• ∧ 1 ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜))
2918, 5, 28mp3an23 1454 . . . . . . . 8 (𝑦 βŠ† β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜))
302, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ≀ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜))
31 eqid 2737 . . . . . . . 8 (β„€β‰₯β€˜1) = (β„€β‰₯β€˜1)
32 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜))
33 elnnuz 12814 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↔ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
346rpnnen2lem2 16104 . . . . . . . . . . . . 13 (β„• βŠ† β„• β†’ (πΉβ€˜β„•):β„•βŸΆβ„)
3518, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (πΉβ€˜β„•):β„•βŸΆβ„
3635ffvelcdmi 7039 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
3736recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3833, 37sylbir 234 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3938adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)) β†’ ((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
406rpnnen2lem3 16105 . . . . . . . . 9 seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ⇝ (1 / 2)
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ seq1( + , (πΉβ€˜β„•)) ⇝ (1 / 2))
4231, 11, 32, 39, 41isumclim 15649 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜β„•)β€˜π‘˜) = (1 / 2))
4330, 42breqtrd 5136 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ≀ (1 / 2))
444, 43eqbrtrid 5145 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ≀ (1 / 2))
45 halflt1 12378 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
4624, 26, 45ltleii 11285 . . . . . 6 (1 / 2) ≀ 1
4746a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ (1 / 2) ≀ 1)
4810, 25, 27, 44, 47letrd 11319 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ≀ 1)
49 elicc01 13390 . . . 4 (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∈ (0[,]1) ↔ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ≀ 1))
5010, 23, 48, 49syl3anbrc 1344 . . 3 (𝑦 ∈ 𝒫 β„• β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) ∈ (0[,]1))
51 elpwi 4572 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 β„• β†’ 𝑧 βŠ† β„•)
52 ssdifss 4100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 βŠ† β„• β†’ (𝑦 βˆ– 𝑧) βŠ† β„•)
53 ssdifss 4100 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 βŠ† β„• β†’ (𝑧 βˆ– 𝑦) βŠ† β„•)
54 unss 4149 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 βˆ– 𝑧) βŠ† β„• ∧ (𝑧 βˆ– 𝑦) βŠ† β„•) ↔ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) βŠ† β„•)
5554biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 βˆ– 𝑧) βŠ† β„• ∧ (𝑧 βˆ– 𝑦) βŠ† β„•) β†’ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) βŠ† β„•)
5652, 53, 55syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) β†’ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) βŠ† β„•)
572, 51, 56syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) β†’ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) βŠ† β„•)
58 eqss 3964 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑦 βŠ† 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦))
59 ssdif0 4328 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 βŠ† 𝑧 ↔ (𝑦 βˆ– 𝑧) = βˆ…)
60 ssdif0 4328 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 βŠ† 𝑦 ↔ (𝑧 βˆ– 𝑦) = βˆ…)
6159, 60anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 βŠ† 𝑧 ∧ 𝑧 βŠ† 𝑦) ↔ ((𝑦 βˆ– 𝑧) = βˆ… ∧ (𝑧 βˆ– 𝑦) = βˆ…))
62 un00 4407 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 βˆ– 𝑧) = βˆ… ∧ (𝑧 βˆ– 𝑦) = βˆ…) ↔ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) = βˆ…)
6358, 61, 623bitri 297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 ↔ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) = βˆ…)
6463necon3bii 2997 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 β‰  𝑧 ↔ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) β‰  βˆ…)
6564biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑦 β‰  𝑧 β†’ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) β‰  βˆ…)
66 nnwo 12845 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) βŠ† β„• ∧ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))π‘š ≀ 𝑛)
6757, 65, 66syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) ∧ 𝑦 β‰  𝑧) β†’ βˆƒπ‘š ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))π‘š ≀ 𝑛)
6867ex 414 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) β†’ (𝑦 β‰  𝑧 β†’ βˆƒπ‘š ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))π‘š ≀ 𝑛))
6957sselda 3949 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) ∧ π‘š ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))) β†’ π‘š ∈ β„•)
70 df-ral 3066 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))π‘š ≀ 𝑛 ↔ βˆ€π‘›(𝑛 ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) β†’ π‘š ≀ 𝑛))
71 con34b 316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) β†’ π‘š ≀ 𝑛) ↔ (Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ Β¬ 𝑛 ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))))
72 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧) ↔ (𝑛 ∈ 𝑦 ∧ Β¬ 𝑛 ∈ 𝑧))
73 eldif 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦) ↔ (𝑛 ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑛 ∈ 𝑦))
7472, 73orbi12i 914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧) ∨ 𝑛 ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦)) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑦 ∧ Β¬ 𝑛 ∈ 𝑧) ∨ (𝑛 ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑛 ∈ 𝑦)))
75 elun 4113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) ↔ (𝑛 ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧) ∨ 𝑛 ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦)))
76 xor 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧) ↔ ((𝑛 ∈ 𝑦 ∧ Β¬ 𝑛 ∈ 𝑧) ∨ (𝑛 ∈ 𝑧 ∧ Β¬ 𝑛 ∈ 𝑦)))
7774, 75, 763bitr4ri 304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧) ↔ 𝑛 ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)))
7877con1bii 357 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑛 ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) ↔ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))
7978imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ Β¬ 𝑛 ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))) ↔ (Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))
8071, 79bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) β†’ π‘š ≀ 𝑛) ↔ (Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))
8180albii 1822 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘›(𝑛 ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦)) β†’ π‘š ≀ 𝑛) ↔ βˆ€π‘›(Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))
8270, 81bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))π‘š ≀ 𝑛 ↔ βˆ€π‘›(Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))
83 alral 3079 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘›(Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))
84 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
85 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
86 ltnle 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ ℝ) β†’ (𝑛 < π‘š ↔ Β¬ π‘š ≀ 𝑛))
8784, 85, 86syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 < π‘š ↔ Β¬ π‘š ≀ 𝑛))
8887imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘š ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) ↔ (Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))))
8988ralbidva 3173 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))))
9083, 89syl5ibr 246 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘›(Β¬ π‘š ≀ 𝑛 β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))))
9182, 90biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))π‘š ≀ 𝑛 β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))))
9269, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) ∧ π‘š ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))) β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))π‘š ≀ 𝑛 β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))))
9392reximdva 3166 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))βˆ€π‘› ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))π‘š ≀ 𝑛 β†’ βˆƒπ‘š ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))))
9468, 93syld 47 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) β†’ (𝑦 β‰  𝑧 β†’ βˆƒπ‘š ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))))
95 rexun 4155 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘š ∈ ((𝑦 βˆ– 𝑧) βˆͺ (𝑧 βˆ– 𝑦))βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) ↔ (βˆƒπ‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧)βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦)βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))))
9694, 95syl6ib 251 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) β†’ (𝑦 β‰  𝑧 β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧)βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦)βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))))
97 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
98 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ 𝑧 βŠ† β„•)
99 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ π‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧))
100 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))
101 biid 261 . . . . . . . . . 10 (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
1026, 97, 98, 99, 100, 101rpnnen2lem11 16113 . . . . . . . . 9 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ Β¬ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
103102rexlimdvaa 3154 . . . . . . . 8 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧)βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) β†’ Β¬ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜)))
104 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ 𝑧 βŠ† β„•)
105 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ 𝑦 βŠ† β„•)
106 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ π‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦))
107 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))
108 bicom 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ 𝑧 ↔ 𝑛 ∈ 𝑦) ↔ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))
109108imbi2i 336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑧 ↔ 𝑛 ∈ 𝑦)) ↔ (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))
110109ralbii 3097 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑧 ↔ 𝑛 ∈ 𝑦)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))
111107, 110sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑧 ↔ 𝑛 ∈ 𝑦)))
112 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) ↔ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜))
1136, 104, 105, 106, 111, 112rpnnen2lem11 16113 . . . . . . . . 9 (((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) ∧ (π‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦) ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)))) β†’ Β¬ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
114113rexlimdvaa 3154 . . . . . . . 8 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦)βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) β†’ Β¬ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜)))
115103, 114jaod 858 . . . . . . 7 ((𝑦 βŠ† β„• ∧ 𝑧 βŠ† β„•) β†’ ((βˆƒπ‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧)βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦)βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))) β†’ Β¬ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜)))
1162, 51, 115syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) β†’ ((βˆƒπ‘š ∈ (𝑦 βˆ– 𝑧)βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧)) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (𝑧 βˆ– 𝑦)βˆ€π‘› ∈ β„• (𝑛 < π‘š β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↔ 𝑛 ∈ 𝑧))) β†’ Β¬ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜)))
11796, 116syld 47 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) β†’ (𝑦 β‰  𝑧 β†’ Β¬ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜)))
118117necon4ad 2963 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) β†’ 𝑦 = 𝑧))
119 fveq2 6847 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘§))
120119fveq1d 6849 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
121120sumeq2sdv 15596 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜))
122118, 121impbid1 224 . . 3 ((𝑦 ∈ 𝒫 β„• ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 β„•) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘¦)β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘˜) ↔ 𝑦 = 𝑧))
12350, 122dom2 8942 . 2 ((0[,]1) ∈ V β†’ 𝒫 β„• β‰Ό (0[,]1))
1241, 123ax-mp 5 1 𝒫 β„• β‰Ό (0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  π’« cpw 4565   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   β‰Ό cdom 8888  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196   ≀ cle 11197   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  β„€β‰₯cuz 12770  [,]cicc 13274  seqcseq 13913  β†‘cexp 13974   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  rpnnen2  16115
  Copyright terms: Public domain W3C validator