MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem12 16107
Description: Lemma for rpnnen2 16108. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem12 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem12
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7390 . 2 (0[,]1) ∈ V
2 elpwi 4567 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑦 ⊆ ℕ)
3 nnuz 12806 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
43sumeq1i 15583 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘)
5 1nn 12164 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem6 16101 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
85, 7mpan2 689 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
94, 8eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
102, 9syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
11 1zzd 12534 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 1 ∈ ℤ)
12 eqidd 2737 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑦)‘𝑘))
136rpnnen2lem2 16097 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ ℕ → (𝐹𝑦):ℕ⟶ℝ)
142, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹𝑦):ℕ⟶ℝ)
1514ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
166rpnnen2lem5 16100 . . . . . 6 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝐹𝑦)) ∈ dom ⇝ )
172, 5, 16sylancl 586 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → seq1( + , (𝐹𝑦)) ∈ dom ⇝ )
18 ssid 3966 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℕ
196rpnnen2lem4 16099 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
2018, 19mp3an2 1449 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
2120simpld 495 . . . . . 6 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
222, 21sylan 580 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
233, 11, 12, 15, 17, 22isumge0 15651 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
24 halfre 12367 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
26 1re 11155 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 1 ∈ ℝ)
286rpnnen2lem7 16102 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
2918, 5, 28mp3an23 1453 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
302, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
31 eqid 2736 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
32 eqidd 2737 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
33 elnnuz 12807 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
346rpnnen2lem2 16097 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
3518, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ
3635ffvelcdmi 7034 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℝ)
3736recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
3833, 37sylbir 234 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
3938adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
406rpnnen2lem3 16098 . . . . . . . . 9 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2))
4231, 11, 32, 39, 41isumclim 15642 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = (1 / 2))
4330, 42breqtrd 5131 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ (1 / 2))
444, 43eqbrtrid 5140 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ (1 / 2))
45 halflt1 12371 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
4624, 26, 45ltleii 11278 . . . . . 6 (1 / 2) ≤ 1
4746a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (1 / 2) ≤ 1)
4810, 25, 27, 44, 47letrd 11312 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ 1)
49 elicc01 13383 . . . 4 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ (0[,]1) ↔ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ 1))
5010, 23, 48, 49syl3anbrc 1343 . . 3 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ (0[,]1))
51 elpwi 4567 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑧 ⊆ ℕ)
52 ssdifss 4095 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ ℕ → (𝑦𝑧) ⊆ ℕ)
53 ssdifss 4095 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ⊆ ℕ → (𝑧𝑦) ⊆ ℕ)
54 unss 4144 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝑧) ⊆ ℕ ∧ (𝑧𝑦) ⊆ ℕ) ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
5554biimpi 215 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝑧) ⊆ ℕ ∧ (𝑧𝑦) ⊆ ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
5652, 53, 55syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
572, 51, 56syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
58 eqss 3959 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑦𝑧𝑧𝑦))
59 ssdif0 4323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝑧 ↔ (𝑦𝑧) = ∅)
60 ssdif0 4323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑦 ↔ (𝑧𝑦) = ∅)
6159, 60anbi12i 627 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑧𝑧𝑦) ↔ ((𝑦𝑧) = ∅ ∧ (𝑧𝑦) = ∅))
62 un00 4402 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝑧) = ∅ ∧ (𝑧𝑦) = ∅) ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) = ∅)
6358, 61, 623bitri 296 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) = ∅)
6463necon3bii 2996 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑧 ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅)
6564biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑧 → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅)
66 nnwo 12838 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ ∧ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛)
6757, 65, 66syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑦𝑧) → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛)
6867ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛))
6957sselda 3944 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) → 𝑚 ∈ ℕ)
70 df-ral 3065 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 ↔ ∀𝑛(𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛))
71 con34b 315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))))
72 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ↔ (𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧))
73 eldif 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦))
7472, 73orbi12i 913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ∨ 𝑛 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ((𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧) ∨ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦)))
75 elun 4108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ∨ 𝑛 ∈ (𝑧𝑦)))
76 xor 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝑛𝑦𝑛𝑧) ↔ ((𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧) ∨ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦)))
7774, 75, 763bitr4ri 303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑛𝑦𝑛𝑧) ↔ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)))
7877con1bii 356 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑛𝑦𝑛𝑧))
7978imbi2i 335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑚𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8071, 79bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8180albii 1821 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛(𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ ∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8270, 81bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 ↔ ∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
83 alral 3078 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
84 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
85 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
86 ltnle 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑛))
8784, 85, 86syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑛))
8887imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
8988ralbidva 3172 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9083, 89syl5ibr 245 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9182, 90biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9269, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) → (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9392reximdva 3165 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9468, 93syld 47 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
95 rexun 4150 . . . . . . 7 (∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9694, 95syl6ib 250 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))))
97 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑦 ⊆ ℕ)
98 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑧 ⊆ ℕ)
99 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑚 ∈ (𝑦𝑧))
100 simprr 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
101 biid 260 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
1026, 97, 98, 99, 100, 101rpnnen2lem11 16106 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
103102rexlimdvaa 3153 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
104 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑧 ⊆ ℕ)
105 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑦 ⊆ ℕ)
106 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑚 ∈ (𝑧𝑦))
107 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
108 bicom 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑧𝑛𝑦) ↔ (𝑛𝑦𝑛𝑧))
109108imbi2i 335 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)) ↔ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
110109ralbii 3096 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
111107, 110sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)))
112 eqcom 2743 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
1136, 104, 105, 106, 111, 112rpnnen2lem11 16106 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
114113rexlimdvaa 3153 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
115103, 114jaod 857 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → ((∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
1162, 51, 115syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → ((∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
11796, 116syld 47 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
118117necon4ad 2962 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) → 𝑦 = 𝑧))
119 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
120119fveq1d 6844 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑧)‘𝑘))
121120sumeq2sdv 15589 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
122118, 121impbid1 224 . . 3 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ 𝑦 = 𝑧))
12350, 122dom2 8935 . 2 ((0[,]1) ∈ V → 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1))
1241, 123ax-mp 5 1 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cdom 8881  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  cuz 12763  [,]cicc 13267  seqcseq 13906  cexp 13967  cli 15366  Σcsu 15570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571
This theorem is referenced by:  rpnnen2  16108
  Copyright terms: Public domain W3C validator