MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem12 16261
Description: Lemma for rpnnen2 16262. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem12 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem12
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7464 . 2 (0[,]1) ∈ V
2 elpwi 4607 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑦 ⊆ ℕ)
3 nnuz 12921 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
43sumeq1i 15733 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘)
5 1nn 12277 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem6 16255 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
85, 7mpan2 691 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
94, 8eqeltrid 2845 . . . . 5 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
102, 9syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
11 1zzd 12648 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 1 ∈ ℤ)
12 eqidd 2738 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑦)‘𝑘))
136rpnnen2lem2 16251 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ ℕ → (𝐹𝑦):ℕ⟶ℝ)
142, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹𝑦):ℕ⟶ℝ)
1514ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
166rpnnen2lem5 16254 . . . . . 6 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝐹𝑦)) ∈ dom ⇝ )
172, 5, 16sylancl 586 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → seq1( + , (𝐹𝑦)) ∈ dom ⇝ )
18 ssid 4006 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℕ
196rpnnen2lem4 16253 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
2018, 19mp3an2 1451 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
2120simpld 494 . . . . . 6 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
222, 21sylan 580 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
233, 11, 12, 15, 17, 22isumge0 15802 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
24 halfre 12480 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
26 1re 11261 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 1 ∈ ℝ)
286rpnnen2lem7 16256 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
2918, 5, 28mp3an23 1455 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
302, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
31 eqid 2737 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
32 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
33 elnnuz 12922 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
346rpnnen2lem2 16251 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
3518, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ
3635ffvelcdmi 7103 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℝ)
3736recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
3833, 37sylbir 235 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
3938adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
406rpnnen2lem3 16252 . . . . . . . . 9 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2))
4231, 11, 32, 39, 41isumclim 15793 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = (1 / 2))
4330, 42breqtrd 5169 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ (1 / 2))
444, 43eqbrtrid 5178 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ (1 / 2))
45 halflt1 12484 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
4624, 26, 45ltleii 11384 . . . . . 6 (1 / 2) ≤ 1
4746a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (1 / 2) ≤ 1)
4810, 25, 27, 44, 47letrd 11418 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ 1)
49 elicc01 13506 . . . 4 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ (0[,]1) ↔ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ 1))
5010, 23, 48, 49syl3anbrc 1344 . . 3 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ (0[,]1))
51 elpwi 4607 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑧 ⊆ ℕ)
52 ssdifss 4140 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ ℕ → (𝑦𝑧) ⊆ ℕ)
53 ssdifss 4140 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ⊆ ℕ → (𝑧𝑦) ⊆ ℕ)
54 unss 4190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝑧) ⊆ ℕ ∧ (𝑧𝑦) ⊆ ℕ) ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
5554biimpi 216 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝑧) ⊆ ℕ ∧ (𝑧𝑦) ⊆ ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
5652, 53, 55syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
572, 51, 56syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
58 eqss 3999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑦𝑧𝑧𝑦))
59 ssdif0 4366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝑧 ↔ (𝑦𝑧) = ∅)
60 ssdif0 4366 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑦 ↔ (𝑧𝑦) = ∅)
6159, 60anbi12i 628 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑧𝑧𝑦) ↔ ((𝑦𝑧) = ∅ ∧ (𝑧𝑦) = ∅))
62 un00 4445 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝑧) = ∅ ∧ (𝑧𝑦) = ∅) ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) = ∅)
6358, 61, 623bitri 297 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) = ∅)
6463necon3bii 2993 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑧 ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅)
6564biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑧 → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅)
66 nnwo 12955 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ ∧ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛)
6757, 65, 66syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑦𝑧) → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛)
6867ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛))
6957sselda 3983 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) → 𝑚 ∈ ℕ)
70 df-ral 3062 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 ↔ ∀𝑛(𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛))
71 con34b 316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))))
72 eldif 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ↔ (𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧))
73 eldif 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦))
7472, 73orbi12i 915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ∨ 𝑛 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ((𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧) ∨ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦)))
75 elun 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ∨ 𝑛 ∈ (𝑧𝑦)))
76 xor 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝑛𝑦𝑛𝑧) ↔ ((𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧) ∨ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦)))
7774, 75, 763bitr4ri 304 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑛𝑦𝑛𝑧) ↔ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)))
7877con1bii 356 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑛𝑦𝑛𝑧))
7978imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑚𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8071, 79bitri 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8180albii 1819 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛(𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ ∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8270, 81bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 ↔ ∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
83 alral 3075 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
84 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
85 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
86 ltnle 11340 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑛))
8784, 85, 86syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑛))
8887imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
8988ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9083, 89imbitrrid 246 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9182, 90biimtrid 242 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9269, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) → (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9392reximdva 3168 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9468, 93syld 47 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
95 rexun 4196 . . . . . . 7 (∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9694, 95imbitrdi 251 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))))
97 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑦 ⊆ ℕ)
98 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑧 ⊆ ℕ)
99 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑚 ∈ (𝑦𝑧))
100 simprr 773 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
101 biid 261 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
1026, 97, 98, 99, 100, 101rpnnen2lem11 16260 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
103102rexlimdvaa 3156 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
104 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑧 ⊆ ℕ)
105 simpll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑦 ⊆ ℕ)
106 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑚 ∈ (𝑧𝑦))
107 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
108 bicom 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑧𝑛𝑦) ↔ (𝑛𝑦𝑛𝑧))
109108imbi2i 336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)) ↔ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
110109ralbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
111107, 110sylibr 234 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)))
112 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
1136, 104, 105, 106, 111, 112rpnnen2lem11 16260 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
114113rexlimdvaa 3156 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
115103, 114jaod 860 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → ((∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
1162, 51, 115syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → ((∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
11796, 116syld 47 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
118117necon4ad 2959 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) → 𝑦 = 𝑧))
119 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
120119fveq1d 6908 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑧)‘𝑘))
121120sumeq2sdv 15739 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
122118, 121impbid1 225 . . 3 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ 𝑦 = 𝑧))
12350, 122dom2 9035 . 2 ((0[,]1) ∈ V → 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1))
1241, 123ax-mp 5 1 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cdom 8983  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  cuz 12878  [,]cicc 13390  seqcseq 14042  cexp 14102  cli 15520  Σcsu 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  rpnnen2  16262
  Copyright terms: Public domain W3C validator