MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw3fi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw3fi1 20871
Description: Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a finite sum of (at least two) products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
pmatcollpw.c 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpw.m = ( ·𝑠𝐶)
pmatcollpw.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpw.x 𝑋 = (var1𝑅)
pmatcollpw.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
pmatcollpw3.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pmatcollpw3.d 𝐷 = (Base‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   ,𝑛   𝐵,𝑠,𝑛   𝐶,𝑛   𝑀,𝑠   𝑁,𝑠   𝑅,𝑠   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓,𝑛   𝐷,𝑓   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑋   ,𝑓   ,𝑓,𝑠   𝐷,𝑛   𝐴,𝑓,𝑛,𝑠   𝐶,𝑠   𝐷,𝑠   𝑇,𝑠   𝑋,𝑠   ,𝑠   ,𝑠
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓,𝑠)   𝑇(𝑛)   (𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw.p . . 3 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 pmatcollpw.c . . 3 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3 pmatcollpw.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
4 pmatcollpw.m . . 3 = ( ·𝑠𝐶)
5 pmatcollpw.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6 pmatcollpw.x . . 3 𝑋 = (var1𝑅)
7 pmatcollpw.t . . 3 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
8 pmatcollpw3.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9 pmatcollpw3.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐴)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pmatcollpw3fi 20868 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))))
11 df-n0 11538 . . . . 5 0 = (ℕ ∪ {0})
1211rexeqi 3290 . . . 4 (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) ↔ ∃𝑠 ∈ (ℕ ∪ {0})∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))))
13 rexun 3954 . . . 4 (∃𝑠 ∈ (ℕ ∪ {0})∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) ↔ (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) ∨ ∃𝑠 ∈ {0}∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
1412, 13bitri 266 . . 3 (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) ↔ (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) ∨ ∃𝑠 ∈ {0}∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
15 ax-1 6 . . . 4 (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
16 c0ex 10286 . . . . . 6 0 ∈ V
17 oveq2 6849 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (0...𝑠) = (0...0))
18 0z 11634 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℤ
19 fzsn 12589 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
2018, 19mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (0...0) = {0})
2117, 20eqtrd 2798 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → (0...𝑠) = {0})
2221oveq2d 6857 . . . . . . 7 (𝑠 = 0 → (𝐷𝑚 (0...𝑠)) = (𝐷𝑚 {0}))
2321mpteq1d 4896 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 0 → (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))
2423oveq2d 6857 . . . . . . . 8 (𝑠 = 0 → (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))))
2524eqeq2d 2774 . . . . . . 7 (𝑠 = 0 → (𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) ↔ 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
2622, 25rexeqbidv 3300 . . . . . 6 (𝑠 = 0 → (∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 {0})𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
2716, 26rexsn 4379 . . . . 5 (∃𝑠 ∈ {0}∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 {0})𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pmatcollpw3fi1lem2 20870 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → (∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 {0})𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
2928com12 32 . . . . 5 (∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 {0})𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
3027, 29sylbi 208 . . . 4 (∃𝑠 ∈ {0}∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
3115, 30jaoi 883 . . 3 ((∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) ∨ ∃𝑠 ∈ {0}∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
3214, 31sylbi 208 . 2 (∃𝑠 ∈ ℕ0𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛)))))))
3310, 32mpcom 38 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷𝑚 (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 𝑋) (𝑇‘(𝑓𝑛))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wrex 3055  cun 3729  {csn 4333  cmpt 4887  cfv 6067  (class class class)co 6841  𝑚 cmap 8059  Fincfn 8159  0cc0 10188  cn 11273  0cn0 11537  cz 11623  ...cfz 12532  Basecbs 16131   ·𝑠 cvsca 16219   Σg cgsu 16368  .gcmg 17808  mulGrpcmgp 18755  CRingccrg 18814  var1cv1 19818  Poly1cpl1 19819   Mat cmat 20488   matToPolyMat cmat2pmat 20787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-inf2 8752  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-ot 4342  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-iin 4678  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-se 5236  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-isom 6076  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-of 7094  df-ofr 7095  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-supp 7497  df-cur 7595  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-2o 7764  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-ixp 8113  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-fsupp 8482  df-sup 8554  df-oi 8621  df-card 9015  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-3 11335  df-4 11336  df-5 11337  df-6 11338  df-7 11339  df-8 11340  df-9 11341  df-n0 11538  df-z 11624  df-dec 11740  df-uz 11886  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-seq 13008  df-hash 13321  df-struct 16133  df-ndx 16134  df-slot 16135  df-base 16137  df-sets 16138  df-ress 16139  df-plusg 16228  df-mulr 16229  df-sca 16231  df-vsca 16232  df-ip 16233  df-tset 16234  df-ple 16235  df-ds 16237  df-hom 16239  df-cco 16240  df-0g 16369  df-gsum 16370  df-prds 16375  df-pws 16377  df-mre 16513  df-mrc 16514  df-acs 16516  df-mgm 17509  df-sgrp 17551  df-mnd 17562  df-mhm 17602  df-submnd 17603  df-grp 17693  df-minusg 17694  df-sbg 17695  df-mulg 17809  df-subg 17856  df-ghm 17923  df-cntz 18014  df-cmn 18460  df-abl 18461  df-mgp 18756  df-ur 18768  df-srg 18772  df-ring 18815  df-cring 18816  df-subrg 19046  df-lmod 19133  df-lss 19201  df-sra 19445  df-rgmod 19446  df-assa 19585  df-ascl 19587  df-psr 19629  df-mvr 19630  df-mpl 19631  df-opsr 19633  df-psr1 19822  df-vr1 19823  df-ply1 19824  df-coe1 19825  df-dsmm 20351  df-frlm 20366  df-mamu 20465  df-mat 20489  df-mat2pmat 20790  df-decpmat 20846
This theorem is referenced by:  cpmadugsumfi  20960
  Copyright terms: Public domain W3C validator