Theorem pmatcollpw3fi1 22975

Description: Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a finite sum of (at least two) products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmatcollpw.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pmatcollpw.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pmatcollpw.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pmatcollpw.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
pmatcollpw.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
pmatcollpw.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
pmatcollpw.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
pmatcollpw3.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pmatcollpw3.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pmatcollpw3fi1	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛   𝑅,𝑛   𝑛,𝑋   ↑ ,𝑛   𝐵,𝑠,𝑛   𝐶,𝑛   𝑀,𝑠   𝑁,𝑠   𝑅,𝑠   𝐵,𝑓   𝐶,𝑓,𝑛   𝐷,𝑓   𝑓,𝑀   𝑓,𝑁   𝑅,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑋   ↑ ,𝑓   ∗ ,𝑓,𝑠   𝐷,𝑛   𝐴,𝑓,𝑛,𝑠   𝐶,𝑠   𝐷,𝑠   𝑇,𝑠   𝑋,𝑠   ↑ ,𝑠   ∗ ,𝑠

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑓, 𝑠)   𝑇(𝑛)   ∗ (𝑛)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmatcollpw.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		pmatcollpw.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
3		pmatcollpw.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
4		pmatcollpw.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
5		pmatcollpw.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6		pmatcollpw.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
7		pmatcollpw.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
8		pmatcollpw3.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		pmatcollpw3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐴)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pmatcollpw3fi 22972	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))))
11		df-n0 12523	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
12	11	rexeqi 3325	. . . 4 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) ↔ ∃𝑠 ∈ (ℕ ∪ {0})∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))))
13		rexun 4152	. . . 4 ⊢ (∃𝑠 ∈ (ℕ ∪ {0})∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) ↔ (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) ∨ ∃𝑠 ∈ {0}∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))))
14	12, 13	bitri 278	. . 3 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) ↔ (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) ∨ ∃𝑠 ∈ {0}∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))))
15		c0ex 11218	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
16		oveq2 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (0...𝑠) = (0...0))
17		0z 12620	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℤ
18		fzsn 13613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...0) = {0})
19	17, 18	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (0...0) = {0})
20	16, 19	eqtrd 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 0 → (0...𝑠) = {0})
21	20	oveq2d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐷 ↑m (0...𝑠)) = (𝐷 ↑m {0}))
22	20	mpteq1d 5206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))) = (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))
23	22	oveq2d 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))))
24	23	eqeq2d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) ↔ 𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))))
25	21, 24	rexeqbidv 3342	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 0 → (∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m {0})𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))))
26	15, 25	rexsn 4653	. . . . 5 ⊢ (∃𝑠 ∈ {0}∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) ↔ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m {0})𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))))
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	pmatcollpw3fi1lem2 22974	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m {0})𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))))
28	27	com12 33	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m {0})𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ {0} ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))))
29	26, 28	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (∃𝑠 ∈ {0}∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))))
30	29	jao1i 872	. . 3 ⊢ ((∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) ∨ ∃𝑠 ∈ {0}∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))))
31	14, 30	sylbi 220	. 2 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛)))))))
32	10, 31	mpcom 39	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (𝐷 ↑m (0...𝑠))𝑀 = (𝐶 Σg (𝑛 ∈ (0...𝑠) ↦ ((𝑛 ↑ 𝑋) ∗ (𝑇‘(𝑓‘𝑛))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   ∪ cun 3906  {csn 4594   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8952  0cc0 11118  ℕcn 12251  ℕ₀cn0 12522  ℤcz 12609  ...cfz 13553  Basecbs 17294   ·_𝑠 cvsca 17339   Σ_g cgsu 17518  ._gcmg 19158  mulGrpcmgp 20241  CRingccrg 20341  var₁cv1 22366  Poly₁cpl1 22367   Mat cmat 22594   matToPolyMat cmat2pmat 22891

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-ofr 7688  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-cur 8272  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-prds 17525  df-pws 17527  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18802  df-mnd 18818  df-mhm 18866  df-submnd 18867  df-grp 19028  df-minusg 19029  df-sbg 19030  df-mulg 19159  df-subg 19214  df-ghm 19309  df-cntz 19412  df-cmn 19877  df-abl 19878  df-mgp 20242  df-rng 20256  df-ur 20289  df-srg 20294  df-ring 20342  df-cring 20343  df-subrng 20675  df-subrg 20699  df-lmod 21013  df-lss 21083  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-dsmm 21912  df-frlm 21927  df-assa 22033  df-ascl 22035  df-psr 22089  df-mvr 22090  df-mpl 22091  df-opsr 22093  df-psr1 22370  df-vr1 22371  df-ply1 22372  df-coe1 22373  df-mamu 22578  df-mat 22595  df-mat2pmat 22894  df-decpmat 22950

This theorem is used by:  cpmadugsumfi  23064