MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw3fi1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pmatcollpw3fi1 22720
Description: Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a finite sum of (at least two) products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pmatcollpw.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pmatcollpw.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ถ)
pmatcollpw.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
pmatcollpw.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
pmatcollpw3.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pmatcollpw3.d ๐ท = (Baseโ€˜๐ด)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘›   ๐‘…,๐‘›   ๐‘›,๐‘‹   โ†‘ ,๐‘›   ๐ต,๐‘ ,๐‘›   ๐ถ,๐‘›   ๐‘€,๐‘    ๐‘,๐‘    ๐‘…,๐‘    ๐ต,๐‘“   ๐ถ,๐‘“,๐‘›   ๐ท,๐‘“   ๐‘“,๐‘€   ๐‘“,๐‘   ๐‘…,๐‘“   ๐‘‡,๐‘“   ๐‘“,๐‘‹   โ†‘ ,๐‘“   โˆ— ,๐‘“,๐‘    ๐ท,๐‘›   ๐ด,๐‘“,๐‘›,๐‘    ๐ถ,๐‘    ๐ท,๐‘    ๐‘‡,๐‘    ๐‘‹,๐‘    โ†‘ ,๐‘    โˆ— ,๐‘ 
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘“,๐‘ )   ๐‘‡(๐‘›)   โˆ— (๐‘›)
Proof of Theorem pmatcollpw3fi1
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 pmatcollpw.c . . 3 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
3 pmatcollpw.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 pmatcollpw.m . . 3 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ถ)
5 pmatcollpw.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
6 pmatcollpw.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
7 pmatcollpw.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
8 pmatcollpw3.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
9 pmatcollpw3.d . . 3 ๐ท = (Baseโ€˜๐ด)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pmatcollpw3fi 22717 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
11 df-n0 12503 . . . . 5 โ„•0 = (โ„• โˆช {0})
1211rexeqi 3314 . . . 4 (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ (โ„• โˆช {0})โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
13 rexun 4189 . . . 4 (โˆƒ๐‘  โˆˆ (โ„• โˆช {0})โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โˆจ โˆƒ๐‘  โˆˆ {0}โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
1412, 13bitri 274 . . 3 (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โˆจ โˆƒ๐‘  โˆˆ {0}โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
15 c0ex 11238 . . . . . 6 0 โˆˆ V
16 oveq2 7425 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 0 โ†’ (0...๐‘ ) = (0...0))
17 0z 12599 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
18 fzsn 13575 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (0...0) = {0})
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 0 โ†’ (0...0) = {0})
2016, 19eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐‘  = 0 โ†’ (0...๐‘ ) = {0})
2120oveq2d 7433 . . . . . . 7 (๐‘  = 0 โ†’ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ )) = (๐ท โ†‘m {0}))
2220mpteq1d 5243 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))
2322oveq2d 7433 . . . . . . . 8 (๐‘  = 0 โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
2423eqeq2d 2736 . . . . . . 7 (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
2521, 24rexeqbidv 3331 . . . . . 6 (๐‘  = 0 โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
2615, 25rexsn 4687 . . . . 5 (โˆƒ๐‘  โˆˆ {0}โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pmatcollpw3fi1lem2 22719 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
2827com12 32 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
2926, 28sylbi 216 . . . 4 (โˆƒ๐‘  โˆˆ {0}โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
3029jao1i 856 . . 3 ((โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โˆจ โˆƒ๐‘  โˆˆ {0}โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
3114, 30sylbi 216 . 2 (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
3210, 31mpcom 38 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   โˆช cun 3943  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5231  โ€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   โ†‘m cmap 8843  Fincfn 8962  0cc0 11138  โ„•cn 12242  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  ...cfz 13516  Basecbs 17179   ยท๐‘  cvsca 17236   ฮฃg cgsu 17421  .gcmg 19027  mulGrpcmgp 20078  CRingccrg 20178  var1cv1 22103  Poly1cpl1 22104   Mat cmat 22337   matToPolyMat cmat2pmat 22636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-cur 8271  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-srg 20131  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-dsmm 21670  df-frlm 21685  df-assa 21791  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22107  df-vr1 22108  df-ply1 22109  df-coe1 22110  df-mamu 22321  df-mat 22338  df-mat2pmat 22639  df-decpmat 22695
This theorem is referenced by:  cpmadugsumfi  22809
  Copyright terms: Public domain W3C validator