MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmatcollpw3fi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmatcollpw3fi1 21978
Description: Write a polynomial matrix (over a commutative ring) as a finite sum of (at least two) products of variable powers and constant matrices with scalar entries. (Contributed by AV, 6-Nov-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmatcollpw.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pmatcollpw.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
pmatcollpw.m โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ถ)
pmatcollpw.e โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
pmatcollpw.x ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
pmatcollpw.t ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
pmatcollpw3.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pmatcollpw3.d ๐ท = (Baseโ€˜๐ด)
Assertion
Ref Expression
pmatcollpw3fi1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
Distinct variable groups:   ๐ต,๐‘›   ๐‘›,๐‘€   ๐‘›,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘›   ๐‘…,๐‘›   ๐‘›,๐‘‹   โ†‘ ,๐‘›   ๐ต,๐‘ ,๐‘›   ๐ถ,๐‘›   ๐‘€,๐‘    ๐‘,๐‘    ๐‘…,๐‘    ๐ต,๐‘“   ๐ถ,๐‘“,๐‘›   ๐ท,๐‘“   ๐‘“,๐‘€   ๐‘“,๐‘   ๐‘…,๐‘“   ๐‘‡,๐‘“   ๐‘“,๐‘‹   โ†‘ ,๐‘“   โˆ— ,๐‘“,๐‘    ๐ท,๐‘›   ๐ด,๐‘“,๐‘›,๐‘    ๐ถ,๐‘    ๐ท,๐‘    ๐‘‡,๐‘    ๐‘‹,๐‘    โ†‘ ,๐‘    โˆ— ,๐‘ 
Allowed substitution hints:   ๐‘ƒ(๐‘“,๐‘ )   ๐‘‡(๐‘›)   โˆ— (๐‘›)

Proof of Theorem pmatcollpw3fi1
StepHypRef Expression
1 pmatcollpw.p . . 3 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
2 pmatcollpw.c . . 3 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
3 pmatcollpw.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
4 pmatcollpw.m . . 3 โˆ— = ( ยท๐‘  โ€˜๐ถ)
5 pmatcollpw.e . . 3 โ†‘ = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘ƒ))
6 pmatcollpw.x . . 3 ๐‘‹ = (var1โ€˜๐‘…)
7 pmatcollpw.t . . 3 ๐‘‡ = (๐‘ matToPolyMat ๐‘…)
8 pmatcollpw3.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
9 pmatcollpw3.d . . 3 ๐ท = (Baseโ€˜๐ด)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pmatcollpw3fi 21975 . 2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
11 df-n0 12276 . . . . 5 โ„•0 = (โ„• โˆช {0})
1211rexeqi 3359 . . . 4 (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ (โ„• โˆช {0})โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
13 rexun 4130 . . . 4 (โˆƒ๐‘  โˆˆ (โ„• โˆช {0})โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โˆจ โˆƒ๐‘  โˆˆ {0}โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
1412, 13bitri 276 . . 3 (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โˆจ โˆƒ๐‘  โˆˆ {0}โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
15 c0ex 11011 . . . . . 6 0 โˆˆ V
16 oveq2 7311 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 0 โ†’ (0...๐‘ ) = (0...0))
17 0z 12372 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ โ„ค
18 fzsn 13340 . . . . . . . . . 10 (0 โˆˆ โ„ค โ†’ (0...0) = {0})
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 0 โ†’ (0...0) = {0})
2016, 19eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (๐‘  = 0 โ†’ (0...๐‘ ) = {0})
2120oveq2d 7319 . . . . . . 7 (๐‘  = 0 โ†’ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ )) = (๐ท โ†‘m {0}))
2220mpteq1d 5176 . . . . . . . . 9 (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))) = (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))
2322oveq2d 7319 . . . . . . . 8 (๐‘  = 0 โ†’ (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
2423eqeq2d 2747 . . . . . . 7 (๐‘  = 0 โ†’ (๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” ๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
2521, 24rexeqbidv 3349 . . . . . 6 (๐‘  = 0 โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
2615, 25rexsn 4622 . . . . 5 (โˆƒ๐‘  โˆˆ {0}โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†” โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9pmatcollpw3fi1lem2 21977 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
2827com12 32 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m {0})๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ {0} โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
2926, 28sylbi 216 . . . 4 (โˆƒ๐‘  โˆˆ {0}โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
3029jao1i 856 . . 3 ((โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โˆจ โˆƒ๐‘  โˆˆ {0}โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
3114, 30sylbi 216 . 2 (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„•0 โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›)))))))
3210, 31mpcom 38 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘“ โˆˆ (๐ท โ†‘m (0...๐‘ ))๐‘€ = (๐ถ ฮฃg (๐‘› โˆˆ (0...๐‘ ) โ†ฆ ((๐‘› โ†‘ ๐‘‹) โˆ— (๐‘‡โ€˜(๐‘“โ€˜๐‘›))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆƒwrex 3071   โˆช cun 3890  {csn 4565   โ†ฆ cmpt 5164  โ€˜cfv 6454  (class class class)co 7303   โ†‘m cmap 8642  Fincfn 8760  0cc0 10913  โ„•cn 12015  โ„•0cn0 12275  โ„คcz 12361  ...cfz 13281  Basecbs 16953   ยท๐‘  cvsca 17007   ฮฃg cgsu 17192  .gcmg 18741  mulGrpcmgp 19761  CRingccrg 19825  var1cv1 21388  Poly1cpl1 21389   Mat cmat 21595   matToPolyMat cmat2pmat 21894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-ot 4574  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-ofr 7562  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-cur 8110  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-sup 9241  df-oi 9309  df-card 9737  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-seq 13764  df-hash 14087  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-ip 17021  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-hom 17027  df-cco 17028  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-prds 17199  df-pws 17201  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-mhm 18471  df-submnd 18472  df-grp 18621  df-minusg 18622  df-sbg 18623  df-mulg 18742  df-subg 18793  df-ghm 18873  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-abl 19430  df-mgp 19762  df-ur 19779  df-srg 19783  df-ring 19826  df-cring 19827  df-subrg 20063  df-lmod 20166  df-lss 20235  df-sra 20475  df-rgmod 20476  df-dsmm 20980  df-frlm 20995  df-assa 21101  df-ascl 21103  df-psr 21153  df-mvr 21154  df-mpl 21155  df-opsr 21157  df-psr1 21392  df-vr1 21393  df-ply1 21394  df-coe1 21395  df-mamu 21574  df-mat 21596  df-mat2pmat 21897  df-decpmat 21953
This theorem is referenced by:  cpmadugsumfi  22067
  Copyright terms: Public domain W3C validator