MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elntg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elntg2 28274
Description: The line definition in the Tarski structure for the Euclidean geometry. In contrast to elntg 28273, the betweenness can be strengthened by excluding 1 resp. 0 from the related intervals (because of π‘₯ β‰  𝑦). (Contributed by AV, 14-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
elntg2.1 𝑃 = (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))
elntg2.2 𝐼 = (1...𝑁)
Assertion
Ref Expression
elntg2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))}))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁,π‘˜,𝑙,π‘š,𝑝,π‘₯,𝑦   𝑃,𝑖,𝑝
Allowed substitution hints:   𝑃(π‘₯,𝑦,π‘˜,π‘š,𝑙)   𝐼(π‘₯,𝑦,π‘˜,π‘š,𝑝,𝑙)

Proof of Theorem elntg2
StepHypRef Expression
1 elntg2.1 . . 3 𝑃 = (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘))
2 eqid 2733 . . 3 (Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))
31, 2elntg 28273 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑝(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑝))}))
4 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5 simpl2 1193 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ 𝑃)
6 eldifi 4127 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
763ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
87adantr 482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑦 ∈ 𝑃)
9 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑝 ∈ 𝑃)
104, 1, 2, 5, 8, 9ebtwntg 28271 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ↔ 𝑝 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦)))
11 eengbas 28270 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π”Όβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(EEGβ€˜π‘)))
121, 11eqtr4id 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑃 = (π”Όβ€˜π‘))
13123ad2ant1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑃 = (π”Όβ€˜π‘))
1413eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 ↔ 𝑝 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))
1514biimpa 478 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑝 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
1612eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 ↔ π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘)))
1716biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘))
18173adant3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘))
1918adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘))
2012eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ 𝑃 ↔ 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))
2120biimpcd 248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))
2221, 6syl11 33 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))
2322a1d 25 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘))))
24233imp 1112 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
2524adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
26 brbtwn 28188 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) β†’ (𝑝 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
2715, 19, 25, 26syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
28 elntg2.2 . . . . . . . . 9 𝐼 = (1...𝑁)
2928raleqi 3324 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
3029rexbii 3095 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
3127, 30bitr4di 289 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝 Btwn ⟨π‘₯, π‘¦βŸ© ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3210, 31bitr3d 281 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑝 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
334, 1, 2, 9, 8, 5ebtwntg 28271 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘₯ Btwn βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ↔ π‘₯ ∈ (𝑝(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦)))
34 brbtwn 28188 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑝 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) β†’ (π‘₯ Btwn βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3519, 15, 25, 34syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘₯ Btwn βŸ¨π‘, π‘¦βŸ© ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
3633, 35bitr3d 281 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑝(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
37 0xr 11261 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
38 1xr 11273 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
39 0le1 11737 . . . . . . . . . 10 0 ≀ 1
40 snunico 13456 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 1) β†’ ((0[,)1) βˆͺ {1}) = (0[,]1))
4137, 38, 39, 40mp3an 1462 . . . . . . . . 9 ((0[,)1) βˆͺ {1}) = (0[,]1)
4241eqcomi 2742 . . . . . . . 8 (0[,]1) = ((0[,)1) βˆͺ {1})
4342a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (0[,]1) = ((0[,)1) βˆͺ {1}))
4443rexeqdv 3327 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ ((0[,)1) βˆͺ {1})βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
45 rexun 4191 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘™ ∈ ((0[,)1) βˆͺ {1})βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
46 eldifsn 4791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↔ (𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 β‰  π‘₯))
47 elee 28183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ π‘₯:(1...𝑁)βŸΆβ„))
48 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯:(1...𝑁)βŸΆβ„ β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁))
4947, 48syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘) β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁)))
5016, 49sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁)))
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁))))
52513imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ π‘₯ Fn (1...𝑁))
53 elee 28183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„))
54 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„ β†’ 𝑦 Fn (1...𝑁))
5553, 54syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) β†’ 𝑦 Fn (1...𝑁)))
5620, 55sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ 𝑃 β†’ 𝑦 Fn (1...𝑁)))
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ 𝑃 β†’ 𝑦 Fn (1...𝑁))))
58573imp31 1113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ 𝑦 Fn (1...𝑁))
59 eqfnfv 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ Fn (1...𝑁) ∧ 𝑦 Fn (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–)))
6052, 58, 59syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–)))
6160biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–) β†’ π‘₯ = 𝑦))
62 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘₯ ↔ π‘₯ = 𝑦)
6361, 62imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–) β†’ 𝑦 = π‘₯))
6463necon3ad 2954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ (𝑦 β‰  π‘₯ β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–)))
65643exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (𝑦 β‰  π‘₯ β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–)))))
6665com24 95 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ 𝑃 β†’ (𝑦 β‰  π‘₯ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–)))))
6766imp 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 β‰  π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–))))
6846, 67sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–))))
69683imp31 1113 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–))
7069adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–))
7112eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 ↔ 𝑝 ∈ (π”Όβ€˜π‘)))
72 elee 28183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑝 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ 𝑝:(1...𝑁)βŸΆβ„))
7372biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑝 ∈ (π”Όβ€˜π‘) β†’ 𝑝:(1...𝑁)βŸΆβ„))
7471, 73sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ 𝑝:(1...𝑁)βŸΆβ„))
75743ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ 𝑝:(1...𝑁)βŸΆβ„))
7675imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑝:(1...𝑁)βŸΆβ„)
7776ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ ℝ)
7877recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘β€˜π‘–) ∈ β„‚)
7978mul02d 11412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0 Β· (π‘β€˜π‘–)) = 0)
8021, 53mpbidi 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ 𝑃 β†’ (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„))
8180, 6syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„))
8281a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ (𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) β†’ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„)))
83823imp 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) β†’ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„)
8483adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝑦:(1...𝑁)βŸΆβ„)
8584ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ℝ)
8685recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ β„‚)
8786mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–)) = (π‘¦β€˜π‘–))
8879, 87oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((0 Β· (π‘β€˜π‘–)) + (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (0 + (π‘¦β€˜π‘–)))
8986addlidd 11415 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (0 + (π‘¦β€˜π‘–)) = (π‘¦β€˜π‘–))
9088, 89eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((0 Β· (π‘β€˜π‘–)) + (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = (π‘¦β€˜π‘–))
9190eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–) = ((0 Β· (π‘β€˜π‘–)) + (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–)))
9291ralbidva 3176 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = ((0 Β· (π‘β€˜π‘–)) + (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–)))
9370, 92mtbird 325 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = ((0 Β· (π‘β€˜π‘–)) + (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
94 1re 11214 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
95 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 1 β†’ (1 βˆ’ 𝑙) = (1 βˆ’ 1))
9695oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 1 β†’ ((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ 1) Β· (π‘β€˜π‘–)))
97 1m1e0 12284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 βˆ’ 1) = 0
9897oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 βˆ’ 1) Β· (π‘β€˜π‘–)) = (0 Β· (π‘β€˜π‘–))
9996, 98eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 1 β†’ ((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) = (0 Β· (π‘β€˜π‘–)))
100 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 1 β†’ (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)) = (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))
10199, 100oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 1 β†’ (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) = ((0 Β· (π‘β€˜π‘–)) + (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
102101eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑙 = 1 β†’ ((π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (π‘₯β€˜π‘–) = ((0 Β· (π‘β€˜π‘–)) + (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
103102ralbidv 3178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑙 = 1 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = ((0 Β· (π‘β€˜π‘–)) + (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
104103rexsng 4679 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = ((0 Β· (π‘β€˜π‘–)) + (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
10594, 104ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = ((0 Β· (π‘β€˜π‘–)) + (1 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
10693, 105sylnibr 329 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
10728raleqi 3324 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
108107rexbii 3095 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))
109 biorf 936 . . . . . . . . . 10 (Β¬ βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))))
110108, 109bitrid 283 . . . . . . . . 9 (Β¬ βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))))
111106, 110syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))))))
112 orcom 869 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))) ↔ (βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
113111, 112bitr2di 288 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ {1}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
11445, 113bitrid 283 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ ((0[,)1) βˆͺ {1})βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
11536, 44, 1143bitrd 305 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑝(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ↔ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–)))))
1164, 1, 2, 5, 9, 8ebtwntg 28271 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑦 Btwn ⟨π‘₯, π‘βŸ© ↔ 𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑝)))
117 brbtwn 28188 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘) ∧ 𝑝 ∈ (π”Όβ€˜π‘)) β†’ (𝑦 Btwn ⟨π‘₯, π‘βŸ© ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))))
11825, 19, 15, 117syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑦 Btwn ⟨π‘₯, π‘βŸ© ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))))
119116, 118bitr3d 281 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑝) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))))
120 snunioc 13457 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 1) β†’ ({0} βˆͺ (0(,]1)) = (0[,]1))
12137, 38, 39, 120mp3an 1462 . . . . . . . . 9 ({0} βˆͺ (0(,]1)) = (0[,]1)
122121eqcomi 2742 . . . . . . . 8 (0[,]1) = ({0} βˆͺ (0(,]1))
123122a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (0[,]1) = ({0} βˆͺ (0(,]1)))
124123rexeqdv 3327 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘š ∈ ({0} βˆͺ (0(,]1))βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))))
125 rexun 4191 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘š ∈ ({0} βˆͺ (0(,]1))βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘š ∈ {0}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))))
126 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–) ↔ (π‘¦β€˜π‘–) = (π‘₯β€˜π‘–))
127126ralbii 3094 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘₯β€˜π‘–) = (π‘¦β€˜π‘–) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (π‘₯β€˜π‘–))
12870, 127sylnib 328 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (π‘₯β€˜π‘–))
12916biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ π‘₯ ∈ (π”Όβ€˜π‘)))
130129, 47sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃 β†’ π‘₯:(1...𝑁)βŸΆβ„))
131130imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃) β†’ π‘₯:(1...𝑁)βŸΆβ„)
1321313adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) β†’ π‘₯:(1...𝑁)βŸΆβ„)
133132adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ π‘₯:(1...𝑁)βŸΆβ„)
134133ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘–) ∈ ℝ)
135134recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯β€˜π‘–) ∈ β„‚)
136135mullidd 11232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ (1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = (π‘₯β€˜π‘–))
137136, 79oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (0 Β· (π‘β€˜π‘–))) = ((π‘₯β€˜π‘–) + 0))
138135addridd 11414 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯β€˜π‘–) + 0) = (π‘₯β€˜π‘–))
139137, 138eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (0 Β· (π‘β€˜π‘–))) = (π‘₯β€˜π‘–))
140139eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) = ((1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (0 Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ (π‘¦β€˜π‘–) = (π‘₯β€˜π‘–)))
141140ralbidva 3176 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = ((1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (0 Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (π‘₯β€˜π‘–)))
142128, 141mtbird 325 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = ((1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (0 Β· (π‘β€˜π‘–))))
143 0re 11216 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
144 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = 0 β†’ (1 βˆ’ π‘š) = (1 βˆ’ 0))
145144oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 0 β†’ ((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = ((1 βˆ’ 0) Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
146 1m0e1 12333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 βˆ’ 0) = 1
147146oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 βˆ’ 0) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = (1 Β· (π‘₯β€˜π‘–))
148145, 147eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 0 β†’ ((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) = (1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)))
149 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 0 β†’ (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)) = (0 Β· (π‘β€˜π‘–)))
150148, 149oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 0 β†’ (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) = ((1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (0 Β· (π‘β€˜π‘–))))
151150eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = 0 β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ (π‘¦β€˜π‘–) = ((1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (0 Β· (π‘β€˜π‘–)))))
152151ralbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 0 β†’ (βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = ((1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (0 Β· (π‘β€˜π‘–)))))
153152rexsng 4679 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘š ∈ {0}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = ((1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (0 Β· (π‘β€˜π‘–)))))
154143, 153ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘š ∈ {0}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = ((1 Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (0 Β· (π‘β€˜π‘–))))
155142, 154sylnibr 329 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ Β¬ βˆƒπ‘š ∈ {0}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))
15628raleqi 3324 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))
157156rexbii 3095 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))
158 biorf 936 . . . . . . . . 9 (Β¬ βˆƒπ‘š ∈ {0}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘š ∈ {0}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))))
159157, 158bitrid 283 . . . . . . . 8 (Β¬ βˆƒπ‘š ∈ {0}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘š ∈ {0}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))))
160155, 159syl 17 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ (βˆƒπ‘š ∈ {0}βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))))
161125, 160bitr4id 290 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ ({0} βˆͺ (0(,]1))βˆ€π‘– ∈ (1...𝑁)(π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))))
162119, 124, 1613bitrd 305 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑝) ↔ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–)))))
16332, 115, 1623orbi123d 1436 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝑝 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑝(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑝)) ↔ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))))
164163rabbidva 3440 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯})) β†’ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑝(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑝))} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))})
165164mpoeq3dva 7486 . 2 (𝑁 ∈ β„• β†’ (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ∨ π‘₯ ∈ (𝑝(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (π‘₯(Itvβ€˜(EEGβ€˜π‘))𝑝))}) = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))}))
1663, 165eqtrd 2773 1 (𝑁 ∈ β„• β†’ (LineGβ€˜(EEGβ€˜π‘)) = (π‘₯ ∈ 𝑃, 𝑦 ∈ (𝑃 βˆ– {π‘₯}) ↦ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘˜) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘˜ Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘™ ∈ (0[,)1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘₯β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ 𝑙) Β· (π‘β€˜π‘–)) + (𝑙 Β· (π‘¦β€˜π‘–))) ∨ βˆƒπ‘š ∈ (0(,]1)βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) = (((1 βˆ’ π‘š) Β· (π‘₯β€˜π‘–)) + (π‘š Β· (π‘β€˜π‘–))))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  (,]cioc 13325  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  ...cfz 13484  Basecbs 17144  Itvcitv 27715  LineGclng 27716  π”Όcee 28177   Btwn cbtwn 28178  EEGceeng 28266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-seq 13967  df-sum 15633  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ds 17219  df-itv 27717  df-lng 27718  df-ee 28180  df-btwn 28181  df-eeng 28267
This theorem is referenced by:  eenglngeehlnm  47473
  Copyright terms: Public domain W3C validator