Theorem sumeq12si 36604

Description: Equality inference for sum. General version of sumeq2si 36603. (Contributed by GG, 1-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumeq12si.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
sumeq12si.2	⊢ 𝐶 = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
sumeq12si	⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐵 𝐷

Proof of Theorem sumeq12si

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq12si.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2	1	sumeq1i 15748	. 2 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐵 𝐶
3		sumeq12si.2	. . 3 ⊢ 𝐶 = 𝐷
4	3	sumeq2si 36603	. 2 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐵 𝐷
5	2, 4	eqtri 2792	1 ⊢ Σ𝑥 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑥 ∈ 𝐵 𝐷

Syntax hints:   = wceq 1567  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-xp 5668  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-iota 6493  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-seq 14038  df-sum 15738

This theorem is referenced by: (None)