Theorem sumeq1i 15908

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15900	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Σcsu 15897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-xp 5664  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-iota 6520  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-seq 14185  df-sum 15898

This theorem is used by:  sumeq12i  15910  fsump1i  15979  fsum2d  15981  fsumxp  15982  isumnn0nn  16055  arisum  16073  arisum2  16074  geo2sum  16086  bpoly0  16260  bpoly1  16261  bpoly2  16267  bpoly3  16268  bpoly4  16269  efsep  16322  ef4p  16325  rpnnen2lem12  16437  ovolicc2lem4  25896  itg10  26064  dveflem  26354  dvply1  26660  vieta1lem2  26689  aaliou3lem4  26730  dvtaylp  26754  pserdvlem2  26812  advlogexp  27040  log2ublem2  27332  log2ublem3  27333  log2ub  27334  ftalem5  27461  cht1  27549  1sgmprm  27583  lgsquadlem2  27765  axlowdimlem16  29592  finsumvtxdg2ssteplem4  30186  rusgrnumwwlks  30623  cos9thpiminplylem3  34527  signsvf0  35320  signsvf1  35321  repr0  35351  sumeq12si  37207  cbvsumvw2  37250  sumcubes  43636  k0004val0  45415  binomcxplemnotnn0  45601  fsumiunss  46860  dvnmul  47226  stoweidlem17  47300  dirkertrigeqlem1  47381  etransclem24  47541  etransclem35  47552  linplyfv  49711  crosspdotsumlem  51392