Theorem sumeq1i 15599

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15591	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1541  Σcsu 15588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-xp 5617  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-iota 6432  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-seq 13904  df-sum 15589

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15601  fsump1i  15671  fsum2d  15673  fsumxp  15674  isumnn0nn  15744  arisum  15762  arisum2  15763  geo2sum  15775  bpoly0  15952  bpoly1  15953  bpoly2  15959  bpoly3  15960  bpoly4  15961  efsep  16014  ef4p  16017  rpnnen2lem12  16129  ovolicc2lem4  25443  itg10  25611  dveflem  25905  dvply1  26213  vieta1lem2  26241  aaliou3lem4  26276  dvtaylp  26300  pserdvlem2  26360  advlogexp  26586  log2ublem2  26879  log2ublem3  26880  log2ub  26881  ftalem5  27009  cht1  27097  1sgmprm  27132  lgsquadlem2  27314  axlowdimlem16  28930  finsumvtxdg2ssteplem4  29522  rusgrnumwwlks  29947  cos9thpiminplylem3  33789  signsvf0  34585  signsvf1  34586  repr0  34616  sumeq12si  36237  cbvsumvw2  36280  sumcubes  42346  k0004val0  44187  binomcxplemnotnn0  44389  fsumiunss  45615  dvnmul  45981  stoweidlem17  46055  dirkertrigeqlem1  46136  etransclem24  46296  etransclem35  46307