MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq1i 15582
Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq1i.1 𝐴 = 𝐵
Assertion
Ref Expression
sumeq1i Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1i
StepHypRef Expression
1 sumeq1i.1 . 2 𝐴 = 𝐵
2 sumeq1 15572 . 2 (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
31, 2ax-mp 5 1 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  Σcsu 15569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-xp 5639  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-iota 6448  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-seq 13906  df-sum 15570
This theorem is referenced by:  sumeq12i  15584  fsump1i  15653  fsum2d  15655  fsumxp  15656  isumnn0nn  15726  arisum  15744  arisum2  15745  geo2sum  15757  bpoly0  15932  bpoly1  15933  bpoly2  15939  bpoly3  15940  bpoly4  15941  efsep  15991  ef4p  15994  rpnnen2lem12  16106  ovolicc2lem4  24882  itg10  25050  dveflem  25341  dvply1  25642  vieta1lem2  25669  aaliou3lem4  25704  dvtaylp  25727  pserdvlem2  25785  advlogexp  26008  log2ublem2  26295  log2ublem3  26296  log2ub  26297  ftalem5  26424  cht1  26512  1sgmprm  26545  lgsquadlem2  26727  axlowdimlem16  27853  finsumvtxdg2ssteplem4  28443  rusgrnumwwlks  28866  signsvf0  33132  signsvf1  33133  repr0  33164  k0004val0  42407  binomcxplemnotnn0  42617  fsumiunss  43787  dvnmul  44155  stoweidlem17  44229  dirkertrigeqlem1  44310  etransclem24  44470  etransclem35  44481
  Copyright terms: Public domain W3C validator