Theorem sumeq1i 15724

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15716	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1560  Σcsu 15713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-xp 5653  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-iota 6477  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-seq 14015  df-sum 15714

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15726  fsump1i  15796  fsum2d  15798  fsumxp  15799  isumnn0nn  15872  arisum  15890  arisum2  15891  geo2sum  15903  bpoly0  16080  bpoly1  16081  bpoly2  16087  bpoly3  16088  bpoly4  16089  efsep  16142  ef4p  16145  rpnnen2lem12  16257  ovolicc2lem4  25579  itg10  25747  dveflem  26038  dvply1  26345  vieta1lem2  26372  aaliou3lem4  26407  dvtaylp  26430  pserdvlem2  26488  advlogexp  26717  log2ublem2  27009  log2ublem3  27010  log2ub  27011  ftalem5  27138  cht1  27226  1sgmprm  27260  lgsquadlem2  27442  axlowdimlem16  29155  finsumvtxdg2ssteplem4  29746  rusgrnumwwlks  30174  cos9thpiminplylem3  34078  signsvf0  34871  signsvf1  34872  repr0  34902  sumeq12si  36560  cbvsumvw2  36603  sumcubes  42919  k0004val0  44727  binomcxplemnotnn0  44929  fsumiunss  46148  dvnmul  46514  stoweidlem17  46588  dirkertrigeqlem1  46669  etransclem24  46829  etransclem35  46840