Theorem sumeq1i 15733

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15725	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1540  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-xp 5691  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-iota 6514  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-seq 14043  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15735  fsump1i  15805  fsum2d  15807  fsumxp  15808  isumnn0nn  15878  arisum  15896  arisum2  15897  geo2sum  15909  bpoly0  16086  bpoly1  16087  bpoly2  16093  bpoly3  16094  bpoly4  16095  efsep  16146  ef4p  16149  rpnnen2lem12  16261  ovolicc2lem4  25555  itg10  25723  dveflem  26017  dvply1  26325  vieta1lem2  26353  aaliou3lem4  26388  dvtaylp  26412  pserdvlem2  26472  advlogexp  26697  log2ublem2  26990  log2ublem3  26991  log2ub  26992  ftalem5  27120  cht1  27208  1sgmprm  27243  lgsquadlem2  27425  axlowdimlem16  28972  finsumvtxdg2ssteplem4  29566  rusgrnumwwlks  29994  signsvf0  34595  signsvf1  34596  repr0  34626  sumeq12si  36204  cbvsumvw2  36247  sumcubes  42347  k0004val0  44167  binomcxplemnotnn0  44375  fsumiunss  45590  dvnmul  45958  stoweidlem17  46032  dirkertrigeqlem1  46113  etransclem24  46273  etransclem35  46284