Theorem sumeq1i 15620

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15612	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1541  Σcsu 15609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-xp 5630  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-iota 6448  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-seq 13925  df-sum 15610

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15622  fsump1i  15692  fsum2d  15694  fsumxp  15695  isumnn0nn  15765  arisum  15783  arisum2  15784  geo2sum  15796  bpoly0  15973  bpoly1  15974  bpoly2  15980  bpoly3  15981  bpoly4  15982  efsep  16035  ef4p  16038  rpnnen2lem12  16150  ovolicc2lem4  25477  itg10  25645  dveflem  25939  dvply1  26247  vieta1lem2  26275  aaliou3lem4  26310  dvtaylp  26334  pserdvlem2  26394  advlogexp  26620  log2ublem2  26913  log2ublem3  26914  log2ub  26915  ftalem5  27043  cht1  27131  1sgmprm  27166  lgsquadlem2  27348  axlowdimlem16  29030  finsumvtxdg2ssteplem4  29622  rusgrnumwwlks  30050  cos9thpiminplylem3  33941  signsvf0  34737  signsvf1  34738  repr0  34768  sumeq12si  36397  cbvsumvw2  36440  sumcubes  42568  k0004val0  44395  binomcxplemnotnn0  44597  fsumiunss  45821  dvnmul  46187  stoweidlem17  46261  dirkertrigeqlem1  46342  etransclem24  46502  etransclem35  46513