Theorem sumeq1i 15784

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15776	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  Σcsu 15773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-xp 5661  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-iota 6489  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-seq 14066  df-sum 15774

This theorem is used by:  sumeq12i  15786  fsump1i  15855  fsum2d  15857  fsumxp  15858  isumnn0nn  15931  arisum  15949  arisum2  15950  geo2sum  15962  bpoly0  16136  bpoly1  16137  bpoly2  16143  bpoly3  16144  bpoly4  16145  efsep  16198  ef4p  16201  rpnnen2lem12  16313  ovolicc2lem4  25748  itg10  25916  dveflem  26206  dvply1  26514  vieta1lem2  26543  aaliou3lem4  26582  dvtaylp  26606  pserdvlem2  26664  advlogexp  26892  log2ublem2  27184  log2ublem3  27185  log2ub  27186  ftalem5  27313  cht1  27401  1sgmprm  27435  lgsquadlem2  27617  axlowdimlem16  29414  finsumvtxdg2ssteplem4  30008  rusgrnumwwlks  30445  cos9thpiminplylem3  34294  signsvf0  35088  signsvf1  35089  repr0  35119  sumeq12si  36823  cbvsumvw2  36866  sumcubes  43188  k0004val0  44994  binomcxplemnotnn0  45180  fsumiunss  46405  dvnmul  46771  stoweidlem17  46845  dirkertrigeqlem1  46926  etransclem24  47086  etransclem35  47097  crosspdotsumlem  50797