Theorem sumeq1i 15338

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15328	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1539  Σcsu 15325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-xp 5586  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-iota 6376  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-seq 13650  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15340  fsump1i  15409  fsum2d  15411  fsumxp  15412  isumnn0nn  15482  arisum  15500  arisum2  15501  geo2sum  15513  bpoly0  15688  bpoly1  15689  bpoly2  15695  bpoly3  15696  bpoly4  15697  efsep  15747  ef4p  15750  rpnnen2lem12  15862  ovolicc2lem4  24589  itg10  24757  dveflem  25048  dvply1  25349  vieta1lem2  25376  aaliou3lem4  25411  dvtaylp  25434  pserdvlem2  25492  advlogexp  25715  log2ublem2  26002  log2ublem3  26003  log2ub  26004  ftalem5  26131  cht1  26219  1sgmprm  26252  lgsquadlem2  26434  axlowdimlem16  27228  finsumvtxdg2ssteplem4  27818  rusgrnumwwlks  28240  signsvf0  32459  signsvf1  32460  repr0  32491  k0004val0  41653  binomcxplemnotnn0  41863  fsumiunss  43006  dvnmul  43374  stoweidlem17  43448  dirkertrigeqlem1  43529  etransclem24  43689  etransclem35  43700