Theorem sumeq1i 15744

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15736	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1570  Σcsu 15733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-xp 5667  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-iota 6492  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-seq 14034  df-sum 15734

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15746  fsump1i  15816  fsum2d  15818  fsumxp  15819  isumnn0nn  15892  arisum  15910  arisum2  15911  geo2sum  15923  bpoly0  16099  bpoly1  16100  bpoly2  16106  bpoly3  16107  bpoly4  16108  efsep  16161  ef4p  16164  rpnnen2lem12  16276  ovolicc2lem4  25679  itg10  25847  dveflem  26138  dvply1  26445  vieta1lem2  26472  aaliou3lem4  26509  dvtaylp  26533  pserdvlem2  26591  advlogexp  26820  log2ublem2  27112  log2ublem3  27113  log2ub  27114  ftalem5  27241  cht1  27329  1sgmprm  27363  lgsquadlem2  27545  axlowdimlem16  29307  finsumvtxdg2ssteplem4  29898  rusgrnumwwlks  30326  cos9thpiminplylem3  34174  signsvf0  34967  signsvf1  34968  repr0  34998  sumeq12si  36715  cbvsumvw2  36758  sumcubes  43074  k0004val0  44880  binomcxplemnotnn0  45066  fsumiunss  46291  dvnmul  46657  stoweidlem17  46731  dirkertrigeqlem1  46812  etransclem24  46972  etransclem35  46983