Theorem sumeq1i 15745

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15737	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1537  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-xp 5706  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-iota 6525  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-seq 14053  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15747  fsump1i  15817  fsum2d  15819  fsumxp  15820  isumnn0nn  15890  arisum  15908  arisum2  15909  geo2sum  15921  bpoly0  16098  bpoly1  16099  bpoly2  16105  bpoly3  16106  bpoly4  16107  efsep  16158  ef4p  16161  rpnnen2lem12  16273  ovolicc2lem4  25574  itg10  25742  dveflem  26037  dvply1  26343  vieta1lem2  26371  aaliou3lem4  26406  dvtaylp  26430  pserdvlem2  26490  advlogexp  26715  log2ublem2  27008  log2ublem3  27009  log2ub  27010  ftalem5  27138  cht1  27226  1sgmprm  27261  lgsquadlem2  27443  axlowdimlem16  28990  finsumvtxdg2ssteplem4  29584  rusgrnumwwlks  30007  signsvf0  34557  signsvf1  34558  repr0  34588  sumeq12si  36167  cbvsumvw2  36212  sumcubes  42301  k0004val0  44116  binomcxplemnotnn0  44325  fsumiunss  45496  dvnmul  45864  stoweidlem17  45938  dirkertrigeqlem1  46019  etransclem24  46179  etransclem35  46190