Theorem sumeq1i 15047

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15037	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1538  Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-xp 5525  df-cnv 5527  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-iota 6283  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-seq 13365  df-sum 15035

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15049  fsump1i  15116  fsum2d  15118  fsumxp  15119  isumnn0nn  15189  arisum  15207  arisum2  15208  geo2sum  15221  bpoly0  15396  bpoly1  15397  bpoly2  15403  bpoly3  15404  bpoly4  15405  efsep  15455  ef4p  15458  rpnnen2lem12  15570  ovolicc2lem4  24124  itg10  24292  dveflem  24582  dvply1  24880  vieta1lem2  24907  aaliou3lem4  24942  dvtaylp  24965  pserdvlem2  25023  advlogexp  25246  log2ublem2  25533  log2ublem3  25534  log2ub  25535  ftalem5  25662  cht1  25750  1sgmprm  25783  lgsquadlem2  25965  axlowdimlem16  26751  finsumvtxdg2ssteplem4  27338  rusgrnumwwlks  27760  signsvf0  31960  signsvf1  31961  repr0  31992  k0004val0  40857  binomcxplemnotnn0  41060  fsumiunss  42217  dvnmul  42585  stoweidlem17  42659  dirkertrigeqlem1  42740  etransclem24  42900  etransclem35  42911