Theorem sumeq1i 15639

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15631	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1540  Σcsu 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-iota 6452  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-seq 13943  df-sum 15629

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15641  fsump1i  15711  fsum2d  15713  fsumxp  15714  isumnn0nn  15784  arisum  15802  arisum2  15803  geo2sum  15815  bpoly0  15992  bpoly1  15993  bpoly2  15999  bpoly3  16000  bpoly4  16001  efsep  16054  ef4p  16057  rpnnen2lem12  16169  ovolicc2lem4  25397  itg10  25565  dveflem  25859  dvply1  26167  vieta1lem2  26195  aaliou3lem4  26230  dvtaylp  26254  pserdvlem2  26314  advlogexp  26540  log2ublem2  26833  log2ublem3  26834  log2ub  26835  ftalem5  26963  cht1  27051  1sgmprm  27086  lgsquadlem2  27268  axlowdimlem16  28860  finsumvtxdg2ssteplem4  29452  rusgrnumwwlks  29877  cos9thpiminplylem3  33747  signsvf0  34544  signsvf1  34545  repr0  34575  sumeq12si  36164  cbvsumvw2  36207  sumcubes  42274  k0004val0  44116  binomcxplemnotnn0  44318  fsumiunss  45546  dvnmul  45914  stoweidlem17  45988  dirkertrigeqlem1  46069  etransclem24  46229  etransclem35  46240