Theorem sumeq1i 15604

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15596	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1540  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-xp 5625  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-iota 6438  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-seq 13909  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15606  fsump1i  15676  fsum2d  15678  fsumxp  15679  isumnn0nn  15749  arisum  15767  arisum2  15768  geo2sum  15780  bpoly0  15957  bpoly1  15958  bpoly2  15964  bpoly3  15965  bpoly4  15966  efsep  16019  ef4p  16022  rpnnen2lem12  16134  ovolicc2lem4  25419  itg10  25587  dveflem  25881  dvply1  26189  vieta1lem2  26217  aaliou3lem4  26252  dvtaylp  26276  pserdvlem2  26336  advlogexp  26562  log2ublem2  26855  log2ublem3  26856  log2ub  26857  ftalem5  26985  cht1  27073  1sgmprm  27108  lgsquadlem2  27290  axlowdimlem16  28902  finsumvtxdg2ssteplem4  29494  rusgrnumwwlks  29919  cos9thpiminplylem3  33751  signsvf0  34548  signsvf1  34549  repr0  34579  sumeq12si  36177  cbvsumvw2  36220  sumcubes  42286  k0004val0  44127  binomcxplemnotnn0  44329  fsumiunss  45556  dvnmul  45924  stoweidlem17  45998  dirkertrigeqlem1  46079  etransclem24  46239  etransclem35  46250