Theorem sumeq1i 15650

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15642	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1547  Σcsu 15639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-xp 5624  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-iota 6441  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-seq 13955  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15652  fsump1i  15722  fsum2d  15724  fsumxp  15725  isumnn0nn  15798  arisum  15816  arisum2  15817  geo2sum  15829  bpoly0  16006  bpoly1  16007  bpoly2  16013  bpoly3  16014  bpoly4  16015  efsep  16068  ef4p  16071  rpnnen2lem12  16183  ovolicc2lem4  25505  itg10  25673  dveflem  25964  dvply1  26268  vieta1lem2  26295  aaliou3lem4  26330  dvtaylp  26353  pserdvlem2  26411  advlogexp  26637  log2ublem2  26929  log2ublem3  26930  log2ub  26931  ftalem5  27058  cht1  27146  1sgmprm  27180  lgsquadlem2  27362  axlowdimlem16  29044  finsumvtxdg2ssteplem4  29635  rusgrnumwwlks  30063  cos9thpiminplylem3  33968  signsvf0  34764  signsvf1  34765  repr0  34795  sumeq12si  36431  cbvsumvw2  36474  sumcubes  42790  k0004val0  44598  binomcxplemnotnn0  44800  fsumiunss  46020  dvnmul  46386  stoweidlem17  46460  dirkertrigeqlem1  46541  etransclem24  46701  etransclem35  46712