Theorem sumeq1i 15873

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15865	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569  Σcsu 15862

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-xp 5657  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-iota 6497  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-seq 14152  df-sum 15863

This theorem is used by:  sumeq12i  15875  fsump1i  15944  fsum2d  15946  fsumxp  15947  isumnn0nn  16020  arisum  16038  arisum2  16039  geo2sum  16051  bpoly0  16225  bpoly1  16226  bpoly2  16232  bpoly3  16233  bpoly4  16234  efsep  16287  ef4p  16290  rpnnen2lem12  16402  ovolicc2lem4  25850  itg10  26018  dveflem  26308  dvply1  26614  vieta1lem2  26643  aaliou3lem4  26682  dvtaylp  26706  pserdvlem2  26764  advlogexp  26992  log2ublem2  27284  log2ublem3  27285  log2ub  27286  ftalem5  27413  cht1  27501  1sgmprm  27535  lgsquadlem2  27717  axlowdimlem16  29544  finsumvtxdg2ssteplem4  30138  rusgrnumwwlks  30575  cos9thpiminplylem3  34466  signsvf0  35259  signsvf1  35260  repr0  35290  sumeq12si  37088  cbvsumvw2  37131  sumcubes  43479  k0004val0  45263  binomcxplemnotnn0  45449  fsumiunss  46695  dvnmul  47061  stoweidlem17  47135  dirkertrigeqlem1  47216  etransclem24  47376  etransclem35  47387  crosspdotsumlem  51147