MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq1i 15058
Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq1i.1 𝐴 = 𝐵
Assertion
Ref Expression
sumeq1i Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1i
StepHypRef Expression
1 sumeq1i.1 . 2 𝐴 = 𝐵
2 sumeq1 15048 . 2 (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶)
31, 2ax-mp 5 1 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  Σcsu 15045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-if 4452  df-sn 4552  df-pr 4554  df-op 4558  df-uni 4826  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-xp 5549  df-cnv 5551  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-iota 6303  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-seq 13377  df-sum 15046
This theorem is referenced by:  sumeq12i  15060  fsump1i  15127  fsum2d  15129  fsumxp  15130  isumnn0nn  15200  arisum  15218  arisum2  15219  geo2sum  15232  bpoly0  15407  bpoly1  15408  bpoly2  15414  bpoly3  15415  bpoly4  15416  efsep  15466  ef4p  15469  rpnnen2lem12  15581  ovolicc2lem4  24130  itg10  24298  dveflem  24588  dvply1  24886  vieta1lem2  24913  aaliou3lem4  24948  dvtaylp  24971  pserdvlem2  25029  advlogexp  25252  log2ublem2  25539  log2ublem3  25540  log2ub  25541  ftalem5  25668  cht1  25756  1sgmprm  25789  lgsquadlem2  25971  axlowdimlem16  26757  finsumvtxdg2ssteplem4  27344  rusgrnumwwlks  27766  signsvf0  31910  signsvf1  31911  repr0  31942  k0004val0  40777  binomcxplemnotnn0  40981  fsumiunss  42144  dvnmul  42512  stoweidlem17  42586  dirkertrigeqlem1  42667  etransclem24  42827  etransclem35  42838
  Copyright terms: Public domain W3C validator