Theorem sumeq1i 15659

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15651	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1542  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-xp 5637  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-iota 6454  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-seq 13964  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15661  fsump1i  15731  fsum2d  15733  fsumxp  15734  isumnn0nn  15807  arisum  15825  arisum2  15826  geo2sum  15838  bpoly0  16015  bpoly1  16016  bpoly2  16022  bpoly3  16023  bpoly4  16024  efsep  16077  ef4p  16080  rpnnen2lem12  16192  ovolicc2lem4  25487  itg10  25655  dveflem  25946  dvply1  26250  vieta1lem2  26277  aaliou3lem4  26312  dvtaylp  26335  pserdvlem2  26393  advlogexp  26619  log2ublem2  26911  log2ublem3  26912  log2ub  26913  ftalem5  27040  cht1  27128  1sgmprm  27162  lgsquadlem2  27344  axlowdimlem16  29026  finsumvtxdg2ssteplem4  29617  rusgrnumwwlks  30045  cos9thpiminplylem3  33928  signsvf0  34724  signsvf1  34725  repr0  34755  sumeq12si  36385  cbvsumvw2  36428  sumcubes  42745  k0004val0  44581  binomcxplemnotnn0  44783  fsumiunss  46005  dvnmul  46371  stoweidlem17  46445  dirkertrigeqlem1  46526  etransclem24  46686  etransclem35  46697