Theorem sumeq1i 15410

Description: Equality inference for sum. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
sumeq1i.1	⊢ 𝐴 = 𝐵

Assertion

Ref	Expression
sumeq1i	⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumeq1i.1	. 2 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2		sumeq1 15400	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1539  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-xp 5595  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-iota 6391  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-seq 13722  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  sumeq12i  15412  fsump1i  15481  fsum2d  15483  fsumxp  15484  isumnn0nn  15554  arisum  15572  arisum2  15573  geo2sum  15585  bpoly0  15760  bpoly1  15761  bpoly2  15767  bpoly3  15768  bpoly4  15769  efsep  15819  ef4p  15822  rpnnen2lem12  15934  ovolicc2lem4  24684  itg10  24852  dveflem  25143  dvply1  25444  vieta1lem2  25471  aaliou3lem4  25506  dvtaylp  25529  pserdvlem2  25587  advlogexp  25810  log2ublem2  26097  log2ublem3  26098  log2ub  26099  ftalem5  26226  cht1  26314  1sgmprm  26347  lgsquadlem2  26529  axlowdimlem16  27325  finsumvtxdg2ssteplem4  27915  rusgrnumwwlks  28339  signsvf0  32559  signsvf1  32560  repr0  32591  k0004val0  41764  binomcxplemnotnn0  41974  fsumiunss  43116  dvnmul  43484  stoweidlem17  43558  dirkertrigeqlem1  43639  etransclem24  43799  etransclem35  43810