Theorem tgptmd 22792

Description: A topological group is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgptmd	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem tgptmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
2		eqid 2758	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	1, 2	istgp 22790	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
4	3	simp2bi 1143	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  TopOpenctopn 16766  Grpcgrp 18182  inv_gcminusg 18183   Cn ccn 21937  TopMndctmd 22783  TopGrpctgp 22784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-nul 5180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-iota 6299  df-fv 6348  df-ov 7159  df-tgp 22786

This theorem is referenced by:  tgptps  22793  tgpcn  22797  tgpsubcn  22803  tgpmulg  22806  oppgtgp  22811  tgplacthmeo  22816  subgtgp  22818  clsnsg  22823  tgpt0  22832  prdstgpd  22838  tsmssub  22862  tsmsxp  22868  trgtmd2  22882  nlmtlm  23409  qqhcn  31472