Theorem tgptmd 23973

Description: A topological group is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgptmd	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem tgptmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	1, 2	istgp 23971	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
4	3	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  TopOpenctopn 17391  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873   Cn ccn 23118  TopMndctmd 23964  TopGrpctgp 23965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-nul 5264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-iota 6467  df-fv 6522  df-ov 7393  df-tgp 23967

This theorem is referenced by:  tgptps  23974  tgpcn  23978  tgpsubcn  23984  tgpmulg  23987  oppgtgp  23992  tgplacthmeo  23997  subgtgp  23999  clsnsg  24004  tgpt0  24013  prdstgpd  24019  tsmssub  24043  tsmsxp  24049  trgtmd2  24063  nlmtlm  24589  qqhcn  33988