Theorem tgptmd 22302

Description: A topological group is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgptmd	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem tgptmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
2		eqid 2778	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	1, 2	istgp 22300	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
4	3	simp2bi 1137	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  TopOpenctopn 16479  Grpcgrp 17820  inv_gcminusg 17821   Cn ccn 21447  TopMndctmd 22293  TopGrpctgp 22294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-nul 5027

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-iota 6101  df-fv 6145  df-ov 6927  df-tgp 22296

This theorem is referenced by:  tgptps  22303  tgpcn  22307  tgpsubcn  22313  tgpmulg  22316  oppgtgp  22321  tgplacthmeo  22326  subgtgp  22328  clsnsg  22332  tgpt0  22341  prdstgpd  22347  tsmssub  22371  tsmsxp  22377  trgtmd2  22391  nlmtlm  22917  qqhcn  30641