Theorem tgptmd 24407

Description: A topological group is a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgptmd	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)

Proof of Theorem tgptmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
3	1, 2	istgp 24405	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
4	3	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  TopOpenctopn 17601  Grpcgrp 19153  inv_gcminusg 19154   Cn ccn 23551  TopMndctmd 24398  TopGrpctgp 24399

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427  df-tgp 24401

This theorem is used by:  tgptps  24408  tgpcn  24412  tgpsubcn  24418  tgpmulg  24421  oppgtgp  24426  tgplacthmeo  24431  subgtgp  24433  clsnsg  24438  tgpt0  24447  prdstgpd  24453  tsmssub  24477  tsmsxp  24483  trgtmd2  24497  nlmtlm  25022  qqhcn  34673