MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssub 24157
Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssub.p = (-g𝐺)
tsmssub.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssub.2 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
tsmssub.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssub.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmssub.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
tsmssub.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmssub.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmssub (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f 𝐻)))

Proof of Theorem tsmssub
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssub.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2737 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 tsmssub.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmssub.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
5 tgptmd 24087 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
7 tsmssub.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
8 tsmssub.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 tgpgrp 24086 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2737 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
111, 10grpinvf 19004 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺):𝐵𝐵)
124, 9, 113syl 18 . . . 4 (𝜑 → (invg𝐺):𝐵𝐵)
13 tsmssub.h . . . 4 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
14 fco 6760 . . . 4 (((invg𝐺):𝐵𝐵𝐻:𝐴𝐵) → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
16 tsmssub.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
17 tsmssub.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
181, 10, 3, 4, 7, 13, 17tsmsinv 24156 . . 3 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
191, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18tsmsadd 24155 . 2 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
20 tgptps 24088 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
214, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
221, 3, 21, 7, 8tsmscl 24143 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
2322, 16sseldd 3984 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
241, 3, 21, 7, 13tsmscl 24143 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
2524, 17sseldd 3984 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
26 tsmssub.p . . . 4 = (-g𝐺)
271, 2, 10, 26grpsubval 19003 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2823, 25, 27syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
298ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
3013ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐵)
311, 2, 10, 26grpsubval 19003 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3229, 30, 31syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3332mpteq2dva 5242 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
348feqmptd 6977 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3513feqmptd 6977 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐻𝑘)))
367, 29, 30, 34, 35offval2 7717 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))))
37 fvexd 6921 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V)
3812feqmptd 6977 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺) = (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘𝑥)))
39 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑘) → ((invg𝐺)‘𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))
4030, 35, 38, 39fmptco 7149 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
417, 29, 37, 34, 40offval2 7717 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
4233, 36, 413eqtr4d 2787 . . 3 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
4342oveq2d 7447 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹f 𝐻)) = (𝐺 tsums (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
4419, 28, 433eltr4d 2856 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cmpt 5225  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  -gcsg 18953  CMndccmn 19798  TopSpctps 22938  TopMndctmd 24078  TopGrpctgp 24079   tsums ctsu 24134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  24158
  Copyright terms: Public domain W3C validator