MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssub 24172
Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssub.p = (-g𝐺)
tsmssub.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssub.2 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
tsmssub.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssub.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmssub.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
tsmssub.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmssub.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmssub (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f 𝐻)))

Proof of Theorem tsmssub
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssub.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2734 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 tsmssub.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmssub.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
5 tgptmd 24102 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
7 tsmssub.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
8 tsmssub.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 tgpgrp 24101 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2734 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
111, 10grpinvf 19016 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺):𝐵𝐵)
124, 9, 113syl 18 . . . 4 (𝜑 → (invg𝐺):𝐵𝐵)
13 tsmssub.h . . . 4 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
14 fco 6760 . . . 4 (((invg𝐺):𝐵𝐵𝐻:𝐴𝐵) → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
1512, 13, 14syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
16 tsmssub.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
17 tsmssub.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
181, 10, 3, 4, 7, 13, 17tsmsinv 24171 . . 3 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
191, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18tsmsadd 24170 . 2 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
20 tgptps 24103 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
214, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
221, 3, 21, 7, 8tsmscl 24158 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
2322, 16sseldd 3995 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
241, 3, 21, 7, 13tsmscl 24158 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
2524, 17sseldd 3995 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
26 tsmssub.p . . . 4 = (-g𝐺)
271, 2, 10, 26grpsubval 19015 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2823, 25, 27syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
298ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
3013ffvelcdmda 7103 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐵)
311, 2, 10, 26grpsubval 19015 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3229, 30, 31syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3332mpteq2dva 5247 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
348feqmptd 6976 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3513feqmptd 6976 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐻𝑘)))
367, 29, 30, 34, 35offval2 7716 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))))
37 fvexd 6921 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V)
3812feqmptd 6976 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺) = (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘𝑥)))
39 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑘) → ((invg𝐺)‘𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))
4030, 35, 38, 39fmptco 7148 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
417, 29, 37, 34, 40offval2 7716 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
4233, 36, 413eqtr4d 2784 . . 3 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
4342oveq2d 7446 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹f 𝐻)) = (𝐺 tsums (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
4419, 28, 433eltr4d 2853 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cmpt 5230  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964  -gcsg 18965  CMndccmn 19812  TopSpctps 22953  TopMndctmd 24093  TopGrpctgp 24094   tsums ctsu 24149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-plusf 18664  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-ntr 23043  df-nei 23121  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-tx 23585  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-tmd 24095  df-tgp 24096  df-tsms 24150
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  24173
  Copyright terms: Public domain W3C validator