Theorem tsmssub 24157

Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssub.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
tsmssub.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssub.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmssub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmssub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmssub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmssub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tsmssub	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)))

Proof of Theorem tsmssub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssub.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		tsmssub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmssub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
5		tgptmd 24087	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
7		tsmssub.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		tsmssub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		tgpgrp 24086	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
11	1, 10	grpinvf 19004	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
12	4, 9, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
13		tsmssub.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
14		fco 6760	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐻:𝐴⟶𝐵) → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
16		tsmssub.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
17		tsmssub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
18	1, 10, 3, 4, 7, 13, 17	tsmsinv 24156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
19	1, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18	tsmsadd 24155	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
20		tgptps 24088	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
21	4, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
22	1, 3, 21, 7, 8	tsmscl 24143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
23	22, 16	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	1, 3, 21, 7, 13	tsmscl 24143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
25	24, 17	sseldd 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
26		tsmssub.p	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
27	1, 2, 10, 26	grpsubval 19003	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	23, 25, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
29	8	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
30	13	ffvelcdmda 7104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
31	1, 2, 10, 26	grpsubval 19003	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
32	29, 30, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
33	32	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
34	8	feqmptd 6977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
35	13	feqmptd 6977	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘𝑘)))
36	7, 29, 30, 34, 35	offval2 7717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
37		fvexd 6921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
38	12	feqmptd 6977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
39		fveq2 6906	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
40	30, 35, 38, 39	fmptco 7149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
41	7, 29, 37, 34, 40	offval2 7717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
42	33, 36, 41	3eqtr4d 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
43	42	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
44	19, 28, 43	3eltr4d 2856	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ↦ cmpt 5225   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  -_gcsg 18953  CMndccmn 19798  TopSpctps 22938  TopMndctmd 24078  TopGrpctgp 24079   tsums ctsu 24134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-plusf 18652  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-ntr 23028  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-tx 23570  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-tmd 24080  df-tgp 24081  df-tsms 24135

This theorem is referenced by:  tgptsmscls  24158