Theorem tsmssub 24189

Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssub.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
tsmssub.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssub.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmssub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmssub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmssub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmssub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tsmssub	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)))

Proof of Theorem tsmssub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssub.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		tsmssub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmssub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
5		tgptmd 24119	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
7		tsmssub.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		tsmssub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		tgpgrp 24118	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
10		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
11	1, 10	grpinvf 19011	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
12	4, 9, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
13		tsmssub.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
14		fco 6712	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐻:𝐴⟶𝐵) → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
16		tsmssub.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
17		tsmssub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
18	1, 10, 3, 4, 7, 13, 17	tsmsinv 24188	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
19	1, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18	tsmsadd 24187	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
20		tgptps 24120	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
21	4, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
22	1, 3, 21, 7, 8	tsmscl 24175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
23	22, 16	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	1, 3, 21, 7, 13	tsmscl 24175	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
25	24, 17	sseldd 3937	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
26		tsmssub.p	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
27	1, 2, 10, 26	grpsubval 19010	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	23, 25, 27	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
29	8	ffvelcdmda 7061	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
30	13	ffvelcdmda 7061	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
31	1, 2, 10, 26	grpsubval 19010	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
32	29, 30, 31	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
33	32	mpteq2dva 5192	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
34	8	feqmptd 6931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
35	13	feqmptd 6931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘𝑘)))
36	7, 29, 30, 34, 35	offval2 7676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
37		fvexd 6878	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
38	12	feqmptd 6931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
39		fveq2 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
40	30, 35, 38, 39	fmptco 7107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
41	7, 29, 37, 34, 40	offval2 7676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
42	33, 36, 41	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
43	42	oveq2d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
44	19, 28, 43	3eltr4d 2876	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5180   ∘ ccom 5649  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∘_f cof 7654  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  Grpcgrp 18958  inv_gcminusg 18959  -_gcsg 18960  CMndccmn 19803  TopSpctps 22972  TopMndctmd 24110  TopGrpctgp 24111   tsums ctsu 24166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-plusf 18656  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-ghm 19237  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-ntr 23060  df-nei 23138  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-tx 23602  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-tmd 24112  df-tgp 24113  df-tsms 24167

This theorem is referenced by:  tgptsmscls  24190