MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tsmssub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tsmssub 24073
Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tsmssub.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssub.p = (-g𝐺)
tsmssub.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tsmssub.2 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
tsmssub.a (𝜑𝐴𝑉)
tsmssub.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
tsmssub.h (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
tsmssub.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmssub.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
Assertion
Ref Expression
tsmssub (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f 𝐻)))

Proof of Theorem tsmssub
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tsmssub.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 eqid 2728 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
3 tsmssub.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tsmssub.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
5 tgptmd 24003 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ TopMnd)
7 tsmssub.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
8 tsmssub.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
9 tgpgrp 24002 . . . . 5 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
10 eqid 2728 . . . . . 6 (invg𝐺) = (invg𝐺)
111, 10grpinvf 18950 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺):𝐵𝐵)
124, 9, 113syl 18 . . . 4 (𝜑 → (invg𝐺):𝐵𝐵)
13 tsmssub.h . . . 4 (𝜑𝐻:𝐴𝐵)
14 fco 6752 . . . 4 (((invg𝐺):𝐵𝐵𝐻:𝐴𝐵) → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
1512, 13, 14syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻):𝐴𝐵)
16 tsmssub.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
17 tsmssub.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
181, 10, 3, 4, 7, 13, 17tsmsinv 24072 . . 3 (𝜑 → ((invg𝐺)‘𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
191, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18tsmsadd 24071 . 2 (𝜑 → (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
20 tgptps 24004 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
214, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
221, 3, 21, 7, 8tsmscl 24059 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
2322, 16sseldd 3983 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
241, 3, 21, 7, 13tsmscl 24059 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
2524, 17sseldd 3983 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
26 tsmssub.p . . . 4 = (-g𝐺)
271, 2, 10, 26grpsubval 18949 . . 3 ((𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
2823, 25, 27syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝐺)((invg𝐺)‘𝑌)))
298ffvelcdmda 7099 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐹𝑘) ∈ 𝐵)
3013ffvelcdmda 7099 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐻𝑘) ∈ 𝐵)
311, 2, 10, 26grpsubval 18949 . . . . . 6 (((𝐹𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3229, 30, 31syl2anc 582 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘)) = ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
3332mpteq2dva 5252 . . . 4 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
348feqmptd 6972 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐹𝑘)))
3513feqmptd 6972 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝑘𝐴 ↦ (𝐻𝑘)))
367, 29, 30, 34, 35offval2 7711 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘) (𝐻𝑘))))
37 fvexd 6917 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)) ∈ V)
3812feqmptd 6972 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝐺) = (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘𝑥)))
39 fveq2 6902 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐻𝑘) → ((invg𝐺)‘𝑥) = ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))
4030, 35, 38, 39fmptco 7144 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘𝐴 ↦ ((invg𝐺)‘(𝐻𝑘))))
417, 29, 37, 34, 40offval2 7711 . . . 4 (𝜑 → (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘𝐴 ↦ ((𝐹𝑘)(+g𝐺)((invg𝐺)‘(𝐻𝑘)))))
4233, 36, 413eqtr4d 2778 . . 3 (𝜑 → (𝐹f 𝐻) = (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻)))
4342oveq2d 7442 . 2 (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹f 𝐻)) = (𝐺 tsums (𝐹f (+g𝐺)((invg𝐺) ∘ 𝐻))))
4419, 28, 433eltr4d 2844 1 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹f 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3473  cmpt 5235  ccom 5686  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  f cof 7689  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  -gcsg 18899  CMndccmn 19742  TopSpctps 22854  TopMndctmd 23994  TopGrpctgp 23995   tsums ctsu 24050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-plusf 18606  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-ntr 22944  df-nei 23022  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-tx 23486  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-tmd 23996  df-tgp 23997  df-tsms 24051
This theorem is referenced by:  tgptsmscls  24074
  Copyright terms: Public domain W3C validator