Theorem tsmssub 24287

Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssub.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
tsmssub.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssub.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmssub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmssub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmssub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmssub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tsmssub	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)))

Proof of Theorem tsmssub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssub.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		tsmssub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmssub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
5		tgptmd 24217	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
7		tsmssub.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		tsmssub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		tgpgrp 24216	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
11	1, 10	grpinvf 19054	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
12	4, 9, 11	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
13		tsmssub.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
14		fco 6732	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐻:𝐴⟶𝐵) → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
16		tsmssub.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
17		tsmssub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
18	1, 10, 3, 4, 7, 13, 17	tsmsinv 24286	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
19	1, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18	tsmsadd 24285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
20		tgptps 24218	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
21	4, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
22	1, 3, 21, 7, 8	tsmscl 24273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
23	22, 16	sseldd 3939	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	1, 3, 21, 7, 13	tsmscl 24273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
25	24, 17	sseldd 3939	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
26		tsmssub.p	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
27	1, 2, 10, 26	grpsubval 19053	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	23, 25, 27	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
29	8	ffvelcdmda 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
30	13	ffvelcdmda 7081	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
31	1, 2, 10, 26	grpsubval 19053	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
32	29, 30, 31	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
33	32	mpteq2dva 5205	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
34	8	feqmptd 6951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
35	13	feqmptd 6951	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘𝑘)))
36	7, 29, 30, 34, 35	offval2 7696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
37		fvexd 6898	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
38	12	feqmptd 6951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
39		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
40	30, 35, 38, 39	fmptco 7127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
41	7, 29, 37, 34, 40	offval2 7696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
42	33, 36, 41	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
43	42	oveq2d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
44	19, 28, 43	3eltr4d 2878	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ↦ cmpt 5193   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7674  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  Grpcgrp 19001  inv_gcminusg 19002  -_gcsg 19003  CMndccmn 19851  TopSpctps 23070  TopMndctmd 24208  TopGrpctgp 24209   tsums ctsu 24264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-plusf 18698  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-ghm 19285  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-ntr 23158  df-nei 23236  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-tx 23700  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-tmd 24210  df-tgp 24211  df-tsms 24265

This theorem is referenced by:  tgptsmscls  24288