Theorem tsmssub 23644

Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssub.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
tsmssub.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssub.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmssub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmssub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmssub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmssub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tsmssub	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)))

Proof of Theorem tsmssub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssub.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		tsmssub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmssub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
5		tgptmd 23574	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
7		tsmssub.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		tsmssub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		tgpgrp 23573	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
10		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
11	1, 10	grpinvf 18867	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
12	4, 9, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
13		tsmssub.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
14		fco 6738	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐻:𝐴⟶𝐵) → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
16		tsmssub.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
17		tsmssub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
18	1, 10, 3, 4, 7, 13, 17	tsmsinv 23643	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
19	1, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18	tsmsadd 23642	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
20		tgptps 23575	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
21	4, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
22	1, 3, 21, 7, 8	tsmscl 23630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
23	22, 16	sseldd 3982	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	1, 3, 21, 7, 13	tsmscl 23630	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
25	24, 17	sseldd 3982	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
26		tsmssub.p	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
27	1, 2, 10, 26	grpsubval 18866	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	23, 25, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
29	8	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
30	13	ffvelcdmda 7083	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
31	1, 2, 10, 26	grpsubval 18866	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
32	29, 30, 31	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
33	32	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
34	8	feqmptd 6957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
35	13	feqmptd 6957	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘𝑘)))
36	7, 29, 30, 34, 35	offval2 7686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
37		fvexd 6903	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
38	12	feqmptd 6957	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
39		fveq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
40	30, 35, 38, 39	fmptco 7123	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
41	7, 29, 37, 34, 40	offval2 7686	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
42	33, 36, 41	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
43	42	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
44	19, 28, 43	3eltr4d 2848	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  -_gcsg 18817  CMndccmn 19642  TopSpctps 22425  TopMndctmd 23565  TopGrpctgp 23566   tsums ctsu 23621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-ntr 22515  df-nei 22593  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-tmd 23567  df-tgp 23568  df-tsms 23622

This theorem is referenced by:  tgptsmscls  23645