Theorem tsmssub 24105

Description: The difference of two infinite group sums. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tsmssub.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tsmssub.p	⊢ − = (-g‘𝐺)
tsmssub.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tsmssub.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tsmssub.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tsmssub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
tsmssub.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
tsmssub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
tsmssub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))

Assertion

Ref	Expression
tsmssub	⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)))

Proof of Theorem tsmssub

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tsmssub.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		tsmssub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tsmssub.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
5		tgptmd 24035	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopMnd)
7		tsmssub.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		tsmssub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
9		tgpgrp 24034	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
11	1, 10	grpinvf 18928	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
12	4, 9, 11	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵)
13		tsmssub.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐴⟶𝐵)
14		fco 6694	. . . 4 ⊢ (((invg‘𝐺):𝐵⟶𝐵 ∧ 𝐻:𝐴⟶𝐵) → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
15	12, 13, 14	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻):𝐴⟶𝐵)
16		tsmssub.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
17		tsmssub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐺 tsums 𝐻))
18	1, 10, 3, 4, 7, 13, 17	tsmsinv 24104	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺)‘𝑌) ∈ (𝐺 tsums ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
19	1, 2, 3, 6, 7, 8, 15, 16, 18	tsmsadd 24103	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
20		tgptps 24036	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
21	4, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
22	1, 3, 21, 7, 8	tsmscl 24091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
23	22, 16	sseldd 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
24	1, 3, 21, 7, 13	tsmscl 24091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐻) ⊆ 𝐵)
25	24, 17	sseldd 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
26		tsmssub.p	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
27	1, 2, 10, 26	grpsubval 18927	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
28	23, 25, 27	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑌)))
29	8	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵)
30	13	ffvelcdmda 7038	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵)
31	1, 2, 10, 26	grpsubval 18927	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ 𝐵 ∧ (𝐻‘𝑘) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
32	29, 30, 31	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘)) = ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
33	32	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
34	8	feqmptd 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑘)))
35	13	feqmptd 6910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ (𝐻‘𝑘)))
36	7, 29, 30, 34, 35	offval2 7652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘) − (𝐻‘𝑘))))
37		fvexd 6857	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)) ∈ V)
38	12	feqmptd 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
39		fveq2 6842	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐻‘𝑘) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))
40	30, 35, 38, 39	fmptco 7084	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝐺) ∘ 𝐻) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘))))
41	7, 29, 37, 34, 40	offval2 7652	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑘)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝐻‘𝑘)))))
42	33, 36, 41	3eqtr4d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐻) = (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻)))
43	42	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)) = (𝐺 tsums (𝐹 ∘f (+g‘𝐺)((invg‘𝐺) ∘ 𝐻))))
44	19, 28, 43	3eltr4d 2852	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝐺 tsums (𝐹 ∘f − 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876  -_gcsg 18877  CMndccmn 19721  TopSpctps 22888  TopMndctmd 24026  TopGrpctgp 24027   tsums ctsu 24082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-plusf 18576  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-ghm 19154  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-ntr 22976  df-nei 23054  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-tx 23518  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-tmd 24028  df-tgp 24029  df-tsms 24083

This theorem is referenced by:  tgptsmscls  24106