MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgtgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgtgp 23608
Description: A subgroup of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgtgp.h ๐ป = (๐บ โ†พs ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
subgtgp ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopGrp)

Proof of Theorem subgtgp
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgtgp.h . . . 4 ๐ป = (๐บ โ†พs ๐‘†)
21subggrp 19008 . . 3 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐ป โˆˆ Grp)
32adantl 482 . 2 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ Grp)
4 tgptmd 23582 . . 3 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐บ โˆˆ TopMnd)
5 subgsubm 19027 . . 3 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โˆˆ (SubMndโ€˜๐บ))
61submtmd 23607 . . 3 ((๐บ โˆˆ TopMnd โˆง ๐‘† โˆˆ (SubMndโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopMnd)
74, 5, 6syl2an 596 . 2 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopMnd)
81subgbas 19009 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐ป))
98adantl 482 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐ป))
109mpteq1d 5243 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
11 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐ป) = (invgโ€˜๐ป)
131, 11, 12subginv 19012 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))
1413adantll 712 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))
1514mpteq2dva 5248 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
16 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
1716, 12grpinvf 18870 . . . . . . 7 (๐ป โˆˆ Grp โ†’ (invgโ€˜๐ป):(Baseโ€˜๐ป)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
183, 17syl 17 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป):(Baseโ€˜๐ป)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
1918feqmptd 6960 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
2010, 15, 193eqtr4rd 2783 . . . 4 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
21 eqid 2732 . . . . 5 ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) = ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†)
22 eqid 2732 . . . . . . 7 (TopOpenโ€˜๐บ) = (TopOpenโ€˜๐บ)
23 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
2422, 23tgptopon 23585 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
2524adantr 481 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
2623subgss 19006 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
2726adantl 482 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
28 tgpgrp 23581 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2928adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3023, 11grpinvf 18870 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (invgโ€˜๐บ):(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐บ):(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
3231feqmptd 6960 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
3322, 11tgpinv 23588 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ (invgโ€˜๐บ) โˆˆ ((TopOpenโ€˜๐บ) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3433adantr 481 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐บ) โˆˆ ((TopOpenโ€˜๐บ) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3532, 34eqeltrrd 2834 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((TopOpenโ€˜๐บ) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3621, 25, 27, 35cnmpt1res 23179 . . . 4 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3720, 36eqeltrd 2833 . . 3 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3818frnd 6725 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ran (invgโ€˜๐ป) โŠ† (Baseโ€˜๐ป))
3938, 9sseqtrrd 4023 . . . 4 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ran (invgโ€˜๐ป) โŠ† ๐‘†)
40 cnrest2 22789 . . . 4 (((TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)) โˆง ran (invgโ€˜๐ป) โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)) โ†” (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†))))
4125, 39, 27, 40syl3anc 1371 . . 3 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ((invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)) โ†” (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†))))
4237, 41mpbid 231 . 2 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†)))
431, 22resstopn 22689 . . 3 ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) = (TopOpenโ€˜๐ป)
4443, 12istgp 23580 . 2 (๐ป โˆˆ TopGrp โ†” (๐ป โˆˆ Grp โˆง ๐ป โˆˆ TopMnd โˆง (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†))))
453, 7, 42, 44syl3anbrc 1343 1 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โŠ† wss 3948   โ†ฆ cmpt 5231  ran crn 5677  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143   โ†พs cress 17172   โ†พt crest 17365  TopOpenctopn 17366  SubMndcsubmnd 18669  Grpcgrp 18818  invgcminusg 18819  SubGrpcsubg 18999  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727  TopMndctmd 23573  TopGrpctgp 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-tset 17215  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-tx 23065  df-tmd 23575  df-tgp 23576
This theorem is referenced by:  qqhcn  32966
  Copyright terms: Public domain W3C validator