Theorem subgtgp 22710

Description: A subgroup of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgtgp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgtgp	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem subgtgp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgtgp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 18274	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4		tgptmd 22684	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
5		subgsubm 18293	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6	1	submtmd 22709	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
7	4, 5, 6	syl2an 598	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
8	1	subgbas 18275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	8	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10	9	mpteq1d 5119	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
11		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
13	1, 11, 12	subginv 18278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐻)‘𝑥))
14	13	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐻)‘𝑥))
15	14	mpteq2dva 5125	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
16		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
17	16, 12	grpinvf 18142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → (invg‘𝐻):(Base‘𝐻)⟶(Base‘𝐻))
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻):(Base‘𝐻)⟶(Base‘𝐻))
19	18	feqmptd 6708	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
20	10, 15, 19	3eqtr4rd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
21		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
22		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
23		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
24	22, 23	tgptopon 22687	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
25	24	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
26	23	subgss 18272	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27	26	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
28		tgpgrp 22683	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
29	28	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
30	23, 11	grpinvf 18142	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
32	31	feqmptd 6708	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
33	22, 11	tgpinv 22690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
34	33	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
35	32, 34	eqeltrrd 2891	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
36	21, 25, 27, 35	cnmpt1res 22281	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)))
37	20, 36	eqeltrd 2890	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)))
38	18	frnd 6494	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ran (invg‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
39	38, 9	sseqtrrd 3956	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ran (invg‘𝐻) ⊆ 𝑆)
40		cnrest2 21891	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (invg‘𝐻) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
41	25, 39, 27, 40	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
42	37, 41	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
43	1, 22	resstopn 21791	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
44	43, 12	istgp 22682	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ TopGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
45	3, 7, 42, 44	syl3anbrc 1340	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   ↦ cmpt 5110  ran crn 5520  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476   ↾_t crest 16686  TopOpenctopn 16687  SubMndcsubmnd 17947  Grpcgrp 18095  inv_gcminusg 18096  SubGrpcsubg 18265  TopOnctopon 21515   Cn ccn 21829  TopMndctmd 22675  TopGrpctgp 22676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-tset 16576  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-topgen 16709  df-plusf 17843  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cn 21832  df-tx 22167  df-tmd 22677  df-tgp 22678

This theorem is referenced by:  qqhcn  31342