Theorem subgtgp 24134

Description: A subgroup of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgtgp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgtgp	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem subgtgp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgtgp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19169	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4		tgptmd 24108	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
5		subgsubm 19188	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6	1	submtmd 24133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
7	4, 5, 6	syl2an 595	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
8	1	subgbas 19170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10	9	mpteq1d 5261	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
11		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
13	1, 11, 12	subginv 19173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐻)‘𝑥))
14	13	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐻)‘𝑥))
15	14	mpteq2dva 5266	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
16		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
17	16, 12	grpinvf 19026	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → (invg‘𝐻):(Base‘𝐻)⟶(Base‘𝐻))
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻):(Base‘𝐻)⟶(Base‘𝐻))
19	18	feqmptd 6990	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
20	10, 15, 19	3eqtr4rd 2791	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
21		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
22		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
23		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
24	22, 23	tgptopon 24111	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
26	23	subgss 19167	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
28		tgpgrp 24107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
30	23, 11	grpinvf 19026	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
32	31	feqmptd 6990	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
33	22, 11	tgpinv 24114	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
35	32, 34	eqeltrrd 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
36	21, 25, 27, 35	cnmpt1res 23705	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)))
37	20, 36	eqeltrd 2844	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)))
38	18	frnd 6755	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ran (invg‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
39	38, 9	sseqtrrd 4050	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ran (invg‘𝐻) ⊆ 𝑆)
40		cnrest2 23315	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (invg‘𝐻) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
41	25, 39, 27, 40	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
42	37, 41	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
43	1, 22	resstopn 23215	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
44	43, 12	istgp 24106	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ TopGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
45	3, 7, 42, 44	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  SubMndcsubmnd 18817  Grpcgrp 18973  inv_gcminusg 18974  SubGrpcsubg 19160  TopOnctopon 22937   Cn ccn 23253  TopMndctmd 24099  TopGrpctgp 24100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-tset 17330  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-topgen 17503  df-plusf 18677  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-subg 19163  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-tx 23591  df-tmd 24101  df-tgp 24102

This theorem is referenced by:  qqhcn  33937