Theorem subgtgp 24273

Description: A subgroup of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgtgp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgtgp	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem subgtgp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgtgp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19201	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4		tgptmd 24247	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
5		subgsubm 19221	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6	1	submtmd 24272	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
7	4, 5, 6	syl2an 607	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
8	1	subgbas 19202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	8	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10	9	mpteq1d 5200	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
11		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
13	1, 11, 12	subginv 19205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐻)‘𝑥))
14	13	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐻)‘𝑥))
15	14	mpteq2dva 5203	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
16		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
17	16, 12	grpinvf 19059	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → (invg‘𝐻):(Base‘𝐻)⟶(Base‘𝐻))
18	3, 17	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻):(Base‘𝐻)⟶(Base‘𝐻))
19	18	feqmptd 6949	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
20	10, 15, 19	3eqtr4rd 2808	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
21		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
22		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
23		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
24	22, 23	tgptopon 24250	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
25	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
26	23	subgss 19199	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27	26	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
28		tgpgrp 24246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
29	28	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
30	23, 11	grpinvf 19059	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
31	29, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
32	31	feqmptd 6949	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
33	22, 11	tgpinv 24253	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
34	33	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
35	32, 34	eqeltrrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
36	21, 25, 27, 35	cnmpt1res 23844	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)))
37	20, 36	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)))
38	18	frnd 6714	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ran (invg‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
39	38, 9	sseqtrrd 3973	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ran (invg‘𝐻) ⊆ 𝑆)
40		cnrest2 23454	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (invg‘𝐻) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
41	25, 39, 27, 40	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
42	37, 41	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
43	1, 22	resstopn 23354	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
44	43, 12	istgp 24245	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ TopGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
45	3, 7, 42, 44	syl3anbrc 1361	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   ↦ cmpt 5191  ran crn 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275   ↾_s cress 17296   ↾_t crest 17479  TopOpenctopn 17480  SubMndcsubmnd 18846  Grpcgrp 19006  inv_gcminusg 19007  SubGrpcsubg 19192  TopOnctopon 23078   Cn ccn 23392  TopMndctmd 24238  TopGrpctgp 24239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9369  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-tset 17335  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-topgen 17502  df-plusf 18703  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-subg 19195  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cn 23395  df-tx 23730  df-tmd 24240  df-tgp 24241

This theorem is used by:  qqhcn  34390