MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgtgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgtgp 23609
Description: A subgroup of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgtgp.h ๐ป = (๐บ โ†พs ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
subgtgp ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopGrp)

Proof of Theorem subgtgp
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgtgp.h . . . 4 ๐ป = (๐บ โ†พs ๐‘†)
21subggrp 19009 . . 3 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐ป โˆˆ Grp)
32adantl 483 . 2 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ Grp)
4 tgptmd 23583 . . 3 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐บ โˆˆ TopMnd)
5 subgsubm 19028 . . 3 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โˆˆ (SubMndโ€˜๐บ))
61submtmd 23608 . . 3 ((๐บ โˆˆ TopMnd โˆง ๐‘† โˆˆ (SubMndโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopMnd)
74, 5, 6syl2an 597 . 2 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopMnd)
81subgbas 19010 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐ป))
98adantl 483 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐ป))
109mpteq1d 5244 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐ป) = (invgโ€˜๐ป)
131, 11, 12subginv 19013 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))
1413adantll 713 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))
1514mpteq2dva 5249 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
16 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
1716, 12grpinvf 18871 . . . . . . 7 (๐ป โˆˆ Grp โ†’ (invgโ€˜๐ป):(Baseโ€˜๐ป)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
183, 17syl 17 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป):(Baseโ€˜๐ป)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
1918feqmptd 6961 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
2010, 15, 193eqtr4rd 2784 . . . 4 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
21 eqid 2733 . . . . 5 ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) = ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†)
22 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenโ€˜๐บ) = (TopOpenโ€˜๐บ)
23 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
2422, 23tgptopon 23586 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
2524adantr 482 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
2623subgss 19007 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
2726adantl 483 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
28 tgpgrp 23582 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2928adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3023, 11grpinvf 18871 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (invgโ€˜๐บ):(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐บ):(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
3231feqmptd 6961 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
3322, 11tgpinv 23589 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ (invgโ€˜๐บ) โˆˆ ((TopOpenโ€˜๐บ) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐บ) โˆˆ ((TopOpenโ€˜๐บ) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3532, 34eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((TopOpenโ€˜๐บ) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3621, 25, 27, 35cnmpt1res 23180 . . . 4 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3720, 36eqeltrd 2834 . . 3 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3818frnd 6726 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ran (invgโ€˜๐ป) โŠ† (Baseโ€˜๐ป))
3938, 9sseqtrrd 4024 . . . 4 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ran (invgโ€˜๐ป) โŠ† ๐‘†)
40 cnrest2 22790 . . . 4 (((TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)) โˆง ran (invgโ€˜๐ป) โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)) โ†” (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†))))
4125, 39, 27, 40syl3anc 1372 . . 3 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ((invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)) โ†” (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†))))
4237, 41mpbid 231 . 2 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†)))
431, 22resstopn 22690 . . 3 ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) = (TopOpenโ€˜๐ป)
4443, 12istgp 23581 . 2 (๐ป โˆˆ TopGrp โ†” (๐ป โˆˆ Grp โˆง ๐ป โˆˆ TopMnd โˆง (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†))))
453, 7, 42, 44syl3anbrc 1344 1 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3949   โ†ฆ cmpt 5232  ran crn 5678  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   โ†พs cress 17173   โ†พt crest 17366  TopOpenctopn 17367  SubMndcsubmnd 18670  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  SubGrpcsubg 19000  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  TopMndctmd 23574  TopGrpctgp 23575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-tset 17216  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-tx 23066  df-tmd 23576  df-tgp 23577
This theorem is referenced by:  qqhcn  32971
  Copyright terms: Public domain W3C validator