MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subgtgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subgtgp 23479
Description: A subgroup of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
subgtgp.h ๐ป = (๐บ โ†พs ๐‘†)
Assertion
Ref Expression
subgtgp ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopGrp)

Proof of Theorem subgtgp
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subgtgp.h . . . 4 ๐ป = (๐บ โ†พs ๐‘†)
21subggrp 18939 . . 3 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐ป โˆˆ Grp)
32adantl 483 . 2 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ Grp)
4 tgptmd 23453 . . 3 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐บ โˆˆ TopMnd)
5 subgsubm 18958 . . 3 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โˆˆ (SubMndโ€˜๐บ))
61submtmd 23478 . . 3 ((๐บ โˆˆ TopMnd โˆง ๐‘† โˆˆ (SubMndโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopMnd)
74, 5, 6syl2an 597 . 2 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopMnd)
81subgbas 18940 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐ป))
98adantl 483 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘† = (Baseโ€˜๐ป))
109mpteq1d 5204 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐บ) = (invgโ€˜๐บ)
12 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invgโ€˜๐ป) = (invgโ€˜๐ป)
131, 11, 12subginv 18943 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))
1413adantll 713 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ) = ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ))
1514mpteq2dva 5209 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
16 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ป) = (Baseโ€˜๐ป)
1716, 12grpinvf 18805 . . . . . . 7 (๐ป โˆˆ Grp โ†’ (invgโ€˜๐ป):(Baseโ€˜๐ป)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
183, 17syl 17 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป):(Baseโ€˜๐ป)โŸถ(Baseโ€˜๐ป))
1918feqmptd 6914 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐ป) โ†ฆ ((invgโ€˜๐ป)โ€˜๐‘ฅ)))
2010, 15, 193eqtr4rd 2784 . . . 4 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
21 eqid 2733 . . . . 5 ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) = ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†)
22 eqid 2733 . . . . . . 7 (TopOpenโ€˜๐บ) = (TopOpenโ€˜๐บ)
23 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseโ€˜๐บ) = (Baseโ€˜๐บ)
2422, 23tgptopon 23456 . . . . . 6 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
2524adantr 482 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)))
2623subgss 18937 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
2726adantl 483 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ))
28 tgpgrp 23452 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2928adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
3023, 11grpinvf 18805 . . . . . . . 8 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ (invgโ€˜๐บ):(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
3129, 30syl 17 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐บ):(Baseโ€˜๐บ)โŸถ(Baseโ€˜๐บ))
3231feqmptd 6914 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐บ) = (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)))
3322, 11tgpinv 23459 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ TopGrp โ†’ (invgโ€˜๐บ) โˆˆ ((TopOpenโ€˜๐บ) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐บ) โˆˆ ((TopOpenโ€˜๐บ) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3532, 34eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐บ) โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ ((TopOpenโ€˜๐บ) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3621, 25, 27, 35cnmpt1res 23050 . . . 4 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โ†ฆ ((invgโ€˜๐บ)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3720, 36eqeltrd 2834 . . 3 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)))
3818frnd 6680 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ran (invgโ€˜๐ป) โŠ† (Baseโ€˜๐ป))
3938, 9sseqtrrd 3989 . . . 4 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ran (invgโ€˜๐ป) โŠ† ๐‘†)
40 cnrest2 22660 . . . 4 (((TopOpenโ€˜๐บ) โˆˆ (TopOnโ€˜(Baseโ€˜๐บ)) โˆง ran (invgโ€˜๐ป) โŠ† ๐‘† โˆง ๐‘† โŠ† (Baseโ€˜๐บ)) โ†’ ((invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)) โ†” (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†))))
4125, 39, 27, 40syl3anc 1372 . . 3 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ((invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn (TopOpenโ€˜๐บ)) โ†” (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†))))
4237, 41mpbid 231 . 2 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†)))
431, 22resstopn 22560 . . 3 ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) = (TopOpenโ€˜๐ป)
4443, 12istgp 23451 . 2 (๐ป โˆˆ TopGrp โ†” (๐ป โˆˆ Grp โˆง ๐ป โˆˆ TopMnd โˆง (invgโ€˜๐ป) โˆˆ (((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†) Cn ((TopOpenโ€˜๐บ) โ†พt ๐‘†))))
453, 7, 42, 44syl3anbrc 1344 1 ((๐บ โˆˆ TopGrp โˆง ๐‘† โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ ๐ป โˆˆ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โŠ† wss 3914   โ†ฆ cmpt 5192  ran crn 5638  โŸถwf 6496  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091   โ†พs cress 17120   โ†พt crest 17310  TopOpenctopn 17311  SubMndcsubmnd 18608  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  SubGrpcsubg 18930  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598  TopMndctmd 23444  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-tset 17160  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-subg 18933  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-tx 22936  df-tmd 23446  df-tgp 23447
This theorem is referenced by:  qqhcn  32636
  Copyright terms: Public domain W3C validator