Theorem subgtgp 23829

Description: A subgroup of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
subgtgp.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
subgtgp	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem subgtgp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subgtgp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
2	1	subggrp 19045	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ∈ Grp)
3	2	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ Grp)
4		tgptmd 23803	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
5		subgsubm 19064	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺))
6	1	submtmd 23828	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
7	4, 5, 6	syl2an 594	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopMnd)
8	1	subgbas 19046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	8	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10	9	mpteq1d 5242	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
11		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
12		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐻) = (invg‘𝐻)
13	1, 11, 12	subginv 19049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐻)‘𝑥))
14	13	adantll 710	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐻)‘𝑥))
15	14	mpteq2dva 5247	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
16		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
17	16, 12	grpinvf 18907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → (invg‘𝐻):(Base‘𝐻)⟶(Base‘𝐻))
18	3, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻):(Base‘𝐻)⟶(Base‘𝐻))
19	18	feqmptd 6959	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐻) ↦ ((invg‘𝐻)‘𝑥)))
20	10, 15, 19	3eqtr4rd 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
21		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)
22		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
23		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
24	22, 23	tgptopon 23806	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
25	24	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)))
26	23	subgss 19043	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
27	26	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
28		tgpgrp 23802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
29	28	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
30	23, 11	grpinvf 18907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺):(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐺))
32	31	feqmptd 6959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺) = (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)))
33	22, 11	tgpinv 23809	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
34	33	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
35	32, 34	eqeltrrd 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
36	21, 25, 27, 35	cnmpt1res 23400	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ ((invg‘𝐺)‘𝑥)) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)))
37	20, 36	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)))
38	18	frnd 6724	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ran (invg‘𝐻) ⊆ (Base‘𝐻))
39	38, 9	sseqtrrd 4022	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ran (invg‘𝐻) ⊆ 𝑆)
40		cnrest2 23010	. . . 4 ⊢ (((TopOpen‘𝐺) ∈ (TopOn‘(Base‘𝐺)) ∧ ran (invg‘𝐻) ⊆ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺)) → ((invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
41	25, 39, 27, 40	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn (TopOpen‘𝐺)) ↔ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
42	37, 41	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆)))
43	1, 22	resstopn 22910	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) = (TopOpen‘𝐻)
44	43, 12	istgp 23801	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ TopGrp ↔ (𝐻 ∈ Grp ∧ 𝐻 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝐻) ∈ (((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆) Cn ((TopOpen‘𝐺) ↾t 𝑆))))
45	3, 7, 42, 44	syl3anbrc 1341	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → 𝐻 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177   ↾_t crest 17370  TopOpenctopn 17371  SubMndcsubmnd 18704  Grpcgrp 18855  inv_gcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036  TopOnctopon 22632   Cn ccn 22948  TopMndctmd 23794  TopGrpctgp 23795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-tset 17220  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-topgen 17393  df-plusf 18564  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-tx 23286  df-tmd 23796  df-tgp 23797

This theorem is referenced by:  qqhcn  33269