MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpt0 23622
Description: Hausdorff and T0 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgpt0 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem tgpt0
Dummy variables 𝑀 π‘Ž π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpt1.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
21tgpt1 23621 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
3 t1t0 22851 . . 3 (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Kol2)
4 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑀 ↔ π‘₯ ∈ 𝑧))
5 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
64, 5imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)))
76rspccva 3611 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧))
87adantll 712 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧))
9 tgpgrp 23581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
109ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
1211simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
13 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
14 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
15 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
1613, 14, 15grpsubid 18906 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (0gβ€˜πΊ))
1710, 12, 16syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (0gβ€˜πΊ))
1817oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = ((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
1911simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
20 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
2113, 20, 14grplid 18851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
2210, 19, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
2318, 22eqtrd 2772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
2413, 20, 15grpnpcan 18914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = 𝑦)
2510, 12, 19, 24syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = 𝑦)
26 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)
2725, 26eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧)
28 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž) = (𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯))
2928oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
3029eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧))
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
3231mptpreima 6237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) = {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}
3330, 32elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧))
3419, 27, 33sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧))
35 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑀 ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧)))
36 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧)))
3735, 36imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) ↔ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧))))
38 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀))
39 tgptmd 23582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
4039ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
411, 13tgptopon 23585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
4241ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
4342, 42, 12cnmptc 23165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4442cnmptid 23164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ π‘Ž) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
451, 15tgpsubcn 23593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4645ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4742, 43, 44, 46cnmpt12f 23169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4842, 42, 19cnmptc 23165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ π‘₯) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
491, 20, 40, 42, 47, 48cnmpt1plusg 23590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
51 cnima 22768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) ∈ 𝐽)
5249, 50, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) ∈ 𝐽)
5337, 38, 52rspcdva 3613 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧)))
5434, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧))
55 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž) = (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦))
5655oveq1d 7423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑦 β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
5756eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧))
5857, 32elrab2 3686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) ↔ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧))
5958simprbi 497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧)
6054, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧)
6123, 60eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑧)
6261expr 457 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ π‘₯ ∈ 𝑧))
638, 62impbid 211 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
6463ralrimiva 3146 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
6564ex 413 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)))
6665imim1d 82 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6766ralimdvva 3204 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
68 ist0-2 22847 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6941, 68syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
70 ist1-2 22850 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
7141, 70syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
7267, 69, 713imtr4d 293 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Kol2 β†’ 𝐽 ∈ Fre))
733, 72impbid2 225 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
742, 73bitrd 278 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  TopOpenctopn 17366  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727  Kol2ct0 22809  Frect1 22810  Hauscha 22811   Γ—t ctx 23063  TopMndctmd 23573  TopGrpctgp 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-t0 22816  df-t1 22817  df-haus 22818  df-tx 23065  df-tmd 23575  df-tgp 23576
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator