MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpt0 23493
Description: Hausdorff and T0 are equivalent for topological groups. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tgpt1.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgpt0 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))

Proof of Theorem tgpt0
Dummy variables 𝑀 π‘Ž π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgpt1.j . . 3 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
21tgpt1 23492 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Fre))
3 t1t0 22722 . . 3 (𝐽 ∈ Fre β†’ 𝐽 ∈ Kol2)
4 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑀 ↔ π‘₯ ∈ 𝑧))
5 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = 𝑧 β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
64, 5imbi12d 345 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 𝑧 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)))
76rspccva 3582 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧))
87adantll 713 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 β†’ 𝑦 ∈ 𝑧))
9 tgpgrp 23452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ Grp)
109ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
11 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)))
1211simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
13 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
14 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
15 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-gβ€˜πΊ) = (-gβ€˜πΊ)
1613, 14, 15grpsubid 18839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (0gβ€˜πΊ))
1710, 12, 16syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦) = (0gβ€˜πΊ))
1817oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = ((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
1911simpld 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
2113, 20, 14grplid 18788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
2210, 19, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((0gβ€˜πΊ)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
2318, 22eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = π‘₯)
2413, 20, 15grpnpcan 18847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = 𝑦)
2510, 12, 19, 24syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = 𝑦)
26 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑧)
2725, 26eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧)
28 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž) = (𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯))
2928oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = π‘₯ β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
3029eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = π‘₯ β†’ (((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧))
31 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) = (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
3231mptpreima 6194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) = {π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∣ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧}
3330, 32elrab2 3652 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘₯)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧))
3419, 27, 33sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧))
35 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑀 ↔ π‘₯ ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧)))
36 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ (𝑦 ∈ 𝑀 ↔ 𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧)))
3735, 36imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) ↔ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧))))
38 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀))
39 tgptmd 23453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
4039ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
411, 13tgptopon 23456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
4241ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
4342, 42, 12cnmptc 23036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4442cnmptid 23035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ π‘Ž) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
451, 15tgpsubcn 23464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4645ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (-gβ€˜πΊ) ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽))
4742, 43, 44, 46cnmpt12f 23040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ (𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
4842, 42, 19cnmptc 23036 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ π‘₯) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
491, 20, 40, 42, 47, 48cnmpt1plusg 23461 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
50 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐽)
51 cnima 22639 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) ∈ 𝐽)
5249, 50, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) ∈ 𝐽)
5337, 38, 52rspcdva 3584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ 𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧)))
5434, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧))
55 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž) = (𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦))
5655oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑦 β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) = ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯))
5756eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑦 β†’ (((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧))
5857, 32elrab2 3652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) ↔ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧))
5958simprbi 498 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (β—‘(π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΊ) ↦ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)π‘Ž)(+gβ€˜πΊ)π‘₯)) β€œ 𝑧) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧)
6054, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ ((𝑦(-gβ€˜πΊ)𝑦)(+gβ€˜πΊ)π‘₯) ∈ 𝑧)
6123, 60eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ (𝑧 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑧)
6261expr 458 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (𝑦 ∈ 𝑧 β†’ π‘₯ ∈ 𝑧))
638, 62impbid 211 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
6463ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
6564ex 414 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧)))
6665imim1d 82 . . . . 5 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦) β†’ (βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6766ralimdvva 3198 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
68 ist0-2 22718 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
6941, 68syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Kol2 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘§ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
70 ist1-2 22721 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
7141, 70syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)(βˆ€π‘€ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝑀 β†’ 𝑦 ∈ 𝑀) β†’ π‘₯ = 𝑦)))
7267, 69, 713imtr4d 294 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Kol2 β†’ 𝐽 ∈ Fre))
733, 72impbid2 225 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Fre ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
742, 73bitrd 279 1 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (𝐽 ∈ Haus ↔ 𝐽 ∈ Kol2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   ↦ cmpt 5192  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  TopOpenctopn 17311  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  -gcsg 18758  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598  Kol2ct0 22680  Frect1 22681  Hauscha 22682   Γ—t ctx 22934  TopMndctmd 23444  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-t0 22687  df-t1 22688  df-haus 22689  df-tx 22936  df-tmd 23446  df-tgp 23447
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator