Theorem nlmtlm 24812

Description: A normed module is a topological module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmtlm	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMod)

Proof of Theorem nlmtlm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 24795	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		nlmlmod 24796	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3		lmodabl 20999	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ Abel)
5		ngptgp 24754	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ Abel) → 𝑊 ∈ TopGrp)
6	1, 4, 5	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopGrp)
7		tgptmd 24197	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopGrp → 𝑊 ∈ TopMnd)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMnd)
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10	9	nlmnrg 24797	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
11		nrgtrg 24808	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing → (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing)
13	8, 2, 12	3jca 1144	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing))
14		eqid 2765	. . 3 ⊢ ( ·sf ‘𝑊) = ( ·sf ‘𝑊)
15		eqid 2765	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
16		eqid 2765	. . 3 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
17	9, 14, 15, 16	nlmvscn 24805	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → ( ·sf ‘𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊)))
18	14, 15, 9, 16	istlm 24303	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod ↔ ((𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing) ∧ ( ·sf ‘𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊))))
19	13, 17, 18	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Scalarcsca 17303  TopOpenctopn 17464  Abelcabl 19842  LModclmod 20950   ·_sf cscaf 20951   Cn ccn 23342   ×_t ctx 23678  TopMndctmd 24188  TopGrpctgp 24189  TopRingctrg 24274  TopModctlm 24276  NrmGrpcngp 24695  NrmRingcnrg 24697  NrmModcnlm 24698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ico 13369  df-icc 13370  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-rest 17465  df-topn 17466  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-topgen 17486  df-pt 17487  df-prds 17490  df-xrs 17546  df-qtop 17551  df-imas 17552  df-xps 17554  df-mre 17628  df-mrc 17629  df-acs 17631  df-plusf 18687  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-submnd 18832  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-abv 20881  df-lmod 20952  df-scaf 20953  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-psmet 21474  df-xmet 21475  df-met 21476  df-bl 21477  df-mopn 21478  df-top 23012  df-topon 23029  df-topsp 23051  df-bases 23064  df-cn 23345  df-cnp 23346  df-tx 23680  df-hmeo 23873  df-tmd 24190  df-tgp 24191  df-trg 24278  df-tlm 24280  df-xms 24438  df-ms 24439  df-tms 24440  df-nm 24700  df-ngp 24701  df-nrg 24703  df-nlm 24704

This theorem is referenced by:  nvctvc  24818