Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlmtlm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlmtlm 23303
 Description: A normed module is a topological module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
nlmtlm (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMod)

Proof of Theorem nlmtlm
StepHypRef Expression
1 nlmngp 23286 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2 nlmlmod 23287 . . . . . 6 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3 lmodabl 19677 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ Abel)
5 ngptgp 23245 . . . . 5 ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ Abel) → 𝑊 ∈ TopGrp)
61, 4, 5syl2anc 587 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopGrp)
7 tgptmd 22687 . . . 4 (𝑊 ∈ TopGrp → 𝑊 ∈ TopMnd)
86, 7syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMnd)
9 eqid 2801 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
109nlmnrg 23288 . . . 4 (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
11 nrgtrg 23299 . . . 4 ((Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing → (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing)
1210, 11syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing)
138, 2, 123jca 1125 . 2 (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing))
14 eqid 2801 . . 3 ( ·sf𝑊) = ( ·sf𝑊)
15 eqid 2801 . . 3 (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
16 eqid 2801 . . 3 (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
179, 14, 15, 16nlmvscn 23296 . 2 (𝑊 ∈ NrmMod → ( ·sf𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊)))
1814, 15, 9, 16istlm 22793 . 2 (𝑊 ∈ TopMod ↔ ((𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing) ∧ ( ·sf𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊))))
1913, 17, 18sylanbrc 586 1 (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMod)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Scalarcsca 16563  TopOpenctopn 16690  Abelcabl 18902  LModclmod 19630   ·sf cscaf 19631   Cn ccn 21832   ×t ctx 22168  TopMndctmd 22678  TopGrpctgp 22679  TopRingctrg 22764  TopModctlm 22766  NrmGrpcngp 23187  NrmRingcnrg 23189  NrmModcnlm 23190 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-plusf 17846  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-abv 19584  df-lmod 19632  df-scaf 19633  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-tmd 22680  df-tgp 22681  df-trg 22768  df-tlm 22770  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-nm 23192  df-ngp 23193  df-nrg 23195  df-nlm 23196 This theorem is referenced by:  nvctvc  23309
 Copyright terms: Public domain W3C validator