Theorem nlmtlm 23764

Description: A normed module is a topological module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmtlm	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMod)

Proof of Theorem nlmtlm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 23747	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		nlmlmod 23748	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3		lmodabl 20085	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ Abel)
5		ngptgp 23698	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ Abel) → 𝑊 ∈ TopGrp)
6	1, 4, 5	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopGrp)
7		tgptmd 23138	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopGrp → 𝑊 ∈ TopMnd)
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMnd)
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10	9	nlmnrg 23749	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
11		nrgtrg 23760	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing → (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing)
13	8, 2, 12	3jca 1126	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing))
14		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( ·sf ‘𝑊) = ( ·sf ‘𝑊)
15		eqid 2738	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
16		eqid 2738	. . 3 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
17	9, 14, 15, 16	nlmvscn 23757	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → ( ·sf ‘𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊)))
18	14, 15, 9, 16	istlm 23244	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod ↔ ((𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing) ∧ ( ·sf ‘𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊))))
19	13, 17, 18	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Scalarcsca 16891  TopOpenctopn 17049  Abelcabl 19302  LModclmod 20038   ·_sf cscaf 20039   Cn ccn 22283   ×_t ctx 22619  TopMndctmd 23129  TopGrpctgp 23130  TopRingctrg 23215  TopModctlm 23217  NrmGrpcngp 23639  NrmRingcnrg 23641  NrmModcnlm 23642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-plusf 18240  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-abv 19992  df-lmod 20040  df-scaf 20041  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-tmd 23131  df-tgp 23132  df-trg 23219  df-tlm 23221  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-nm 23644  df-ngp 23645  df-nrg 23647  df-nlm 23648

This theorem is referenced by:  nvctvc  23770