Theorem nlmtlm 24866

Description: A normed module is a topological module. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nlmtlm	⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMod)

Proof of Theorem nlmtlm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nlmngp 24849	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ NrmGrp)
2		nlmlmod 24850	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ LMod)
3		lmodabl 21045	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
4	2, 3	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ Abel)
5		ngptgp 24808	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmGrp ∧ 𝑊 ∈ Abel) → 𝑊 ∈ TopGrp)
6	1, 4, 5	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopGrp)
7		tgptmd 24251	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ TopGrp → 𝑊 ∈ TopMnd)
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMnd)
9		eqid 2766	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10	9	nlmnrg 24851	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
11		nrgtrg 24862	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing → (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing)
13	8, 2, 12	3jca 1146	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → (𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing))
14		eqid 2766	. . 3 ⊢ ( ·sf ‘𝑊) = ( ·sf ‘𝑊)
15		eqid 2766	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑊) = (TopOpen‘𝑊)
16		eqid 2766	. . 3 ⊢ (TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
17	9, 14, 15, 16	nlmvscn 24859	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → ( ·sf ‘𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊)))
18	14, 15, 9, 16	istlm 24357	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ TopMod ↔ ((𝑊 ∈ TopMnd ∧ 𝑊 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ TopRing) ∧ ( ·sf ‘𝑊) ∈ (((TopOpen‘(Scalar‘𝑊)) ×t (TopOpen‘𝑊)) Cn (TopOpen‘𝑊))))
19	13, 17, 18	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑊 ∈ NrmMod → 𝑊 ∈ TopMod)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Scalarcsca 17323  TopOpenctopn 17484  Abelcabl 19861  LModclmod 20996   ·_sf cscaf 20997   Cn ccn 23396   ×_t ctx 23732  TopMndctmd 24242  TopGrpctgp 24243  TopRingctrg 24328  TopModctlm 24330  NrmGrpcngp 24749  NrmRingcnrg 24751  NrmModcnlm 24752

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9936  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12515  df-z 12602  df-dec 12722  df-uz 12873  df-q 12983  df-rp 13027  df-xneg 13147  df-xadd 13148  df-xmul 13149  df-ico 13388  df-icc 13389  df-fz 13546  df-fzo 13694  df-seq 14049  df-exp 14109  df-hash 14378  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-struct 17217  df-sets 17234  df-slot 17252  df-ndx 17264  df-base 17280  df-ress 17301  df-plusg 17333  df-mulr 17334  df-sca 17336  df-vsca 17337  df-ip 17338  df-tset 17339  df-ple 17340  df-ds 17342  df-hom 17344  df-cco 17345  df-rest 17485  df-topn 17486  df-0g 17504  df-gsum 17505  df-topgen 17506  df-pt 17507  df-prds 17510  df-xrs 17566  df-qtop 17571  df-imas 17572  df-xps 17574  df-mre 17648  df-mrc 17649  df-acs 17651  df-plusf 18707  df-mgm 18708  df-sgrp 18787  df-mnd 18803  df-submnd 18852  df-grp 19013  df-minusg 19014  df-sbg 19015  df-mulg 19144  df-subg 19199  df-cntz 19397  df-cmn 19862  df-abl 19863  df-mgp 20227  df-rng 20241  df-ur 20274  df-ring 20327  df-subrng 20660  df-subrg 20684  df-abv 20927  df-lmod 20998  df-scaf 20999  df-sra 21309  df-rgmod 21310  df-psmet 21529  df-xmet 21530  df-met 21531  df-bl 21532  df-mopn 21533  df-top 23066  df-topon 23083  df-topsp 23105  df-bases 23118  df-cn 23399  df-cnp 23400  df-tx 23734  df-hmeo 23927  df-tmd 24244  df-tgp 24245  df-trg 24332  df-tlm 24334  df-xms 24492  df-ms 24493  df-tms 24494  df-nm 24754  df-ngp 24755  df-nrg 24757  df-nlm 24758

This theorem is used by:  nvctvc  24872