MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstgpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdstgpd 23629
Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstgpd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdstgpd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdstgpd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstgpd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopGrp)
Assertion
Ref Expression
prdstgpd (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopGrp)

Proof of Theorem prdstgpd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstgpd.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdstgpd.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 prdstgpd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdstgpd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopGrp)
5 tgpgrp 23582 . . . . 5 (π‘₯ ∈ TopGrp β†’ π‘₯ ∈ Grp)
65ssriv 3987 . . . 4 TopGrp βŠ† Grp
7 fss 6735 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢TopGrp ∧ TopGrp βŠ† Grp) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
84, 6, 7sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
91, 2, 3, 8prdsgrpd 18933 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
10 tgptmd 23583 . . . . 5 (π‘₯ ∈ TopGrp β†’ π‘₯ ∈ TopMnd)
1110ssriv 3987 . . . 4 TopGrp βŠ† TopMnd
12 fss 6735 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢TopGrp ∧ TopGrp βŠ† TopMnd) β†’ 𝑅:𝐼⟢TopMnd)
134, 11, 12sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopMnd)
141, 2, 3, 13prdstmdd 23628 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopMnd)
15 eqid 2733 . . . 4 (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))
16 eqid 2733 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜π‘Œ) = (TopOpenβ€˜π‘Œ)
17 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
1816, 17tmdtopon 23585 . . . . 5 (π‘Œ ∈ TopMnd β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
1914, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
20 topnfn 17371 . . . . . 6 TopOpen Fn V
214ffnd 6719 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
22 dffn2 6720 . . . . . . 7 (𝑅 Fn 𝐼 ↔ 𝑅:𝐼⟢V)
2321, 22sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢V)
24 fnfco 6757 . . . . . 6 ((TopOpen Fn V ∧ 𝑅:𝐼⟢V) β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
2520, 23, 24sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
26 fvco3 6991 . . . . . . . 8 ((𝑅:𝐼⟢TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
274, 26sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
284ffvelcdmda 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ TopGrp)
29 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
30 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
3129, 30tgptopon 23586 . . . . . . . 8 ((π‘…β€˜π‘¦) ∈ TopGrp β†’ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
32 topontop 22415 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ Top)
3328, 31, 323syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ Top)
3427, 33eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∈ Top)
3534ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∈ Top)
36 ffnfv 7118 . . . . 5 ((TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top ↔ ((TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∈ Top))
3725, 35, 36sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top)
3819adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
391, 3, 2, 21, 16prdstopn 23132 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
4039adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
4140eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (TopOpenβ€˜π‘Œ))
4241, 38eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
43 toponuni 22416 . . . . . . . . 9 ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
44 mpteq1 5242 . . . . . . . . 9 ((Baseβ€˜π‘Œ) = βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
462adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4737adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top)
48 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))
5049, 15ptpjcn 23115 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
5146, 47, 48, 50syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
5245, 51eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
5341, 27oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) = ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5452, 53eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
55 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
5629, 55tgpinv 23589 . . . . . . 7 ((π‘…β€˜π‘¦) ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5728, 56syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5838, 54, 57cnmpt11f 23168 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5927oveq2d 7425 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) = ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
6058, 59eleqtrrd 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
6115, 19, 2, 37, 60ptcn 23131 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦)))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))))
62 eqid 2733 . . . . . . 7 (invgβ€˜π‘Œ) = (invgβ€˜π‘Œ)
6317, 62grpinvf 18871 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ Grp β†’ (invgβ€˜π‘Œ):(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
649, 63syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ):(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
6564feqmptd 6961 . . . 4 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)))
662adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
673adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
688adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
69 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
701, 66, 67, 68, 17, 62, 69prdsinvgd 18934 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦))))
7170mpteq2dva 5249 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦)))))
7265, 71eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦)))))
7339oveq2d 7425 . . 3 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜π‘Œ)) = ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))))
7461, 72, 733eltr4d 2849 . 2 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜π‘Œ)))
7516, 62istgp 23581 . 2 (π‘Œ ∈ TopGrp ↔ (π‘Œ ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ TopMnd ∧ (invgβ€˜π‘Œ) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜π‘Œ))))
769, 14, 74, 75syl3anbrc 1344 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   ∘ ccom 5681   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  TopOpenctopn 17367  βˆtcpt 17384  Xscprds 17391  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  TopMndctmd 23574  TopGrpctgp 23575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-plusf 18560  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-tmd 23576  df-tgp 23577
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator