MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstgpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdstgpd 23499
Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstgpd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdstgpd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdstgpd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstgpd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopGrp)
Assertion
Ref Expression
prdstgpd (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopGrp)

Proof of Theorem prdstgpd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstgpd.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdstgpd.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 prdstgpd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdstgpd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopGrp)
5 tgpgrp 23452 . . . . 5 (π‘₯ ∈ TopGrp β†’ π‘₯ ∈ Grp)
65ssriv 3952 . . . 4 TopGrp βŠ† Grp
7 fss 6689 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢TopGrp ∧ TopGrp βŠ† Grp) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
84, 6, 7sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
91, 2, 3, 8prdsgrpd 18865 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
10 tgptmd 23453 . . . . 5 (π‘₯ ∈ TopGrp β†’ π‘₯ ∈ TopMnd)
1110ssriv 3952 . . . 4 TopGrp βŠ† TopMnd
12 fss 6689 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢TopGrp ∧ TopGrp βŠ† TopMnd) β†’ 𝑅:𝐼⟢TopMnd)
134, 11, 12sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopMnd)
141, 2, 3, 13prdstmdd 23498 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopMnd)
15 eqid 2733 . . . 4 (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))
16 eqid 2733 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜π‘Œ) = (TopOpenβ€˜π‘Œ)
17 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
1816, 17tmdtopon 23455 . . . . 5 (π‘Œ ∈ TopMnd β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
1914, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
20 topnfn 17315 . . . . . 6 TopOpen Fn V
214ffnd 6673 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
22 dffn2 6674 . . . . . . 7 (𝑅 Fn 𝐼 ↔ 𝑅:𝐼⟢V)
2321, 22sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢V)
24 fnfco 6711 . . . . . 6 ((TopOpen Fn V ∧ 𝑅:𝐼⟢V) β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
2520, 23, 24sylancr 588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
26 fvco3 6944 . . . . . . . 8 ((𝑅:𝐼⟢TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
274, 26sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
284ffvelcdmda 7039 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ TopGrp)
29 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
30 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
3129, 30tgptopon 23456 . . . . . . . 8 ((π‘…β€˜π‘¦) ∈ TopGrp β†’ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
32 topontop 22285 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ Top)
3328, 31, 323syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ Top)
3427, 33eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∈ Top)
3534ralrimiva 3140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∈ Top)
36 ffnfv 7070 . . . . 5 ((TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top ↔ ((TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∈ Top))
3725, 35, 36sylanbrc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top)
3819adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
391, 3, 2, 21, 16prdstopn 23002 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
4039adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
4140eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (TopOpenβ€˜π‘Œ))
4241, 38eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
43 toponuni 22286 . . . . . . . . 9 ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
44 mpteq1 5202 . . . . . . . . 9 ((Baseβ€˜π‘Œ) = βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
462adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4737adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top)
48 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
49 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))
5049, 15ptpjcn 22985 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
5146, 47, 48, 50syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
5245, 51eqeltrd 2834 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
5341, 27oveq12d 7379 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) = ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5452, 53eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
55 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
5629, 55tgpinv 23459 . . . . . . 7 ((π‘…β€˜π‘¦) ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5728, 56syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5838, 54, 57cnmpt11f 23038 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5927oveq2d 7377 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) = ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
6058, 59eleqtrrd 2837 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
6115, 19, 2, 37, 60ptcn 23001 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦)))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))))
62 eqid 2733 . . . . . . 7 (invgβ€˜π‘Œ) = (invgβ€˜π‘Œ)
6317, 62grpinvf 18805 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ Grp β†’ (invgβ€˜π‘Œ):(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
649, 63syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ):(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
6564feqmptd 6914 . . . 4 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)))
662adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
673adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
688adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
69 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
701, 66, 67, 68, 17, 62, 69prdsinvgd 18866 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦))))
7170mpteq2dva 5209 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦)))))
7265, 71eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦)))))
7339oveq2d 7377 . . 3 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜π‘Œ)) = ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))))
7461, 72, 733eltr4d 2849 . 2 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜π‘Œ)))
7516, 62istgp 23451 . 2 (π‘Œ ∈ TopGrp ↔ (π‘Œ ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ TopMnd ∧ (invgβ€˜π‘Œ) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜π‘Œ))))
769, 14, 74, 75syl3anbrc 1344 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆͺ cuni 4869   ↦ cmpt 5192   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  TopOpenctopn 17311  βˆtcpt 17328  Xscprds 17335  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  Topctop 22265  TopOnctopon 22282   Cn ccn 22598  TopMndctmd 23444  TopGrpctgp 23445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-plusf 18504  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-tx 22936  df-tmd 23446  df-tgp 23447
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator