MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdstgpd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdstgpd 23628
Description: The product of a family of topological groups is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdstgpd.y π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
prdstgpd.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdstgpd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdstgpd.r (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopGrp)
Assertion
Ref Expression
prdstgpd (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopGrp)

Proof of Theorem prdstgpd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdstgpd.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs𝑅)
2 prdstgpd.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
3 prdstgpd.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdstgpd.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopGrp)
5 tgpgrp 23581 . . . . 5 (π‘₯ ∈ TopGrp β†’ π‘₯ ∈ Grp)
65ssriv 3986 . . . 4 TopGrp βŠ† Grp
7 fss 6734 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢TopGrp ∧ TopGrp βŠ† Grp) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
84, 6, 7sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
91, 2, 3, 8prdsgrpd 18932 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Grp)
10 tgptmd 23582 . . . . 5 (π‘₯ ∈ TopGrp β†’ π‘₯ ∈ TopMnd)
1110ssriv 3986 . . . 4 TopGrp βŠ† TopMnd
12 fss 6734 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟢TopGrp ∧ TopGrp βŠ† TopMnd) β†’ 𝑅:𝐼⟢TopMnd)
134, 11, 12sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢TopMnd)
141, 2, 3, 13prdstmdd 23627 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopMnd)
15 eqid 2732 . . . 4 (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))
16 eqid 2732 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜π‘Œ) = (TopOpenβ€˜π‘Œ)
17 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
1816, 17tmdtopon 23584 . . . . 5 (π‘Œ ∈ TopMnd β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
1914, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
20 topnfn 17370 . . . . . 6 TopOpen Fn V
214ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 Fn 𝐼)
22 dffn2 6719 . . . . . . 7 (𝑅 Fn 𝐼 ↔ 𝑅:𝐼⟢V)
2321, 22sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅:𝐼⟢V)
24 fnfco 6756 . . . . . 6 ((TopOpen Fn V ∧ 𝑅:𝐼⟢V) β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
2520, 23, 24sylancr 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼)
26 fvco3 6990 . . . . . . . 8 ((𝑅:𝐼⟢TopGrp ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
274, 26sylan 580 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)))
284ffvelcdmda 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘…β€˜π‘¦) ∈ TopGrp)
29 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
30 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
3129, 30tgptopon 23585 . . . . . . . 8 ((π‘…β€˜π‘¦) ∈ TopGrp β†’ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
32 topontop 22414 . . . . . . . 8 ((TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))) β†’ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ Top)
3328, 31, 323syl 18 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ Top)
3427, 33eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∈ Top)
3534ralrimiva 3146 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∈ Top)
36 ffnfv 7117 . . . . 5 ((TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top ↔ ((TopOpen ∘ 𝑅) Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐼 ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦) ∈ Top))
3725, 35, 36sylanbrc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top)
3819adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
391, 3, 2, 21, 16prdstopn 23131 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
4039adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpenβ€˜π‘Œ) = (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
4140eqcomd 2738 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = (TopOpenβ€˜π‘Œ))
4241, 38eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)))
43 toponuni 22415 . . . . . . . . 9 ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ∈ (TopOnβ€˜(Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)))
44 mpteq1 5241 . . . . . . . . 9 ((Baseβ€˜π‘Œ) = βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
4542, 43, 443syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) = (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)))
462adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4737adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top)
48 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
49 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) = βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))
5049, 15ptpjcn 23114 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (TopOpen ∘ 𝑅):𝐼⟢Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
5146, 47, 48, 50syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
5245, 51eqeltrd 2833 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
5341, 27oveq12d 7426 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅)) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) = ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5452, 53eleqtrd 2835 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (π‘₯β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
55 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) = (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))
5629, 55tgpinv 23588 . . . . . . 7 ((π‘…β€˜π‘¦) ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5728, 56syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) ∈ ((TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦)) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5838, 54, 57cnmpt11f 23167 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
5927oveq2d 7424 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)) = ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))))
6058, 59eleqtrrd 2836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn ((TopOpen ∘ 𝑅)β€˜π‘¦)))
6115, 19, 2, 37, 60ptcn 23130 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦)))) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))))
62 eqid 2732 . . . . . . 7 (invgβ€˜π‘Œ) = (invgβ€˜π‘Œ)
6317, 62grpinvf 18870 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ Grp β†’ (invgβ€˜π‘Œ):(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
649, 63syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ):(Baseβ€˜π‘Œ)⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
6564feqmptd 6960 . . . 4 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)))
662adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
673adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
688adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ 𝑅:𝐼⟢Grp)
69 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
701, 66, 67, 68, 17, 62, 69prdsinvgd 18933 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ)) β†’ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯) = (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦))))
7170mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ ((invgβ€˜π‘Œ)β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦)))))
7265, 71eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ↦ (𝑦 ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜(π‘…β€˜π‘¦))β€˜(π‘₯β€˜π‘¦)))))
7339oveq2d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜π‘Œ)) = ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (∏tβ€˜(TopOpen ∘ 𝑅))))
7461, 72, 733eltr4d 2848 . 2 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜π‘Œ) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜π‘Œ)))
7516, 62istgp 23580 . 2 (π‘Œ ∈ TopGrp ↔ (π‘Œ ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ TopMnd ∧ (invgβ€˜π‘Œ) ∈ ((TopOpenβ€˜π‘Œ) Cn (TopOpenβ€˜π‘Œ))))
769, 14, 74, 75syl3anbrc 1343 1 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  TopOpenctopn 17366  βˆtcpt 17383  Xscprds 17390  Grpcgrp 18818  invgcminusg 18819  Topctop 22394  TopOnctopon 22411   Cn ccn 22727  TopMndctmd 23573  TopGrpctgp 23574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-plusf 18559  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-tx 23065  df-tmd 23575  df-tgp 23576
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator