Theorem tgpmulg 24412

Description: In a topological group, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpmulg.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
tgpmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgpmulg	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tgpmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptmd 24398	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
2		tgpmulg.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		tgpmulg.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		tgpmulg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	2, 3, 4	tmdmulg 24411	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6	1, 5	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
7	6	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12804	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	negnegd 11660	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
11	10	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
12		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	4, 3, 12	mulgnegnn 19294	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
14	13	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
15	11, 14	eqtr3d 2798	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
16	15	mpteq2dva 5198	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥))))
17	2, 4	tgptopon 24401	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
18	17	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
19	1	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ TopMnd)
20		nnnn0 12613	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
21	2, 3, 4	tmdmulg 24411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (-𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
22	19, 20, 21	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (-𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
23	2, 12	tgpinv 24404	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24	23	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (invg‘𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
25	18, 22, 24	cnmpt11f 23983	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26	16, 25	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27	26	adantrl 729	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
28		elznn0nn 12707	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
29	28	bilani 510	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
30	7, 27, 29	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  -cneg 11542  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  Basecbs 17387  TopOpenctopn 17592  inv_gcminusg 19145  ._gcmg 19277  TopOnctopon 23228   Cn ccn 23542  TopMndctmd 24389  TopGrpctgp 24390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-seq 14145  df-0g 17612  df-topgen 17614  df-plusf 18815  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mulg 19278  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-tx 23881  df-tmd 24391  df-tgp 24392

This theorem is used by:  tgpmulg2  24413