MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpmulg 22274
Description: In a topological group, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t · = (.g𝐺)
tgpmulg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tgpmulg ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tgpmulg
StepHypRef Expression
1 tgptmd 22260 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
2 tgpmulg.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3 tgpmulg.t . . . . 5 · = (.g𝐺)
4 tgpmulg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
52, 3, 4tmdmulg 22273 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
61, 5sylan 575 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
76adantlr 706 . 2 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8 simpllr 793 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
98zcnd 11818 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
109negnegd 10711 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
1110oveq1d 6925 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
12 eqid 2825 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
134, 3, 12mulgnegnn 17912 . . . . . . 7 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
1413adantll 705 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
1511, 14eqtr3d 2863 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
1615mpteq2dva 4969 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥))))
172, 4tgptopon 22263 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
1817ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
191adantr 474 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ TopMnd)
20 nnnn0 11633 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
212, 3, 4tmdmulg 22273 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (-𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2219, 20, 21syl2an 589 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐵 ↦ (-𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
232, 12tgpinv 22266 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2423ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (invg𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2518, 22, 24cnmpt11f 21845 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2616, 25eqeltrd 2906 . . 3 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2726adantrl 707 . 2 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
28 simpr 479 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
29 elznn0nn 11725 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
3028, 29sylib 210 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
317, 27, 30mpjaodan 986 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  cmpt 4954  cfv 6127  (class class class)co 6910  cr 10258  -cneg 10593  cn 11357  0cn0 11625  cz 11711  Basecbs 16229  TopOpenctopn 16442  invgcminusg 17784  .gcmg 17901  TopOnctopon 21092   Cn ccn 21406  TopMndctmd 22251  TopGrpctgp 22252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-seq 13103  df-0g 16462  df-topgen 16464  df-plusf 17601  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mulg 17902  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-tx 21743  df-tmd 22253  df-tgp 22254
This theorem is referenced by:  tgpmulg2  22275
  Copyright terms: Public domain W3C validator