MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpmulg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgpmulg 24041
Description: In a topological group, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t · = (.g𝐺)
tgpmulg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
tgpmulg ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tgpmulg
StepHypRef Expression
1 tgptmd 24027 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
2 tgpmulg.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3 tgpmulg.t . . . . 5 · = (.g𝐺)
4 tgpmulg.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
52, 3, 4tmdmulg 24040 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
61, 5sylan 578 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
76adantlr 713 . 2 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
98zcnd 12700 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
109negnegd 11594 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
1110oveq1d 7434 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
12 eqid 2725 . . . . . . . 8 (invg𝐺) = (invg𝐺)
134, 3, 12mulgnegnn 19047 . . . . . . 7 ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
1413adantll 712 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
1511, 14eqtr3d 2767 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑁 · 𝑥) = ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
1615mpteq2dva 5249 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) = (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥))))
172, 4tgptopon 24030 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
1817ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
191adantr 479 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ TopMnd)
20 nnnn0 12512 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
212, 3, 4tmdmulg 24040 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐵 ↦ (-𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2219, 20, 21syl2an 594 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐵 ↦ (-𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
232, 12tgpinv 24033 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2423ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (invg𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2518, 22, 24cnmpt11f 23612 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐵 ↦ ((invg𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2616, 25eqeltrd 2825 . . 3 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2726adantrl 714 . 2 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
28 simpr 483 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
29 elznn0nn 12605 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
3028, 29sylib 217 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
317, 27, 30mpjaodan 956 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  -cneg 11477  cn 12245  0cn0 12505  cz 12591  Basecbs 17183  TopOpenctopn 17406  invgcminusg 18899  .gcmg 19031  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23172  TopMndctmd 24018  TopGrpctgp 24019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-seq 14003  df-0g 17426  df-topgen 17428  df-plusf 18602  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mulg 19032  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-tx 23510  df-tmd 24020  df-tgp 24021
This theorem is referenced by:  tgpmulg2  24042
  Copyright terms: Public domain W3C validator