MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpmulg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgpmulg 23948
Description: In a topological group, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgpmulg.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
tgpmulg.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgpmulg ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐽   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑁
Proof of Theorem tgpmulg
StepHypRef Expression
1 tgptmd 23934 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
2 tgpmulg.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
3 tgpmulg.t . . . . 5 Β· = (.gβ€˜πΊ)
4 tgpmulg.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
52, 3, 4tmdmulg 23947 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
61, 5sylan 579 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
76adantlr 712 . 2 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8 simpllr 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
98zcnd 12668 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
109negnegd 11563 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ --𝑁 = 𝑁)
1110oveq1d 7419 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (--𝑁 Β· π‘₯) = (𝑁 Β· π‘₯))
12 eqid 2726 . . . . . . . 8 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
134, 3, 12mulgnegnn 19009 . . . . . . 7 ((-𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (--𝑁 Β· π‘₯) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(-𝑁 Β· π‘₯)))
1413adantll 711 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (--𝑁 Β· π‘₯) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(-𝑁 Β· π‘₯)))
1511, 14eqtr3d 2768 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(-𝑁 Β· π‘₯)))
1615mpteq2dva 5241 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(-𝑁 Β· π‘₯))))
172, 4tgptopon 23937 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
1817ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
191adantr 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
20 nnnn0 12480 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ β„• β†’ -𝑁 ∈ β„•0)
212, 3, 4tmdmulg 23947 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ -𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (-𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2219, 20, 21syl2an 595 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (-𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
232, 12tgpinv 23940 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2423ad2antrr 723 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2518, 22, 24cnmpt11f 23519 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(-𝑁 Β· π‘₯))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2616, 25eqeltrd 2827 . . 3 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2726adantrl 713 . 2 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
28 simpr 484 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
29 elznn0nn 12573 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)))
3028, 29sylib 217 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)))
317, 27, 30mpjaodan 955 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  -cneg 11446  β„•cn 12213  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  Basecbs 17151  TopOpenctopn 17374  invgcminusg 18862  .gcmg 18993  TopOnctopon 22763   Cn ccn 23079  TopMndctmd 23925  TopGrpctgp 23926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-0g 17394  df-topgen 17396  df-plusf 18570  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mulg 18994  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-tx 23417  df-tmd 23927  df-tgp 23928
This theorem is referenced by:  tgpmulg2  23949
  Copyright terms: Public domain W3C validator