Theorem tgpmulg 24218

Description: In a topological group, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpmulg.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
tgpmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tgpmulg	⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tgpmulg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptmd 24204	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
2		tgpmulg.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		tgpmulg.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		tgpmulg.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	2, 3, 4	tmdmulg 24217	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
6	1, 5	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
7	6	adantlr 727	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12700	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑁 ∈ ℂ)
10	9	negnegd 11559	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → --𝑁 = 𝑁)
11	10	oveq1d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
12		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
13	4, 3, 12	mulgnegnn 19149	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
14	13	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (--𝑁 · 𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
15	11, 14	eqtr3d 2806	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥)))
16	15	mpteq2dva 5208	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥))))
17	2, 4	tgptopon 24207	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
18	17	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
19	1	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐺 ∈ TopMnd)
20		nnnn0 12510	. . . . . 6 ⊢ (-𝑁 ∈ ℕ → -𝑁 ∈ ℕ0)
21	2, 3, 4	tmdmulg 24217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (-𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
22	19, 20, 21	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (-𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
23	2, 12	tgpinv 24210	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
24	23	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (invg‘𝐺) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
25	18, 22, 24	cnmpt11f 23789	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((invg‘𝐺)‘(-𝑁 · 𝑥))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26	16, 25	eqeltrd 2869	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27	26	adantrl 728	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
28		elznn0nn 12604	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
29	28	bilani 509	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ)))
30	7, 27, 29	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  -cneg 11441  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  Basecbs 17268  TopOpenctopn 17473  inv_gcminusg 19000  ._gcmg 19132  TopOnctopon 23035   Cn ccn 23349  TopMndctmd 24195  TopGrpctgp 24196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-seq 14037  df-0g 17493  df-topgen 17495  df-plusf 18696  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mulg 19133  df-top 23019  df-topon 23036  df-topsp 23058  df-bases 23071  df-cn 23352  df-cnp 23353  df-tx 23687  df-tmd 24197  df-tgp 24198

This theorem is referenced by:  tgpmulg2  24219