MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgpmulg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem tgpmulg 24015
Description: In a topological group, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgpmulg.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
tgpmulg.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
tgpmulg.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgpmulg ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐽   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑁
Proof of Theorem tgpmulg
StepHypRef Expression
1 tgptmd 24001 . . . 4 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
2 tgpmulg.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜πΊ)
3 tgpmulg.t . . . . 5 Β· = (.gβ€˜πΊ)
4 tgpmulg.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
52, 3, 4tmdmulg 24014 . . . 4 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
61, 5sylan 578 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
76adantlr 713 . 2 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
8 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
98zcnd 12703 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
109negnegd 11598 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ --𝑁 = 𝑁)
1110oveq1d 7439 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (--𝑁 Β· π‘₯) = (𝑁 Β· π‘₯))
12 eqid 2727 . . . . . . . 8 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
134, 3, 12mulgnegnn 19044 . . . . . . 7 ((-𝑁 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (--𝑁 Β· π‘₯) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(-𝑁 Β· π‘₯)))
1413adantll 712 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (--𝑁 Β· π‘₯) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(-𝑁 Β· π‘₯)))
1511, 14eqtr3d 2769 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑁 Β· π‘₯) = ((invgβ€˜πΊ)β€˜(-𝑁 Β· π‘₯)))
1615mpteq2dva 5250 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(-𝑁 Β· π‘₯))))
172, 4tgptopon 24004 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
1817ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π΅))
191adantr 479 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐺 ∈ TopMnd)
20 nnnn0 12515 . . . . . 6 (-𝑁 ∈ β„• β†’ -𝑁 ∈ β„•0)
212, 3, 4tmdmulg 24014 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ -𝑁 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (-𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2219, 20, 21syl2an 594 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (-𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
232, 12tgpinv 24007 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2423ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (invgβ€˜πΊ) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2518, 22, 24cnmpt11f 23586 . . . 4 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ ((invgβ€˜πΊ)β€˜(-𝑁 Β· π‘₯))) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2616, 25eqeltrd 2828 . . 3 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -𝑁 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2726adantrl 714 . 2 (((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
28 simpr 483 . . 3 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
29 elznn0nn 12608 . . 3 (𝑁 ∈ β„€ ↔ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)))
3028, 29sylib 217 . 2 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 ∈ β„•0 ∨ (𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ β„•)))
317, 27, 30mpjaodan 956 1 ((𝐺 ∈ TopGrp ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑁 Β· π‘₯)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ↦ cmpt 5233  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„cr 11143  -cneg 11481  β„•cn 12248  β„•0cn0 12508  β„€cz 12594  Basecbs 17185  TopOpenctopn 17408  invgcminusg 18896  .gcmg 19028  TopOnctopon 22830   Cn ccn 23146  TopMndctmd 23992  TopGrpctgp 23993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-seq 14005  df-0g 17428  df-topgen 17430  df-plusf 18604  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mulg 19029  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-tmd 23994  df-tgp 23995
This theorem is referenced by:  tgpmulg2  24016
  Copyright terms: Public domain W3C validator