Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhcn 33723
Description: The ℚHom homomorphism is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhcn.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qqhcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑄)
qqhcn.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
qqhcn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqhcn ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem qqhcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 4228 . . . . . . . 8 (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ DivRing
21sseli 3972 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
323ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ DivRing)
4 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (chr‘𝑅) = 0)
5 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2725 . . . . . . 7 (/r𝑅) = (/r𝑅)
7 eqid 2725 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
85, 6, 7qqhf 33718 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
93, 4, 8syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
10 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
11 qsscn 12977 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℂ
12 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℚ)
1311, 12sselid 3974 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℂ)
14 0cn 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
15 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1615cnmetdval 24731 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
1714, 16mpan 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
18 df-neg 11479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑞 = (0 − 𝑞)
1918fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘-𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞))
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (abs‘-𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
21 absneg 15260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (abs‘-𝑞) = (abs‘𝑞))
2217, 20, 213eqtr2d 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘𝑞))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘𝑞))
24 zssq 12973 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ ⊆ ℚ
25 0z 12602 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
2624, 25sselii 3973 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℚ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 0 ∈ ℚ)
2827, 12ovresd 7588 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (0(abs ∘ − )𝑞))
29 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
30 qqhcn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
3129, 30qqhnm 33722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘𝑞))
3231adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘𝑞))
3323, 28, 323eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
349ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
3534, 27ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
3634, 12ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
3735, 36ovresd 7588 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
38 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ NrmRing
3938sseli 3972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ NrmRing)
40393ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ NrmRing)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmRing)
42 nrgngp 24623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
44 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑅) = (-g𝑅)
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
4629, 5, 44, 45ngpdsr 24558 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))))
4743, 35, 36, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))))
483ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
494ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
505, 6, 7qqh0 33716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
5148, 49, 50syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
5251oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)))
53 ngpgrp 24552 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ Grp)
5443, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Grp)
55 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑅) = (0g𝑅)
565, 55, 44grpsubid1 18989 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5754, 36, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5852, 57eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5958fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6037, 47, 593eqtrd 2769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6133, 60eqtr4d 2768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6261breq1d 5159 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 ↔ (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6362biimpd 228 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6463ralrimiva 3135 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
65 breq2 5153 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 ↔ (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒))
6665rspceaimv 3612 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6710, 64, 66syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6867ralrimiva 3135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
69 qqhcn.q . . . . . . . 8 𝑄 = (ℂflds ℚ)
70 cnfldxms 24737 . . . . . . . . 9 fld ∈ ∞MetSp
71 qex 12978 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
72 ressxms 24478 . . . . . . . . 9 ((ℂfld ∈ ∞MetSp ∧ ℚ ∈ V) → (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp)
7370, 71, 72mp2an 690 . . . . . . . 8 (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp
7469, 73eqeltri 2821 . . . . . . 7 𝑄 ∈ ∞MetSp
7569qrngbas 27597 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
76 cnfldds 21308 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
7769, 76ressds 17394 . . . . . . . . 9 (ℚ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄))
7871, 77ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄)
7975, 78xmsxmet2 24409 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ ∞MetSp → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
8074, 79mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
81 ngpxms 24554 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
8239, 42, 813syl 18 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
83823ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
845, 45xmsxmet2 24409 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
8626a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 0 ∈ ℚ)
87 qqhcn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘𝑄)
8878reseq1i 5981 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) = ((dist‘𝑄) ↾ (ℚ × ℚ))
8987, 75, 88xmstopn 24401 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
9074, 89ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
91 eqid 2725 . . . . . . 7 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
9290, 91metcnp 24494 . . . . . 6 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
9380, 85, 86, 92syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
949, 68, 93mpbir2and 711 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0))
95 qqhcn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
96 eqid 2725 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
9795, 5, 96xmstopn 24401 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9883, 97syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9998oveq2d 7435 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐽 CnP 𝐾) = (𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))))
10099fveq1d 6898 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) = ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0))
10194, 100eleqtrrd 2828 . . 3 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0))
102 cnfldtgp 24831 . . . . . 6 fld ∈ TopGrp
103 qsubdrg 21369 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
104103simpli 482 . . . . . . 7 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
105 subrgsubg 20528 . . . . . . 7 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6 ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
10769subgtgp 24053 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ TopGrp ∧ ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → 𝑄 ∈ TopGrp)
108102, 106, 107mp2an 690 . . . . 5 𝑄 ∈ TopGrp
109 tgptmd 24027 . . . . 5 (𝑄 ∈ TopGrp → 𝑄 ∈ TopMnd)
110108, 109mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑄 ∈ TopMnd)
111 nrgtrg 24651 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
112 trgtmd2 24117 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopMnd)
11340, 111, 1123syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ TopMnd)
1145, 6, 7, 69qqhghm 33720 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
1153, 4, 114syl2anc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
11675, 87, 95ghmcnp 24063 . . . 4 ((𝑄 ∈ TopMnd ∧ 𝑅 ∈ TopMnd ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅)) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) ↔ (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
117110, 113, 115, 116syl3anc 1368 . . 3 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) ↔ (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
118101, 117mpbid 231 . 2 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
119118simprd 494 1 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  cin 3943   class class class wbr 5149   × cxp 5676  cres 5680  ccom 5682  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  0cc0 11140   < clt 11280  cmin 11476  -cneg 11477  cz 12591  cq 12965  +crp 13009  abscabs 15217  Basecbs 17183  s cress 17212  distcds 17245  TopOpenctopn 17406  0gc0g 17424  Grpcgrp 18898  -gcsg 18900  SubGrpcsubg 19083   GrpHom cghm 19175  /rcdvr 20351  SubRingcsubrg 20518  DivRingcdr 20636  ∞Metcxmet 21281  MetOpencmopn 21286  fldccnfld 21296  ℤRHomczrh 21442  ℤModczlm 21443  chrcchr 21444   Cn ccn 23172   CnP ccnp 23173  TopMndctmd 24018  TopGrpctgp 24019  TopRingctrg 24104  ∞MetSpcxms 24267  normcnm 24529  NrmGrpcngp 24530  NrmRingcnrg 24532  NrmModcnlm 24533  ℚHomcqqh 33704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-dvds 16235  df-gcd 16473  df-numer 16710  df-denom 16711  df-gz 16902  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-plusf 18602  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-od 19495  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-nzr 20464  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-abv 20709  df-lmod 20757  df-scaf 20758  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-zlm 21447  df-chr 21448  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-tmd 24020  df-tgp 24021  df-trg 24108  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-nm 24535  df-ngp 24536  df-nrg 24538  df-nlm 24539  df-qqh 33705
This theorem is referenced by:  rrhqima  33746
  Copyright terms: Public domain W3C validator