Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhcn 32572
Description: The ℚHom homomorphism is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhcn.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qqhcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑄)
qqhcn.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
qqhcn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqhcn ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem qqhcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 4189 . . . . . . . 8 (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ DivRing
21sseli 3940 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
323ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ DivRing)
4 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (chr‘𝑅) = 0)
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (/r𝑅) = (/r𝑅)
7 eqid 2736 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
85, 6, 7qqhf 32567 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
93, 4, 8syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
10 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
11 qsscn 12885 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℂ
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℚ)
1311, 12sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℂ)
14 0cn 11147 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
15 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1615cnmetdval 24134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
1714, 16mpan 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
18 df-neg 11388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑞 = (0 − 𝑞)
1918fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘-𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞))
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (abs‘-𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
21 absneg 15162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (abs‘-𝑞) = (abs‘𝑞))
2217, 20, 213eqtr2d 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘𝑞))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘𝑞))
24 zssq 12881 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ ⊆ ℚ
25 0z 12510 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
2624, 25sselii 3941 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℚ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 0 ∈ ℚ)
2827, 12ovresd 7521 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (0(abs ∘ − )𝑞))
29 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
30 qqhcn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
3129, 30qqhnm 32571 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘𝑞))
3231adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘𝑞))
3323, 28, 323eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
349ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
3534, 27ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
3634, 12ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
3735, 36ovresd 7521 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
38 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ NrmRing
3938sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ NrmRing)
40393ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ NrmRing)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmRing)
42 nrgngp 24026 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
44 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑅) = (-g𝑅)
45 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
4629, 5, 44, 45ngpdsr 23961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))))
4743, 35, 36, 46syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))))
483ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
494ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
505, 6, 7qqh0 32565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
5148, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
5251oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)))
53 ngpgrp 23955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ Grp)
5443, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Grp)
55 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑅) = (0g𝑅)
565, 55, 44grpsubid1 18832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5754, 36, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5852, 57eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5958fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6037, 47, 593eqtrd 2780 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6133, 60eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6261breq1d 5115 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 ↔ (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6362biimpd 228 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6463ralrimiva 3143 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
65 breq2 5109 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 ↔ (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒))
6665rspceaimv 3585 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6710, 64, 66syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6867ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
69 qqhcn.q . . . . . . . 8 𝑄 = (ℂflds ℚ)
70 cnfldxms 24140 . . . . . . . . 9 fld ∈ ∞MetSp
71 qex 12886 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
72 ressxms 23881 . . . . . . . . 9 ((ℂfld ∈ ∞MetSp ∧ ℚ ∈ V) → (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp)
7370, 71, 72mp2an 690 . . . . . . . 8 (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp
7469, 73eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝑄 ∈ ∞MetSp
7569qrngbas 26967 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
76 cnfldds 20806 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
7769, 76ressds 17291 . . . . . . . . 9 (ℚ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄))
7871, 77ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄)
7975, 78xmsxmet2 23812 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ ∞MetSp → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
8074, 79mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
81 ngpxms 23957 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
8239, 42, 813syl 18 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
83823ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
845, 45xmsxmet2 23812 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
8626a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 0 ∈ ℚ)
87 qqhcn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘𝑄)
8878reseq1i 5933 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) = ((dist‘𝑄) ↾ (ℚ × ℚ))
8987, 75, 88xmstopn 23804 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
9074, 89ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
91 eqid 2736 . . . . . . 7 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
9290, 91metcnp 23897 . . . . . 6 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
9380, 85, 86, 92syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
949, 68, 93mpbir2and 711 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0))
95 qqhcn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
96 eqid 2736 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
9795, 5, 96xmstopn 23804 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9883, 97syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9998oveq2d 7373 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐽 CnP 𝐾) = (𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))))
10099fveq1d 6844 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) = ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0))
10194, 100eleqtrrd 2841 . . 3 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0))
102 cnfldtgp 24232 . . . . . 6 fld ∈ TopGrp
103 qsubdrg 20849 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
104103simpli 484 . . . . . . 7 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
105 subrgsubg 20228 . . . . . . 7 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6 ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
10769subgtgp 23456 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ TopGrp ∧ ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → 𝑄 ∈ TopGrp)
108102, 106, 107mp2an 690 . . . . 5 𝑄 ∈ TopGrp
109 tgptmd 23430 . . . . 5 (𝑄 ∈ TopGrp → 𝑄 ∈ TopMnd)
110108, 109mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑄 ∈ TopMnd)
111 nrgtrg 24054 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
112 trgtmd2 23520 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopMnd)
11340, 111, 1123syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ TopMnd)
1145, 6, 7, 69qqhghm 32569 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
1153, 4, 114syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
11675, 87, 95ghmcnp 23466 . . . 4 ((𝑄 ∈ TopMnd ∧ 𝑅 ∈ TopMnd ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅)) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) ↔ (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
117110, 113, 115, 116syl3anc 1371 . . 3 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) ↔ (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
118101, 117mpbid 231 . 2 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
119118simprd 496 1 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cin 3909   class class class wbr 5105   × cxp 5631  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051   < clt 11189  cmin 11385  -cneg 11386  cz 12499  cq 12873  +crp 12915  abscabs 15119  Basecbs 17083  s cress 17112  distcds 17142  TopOpenctopn 17303  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  SubGrpcsubg 18922   GrpHom cghm 19005  /rcdvr 20111  DivRingcdr 20185  SubRingcsubrg 20218  ∞Metcxmet 20781  MetOpencmopn 20786  fldccnfld 20796  ℤRHomczrh 20900  ℤModczlm 20901  chrcchr 20902   Cn ccn 22575   CnP ccnp 22576  TopMndctmd 23421  TopGrpctgp 23422  TopRingctrg 23507  ∞MetSpcxms 23670  normcnm 23932  NrmGrpcngp 23933  NrmRingcnrg 23935  NrmModcnlm 23936  ℚHomcqqh 32553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-numer 16610  df-denom 16611  df-gz 16802  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-plusf 18496  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-od 19310  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-subrg 20220  df-abv 20276  df-lmod 20324  df-scaf 20325  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-nzr 20728  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-zlm 20905  df-chr 20906  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-tmd 23423  df-tgp 23424  df-trg 23511  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-nm 23938  df-ngp 23939  df-nrg 23941  df-nlm 23942  df-qqh 32554
This theorem is referenced by:  rrhqima  32595
  Copyright terms: Public domain W3C validator