Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhcn 31137
Description: The ℚHom homomorphism is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhcn.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qqhcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑄)
qqhcn.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
qqhcn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqhcn ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem qqhcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 4210 . . . . . . . 8 (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ DivRing
21sseli 3967 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
323ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ DivRing)
4 simp3 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (chr‘𝑅) = 0)
5 eqid 2826 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2826 . . . . . . 7 (/r𝑅) = (/r𝑅)
7 eqid 2826 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
85, 6, 7qqhf 31132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
93, 4, 8syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
10 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
11 qsscn 12354 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℂ
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℚ)
1311, 12sseldi 3969 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℂ)
14 0cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
15 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1615cnmetdval 23313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
1714, 16mpan 686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
18 df-neg 10867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑞 = (0 − 𝑞)
1918fveq2i 6672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘-𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞))
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (abs‘-𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
21 absneg 14632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (abs‘-𝑞) = (abs‘𝑞))
2217, 20, 213eqtr2d 2867 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘𝑞))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘𝑞))
24 zssq 12350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ ⊆ ℚ
25 0z 11986 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
2624, 25sselii 3968 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℚ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 0 ∈ ℚ)
2827, 12ovresd 7309 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (0(abs ∘ − )𝑞))
29 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
30 qqhcn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
3129, 30qqhnm 31136 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘𝑞))
3231adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘𝑞))
3323, 28, 323eqtr4d 2871 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
349ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
3534, 27ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
3634, 12ffvelrnd 6850 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
3735, 36ovresd 7309 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
38 inss1 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ NrmRing
3938sseli 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ NrmRing)
40393ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ NrmRing)
4140ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmRing)
42 nrgngp 23205 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
44 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑅) = (-g𝑅)
45 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
4629, 5, 44, 45ngpdsr 23148 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))))
4743, 35, 36, 46syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))))
483ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
494ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
505, 6, 7qqh0 31130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
5148, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
5251oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)))
53 ngpgrp 23142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ Grp)
5443, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Grp)
55 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑅) = (0g𝑅)
565, 55, 44grpsubid1 18129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5754, 36, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5852, 57eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5958fveq2d 6673 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6037, 47, 593eqtrd 2865 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6133, 60eqtr4d 2864 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6261breq1d 5073 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 ↔ (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6362biimpd 230 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6463ralrimiva 3187 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
65 breq2 5067 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 ↔ (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒))
6665rspceaimv 3632 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6710, 64, 66syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6867ralrimiva 3187 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
69 qqhcn.q . . . . . . . 8 𝑄 = (ℂflds ℚ)
70 cnfldxms 23319 . . . . . . . . 9 fld ∈ ∞MetSp
71 qex 12355 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
72 ressxms 23069 . . . . . . . . 9 ((ℂfld ∈ ∞MetSp ∧ ℚ ∈ V) → (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp)
7370, 71, 72mp2an 688 . . . . . . . 8 (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp
7469, 73eqeltri 2914 . . . . . . 7 𝑄 ∈ ∞MetSp
7569qrngbas 26128 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
76 cnfldds 20490 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
7769, 76ressds 16681 . . . . . . . . 9 (ℚ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄))
7871, 77ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄)
7975, 78xmsxmet2 23003 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ ∞MetSp → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
8074, 79mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
81 ngpxms 23144 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
8239, 42, 813syl 18 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
83823ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
845, 45xmsxmet2 23003 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
8626a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 0 ∈ ℚ)
87 qqhcn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘𝑄)
8878reseq1i 5848 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) = ((dist‘𝑄) ↾ (ℚ × ℚ))
8987, 75, 88xmstopn 22995 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
9074, 89ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
91 eqid 2826 . . . . . . 7 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
9290, 91metcnp 23085 . . . . . 6 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
9380, 85, 86, 92syl3anc 1365 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
949, 68, 93mpbir2and 709 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0))
95 qqhcn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
96 eqid 2826 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
9795, 5, 96xmstopn 22995 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9883, 97syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9998oveq2d 7166 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐽 CnP 𝐾) = (𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))))
10099fveq1d 6671 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) = ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0))
10194, 100eleqtrrd 2921 . . 3 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0))
102 cnfldtgp 23411 . . . . . 6 fld ∈ TopGrp
103 qsubdrg 20532 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
104103simpli 484 . . . . . . 7 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
105 subrgsubg 19477 . . . . . . 7 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6 ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
10769subgtgp 22648 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ TopGrp ∧ ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → 𝑄 ∈ TopGrp)
108102, 106, 107mp2an 688 . . . . 5 𝑄 ∈ TopGrp
109 tgptmd 22622 . . . . 5 (𝑄 ∈ TopGrp → 𝑄 ∈ TopMnd)
110108, 109mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑄 ∈ TopMnd)
111 nrgtrg 23233 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
112 trgtmd2 22711 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopMnd)
11340, 111, 1123syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ TopMnd)
1145, 6, 7, 69qqhghm 31134 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
1153, 4, 114syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
11675, 87, 95ghmcnp 22657 . . . 4 ((𝑄 ∈ TopMnd ∧ 𝑅 ∈ TopMnd ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅)) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) ↔ (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
117110, 113, 115, 116syl3anc 1365 . . 3 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) ↔ (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
118101, 117mpbid 233 . 2 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
119118simprd 496 1 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  Vcvv 3500  cin 3939   class class class wbr 5063   × cxp 5552  cres 5556  ccom 5558  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  0cc0 10531   < clt 10669  cmin 10864  -cneg 10865  cz 11975  cq 12342  +crp 12384  abscabs 14588  Basecbs 16478  s cress 16479  distcds 16569  TopOpenctopn 16690  0gc0g 16708  Grpcgrp 18048  -gcsg 18050  SubGrpcsubg 18218   GrpHom cghm 18300  /rcdvr 19368  DivRingcdr 19438  SubRingcsubrg 19467  ∞Metcxmet 20465  MetOpencmopn 20470  fldccnfld 20480  ℤRHomczrh 20582  ℤModczlm 20583  chrcchr 20584   Cn ccn 21767   CnP ccnp 21768  TopMndctmd 22613  TopGrpctgp 22614  TopRingctrg 22698  ∞MetSpcxms 22861  normcnm 23120  NrmGrpcngp 23121  NrmRingcnrg 23123  NrmModcnlm 23124  ℚHomcqqh 31118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-tpos 7888  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-dvds 15603  df-gcd 15839  df-numer 16070  df-denom 16071  df-gz 16261  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-plusf 17846  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18051  df-minusg 18052  df-sbg 18053  df-mulg 18170  df-subg 18221  df-ghm 18301  df-cntz 18392  df-od 18592  df-cmn 18844  df-abl 18845  df-mgp 19176  df-ur 19188  df-ring 19235  df-cring 19236  df-oppr 19309  df-dvdsr 19327  df-unit 19328  df-invr 19358  df-dvr 19369  df-rnghom 19403  df-drng 19440  df-subrg 19469  df-abv 19524  df-lmod 19572  df-scaf 19573  df-sra 19880  df-rgmod 19881  df-nzr 19966  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-cnfld 20481  df-zring 20553  df-zrh 20586  df-zlm 20587  df-chr 20588  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-tmd 22615  df-tgp 22616  df-trg 22702  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-nm 23126  df-ngp 23127  df-nrg 23129  df-nlm 23130  df-qqh 31119
This theorem is referenced by:  rrhqima  31160
  Copyright terms: Public domain W3C validator