Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhcn 33954
Description: The ℚHom homomorphism is a continuous function. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhcn.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qqhcn.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑄)
qqhcn.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
qqhcn.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqhcn ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem qqhcn
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 4246 . . . . . . . 8 (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ DivRing
21sseli 3991 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ DivRing)
323ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ DivRing)
4 simp3 1137 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (chr‘𝑅) = 0)
5 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2735 . . . . . . 7 (/r𝑅) = (/r𝑅)
7 eqid 2735 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
85, 6, 7qqhf 33949 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
93, 4, 8syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
10 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝑒 ∈ ℝ+)
11 qsscn 13000 . . . . . . . . . . . . . 14 ℚ ⊆ ℂ
12 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℚ)
1311, 12sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑞 ∈ ℂ)
14 0cn 11251 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℂ
15 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
1615cnmetdval 24807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
1714, 16mpan 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
18 df-neg 11493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑞 = (0 − 𝑞)
1918fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘-𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞))
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (abs‘-𝑞) = (abs‘(0 − 𝑞)))
21 absneg 15313 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℂ → (abs‘-𝑞) = (abs‘𝑞))
2217, 20, 213eqtr2d 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑞 ∈ ℂ → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘𝑞))
2313, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0(abs ∘ − )𝑞) = (abs‘𝑞))
24 zssq 12996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ ⊆ ℚ
25 0z 12622 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
2624, 25sselii 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℚ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 0 ∈ ℚ)
2827, 12ovresd 7600 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (0(abs ∘ − )𝑞))
29 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
30 qqhcn.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
3129, 30qqhnm 33953 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘𝑞))
3231adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (abs‘𝑞))
3323, 28, 323eqtr4d 2785 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
349ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅))
3534, 27ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) ∈ (Base‘𝑅))
3634, 12ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅))
3735, 36ovresd 7600 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
38 inss1 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (NrmRing ∩ DivRing) ⊆ NrmRing
3938sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ NrmRing)
40393ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ NrmRing)
4140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmRing)
42 nrgngp 24699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
44 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑅) = (-g𝑅)
45 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
4629, 5, 44, 45ngpdsr 24634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘0) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))))
4743, 35, 36, 46syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)(dist‘𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))))
483ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
494ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (chr‘𝑅) = 0)
505, 6, 7qqh0 33947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
5148, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅)‘0) = (0g𝑅))
5251oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0)) = (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)))
53 ngpgrp 24628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ Grp)
5443, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Grp)
55 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0g𝑅) = (0g𝑅)
565, 55, 44grpsubid1 19056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞) ∈ (Base‘𝑅)) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5754, 36, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)(0g𝑅)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5852, 57eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0)) = ((ℚHom‘𝑅)‘𝑞))
5958fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((norm‘𝑅)‘(((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)(-g𝑅)((ℚHom‘𝑅)‘0))) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6037, 47, 593eqtrd 2779 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) = ((norm‘𝑅)‘((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6133, 60eqtr4d 2778 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) = (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)))
6261breq1d 5158 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 ↔ (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6362biimpd 229 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6463ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∀𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
65 breq2 5152 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝑒 → ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 ↔ (0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒))
6665rspceaimv 3628 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑒 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6710, 64, 66syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
6867ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))
69 qqhcn.q . . . . . . . 8 𝑄 = (ℂflds ℚ)
70 cnfldxms 24813 . . . . . . . . 9 fld ∈ ∞MetSp
71 qex 13001 . . . . . . . . 9 ℚ ∈ V
72 ressxms 24554 . . . . . . . . 9 ((ℂfld ∈ ∞MetSp ∧ ℚ ∈ V) → (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp)
7370, 71, 72mp2an 692 . . . . . . . 8 (ℂflds ℚ) ∈ ∞MetSp
7469, 73eqeltri 2835 . . . . . . 7 𝑄 ∈ ∞MetSp
7569qrngbas 27678 . . . . . . . 8 ℚ = (Base‘𝑄)
76 cnfldds 21394 . . . . . . . . . 10 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
7769, 76ressds 17456 . . . . . . . . 9 (ℚ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄))
7871, 77ax-mp 5 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (dist‘𝑄)
7975, 78xmsxmet2 24485 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ ∞MetSp → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
8074, 79mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ))
81 ngpxms 24630 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
8239, 42, 813syl 18 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
83823ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
845, 45xmsxmet2 24485 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
8583, 84syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)))
8626a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 0 ∈ ℚ)
87 qqhcn.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (TopOpen‘𝑄)
8878reseq1i 5996 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) = ((dist‘𝑄) ↾ (ℚ × ℚ))
8987, 75, 88xmstopn 24477 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ ∞MetSp → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))))
9074, 89ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)))
91 eqid 2735 . . . . . . 7 (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))) = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
9290, 91metcnp 24570 . . . . . 6 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ)) ∈ (∞Met‘ℚ) ∧ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝑅)) ∧ 0 ∈ ℚ) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
9380, 85, 86, 92syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0) ↔ ((ℚHom‘𝑅):ℚ⟶(Base‘𝑅) ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑞 ∈ ℚ ((0((abs ∘ − ) ↾ (ℚ × ℚ))𝑞) < 𝑑 → (((ℚHom‘𝑅)‘0)((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))((ℚHom‘𝑅)‘𝑞)) < 𝑒))))
949, 68, 93mpbir2and 713 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0))
95 qqhcn.k . . . . . . . 8 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
96 eqid 2735 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
9795, 5, 96xmstopn 24477 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9883, 97syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝐾 = (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))
9998oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐽 CnP 𝐾) = (𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))))
10099fveq1d 6909 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) = ((𝐽 CnP (MetOpen‘((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))))‘0))
10194, 100eleqtrrd 2842 . . 3 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0))
102 cnfldtgp 24907 . . . . . 6 fld ∈ TopGrp
103 qsubdrg 21455 . . . . . . . 8 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (ℂflds ℚ) ∈ DivRing)
104103simpli 483 . . . . . . 7 ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld)
105 subrgsubg 20594 . . . . . . 7 (ℚ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
106104, 105ax-mp 5 . . . . . 6 ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
10769subgtgp 24129 . . . . . 6 ((ℂfld ∈ TopGrp ∧ ℚ ∈ (SubGrp‘ℂfld)) → 𝑄 ∈ TopGrp)
108102, 106, 107mp2an 692 . . . . 5 𝑄 ∈ TopGrp
109 tgptmd 24103 . . . . 5 (𝑄 ∈ TopGrp → 𝑄 ∈ TopMnd)
110108, 109mp1i 13 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑄 ∈ TopMnd)
111 nrgtrg 24727 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ TopRing)
112 trgtmd2 24193 . . . . 5 (𝑅 ∈ TopRing → 𝑅 ∈ TopMnd)
11340, 111, 1123syl 18 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ TopMnd)
1145, 6, 7, 69qqhghm 33951 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
1153, 4, 114syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅))
11675, 87, 95ghmcnp 24139 . . . 4 ((𝑄 ∈ TopMnd ∧ 𝑅 ∈ TopMnd ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝑄 GrpHom 𝑅)) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) ↔ (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
117110, 113, 115, 116syl3anc 1370 . . 3 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((ℚHom‘𝑅) ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘0) ↔ (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))))
118101, 117mpbid 232 . 2 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (0 ∈ ℚ ∧ (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
119118simprd 495 1 ((𝑅 ∈ (NrmRing ∩ DivRing) ∧ 𝑍 ∈ NrmMod ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cin 3962   class class class wbr 5148   × cxp 5687  cres 5691  ccom 5693  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   < clt 11293  cmin 11490  -cneg 11491  cz 12611  cq 12988  +crp 13032  abscabs 15270  Basecbs 17245  s cress 17274  distcds 17307  TopOpenctopn 17468  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  SubGrpcsubg 19151   GrpHom cghm 19243  /rcdvr 20417  SubRingcsubrg 20586  DivRingcdr 20746  ∞Metcxmet 21367  MetOpencmopn 21372  fldccnfld 21382  ℤRHomczrh 21528  ℤModczlm 21529  chrcchr 21530   Cn ccn 23248   CnP ccnp 23249  TopMndctmd 24094  TopGrpctgp 24095  TopRingctrg 24180  ∞MetSpcxms 24343  normcnm 24605  NrmGrpcngp 24606  NrmRingcnrg 24608  NrmModcnlm 24609  ℚHomcqqh 33933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-numer 16769  df-denom 16770  df-gz 16964  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-od 19561  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-abv 20827  df-lmod 20877  df-scaf 20878  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zlm 21533  df-chr 21534  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-tmd 24096  df-tgp 24097  df-trg 24184  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-nm 24611  df-ngp 24612  df-nrg 24614  df-nlm 24615  df-qqh 33934
This theorem is referenced by:  rrhqima  33977
  Copyright terms: Public domain W3C validator