Theorem oppgtgp 24059

Description: The opposite of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgtmd.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgtgp	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem oppgtgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpgrp 24039	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		oppgtmd.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2	oppggrp 19303	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ Grp)
5		tgptmd 24040	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
6	2	oppgtmd 24058	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopMnd)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	2, 8	oppginv 19305	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
10	1, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
12	11, 8	tgpinv 24046	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
13	10, 12	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
14	2, 11	oppgtopn 19299	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
16	14, 15	istgp 24038	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ TopGrp ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
17	4, 7, 13, 16	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  TopOpenctopn 17355  Grpcgrp 18880  inv_gcminusg 18881  opp_gcoppg 19291   Cn ccn 23185  TopMndctmd 24031  TopGrpctgp 24032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-tset 17210  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-topgen 17377  df-plusf 18578  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-oppg 19292  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-cn 23188  df-tx 23523  df-tmd 24033  df-tgp 24034

This theorem is referenced by:  tgpconncomp  24074  qustgpopn  24081