Theorem oppgtgp 24079

Description: The opposite of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgtmd.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgtgp	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem oppgtgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpgrp 24059	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		oppgtmd.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2	oppggrp 19329	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ Grp)
5		tgptmd 24060	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
6	2	oppgtmd 24078	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopMnd)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	2, 8	oppginv 19331	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
10	1, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
12	11, 8	tgpinv 24066	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
13	10, 12	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
14	2, 11	oppgtopn 19325	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
16	14, 15	istgp 24058	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ TopGrp ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
17	4, 7, 13, 16	syl3anbrc 1345	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6496  (class class class)co 7364  TopOpenctopn 17381  Grpcgrp 18906  inv_gcminusg 18907  opp_gcoppg 19317   Cn ccn 23205  TopMndctmd 24051  TopGrpctgp 24052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-1st 7939  df-2nd 7940  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-sets 17131  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-base 17177  df-plusg 17230  df-tset 17236  df-rest 17382  df-topn 17383  df-0g 17401  df-topgen 17403  df-plusf 18604  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18909  df-minusg 18910  df-oppg 19318  df-top 22875  df-topon 22892  df-topsp 22914  df-bases 22927  df-cn 23208  df-tx 23543  df-tmd 24053  df-tgp 24054

This theorem is referenced by:  tgpconncomp  24094  qustgpopn  24101