Theorem oppgtgp 24417

Description: The opposite of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgtmd.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgtgp	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem oppgtgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpgrp 24397	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		oppgtmd.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2	oppggrp 19571	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ Grp)
5		tgptmd 24398	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
6	2	oppgtmd 24416	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopMnd)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	2, 8	oppginv 19573	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
10	1, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
12	11, 8	tgpinv 24404	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
13	10, 12	eqeltrrd 2861	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
14	2, 11	oppgtopn 19567	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
15		eqid 2760	. . 3 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
16	14, 15	istgp 24396	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ TopGrp ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
17	4, 7, 13, 16	syl3anbrc 1362	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  TopOpenctopn 17592  Grpcgrp 19144  inv_gcminusg 19145  opp_gcoppg 19559   Cn ccn 23542  TopMndctmd 24389  TopGrpctgp 24390

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-tset 17447  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-topgen 17614  df-plusf 18815  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-oppg 19560  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cn 23545  df-tx 23881  df-tmd 24391  df-tgp 24392

This theorem is used by:  tgpconncomp  24432  qustgpopn  24439