MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgtgp 22636
Description: The opposite of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgtgp (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem oppgtgp
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 22616 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2 oppgtmd.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝐺)
32oppggrp 18425 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ Grp)
5 tgptmd 22617 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
62oppgtmd 22635 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopMnd)
8 eqid 2821 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
92, 8oppginv 18427 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺) = (invg𝑂))
101, 9syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺) = (invg𝑂))
11 eqid 2821 . . . 4 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
1211, 8tgpinv 22623 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
1310, 12eqeltrrd 2914 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
142, 11oppgtopn 18421 . . 3 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
15 eqid 2821 . . 3 (invg𝑂) = (invg𝑂)
1614, 15istgp 22615 . 2 (𝑂 ∈ TopGrp ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ TopMnd ∧ (invg𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
174, 7, 13, 16syl3anbrc 1335 1 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6349  (class class class)co 7145  TopOpenctopn 16685  Grpcgrp 18043  invgcminusg 18044  oppgcoppg 18413   Cn ccn 21762  TopMndctmd 22608  TopGrpctgp 22609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-plusg 16568  df-tset 16574  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-topgen 16707  df-plusf 17841  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-grp 18046  df-minusg 18047  df-oppg 18414  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cn 21765  df-tx 22100  df-tmd 22610  df-tgp 22611
This theorem is referenced by:  tgpconncomp  22650  qustgpopn  22657
  Copyright terms: Public domain W3C validator