Theorem oppgtgp 24266

Description: The opposite of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgtmd.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgtgp	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem oppgtgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpgrp 24246	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		oppgtmd.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2	oppggrp 19433	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ Grp)
5		tgptmd 24247	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
6	2	oppgtmd 24265	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopMnd)
8		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	2, 8	oppginv 19435	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
10	1, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
11		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
12	11, 8	tgpinv 24253	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
13	10, 12	eqeltrrd 2863	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
14	2, 11	oppgtopn 19429	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
15		eqid 2762	. . 3 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
16	14, 15	istgp 24245	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ TopGrp ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
17	4, 7, 13, 16	syl3anbrc 1361	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  TopOpenctopn 17480  Grpcgrp 19006  inv_gcminusg 19007  opp_gcoppg 19421   Cn ccn 23392  TopMndctmd 24238  TopGrpctgp 24239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-plusg 17329  df-tset 17335  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-topgen 17502  df-plusf 18703  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-oppg 19422  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cn 23395  df-tx 23730  df-tmd 24240  df-tgp 24241

This theorem is used by:  tgpconncomp  24281  qustgpopn  24288