MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppgtgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppgtgp 22113
Description: The opposite of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oppgtmd.1 𝑂 = (oppg𝐺)
Assertion
Ref Expression
oppgtgp (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem oppgtgp
StepHypRef Expression
1 tgpgrp 22093 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2 oppgtmd.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝐺)
32oppggrp 17986 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
41, 3syl 17 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ Grp)
5 tgptmd 22094 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
62oppgtmd 22112 . . 3 (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)
75, 6syl 17 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopMnd)
8 eqid 2804 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
92, 8oppginv 17988 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (invg𝐺) = (invg𝑂))
101, 9syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺) = (invg𝑂))
11 eqid 2804 . . . 4 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
1211, 8tgpinv 22100 . . 3 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
1310, 12eqeltrrd 2884 . 2 (𝐺 ∈ TopGrp → (invg𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
142, 11oppgtopn 17982 . . 3 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
15 eqid 2804 . . 3 (invg𝑂) = (invg𝑂)
1614, 15istgp 22092 . 2 (𝑂 ∈ TopGrp ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ TopMnd ∧ (invg𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
174, 7, 13, 16syl3anbrc 1436 1 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2156  cfv 6099  (class class class)co 6872  TopOpenctopn 16285  Grpcgrp 17625  invgcminusg 17626  oppgcoppg 17974   Cn ccn 21240  TopMndctmd 22085  TopGrpctgp 22086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-om 7294  df-1st 7396  df-2nd 7397  df-tpos 7585  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-er 7977  df-map 8092  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-4 11364  df-5 11365  df-6 11366  df-7 11367  df-8 11368  df-9 11369  df-ndx 16069  df-slot 16070  df-base 16072  df-sets 16073  df-plusg 16164  df-tset 16170  df-rest 16286  df-topn 16287  df-0g 16305  df-topgen 16307  df-plusf 17444  df-mgm 17445  df-sgrp 17487  df-mnd 17498  df-grp 17628  df-minusg 17629  df-oppg 17975  df-top 20910  df-topon 20927  df-topsp 20949  df-bases 20962  df-cn 21243  df-tx 21577  df-tmd 22087  df-tgp 22088
This theorem is referenced by:  tgpconncomp  22127  qustgpopn  22134
  Copyright terms: Public domain W3C validator