Theorem oppgtgp 23992

Description: The opposite of a topological group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oppgtmd.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oppgtgp	⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Proof of Theorem oppgtgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgpgrp 23972	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		oppgtmd.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝐺)
3	2	oppggrp 19296	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑂 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ Grp)
5		tgptmd 23973	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopMnd)
6	2	oppgtmd 23991	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝑂 ∈ TopMnd)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopMnd)
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
9	2, 8	oppginv 19298	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
10	1, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) = (invg‘𝑂))
11		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝐺)
12	11, 8	tgpinv 23979	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝐺) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
13	10, 12	eqeltrrd 2830	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → (invg‘𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺)))
14	2, 11	oppgtopn 19292	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑂)
15		eqid 2730	. . 3 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
16	14, 15	istgp 23971	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ TopGrp ↔ (𝑂 ∈ Grp ∧ 𝑂 ∈ TopMnd ∧ (invg‘𝑂) ∈ ((TopOpen‘𝐺) Cn (TopOpen‘𝐺))))
17	4, 7, 13, 16	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝑂 ∈ TopGrp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  TopOpenctopn 17391  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873  opp_gcoppg 19284   Cn ccn 23118  TopMndctmd 23964  TopGrpctgp 23965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-tset 17246  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-topgen 17413  df-plusf 18573  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-oppg 19285  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cn 23121  df-tx 23456  df-tmd 23966  df-tgp 23967

This theorem is referenced by:  tgpconncomp  24007  qustgpopn  24014