Theorem xnegex 13102

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13006	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11164	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3459	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11160	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11353	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4521	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4521	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2827	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ifcif 4470  +∞cpnf 11138  -∞cmnf 11139  ℝ^*cxr 11140  -cneg 11340  -_𝑒cxne 13003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-un 7663  ax-cnex 11057

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-uni 4855  df-iota 6432  df-fv 6484  df-ov 7344  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-neg 11342  df-xneg 13006

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24866  supminfxrrnmpt  45509  monoord2xrv  45521  liminfvalxr  45821  liminfpnfuz  45854  xlimpnfxnegmnf2  45896