Theorem xnegex 13342

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -e𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13245	. 2 ⊢ -e𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11370	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3472	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11366	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11559	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4532	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4532	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2856	1 ⊢ -e𝐴 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ifcif 4481  +∞cpnf 11344  -∞cmnf 11345  ℝ^*cxr 11346   -cneg 11546   -_ecxne 13242

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-un 7752  ax-cnex 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-uni 4867  df-iota 6494  df-fv 6547  df-ov 7424  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-neg 11548  df-xneg 13245

This theorem is used by:  xrhmeo  25273  supminfxrrnmpt  46575  monoord2xrv  46587  liminfvalxr  46887  liminfpnfuz  46920  xlimpnfxnegmnf2  46962