Theorem xnegex 13151

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13054	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11193	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3453	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11189	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11382	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4518	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4518	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2833	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ifcif 4467  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169  -cneg 11369  -_𝑒cxne 13051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-un 7682  ax-cnex 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-uni 4852  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7363  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-neg 11371  df-xneg 13054

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24923  supminfxrrnmpt  45917  monoord2xrv  45929  liminfvalxr  46229  liminfpnfuz  46262  xlimpnfxnegmnf2  46304