Theorem xnegex 13260

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13163	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11290	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3472	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11286	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11479	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4533	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4533	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2856	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ifcif 4482  +∞cpnf 11264  -∞cmnf 11265  ℝ^*cxr 11266  -cneg 11466  -_𝑒cxne 13160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-un 7736  ax-cnex 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-uni 4868  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7416  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-neg 11468  df-xneg 13163

This theorem is used by:  xrhmeo  25174  supminfxrrnmpt  46299  monoord2xrv  46311  liminfvalxr  46611  liminfpnfuz  46644  xlimpnfxnegmnf2  46686