Theorem xnegex 13155

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13058	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11197	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3455	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11193	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11386	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4508	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4508	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2837	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ifcif 4457  +∞cpnf 11171  -∞cmnf 11172  ℝ^*cxr 11173  -cneg 11373  -_𝑒cxne 13055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-un 7682  ax-cnex 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-sb 2075  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-uni 4842  df-iota 6445  df-fv 6497  df-ov 7363  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-neg 11375  df-xneg 13058

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24935  supminfxrrnmpt  45928  monoord2xrv  45940  liminfvalxr  46240  liminfpnfuz  46273  xlimpnfxnegmnf2  46315