Theorem xnegex 13230

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13133	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11262	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3485	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11258	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11451	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4540	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4540	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2865	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ifcif 4489  +∞cpnf 11236  -∞cmnf 11237  ℝ^*cxr 11238  -cneg 11438  -_𝑒cxne 13130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-un 7730  ax-cnex 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-uni 4874  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7411  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-neg 11440  df-xneg 13133

This theorem is referenced by:  xrhmeo  25070  supminfxrrnmpt  46070  monoord2xrv  46082  liminfvalxr  46382  liminfpnfuz  46415  xlimpnfxnegmnf2  46457