Theorem xnegex 13129

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13033	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11191	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3461	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11187	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11380	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4529	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4529	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2824	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ifcif 4478  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167  -cneg 11367  -_𝑒cxne 13030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-un 7675  ax-cnex 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-uni 4862  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7356  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-neg 11369  df-xneg 13033

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24861  supminfxrrnmpt  45470  monoord2xrv  45482  liminfvalxr  45784  liminfpnfuz  45817  xlimpnfxnegmnf2  45859