Theorem xnegex 13245

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13148	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11277	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3479	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11273	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11466	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4540	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4540	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2861	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ifcif 4489  +∞cpnf 11251  -∞cmnf 11252  ℝ^*cxr 11253  -cneg 11453  -_𝑒cxne 13145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-un 7738  ax-cnex 11167

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-uni 4875  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7419  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-neg 11455  df-xneg 13148

This theorem is used by:  xrhmeo  25134  supminfxrrnmpt  46218  monoord2xrv  46230  liminfvalxr  46530  liminfpnfuz  46563  xlimpnfxnegmnf2  46605