Theorem xnegex 13331

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13234	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11359	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3473	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11355	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11548	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4533	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4533	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2857	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ifcif 4482  +∞cpnf 11333  -∞cmnf 11334  ℝ^*cxr 11335  -cneg 11535  -_𝑒cxne 13231

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-un 7749  ax-cnex 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-uni 4868  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7421  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-neg 11537  df-xneg 13234

This theorem is used by:  xrhmeo  25260  supminfxrrnmpt  46450  monoord2xrv  46462  liminfvalxr  46762  liminfpnfuz  46795  xlimpnfxnegmnf2  46837