Theorem xnegex 12942

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 12848	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11032	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3451	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11028	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11219	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4509	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4509	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2835	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  ifcif 4459  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008  -cneg 11206  -_𝑒cxne 12845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-un 7588  ax-cnex 10927

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-uni 4840  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-neg 11208  df-xneg 12848

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24109  supminfxrrnmpt  43011  monoord2xrv  43024  liminfvalxr  43324  liminfpnfuz  43357  xlimpnfxnegmnf2  43399