Theorem xnegex 13174

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13078	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11237	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3473	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11233	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11425	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4541	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4541	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2825	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ifcif 4490  +∞cpnf 11211  -∞cmnf 11212  ℝ^*cxr 11213  -cneg 11412  -_𝑒cxne 13075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-un 7713  ax-cnex 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-v 3452  df-dif 3919  df-un 3921  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-uni 4874  df-iota 6466  df-fv 6521  df-ov 7392  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-neg 11414  df-xneg 13078

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24850  supminfxrrnmpt  45460  monoord2xrv  45472  liminfvalxr  45774  liminfpnfuz  45807  xlimpnfxnegmnf2  45849