Theorem xnegex 12684

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 12590	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 10776	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3417	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 10772	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 10962	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4464	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4464	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2829	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398  ifcif 4414  +∞cpnf 10750  -∞cmnf 10751  ℝ^*cxr 10752  -cneg 10949  -_𝑒cxne 12587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-un 7479  ax-cnex 10671

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-ral 3058  df-rex 3059  df-v 3400  df-sbc 3681  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-uni 4797  df-iota 6297  df-fv 6347  df-ov 7173  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-neg 10951  df-xneg 12590

This theorem is referenced by:  xrhmeo  23698  supminfxrrnmpt  42551  monoord2xrv  42564  liminfvalxr  42866  liminfpnfuz  42899  xlimpnfxnegmnf2  42941