Theorem xnegex 13123

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13026	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11189	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3463	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11185	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11378	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4530	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4530	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2832	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ifcif 4479  +∞cpnf 11163  -∞cmnf 11164  ℝ^*cxr 11165  -cneg 11365  -_𝑒cxne 13023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-un 7680  ax-cnex 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-uni 4864  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-neg 11367  df-xneg 13026

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24900  supminfxrrnmpt  45715  monoord2xrv  45727  liminfvalxr  46027  liminfpnfuz  46060  xlimpnfxnegmnf2  46102