Theorem xnegex 13183

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13088	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11267	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3494	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11263	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11454	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4577	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4577	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2830	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ifcif 4527  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243  -cneg 11441  -_𝑒cxne 13085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-un 7720  ax-cnex 11162

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-uni 4908  df-iota 6492  df-fv 6548  df-ov 7407  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-neg 11443  df-xneg 13088

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24444  supminfxrrnmpt  44116  monoord2xrv  44129  liminfvalxr  44434  liminfpnfuz  44467  xlimpnfxnegmnf2  44509