Theorem xnegex 13232

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13136	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11300	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3486	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11296	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11488	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4556	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4556	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2829	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3463  ifcif 4505  +∞cpnf 11274  -∞cmnf 11275  ℝ^*cxr 11276  -cneg 11475  -_𝑒cxne 13133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-un 7737  ax-cnex 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-uni 4888  df-iota 6494  df-fv 6549  df-ov 7416  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-neg 11477  df-xneg 13136

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24913  supminfxrrnmpt  45439  monoord2xrv  45451  liminfvalxr  45755  liminfpnfuz  45788  xlimpnfxnegmnf2  45830