Theorem xnegex 13235

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13138	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11267	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3477	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11263	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11456	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4539	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4539	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2859	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  ifcif 4488  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243  -cneg 11443  -_𝑒cxne 13135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-un 7734  ax-cnex 11157

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-uni 4874  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7415  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-neg 11445  df-xneg 13138

This theorem is referenced by:  xrhmeo  25086  supminfxrrnmpt  46168  monoord2xrv  46180  liminfvalxr  46480  liminfpnfuz  46513  xlimpnfxnegmnf2  46555