Theorem xnegex 13151

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13054	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11193	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3453	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11189	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11382	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4505	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4505	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2835	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  ifcif 4454  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169  -cneg 11369  -_𝑒cxne 13051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-un 7678  ax-cnex 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-uni 4839  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-neg 11371  df-xneg 13054

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24931  supminfxrrnmpt  45914  monoord2xrv  45926  liminfvalxr  46226  liminfpnfuz  46259  xlimpnfxnegmnf2  46301