Theorem xnegex 13378

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -e𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13281	. 2 ⊢ -e𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11405	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3476	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11401	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11594	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4536	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4536	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2860	1 ⊢ -e𝐴 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ifcif 4485  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   -cneg 11581   -_ecxne 13278

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-un 7783  ax-cnex 11295

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-uni 4873  df-iota 6520  df-fv 6574  df-ov 7454  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-neg 11583  df-xneg 13281

This theorem is used by:  xrhmeo  25322  supminfxrrnmpt  46754  monoord2xrv  46766  liminfvalxr  47066  liminfpnfuz  47099  xlimpnfxnegmnf2  47141