Theorem xnegex 12412

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 12318	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 10492	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3428	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 10487	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 10678	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4392	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4392	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2856	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  Vcvv 3409  ifcif 4344  +∞cpnf 10465  -∞cmnf 10466  ℝ^*cxr 10467  -cneg 10665  -_𝑒cxne 12315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-ext 2744  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-un 7273  ax-cnex 10385

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ral 3087  df-rex 3088  df-v 3411  df-sbc 3676  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-uni 4707  df-iota 6146  df-fv 6190  df-ov 6973  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-neg 10667  df-xneg 12318

This theorem is referenced by:  xrhmeo  23247  supminfxrrnmpt  41178  monoord2xrv  41191  liminfvalxr  41495  liminfpnfuz  41528  xlimpnfxnegmnf2  41570