Theorem xnegex 12871

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 12777	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 10963	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3441	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 10959	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11149	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4506	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4506	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2835	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ifcif 4456  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939  -cneg 11136  -_𝑒cxne 12774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-un 7566  ax-cnex 10858

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-uni 4837  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-neg 11138  df-xneg 12777

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24015  supminfxrrnmpt  42901  monoord2xrv  42914  liminfvalxr  43214  liminfpnfuz  43247  xlimpnfxnegmnf2  43289