Theorem xnegex 13205

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13108	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11233	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3475	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11229	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11422	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4528	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4528	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2857	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ifcif 4477  +∞cpnf 11207  -∞cmnf 11208  ℝ^*cxr 11209  -cneg 11409  -_𝑒cxne 13105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-un 7713  ax-cnex 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-uni 4863  df-iota 6472  df-fv 6524  df-ov 7394  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-neg 11411  df-xneg 13108

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24996  supminfxrrnmpt  46006  monoord2xrv  46018  liminfvalxr  46318  liminfpnfuz  46351  xlimpnfxnegmnf2  46393