Theorem xnegex 13160

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13063	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11202	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3452	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11198	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11391	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4517	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4517	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2832	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ifcif 4466  +∞cpnf 11176  -∞cmnf 11177  ℝ^*cxr 11178  -cneg 11378  -_𝑒cxne 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-un 7689  ax-cnex 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-uni 4851  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-neg 11380  df-xneg 13063

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24913  supminfxrrnmpt  45899  monoord2xrv  45911  liminfvalxr  46211  liminfpnfuz  46244  xlimpnfxnegmnf2  46286