Theorem xnegex 13135

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13038	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11201	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3465	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11197	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11390	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4532	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4532	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2833	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ifcif 4481  +∞cpnf 11175  -∞cmnf 11176  ℝ^*cxr 11177  -cneg 11377  -_𝑒cxne 13035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-un 7690  ax-cnex 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-uni 4866  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-neg 11379  df-xneg 13038

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24912  supminfxrrnmpt  45826  monoord2xrv  45838  liminfvalxr  46138  liminfpnfuz  46171  xlimpnfxnegmnf2  46213