Theorem xnegex 13272

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13177	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11349	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3511	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11345	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11536	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4598	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4598	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2840	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ifcif 4548  +∞cpnf 11323  -∞cmnf 11324  ℝ^*cxr 11325  -cneg 11523  -_𝑒cxne 13174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-un 7772  ax-cnex 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-uni 4932  df-iota 6527  df-fv 6583  df-ov 7453  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-neg 11525  df-xneg 13177

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24998  supminfxrrnmpt  45388  monoord2xrv  45401  liminfvalxr  45706  liminfpnfuz  45739  xlimpnfxnegmnf2  45781