Theorem xnegex 13144

Description: A negative extended real exists as a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xnegex	⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Proof of Theorem xnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xneg 13048	. 2 ⊢ -𝑒𝐴 = if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴))
2		mnfxr 11207	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3	2	elexi 3467	. . 3 ⊢ -∞ ∈ V
4		pnfex 11203	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
5		negex 11395	. . . 4 ⊢ -𝐴 ∈ V
6	4, 5	ifex 4535	. . 3 ⊢ if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴) ∈ V
7	3, 6	ifex 4535	. 2 ⊢ if(𝐴 = +∞, -∞, if(𝐴 = -∞, +∞, -𝐴)) ∈ V
8	1, 7	eqeltri 2824	1 ⊢ -𝑒𝐴 ∈ V

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ifcif 4484  +∞cpnf 11181  -∞cmnf 11182  ℝ^*cxr 11183  -cneg 11382  -_𝑒cxne 13045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-un 7691  ax-cnex 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-uni 4868  df-iota 6452  df-fv 6507  df-ov 7372  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-neg 11384  df-xneg 13048

This theorem is referenced by:  xrhmeo  24820  supminfxrrnmpt  45440  monoord2xrv  45452  liminfvalxr  45754  liminfpnfuz  45787  xlimpnfxnegmnf2  45829