Theorem monoord2xrv 46230

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2xrv.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
monoord2xrv.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xrv.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
monoord2xrv	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2xrv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2xrv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		monoord2xrv.x	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
3	2	xnegcld 13338	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝑒(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
4	3	fmpttd 7114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ*)
5	4	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ*)
6		monoord2xrv.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
7	6	ralrimiva 3159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
8		fvoveq1 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛)))
11	10	cbvralvw 3245	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
12	7, 11	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
13	12	r19.21bi 3259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
14		fzp1elp1 13618	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
15	14	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
16		eluzelz 12884	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	1, 16	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12713	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		npcan 11477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	18, 19, 20	sylancl 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	21	oveq2d 7432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
23	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
24	15, 23	eleqtrd 2867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
25	2	ralrimiva 3159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
27		fveq2 6885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
28	27	eleq1d 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
29	28	rspcv 3579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
30	24, 26, 29	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
31		fzssp1 13608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
32	31, 22	sseqtrid 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
33	32	sselda 3938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
34	9	eleq1d 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*))
35	34	rspcv 3579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*))
36	33, 26, 35	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*)
37		xleneg 13256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
38	30, 36, 37	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
39	13, 38	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
40	9	xnegeqd 46184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
41		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))
42		xnegex 13246	. . . . . . 7 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑛) ∈ V
43	40, 41, 42	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
44	33, 43	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
45	27	xnegeqd 46184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
46		xnegex 13246	. . . . . . 7 ⊢ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
47	45, 41, 46	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
48	24, 47	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
49	39, 44, 48	3brtr4d 5145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)))
50	1, 5, 49	monoordxrv 46228	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁))
51		eluzfz1 13571	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
52	1, 51	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
53		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
54	53	xnegeqd 46184	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
55		xnegex 13246	. . . . 5 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑀) ∈ V
56	54, 41, 55	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
57	52, 56	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
58		eluzfz2 13572	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
59	1, 58	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
60		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
61	60	xnegeqd 46184	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
62		xnegex 13246	. . . . 5 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑁) ∈ V
63	61, 41, 62	fvmpt 6993	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
64	59, 63	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
65	50, 57, 64	3brtr3d 5144	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁))
66	60	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*))
67	66	rspcv 3579	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*))
68	59, 25, 67	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*)
69	53	eleq1d 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*))
70	69	rspcv 3579	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*))
71	52, 25, 70	sylc 66	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*)
72		xleneg 13256	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁)))
73	68, 71, 72	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁)))
74	65, 73	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  1c1 11112   + caddc 11114  ℝ^*cxr 11253   ≤ cle 11255   − cmin 11452  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12874  -_𝑒cxne 13146  ...cfz 13547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-xneg 13149  df-fz 13548

This theorem is used by:  monoord2xr  46231