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Theorem monoord2xrv 43655
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2xrv.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord2xrv.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xrv.l ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
monoord2xrv (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2xrv
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2xrv.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 monoord2xrv.x . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
32xnegcld 13211 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝑒(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
43fmpttd 7059 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ*)
54ffvelcdmda 7031 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ*)
6 monoord2xrv.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
76ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
8 fvoveq1 7376 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9 fveq2 6839 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
108, 9breq12d 5116 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛)))
1110cbvralvw 3223 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
127, 11sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
1312r19.21bi 3232 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
14 fzp1elp1 13486 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
1514adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
16 eluzelz 12769 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1817zcnd 12604 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
19 ax-1cn 11105 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
20 npcan 11406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2221oveq2d 7369 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2322adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2415, 23eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
252ralrimiva 3141 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
2625adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
27 fveq2 6839 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
2827eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
2928rspcv 3575 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
3024, 26, 29sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
31 fzssp1 13476 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
3231, 22sseqtrid 3994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
3332sselda 3942 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
349eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
3534rspcv 3575 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
3633, 26, 35sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*)
37 xleneg 13129 . . . . . . 7 (((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛) ↔ -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
3830, 36, 37syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛) ↔ -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
3913, 38mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
409xnegeqd 43608 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑛))
41 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))
42 xnegex 13119 . . . . . . 7 -𝑒(𝐹𝑛) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 6945 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹𝑛))
4433, 43syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹𝑛))
4527xnegeqd 43608 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
46 xnegex 13119 . . . . . . 7 -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
4745, 41, 46fvmpt 6945 . . . . . 6 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4824, 47syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4939, 44, 483brtr4d 5135 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)))
501, 5, 49monoordxrv 43653 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁))
51 eluzfz1 13440 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
521, 51syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
53 fveq2 6839 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
5453xnegeqd 43608 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑀))
55 xnegex 13119 . . . . 5 -𝑒(𝐹𝑀) ∈ V
5654, 41, 55fvmpt 6945 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹𝑀))
5752, 56syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹𝑀))
58 eluzfz2 13441 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
591, 58syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
60 fveq2 6839 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
6160xnegeqd 43608 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑁))
62 xnegex 13119 . . . . 5 -𝑒(𝐹𝑁) ∈ V
6361, 41, 62fvmpt 6945 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹𝑁))
6459, 63syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹𝑁))
6550, 57, 643brtr3d 5134 . 2 (𝜑 → -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁))
6660eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ*))
6766rspcv 3575 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑁) ∈ ℝ*))
6859, 25, 67sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ*)
6953eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
7069rspcv 3575 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
7152, 25, 70sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
72 xleneg 13129 . . 3 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀) ↔ -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁)))
7368, 71, 72syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀) ↔ -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁)))
7465, 73mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062   class class class wbr 5103  cmpt 5186  cfv 6493  (class class class)co 7353  cc 11045  1c1 11048   + caddc 11050  *cxr 11184  cle 11186  cmin 11381  cz 12495  cuz 12759  -𝑒cxne 13022  ...cfz 13416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-xneg 13025  df-fz 13417
This theorem is referenced by:  monoord2xr  43656
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