Theorem monoord2xrv 45479

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2xrv.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
monoord2xrv.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xrv.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
monoord2xrv	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2xrv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2xrv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		monoord2xrv.x	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
3	2	xnegcld 13260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝑒(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
4	3	fmpttd 7087	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ*)
5	4	ffvelcdmda 7056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ*)
6		monoord2xrv.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
7	6	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
8		fvoveq1 7410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛)))
11	10	cbvralvw 3215	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
12	7, 11	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
13	12	r19.21bi 3229	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
14		fzp1elp1 13538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
16		eluzelz 12803	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		npcan 11430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	18, 19, 20	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	21	oveq2d 7403	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
24	15, 23	eleqtrd 2830	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
25	2	ralrimiva 3125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
27		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
28	27	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
29	28	rspcv 3584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
30	24, 26, 29	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
31		fzssp1 13528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
32	31, 22	sseqtrid 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
33	32	sselda 3946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
34	9	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*))
35	34	rspcv 3584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*))
36	33, 26, 35	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*)
37		xleneg 13178	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
38	30, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
39	13, 38	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
40	9	xnegeqd 45433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
41		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))
42		xnegex 13168	. . . . . . 7 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑛) ∈ V
43	40, 41, 42	fvmpt 6968	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
44	33, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
45	27	xnegeqd 45433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
46		xnegex 13168	. . . . . . 7 ⊢ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
47	45, 41, 46	fvmpt 6968	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
48	24, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
49	39, 44, 48	3brtr4d 5139	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)))
50	1, 5, 49	monoordxrv 45477	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁))
51		eluzfz1 13492	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
52	1, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
53		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
54	53	xnegeqd 45433	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
55		xnegex 13168	. . . . 5 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑀) ∈ V
56	54, 41, 55	fvmpt 6968	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
57	52, 56	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
58		eluzfz2 13493	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
59	1, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
60		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
61	60	xnegeqd 45433	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
62		xnegex 13168	. . . . 5 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑁) ∈ V
63	61, 41, 62	fvmpt 6968	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
64	59, 63	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
65	50, 57, 64	3brtr3d 5138	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁))
66	60	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*))
67	66	rspcv 3584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*))
68	59, 25, 67	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*)
69	53	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*))
70	69	rspcv 3584	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*))
71	52, 25, 70	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*)
72		xleneg 13178	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁)))
73	68, 71, 72	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁)))
74	65, 73	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  -_𝑒cxne 13069  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-xneg 13072  df-fz 13469

This theorem is referenced by:  monoord2xr  45480