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Theorem monoord2xrv 45099
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2xrv.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
monoord2xrv.x ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xrv.l ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
Assertion
Ref Expression
monoord2xrv (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2xrv
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2xrv.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
2 monoord2xrv.x . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
32xnegcld 13333 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝑒(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
43fmpttd 7129 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ*)
54ffvelcdmda 7098 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ*)
6 monoord2xrv.l . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
76ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘))
8 fvoveq1 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9 fveq2 6901 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
108, 9breq12d 5166 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛)))
1110cbvralvw 3225 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
127, 11sylib 217 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
1312r19.21bi 3239 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛))
14 fzp1elp1 13608 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
1514adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
16 eluzelz 12884 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
1817zcnd 12719 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
19 ax-1cn 11216 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
20 npcan 11519 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2118, 19, 20sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
2221oveq2d 7440 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2322adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2415, 23eleqtrd 2828 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
252ralrimiva 3136 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
2625adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
27 fveq2 6901 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
2827eleq1d 2811 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
2928rspcv 3604 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
3024, 26, 29sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
31 fzssp1 13598 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
3231, 22sseqtrid 4032 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
3332sselda 3979 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
349eleq1d 2811 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
3534rspcv 3604 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*))
3633, 26, 35sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ*)
37 xleneg 13251 . . . . . . 7 (((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛) ↔ -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
3830, 36, 37syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹𝑛) ↔ -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
3913, 38mpbid 231 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -𝑒(𝐹𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
409xnegeqd 45052 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑛 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑛))
41 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))
42 xnegex 13241 . . . . . . 7 -𝑒(𝐹𝑛) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 7009 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹𝑛))
4433, 43syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹𝑛))
4527xnegeqd 45052 . . . . . . 7 (𝑘 = (𝑛 + 1) → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
46 xnegex 13241 . . . . . . 7 -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
4745, 41, 46fvmpt 7009 . . . . . 6 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4824, 47syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
4939, 44, 483brtr4d 5185 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘(𝑛 + 1)))
501, 5, 49monoordxrv 45097 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁))
51 eluzfz1 13562 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
521, 51syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
53 fveq2 6901 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
5453xnegeqd 45052 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑀))
55 xnegex 13241 . . . . 5 -𝑒(𝐹𝑀) ∈ V
5654, 41, 55fvmpt 7009 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹𝑀))
5752, 56syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹𝑀))
58 eluzfz2 13563 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
591, 58syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
60 fveq2 6901 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑁))
6160xnegeqd 45052 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → -𝑒(𝐹𝑘) = -𝑒(𝐹𝑁))
62 xnegex 13241 . . . . 5 -𝑒(𝐹𝑁) ∈ V
6361, 41, 62fvmpt 7009 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹𝑁))
6459, 63syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹𝑁))
6550, 57, 643brtr3d 5184 . 2 (𝜑 → -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁))
6660eleq1d 2811 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑁) ∈ ℝ*))
6766rspcv 3604 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑁) ∈ ℝ*))
6859, 25, 67sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑁) ∈ ℝ*)
6953eleq1d 2811 . . . . 5 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
7069rspcv 3604 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*))
7152, 25, 70sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ*)
72 xleneg 13251 . . 3 (((𝐹𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑀) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀) ↔ -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁)))
7368, 71, 72syl2anc 582 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀) ↔ -𝑒(𝐹𝑀) ≤ -𝑒(𝐹𝑁)))
7465, 73mpbird 256 1 (𝜑 → (𝐹𝑁) ≤ (𝐹𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051   class class class wbr 5153  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424  cc 11156  1c1 11159   + caddc 11161  *cxr 11297  cle 11299  cmin 11494  cz 12610  cuz 12874  -𝑒cxne 13143  ...cfz 13538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-xneg 13146  df-fz 13539
This theorem is referenced by:  monoord2xr  45100
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