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Theorem monoord2xrv 43726
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2xrv.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
monoord2xrv.x ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
monoord2xrv.l ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
monoord2xrv (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem monoord2xrv
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2xrv.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 monoord2xrv.x . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
32xnegcld 13220 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
43fmpttd 7064 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜)):(𝑀...𝑁)βŸΆβ„*)
54ffvelcdmda 7036 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) ∈ ℝ*)
6 monoord2xrv.l . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
76ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
8 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
9 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
108, 9breq12d 5119 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
1110cbvralvw 3226 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
127, 11sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
1312r19.21bi 3235 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
14 fzp1elp1 13495 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
1514adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
16 eluzelz 12774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1817zcnd 12609 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
19 ax-1cn 11110 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
20 npcan 11411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
2118, 19, 20sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
2221oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2322adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2415, 23eleqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
252ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
2625adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
27 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
2827eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
2928rspcv 3578 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
3024, 26, 29sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
31 fzssp1 13485 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
3231, 22sseqtrid 3997 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (𝑀...𝑁))
3332sselda 3945 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
349eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ*))
3534rspcv 3578 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ*))
3633, 26, 35sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
37 xleneg 13138 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘›) ≀ -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
3830, 36, 37syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘›) ≀ -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
3913, 38mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘›) ≀ -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
409xnegeqd 43679 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) = -𝑒(πΉβ€˜π‘›))
41 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))
42 xnegex 13128 . . . . . . 7 -𝑒(πΉβ€˜π‘›) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 6949 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) = -𝑒(πΉβ€˜π‘›))
4433, 43syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) = -𝑒(πΉβ€˜π‘›))
4527xnegeqd 43679 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) = -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
46 xnegex 13128 . . . . . . 7 -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ V
4745, 41, 46fvmpt 6949 . . . . . 6 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜(𝑛 + 1)) = -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4824, 47syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜(𝑛 + 1)) = -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4939, 44, 483brtr4d 5138 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) ≀ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜(𝑛 + 1)))
501, 5, 49monoordxrv 43724 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘€) ≀ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘))
51 eluzfz1 13449 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
521, 51syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
53 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘€))
5453xnegeqd 43679 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑀 β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) = -𝑒(πΉβ€˜π‘€))
55 xnegex 13128 . . . . 5 -𝑒(πΉβ€˜π‘€) ∈ V
5654, 41, 55fvmpt 6949 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘€) = -𝑒(πΉβ€˜π‘€))
5752, 56syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘€) = -𝑒(πΉβ€˜π‘€))
58 eluzfz2 13450 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
591, 58syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
60 fveq2 6843 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘))
6160xnegeqd 43679 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) = -𝑒(πΉβ€˜π‘))
62 xnegex 13128 . . . . 5 -𝑒(πΉβ€˜π‘) ∈ V
6361, 41, 62fvmpt 6949 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘) = -𝑒(πΉβ€˜π‘))
6459, 63syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘) = -𝑒(πΉβ€˜π‘))
6550, 57, 643brtr3d 5137 . 2 (πœ‘ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘€) ≀ -𝑒(πΉβ€˜π‘))
6660eleq1d 2823 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ↔ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ*))
6766rspcv 3578 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ*))
6859, 25, 67sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ*)
6953eleq1d 2823 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
7069rspcv 3578 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
7152, 25, 70sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
72 xleneg 13138 . . 3 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘€) ≀ -𝑒(πΉβ€˜π‘)))
7368, 71, 72syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘€) ≀ -𝑒(πΉβ€˜π‘)))
7465, 73mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11050  1c1 11053   + caddc 11055  β„*cxr 11189   ≀ cle 11191   βˆ’ cmin 11386  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  -𝑒cxne 13031  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-xneg 13034  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  monoord2xr  43727
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