Theorem monoord2xrv 45520

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2xrv.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
monoord2xrv.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xrv.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
monoord2xrv	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2xrv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2xrv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		monoord2xrv.x	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
3	2	xnegcld 13196	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝑒(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
4	3	fmpttd 7048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ*)
5	4	ffvelcdmda 7017	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ*)
6		monoord2xrv.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
7	6	ralrimiva 3124	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
8		fvoveq1 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛)))
11	10	cbvralvw 3210	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
12	7, 11	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
13	12	r19.21bi 3224	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
14		fzp1elp1 13474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
16		eluzelz 12739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 11061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		npcan 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	18, 19, 20	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	21	oveq2d 7362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
24	15, 23	eleqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
25	2	ralrimiva 3124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
27		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
28	27	eleq1d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
29	28	rspcv 3573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
30	24, 26, 29	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
31		fzssp1 13464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
32	31, 22	sseqtrid 3977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
33	32	sselda 3934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
34	9	eleq1d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*))
35	34	rspcv 3573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*))
36	33, 26, 35	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*)
37		xleneg 13114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
38	30, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
39	13, 38	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
40	9	xnegeqd 45474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
41		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))
42		xnegex 13104	. . . . . . 7 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑛) ∈ V
43	40, 41, 42	fvmpt 6929	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
44	33, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
45	27	xnegeqd 45474	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
46		xnegex 13104	. . . . . . 7 ⊢ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
47	45, 41, 46	fvmpt 6929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
48	24, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
49	39, 44, 48	3brtr4d 5123	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)))
50	1, 5, 49	monoordxrv 45518	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁))
51		eluzfz1 13428	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
52	1, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
53		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
54	53	xnegeqd 45474	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
55		xnegex 13104	. . . . 5 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑀) ∈ V
56	54, 41, 55	fvmpt 6929	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
57	52, 56	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
58		eluzfz2 13429	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
59	1, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
60		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
61	60	xnegeqd 45474	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
62		xnegex 13104	. . . . 5 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑁) ∈ V
63	61, 41, 62	fvmpt 6929	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
64	59, 63	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
65	50, 57, 64	3brtr3d 5122	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁))
66	60	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*))
67	66	rspcv 3573	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*))
68	59, 25, 67	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*)
69	53	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*))
70	69	rspcv 3573	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*))
71	52, 25, 70	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*)
72		xleneg 13114	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁)))
73	68, 71, 72	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁)))
74	65, 73	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5091   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  1c1 11004   + caddc 11006  ℝ^*cxr 11142   ≤ cle 11144   − cmin 11341  ℤcz 12465  ℤ_≥cuz 12729  -_𝑒cxne 13005  ...cfz 13404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-xneg 13008  df-fz 13405

This theorem is referenced by:  monoord2xr  45521