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Theorem monoord2xrv 44492
Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
monoord2xrv.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
monoord2xrv.x ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
monoord2xrv.l ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
Assertion
Ref Expression
monoord2xrv (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜

Proof of Theorem monoord2xrv
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 monoord2xrv.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
2 monoord2xrv.x . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
32xnegcld 13283 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
43fmpttd 7115 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜)):(𝑀...𝑁)βŸΆβ„*)
54ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) ∈ ℝ*)
6 monoord2xrv.l . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
76ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
8 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
9 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘›))
108, 9breq12d 5160 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›)))
1110cbvralvw 3232 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
127, 11sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))(πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
1312r19.21bi 3246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›))
14 fzp1elp1 13558 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
1514adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)))
16 eluzelz 12836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
171, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
1817zcnd 12671 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
19 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ β„‚
20 npcan 11473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
2118, 19, 20sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑁 βˆ’ 1) + 1) = 𝑁)
2221oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2322adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
2415, 23eleqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
252ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
2625adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
27 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
2827eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
2928rspcv 3607 . . . . . . . 8 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
3024, 26, 29sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
31 fzssp1 13548 . . . . . . . . . 10 (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (𝑀...((𝑁 βˆ’ 1) + 1))
3231, 22sseqtrid 4033 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1)) βŠ† (𝑀...𝑁))
3332sselda 3981 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
349eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ↔ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ*))
3534rspcv 3607 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ*))
3633, 26, 35sylc 65 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ*)
37 xleneg 13201 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘›) ≀ -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
3830, 36, 37syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ≀ (πΉβ€˜π‘›) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘›) ≀ -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
3913, 38mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘›) ≀ -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
409xnegeqd 44445 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝑛 β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) = -𝑒(πΉβ€˜π‘›))
41 eqid 2730 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜)) = (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))
42 xnegex 13191 . . . . . . 7 -𝑒(πΉβ€˜π‘›) ∈ V
4340, 41, 42fvmpt 6997 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) = -𝑒(πΉβ€˜π‘›))
4433, 43syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) = -𝑒(πΉβ€˜π‘›))
4527xnegeqd 44445 . . . . . . 7 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) = -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
46 xnegex 13191 . . . . . . 7 -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ∈ V
4745, 41, 46fvmpt 6997 . . . . . 6 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜(𝑛 + 1)) = -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4824, 47syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜(𝑛 + 1)) = -𝑒(πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
4939, 44, 483brtr4d 5179 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 βˆ’ 1))) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘›) ≀ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜(𝑛 + 1)))
501, 5, 49monoordxrv 44490 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘€) ≀ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘))
51 eluzfz1 13512 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
521, 51syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
53 fveq2 6890 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘€))
5453xnegeqd 44445 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑀 β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) = -𝑒(πΉβ€˜π‘€))
55 xnegex 13191 . . . . 5 -𝑒(πΉβ€˜π‘€) ∈ V
5654, 41, 55fvmpt 6997 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘€) = -𝑒(πΉβ€˜π‘€))
5752, 56syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘€) = -𝑒(πΉβ€˜π‘€))
58 eluzfz2 13513 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
591, 58syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
60 fveq2 6890 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑁 β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜π‘))
6160xnegeqd 44445 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) = -𝑒(πΉβ€˜π‘))
62 xnegex 13191 . . . . 5 -𝑒(πΉβ€˜π‘) ∈ V
6361, 41, 62fvmpt 6997 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘) = -𝑒(πΉβ€˜π‘))
6459, 63syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))β€˜π‘) = -𝑒(πΉβ€˜π‘))
6550, 57, 643brtr3d 5178 . 2 (πœ‘ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘€) ≀ -𝑒(πΉβ€˜π‘))
6660eleq1d 2816 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑁 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ↔ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ*))
6766rspcv 3607 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ*))
6859, 25, 67sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ*)
6953eleq1d 2816 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑀 β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* ↔ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
7069rspcv 3607 . . . 4 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (𝑀...𝑁)(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ* β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*))
7152, 25, 70sylc 65 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*)
72 xleneg 13201 . . 3 (((πΉβ€˜π‘) ∈ ℝ* ∧ (πΉβ€˜π‘€) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘€) ≀ -𝑒(πΉβ€˜π‘)))
7368, 71, 72syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€) ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘€) ≀ -𝑒(πΉβ€˜π‘)))
7465, 73mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘) ≀ (πΉβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  -𝑒cxne 13093  ...cfz 13488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-xneg 13096  df-fz 13489
This theorem is referenced by:  monoord2xr  44493
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