Theorem monoord2xrv 42914

Description: Ordering relation for a monotonic sequence, decreasing case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 13-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
monoord2xrv.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
monoord2xrv.x	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
monoord2xrv.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
monoord2xrv	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem monoord2xrv

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		monoord2xrv.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		monoord2xrv.x	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
3	2	xnegcld 12963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → -𝑒(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
4	3	fmpttd 6971	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘)):(𝑀...𝑁)⟶ℝ*)
5	4	ffvelrnda 6943	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ∈ ℝ*)
6		monoord2xrv.l	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
7	6	ralrimiva 3107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘))
8		fvoveq1 7278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑛))
10	8, 9	breq12d 5083	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛)))
11	10	cbvralvw 3372	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑘 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑘) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
12	7, 11	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
13	12	r19.21bi 3132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛))
14		fzp1elp1 13238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
15	14	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)))
16		eluzelz 12521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
17	1, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
18	17	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
19		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		npcan 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
21	18, 19, 20	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
22	21	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
23	22	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
24	15, 23	eleqtrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
25	2	ralrimiva 3107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
26	25	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
27		fveq2 6756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
28	27	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
29	28	rspcv 3547	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*))
30	24, 26, 29	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ*)
31		fzssp1 13228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...((𝑁 − 1) + 1))
32	31, 22	sseqtrid 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(𝑁 − 1)) ⊆ (𝑀...𝑁))
33	32	sselda 3917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
34	9	eleq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*))
35	34	rspcv 3547	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*))
36	33, 26, 35	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*)
37		xleneg 12881	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑛) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
38	30, 36, 37	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝐹‘(𝑛 + 1)) ≤ (𝐹‘𝑛) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1))))
39	13, 38	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → -𝑒(𝐹‘𝑛) ≤ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
40	9	xnegeqd 42867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
41		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘)) = (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))
42		xnegex 12871	. . . . . . 7 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑛) ∈ V
43	40, 41, 42	fvmpt 6857	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
44	33, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) = -𝑒(𝐹‘𝑛))
45	27	xnegeqd 42867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = (𝑛 + 1) → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
46		xnegex 12871	. . . . . . 7 ⊢ -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ V
47	45, 41, 46	fvmpt 6857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
48	24, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)) = -𝑒(𝐹‘(𝑛 + 1)))
49	39, 44, 48	3brtr4d 5102	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑛) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘(𝑛 + 1)))
50	1, 5, 49	monoordxrv 42912	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) ≤ ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁))
51		eluzfz1 13192	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
52	1, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
53		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
54	53	xnegeqd 42867	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
55		xnegex 12871	. . . . 5 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑀) ∈ V
56	54, 41, 55	fvmpt 6857	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
57	52, 56	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑀) = -𝑒(𝐹‘𝑀))
58		eluzfz2 13193	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
59	1, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
60		fveq2 6756	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑁))
61	60	xnegeqd 42867	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → -𝑒(𝐹‘𝑘) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
62		xnegex 12871	. . . . 5 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑁) ∈ V
63	61, 41, 62	fvmpt 6857	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
64	59, 63	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))‘𝑁) = -𝑒(𝐹‘𝑁))
65	50, 57, 64	3brtr3d 5101	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁))
66	60	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*))
67	66	rspcv 3547	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*))
68	59, 25, 67	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ∈ ℝ*)
69	53	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*))
70	69	rspcv 3547	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ* → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*))
71	52, 25, 70	sylc 65	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*)
72		xleneg 12881	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝑁) ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁)))
73	68, 71, 72	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀) ↔ -𝑒(𝐹‘𝑀) ≤ -𝑒(𝐹‘𝑁)))
74	65, 73	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑁) ≤ (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  -_𝑒cxne 12774  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-xneg 12777  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  monoord2xr  42915