Theorem liminfpnfuz 45821

Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfpnfuz.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
liminfpnfuz.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfpnfuz.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfpnfuz.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfpnfuz	⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminfpnfuz

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1914	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
2		nfcv 2892	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙𝐹
3		liminfpnfuz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		liminfpnfuz.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		liminfpnfuz.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	1, 2, 3, 4, 5	liminfvaluz3 45801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))))
7		liminfpnfuz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8		nfcv 2892	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
9	7, 8	nffv 6871	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
10	9	nfxneg 45464	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙)
11		nfcv 2892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙-𝑒(𝐹‘𝑗)
12		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
13	12	xnegeqd 45440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹‘𝑙) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
14	10, 11, 13	cbvmpt 5212	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
15	14	fveq2i 6864	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)))
16	15	xnegeqi 45443	. . . 4 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))) = -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)))
17	6, 16	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))))
18	17	eqeq1d 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = +∞))
19		xnegmnf 13177	. . . . . 6 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	19	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ +∞ = -𝑒-∞
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ = -𝑒-∞)
22	21	eqeq2d 2741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-∞))
23	4	fvexi 6875	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
24	23	mptex 7200	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) ∈ V)
26	25	limsupcld 45695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ*)
27		mnfxr 11238	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28		xneg11 13182	. . . 4 ⊢ (((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞))
29	26, 27, 28	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞))
30	22, 29	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = +∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞))
31	4	uztrn2 12819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
32		xnegex 13175	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V
33		fvmpt4 45239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
34	31, 32, 33	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
35	34	breq1d 5120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
36	35	ralbidva 3155	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
37	36	rexbiia 3075	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
38	37	ralbii 3076	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
39	38	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
40		nfmpt1 5209	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
41	5	ffvelcdmda 7059	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
42	41	xnegcld 13267	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
43	14	eqcomi 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))
44	42, 43	fmptd 7089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
45	40, 3, 4, 44	limsupmnfuz 45732	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
46	7, 4, 5	xlimpnfxnegmnf 45819	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
47	39, 45, 46	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
48	18, 30, 47	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2877  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  ℝcr 11074  +∞cpnf 11212  -∞cmnf 11213  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  -_𝑒cxne 13076  lim supclsp 15443  lim infclsi 45756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-xneg 13079  df-ico 13319  df-fl 13761  df-ceil 13762  df-limsup 15444  df-liminf 45757

This theorem is referenced by:  xlimpnfliminf  45865  xlimpnfliminf2  45866