Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfpnfuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfpnfuz 43989
Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfpnfuz.1 𝑗𝐹
liminfpnfuz.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfpnfuz.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfpnfuz.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfpnfuz (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminfpnfuz
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . . 5 𝑙𝜑
2 nfcv 2905 . . . . 5 𝑙𝐹
3 liminfpnfuz.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 liminfpnfuz.3 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 liminfpnfuz.4 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
61, 2, 3, 4, 5liminfvaluz3 43969 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))))
7 liminfpnfuz.1 . . . . . . . . 9 𝑗𝐹
8 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙
97, 8nffv 6849 . . . . . . . 8 𝑗(𝐹𝑙)
109nfxneg 43632 . . . . . . 7 𝑗-𝑒(𝐹𝑙)
11 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑙-𝑒(𝐹𝑗)
12 fveq2 6839 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
1312xnegeqd 43608 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹𝑙) = -𝑒(𝐹𝑗))
1410, 11, 13cbvmpt 5214 . . . . . 6 (𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙)) = (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
1514fveq2i 6842 . . . . 5 (lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))) = (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
1615xnegeqi 43611 . . . 4 -𝑒(lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
176, 16eqtrdi 2792 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))))
1817eqeq1d 2738 . 2 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞))
19 xnegmnf 13121 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2019eqcomi 2745 . . . . 5 +∞ = -𝑒-∞
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ = -𝑒-∞)
2221eqeq2d 2747 . . 3 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞))
234fvexi 6853 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
2423mptex 7169 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V)
2625limsupcld 43863 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ*)
27 mnfxr 11208 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
28 xneg11 13126 . . . 4 (((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
2926, 27, 28sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
3022, 29bitrd 278 . 2 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
314uztrn2 12778 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
32 xnegex 13119 . . . . . . . . 9 -𝑒(𝐹𝑗) ∈ V
33 fvmpt4 43400 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍 ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ∈ V) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3431, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3534breq1d 5113 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3635ralbidva 3170 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3736rexbiia 3093 . . . . 5 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3837ralbii 3094 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3938a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
40 nfmpt1 5211 . . . 4 𝑗(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
415ffvelcdmda 7031 . . . . . 6 ((𝜑𝑙𝑍) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ*)
4241xnegcld 13211 . . . . 5 ((𝜑𝑙𝑍) → -𝑒(𝐹𝑙) ∈ ℝ*)
4314eqcomi 2745 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) = (𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))
4442, 43fmptd 7058 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
4540, 3, 4, 44limsupmnfuz 43900 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
467, 4, 5xlimpnfxnegmnf 43987 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4739, 45, 463bitr4d 310 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4818, 30, 473bitrd 304 1 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wnfc 2885  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443   class class class wbr 5103  cmpt 5186  wf 6489  cfv 6493  cr 11046  +∞cpnf 11182  -∞cmnf 11183  *cxr 11184  cle 11186  cz 12495  cuz 12759  -𝑒cxne 13022  lim supclsp 15344  lim infclsi 43924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-q 12866  df-xneg 13025  df-ico 13262  df-fl 13689  df-ceil 13690  df-limsup 15345  df-liminf 43925
This theorem is referenced by:  xlimpnfliminf  44033  xlimpnfliminf2  44034
  Copyright terms: Public domain W3C validator