Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfpnfuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfpnfuz 45831
Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfpnfuz.1 𝑗𝐹
liminfpnfuz.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfpnfuz.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfpnfuz.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfpnfuz (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminfpnfuz
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1914 . . . . 5 𝑙𝜑
2 nfcv 2905 . . . . 5 𝑙𝐹
3 liminfpnfuz.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 liminfpnfuz.3 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 liminfpnfuz.4 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
61, 2, 3, 4, 5liminfvaluz3 45811 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))))
7 liminfpnfuz.1 . . . . . . . . 9 𝑗𝐹
8 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙
97, 8nffv 6916 . . . . . . . 8 𝑗(𝐹𝑙)
109nfxneg 45472 . . . . . . 7 𝑗-𝑒(𝐹𝑙)
11 nfcv 2905 . . . . . . 7 𝑙-𝑒(𝐹𝑗)
12 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
1312xnegeqd 45448 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹𝑙) = -𝑒(𝐹𝑗))
1410, 11, 13cbvmpt 5253 . . . . . 6 (𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙)) = (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
1514fveq2i 6909 . . . . 5 (lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))) = (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
1615xnegeqi 45451 . . . 4 -𝑒(lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
176, 16eqtrdi 2793 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))))
1817eqeq1d 2739 . 2 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞))
19 xnegmnf 13252 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2019eqcomi 2746 . . . . 5 +∞ = -𝑒-∞
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ = -𝑒-∞)
2221eqeq2d 2748 . . 3 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞))
234fvexi 6920 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
2423mptex 7243 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V)
2625limsupcld 45705 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ*)
27 mnfxr 11318 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
28 xneg11 13257 . . . 4 (((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
2926, 27, 28sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
3022, 29bitrd 279 . 2 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
314uztrn2 12897 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
32 xnegex 13250 . . . . . . . . 9 -𝑒(𝐹𝑗) ∈ V
33 fvmpt4 45244 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍 ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ∈ V) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3431, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3534breq1d 5153 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3635ralbidva 3176 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3736rexbiia 3092 . . . . 5 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3837ralbii 3093 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3938a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
40 nfmpt1 5250 . . . 4 𝑗(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
415ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑙𝑍) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ*)
4241xnegcld 13342 . . . . 5 ((𝜑𝑙𝑍) → -𝑒(𝐹𝑙) ∈ ℝ*)
4314eqcomi 2746 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) = (𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))
4442, 43fmptd 7134 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
4540, 3, 4, 44limsupmnfuz 45742 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
467, 4, 5xlimpnfxnegmnf 45829 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4739, 45, 463bitr4d 311 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4818, 30, 473bitrd 305 1 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnfc 2890  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  cr 11154  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294  cle 11296  cz 12613  cuz 12878  -𝑒cxne 13151  lim supclsp 15506  lim infclsi 45766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-xneg 13154  df-ico 13393  df-fl 13832  df-ceil 13833  df-limsup 15507  df-liminf 45767
This theorem is referenced by:  xlimpnfliminf  45875  xlimpnfliminf2  45876
  Copyright terms: Public domain W3C validator