Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfpnfuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfpnfuz 41973
Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfpnfuz.1 𝑗𝐹
liminfpnfuz.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfpnfuz.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfpnfuz.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfpnfuz (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminfpnfuz
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1906 . . . . 5 𝑙𝜑
2 nfcv 2974 . . . . 5 𝑙𝐹
3 liminfpnfuz.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 liminfpnfuz.3 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 liminfpnfuz.4 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
61, 2, 3, 4, 5liminfvaluz3 41953 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))))
7 liminfpnfuz.1 . . . . . . . . 9 𝑗𝐹
8 nfcv 2974 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙
97, 8nffv 6673 . . . . . . . 8 𝑗(𝐹𝑙)
109nfxneg 41613 . . . . . . 7 𝑗-𝑒(𝐹𝑙)
11 nfcv 2974 . . . . . . 7 𝑙-𝑒(𝐹𝑗)
12 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
1312xnegeqd 41587 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹𝑙) = -𝑒(𝐹𝑗))
1410, 11, 13cbvmpt 5158 . . . . . 6 (𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙)) = (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
1514fveq2i 6666 . . . . 5 (lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))) = (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
1615xnegeqi 41590 . . . 4 -𝑒(lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
176, 16syl6eq 2869 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))))
1817eqeq1d 2820 . 2 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞))
19 xnegmnf 12591 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2019eqcomi 2827 . . . . 5 +∞ = -𝑒-∞
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ = -𝑒-∞)
2221eqeq2d 2829 . . 3 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞))
234fvexi 6677 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
2423mptex 6977 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V)
2625limsupcld 41847 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ*)
27 mnfxr 10686 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
28 xneg11 12596 . . . 4 (((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
2926, 27, 28sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
3022, 29bitrd 280 . 2 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
314uztrn2 12250 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
32 xnegex 12589 . . . . . . . . 9 -𝑒(𝐹𝑗) ∈ V
33 fvmpt4 41384 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍 ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ∈ V) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3431, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3534breq1d 5067 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3635ralbidva 3193 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3736rexbiia 3243 . . . . 5 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3837ralbii 3162 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3938a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
40 nfmpt1 5155 . . . 4 𝑗(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
415ffvelrnda 6843 . . . . . 6 ((𝜑𝑙𝑍) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ*)
4241xnegcld 12681 . . . . 5 ((𝜑𝑙𝑍) → -𝑒(𝐹𝑙) ∈ ℝ*)
4314eqcomi 2827 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) = (𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))
4442, 43fmptd 6870 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
4540, 3, 4, 44limsupmnfuz 41884 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
467, 4, 5xlimpnfxnegmnf 41971 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4739, 45, 463bitr4d 312 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4818, 30, 473bitrd 306 1 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wnfc 2958  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  cr 10524  +∞cpnf 10660  -∞cmnf 10661  *cxr 10662  cle 10664  cz 11969  cuz 12231  -𝑒cxne 12492  lim supclsp 14815  lim infclsi 41908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-xneg 12495  df-ico 12732  df-fl 13150  df-ceil 13151  df-limsup 14816  df-liminf 41909
This theorem is referenced by:  xlimpnfliminf  42017  xlimpnfliminf2  42018
  Copyright terms: Public domain W3C validator