Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfpnfuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfpnfuz 45772
Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfpnfuz.1 𝑗𝐹
liminfpnfuz.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfpnfuz.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfpnfuz.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfpnfuz (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminfpnfuz
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1912 . . . . 5 𝑙𝜑
2 nfcv 2903 . . . . 5 𝑙𝐹
3 liminfpnfuz.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 liminfpnfuz.3 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 liminfpnfuz.4 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
61, 2, 3, 4, 5liminfvaluz3 45752 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))))
7 liminfpnfuz.1 . . . . . . . . 9 𝑗𝐹
8 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙
97, 8nffv 6917 . . . . . . . 8 𝑗(𝐹𝑙)
109nfxneg 45411 . . . . . . 7 𝑗-𝑒(𝐹𝑙)
11 nfcv 2903 . . . . . . 7 𝑙-𝑒(𝐹𝑗)
12 fveq2 6907 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
1312xnegeqd 45387 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹𝑙) = -𝑒(𝐹𝑗))
1410, 11, 13cbvmpt 5259 . . . . . 6 (𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙)) = (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
1514fveq2i 6910 . . . . 5 (lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))) = (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
1615xnegeqi 45390 . . . 4 -𝑒(lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
176, 16eqtrdi 2791 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))))
1817eqeq1d 2737 . 2 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞))
19 xnegmnf 13249 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2019eqcomi 2744 . . . . 5 +∞ = -𝑒-∞
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ = -𝑒-∞)
2221eqeq2d 2746 . . 3 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞))
234fvexi 6921 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
2423mptex 7243 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V)
2625limsupcld 45646 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ*)
27 mnfxr 11316 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
28 xneg11 13254 . . . 4 (((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
2926, 27, 28sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
3022, 29bitrd 279 . 2 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
314uztrn2 12895 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
32 xnegex 13247 . . . . . . . . 9 -𝑒(𝐹𝑗) ∈ V
33 fvmpt4 45182 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍 ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ∈ V) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3431, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3534breq1d 5158 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3635ralbidva 3174 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3736rexbiia 3090 . . . . 5 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3837ralbii 3091 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3938a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
40 nfmpt1 5256 . . . 4 𝑗(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
415ffvelcdmda 7104 . . . . . 6 ((𝜑𝑙𝑍) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ*)
4241xnegcld 13339 . . . . 5 ((𝜑𝑙𝑍) → -𝑒(𝐹𝑙) ∈ ℝ*)
4314eqcomi 2744 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) = (𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))
4442, 43fmptd 7134 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
4540, 3, 4, 44limsupmnfuz 45683 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
467, 4, 5xlimpnfxnegmnf 45770 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4739, 45, 463bitr4d 311 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4818, 30, 473bitrd 305 1 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wnfc 2888  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  cr 11152  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292  cle 11294  cz 12611  cuz 12876  -𝑒cxne 13149  lim supclsp 15503  lim infclsi 45707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-xneg 13152  df-ico 13390  df-fl 13829  df-ceil 13830  df-limsup 15504  df-liminf 45708
This theorem is referenced by:  xlimpnfliminf  45816  xlimpnfliminf2  45817
  Copyright terms: Public domain W3C validator