Theorem liminfpnfuz 47099

Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfpnfuz.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
liminfpnfuz.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfpnfuz.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfpnfuz.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfpnfuz	⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem liminfpnfuz

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1949	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
2		nfcv 2926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙𝐹
3		liminfpnfuz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		liminfpnfuz.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		liminfpnfuz.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	1, 2, 3, 4, 5	liminfvaluz3 47079	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑙))))
7		liminfpnfuz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8		nfcv 2926	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
9	7, 8	nffv 6926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
10	9	nfxneg 46744	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 -e(𝐹‘𝑙)
11		nfcv 2926	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙 -e(𝐹‘𝑗)
12		fveq2 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
13	12	xnegeqd 46720	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → -e(𝐹‘𝑙) = -e(𝐹‘𝑗))
14	10, 11, 13	cbvmpt 5213	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑙)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))
15	14	fveq2i 6919	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑙))) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)))
16	15	xnegeqi 46723	. . . 4 ⊢ -e(lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑙))) = -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)))
17	6, 16	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))))
18	17	eqeq1d 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = +∞))
19		xnegmnf 13380	. . . . . 6 ⊢ -e-∞ = +∞
20	19	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ +∞ = -e-∞
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ = -e-∞)
22	21	eqeq2d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = +∞ ↔ -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e-∞))
23	4	fvexi 6930	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
24	23	mptex 7260	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)) ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)) ∈ V)
26	25	limsupcld 46973	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ*)
27		mnfxr 11405	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28		xneg11 13385	. . . 4 ⊢ (((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -∞))
29	26, 27, 28	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -∞))
30	22, 29	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = +∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -∞))
31	4	uztrn2 13024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
32		xnegex 13378	. . . . . . . . 9 ⊢ -e(𝐹‘𝑗) ∈ V
33		fvmpt4 46523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -e(𝐹‘𝑗) ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -e(𝐹‘𝑗))
34	31, 32, 33	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -e(𝐹‘𝑗))
35	34	breq1d 5118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
36	35	ralbidva 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
37	36	rexbiia 3111	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
38	37	ralbii 3112	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
39	38	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
40		nfmpt1 5210	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))
41	5	ffvelcdmda 7116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
42	41	xnegcld 13470	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → -e(𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
43	14	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑙))
44	42, 43	fmptd 7146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
45	40, 3, 4, 44	limsupmnfuz 47010	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
46	7, 4, 5	xlimpnfxnegmnf 47097	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
47	39, 45, 46	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
48	18, 30, 47	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  ℝcr 11238  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   ≤ cle 11383  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005   -_ecxne 13278  lim supclsp 15681  lim infclsi 47034

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-q 13116  df-xneg 13281  df-ico 13522  df-fl 13972  df-ceil 13973  df-limsup 15682  df-liminf 47035

This theorem is used by:  xlimpnfliminf  47143  xlimpnfliminf2  47144