Theorem liminfpnfuz 46934

Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfpnfuz.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
liminfpnfuz.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfpnfuz.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfpnfuz.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfpnfuz	⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑗, 𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥, 𝑗, 𝑘)

Proof of Theorem liminfpnfuz

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1946	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
2		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙𝐹
3		liminfpnfuz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		liminfpnfuz.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		liminfpnfuz.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	1, 2, 3, 4, 5	liminfvaluz3 46914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑙))))
7		liminfpnfuz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
9	7, 8	nffv 6900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
10	9	nfxneg 46579	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 -e(𝐹‘𝑙)
11		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙 -e(𝐹‘𝑗)
12		fveq2 6890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
13	12	xnegeqd 46555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → -e(𝐹‘𝑙) = -e(𝐹‘𝑗))
14	10, 11, 13	cbvmpt 5206	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑙)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))
15	14	fveq2i 6893	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑙))) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)))
16	15	xnegeqi 46558	. . . 4 ⊢ -e(lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑙))) = -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)))
17	6, 16	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))))
18	17	eqeq1d 2762	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = +∞))
19		xnegmnf 13347	. . . . . 6 ⊢ -e-∞ = +∞
20	19	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ +∞ = -e-∞
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ = -e-∞)
22	21	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = +∞ ↔ -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e-∞))
23	4	fvexi 6904	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
24	23	mptex 7233	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)) ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)) ∈ V)
26	25	limsupcld 46808	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ*)
27		mnfxr 11373	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28		xneg11 13352	. . . 4 ⊢ (((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -∞))
29	26, 27, 28	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -e-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -∞))
30	22, 29	bitrd 282	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -e(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = +∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -∞))
31	4	uztrn2 12991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
32		xnegex 13345	. . . . . . . . 9 ⊢ -e(𝐹‘𝑗) ∈ V
33		fvmpt4 46358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -e(𝐹‘𝑗) ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -e(𝐹‘𝑗))
34	31, 32, 33	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -e(𝐹‘𝑗))
35	34	breq1d 5112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
36	35	ralbidva 3183	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
37	36	rexbiia 3107	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
38	37	ralbii 3108	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
39	38	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
40		nfmpt1 5203	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))
41	5	ffvelcdmda 7089	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
42	41	xnegcld 13437	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → -e(𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
43	14	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑙))
44	42, 43	fmptd 7119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
45	40, 3, 4, 44	limsupmnfuz 46845	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
46	7, 4, 5	xlimpnfxnegmnf 46932	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) -e(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
47	39, 45, 46	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -e(𝐹‘𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
48	18, 30, 47	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝcr 11206  +∞cpnf 11347  -∞cmnf 11348  ℝ^*cxr 11349   ≤ cle 11351  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972   -_ecxne 13245  lim supclsp 15646  lim infclsi 46869

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-xneg 13248  df-ico 13489  df-fl 13939  df-ceil 13940  df-limsup 15647  df-liminf 46870

This theorem is used by:  xlimpnfliminf  46978  xlimpnfliminf2  46979