Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfpnfuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfpnfuz 44143
Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfpnfuz.1 Ⅎ𝑗𝐹
liminfpnfuz.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfpnfuz.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfpnfuz.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
liminfpnfuz (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) = +∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem liminfpnfuz
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1918 . . . . 5 β„²π‘™πœ‘
2 nfcv 2904 . . . . 5 Ⅎ𝑙𝐹
3 liminfpnfuz.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 liminfpnfuz.3 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5 liminfpnfuz.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
61, 2, 3, 4, 5liminfvaluz3 44123 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘™))))
7 liminfpnfuz.1 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝐹
8 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝑙
97, 8nffv 6853 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
109nfxneg 43782 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗-𝑒(πΉβ€˜π‘™)
11 nfcv 2904 . . . . . . 7 Ⅎ𝑙-𝑒(πΉβ€˜π‘—)
12 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
1312xnegeqd 43758 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑗 β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
1410, 11, 13cbvmpt 5217 . . . . . 6 (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘™)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
1514fveq2i 6846 . . . . 5 (lim supβ€˜(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘™))) = (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)))
1615xnegeqi 43761 . . . 4 -𝑒(lim supβ€˜(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘™))) = -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)))
176, 16eqtrdi 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))))
1817eqeq1d 2735 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) = +∞ ↔ -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = +∞))
19 xnegmnf 13135 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2019eqcomi 2742 . . . . 5 +∞ = -𝑒-∞
2120a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ +∞ = -𝑒-∞)
2221eqeq2d 2744 . . 3 (πœ‘ β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = +∞ ↔ -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-∞))
234fvexi 6857 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
2423mptex 7174 . . . . . 6 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V)
2625limsupcld 44017 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ*)
27 mnfxr 11217 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
28 xneg11 13140 . . . 4 (((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-∞ ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -∞))
2926, 27, 28sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-∞ ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -∞))
3022, 29bitrd 279 . 2 (πœ‘ β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = +∞ ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -∞))
314uztrn2 12787 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
32 xnegex 13133 . . . . . . . . 9 -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ∈ V
33 fvmpt4 43551 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ∈ V) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
3431, 32, 33sylancl 587 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
3534breq1d 5116 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3635ralbidva 3169 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3736rexbiia 3092 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3837ralbii 3093 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3938a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
40 nfmpt1 5214 . . . 4 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
415ffvelcdmda 7036 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*)
4241xnegcld 13225 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*)
4314eqcomi 2742 . . . . 5 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘™))
4442, 43fmptd 7063 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)):π‘βŸΆβ„*)
4540, 3, 4, 44limsupmnfuz 44054 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
467, 4, 5xlimpnfxnegmnf 44141 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4739, 45, 463bitr4d 311 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4818, 30, 473bitrd 305 1 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) = +∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055  +∞cpnf 11191  -∞cmnf 11192  β„*cxr 11193   ≀ cle 11195  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  -𝑒cxne 13035  lim supclsp 15358  lim infclsi 44078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-xneg 13038  df-ico 13276  df-fl 13703  df-ceil 13704  df-limsup 15359  df-liminf 44079
This theorem is referenced by:  xlimpnfliminf  44187  xlimpnfliminf2  44188
  Copyright terms: Public domain W3C validator