Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfpnfuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfpnfuz 44522
Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfpnfuz.1 Ⅎ𝑗𝐹
liminfpnfuz.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
liminfpnfuz.3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
liminfpnfuz.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
liminfpnfuz (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) = +∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,π‘₯   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑗,π‘˜)   𝐹(𝑗)   𝑀(π‘₯,𝑗,π‘˜)

Proof of Theorem liminfpnfuz
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘™πœ‘
2 nfcv 2903 . . . . 5 Ⅎ𝑙𝐹
3 liminfpnfuz.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
4 liminfpnfuz.3 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5 liminfpnfuz.4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
61, 2, 3, 4, 5liminfvaluz3 44502 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘™))))
7 liminfpnfuz.1 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝐹
8 nfcv 2903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑗𝑙
97, 8nffv 6901 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘™)
109nfxneg 44161 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗-𝑒(πΉβ€˜π‘™)
11 nfcv 2903 . . . . . . 7 Ⅎ𝑙-𝑒(πΉβ€˜π‘—)
12 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘™) = (πΉβ€˜π‘—))
1312xnegeqd 44137 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑗 β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
1410, 11, 13cbvmpt 5259 . . . . . 6 (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘™)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
1514fveq2i 6894 . . . . 5 (lim supβ€˜(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘™))) = (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)))
1615xnegeqi 44140 . . . 4 -𝑒(lim supβ€˜(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘™))) = -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)))
176, 16eqtrdi 2788 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))))
1817eqeq1d 2734 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) = +∞ ↔ -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = +∞))
19 xnegmnf 13188 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2019eqcomi 2741 . . . . 5 +∞ = -𝑒-∞
2120a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ +∞ = -𝑒-∞)
2221eqeq2d 2743 . . 3 (πœ‘ β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = +∞ ↔ -𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-∞))
234fvexi 6905 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
2423mptex 7224 . . . . . 6 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) ∈ V)
2625limsupcld 44396 . . . 4 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ*)
27 mnfxr 11270 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
28 xneg11 13193 . . . 4 (((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-∞ ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -∞))
2926, 27, 28sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -𝑒-∞ ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -∞))
3022, 29bitrd 278 . 2 (πœ‘ β†’ (-𝑒(lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = +∞ ↔ (lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -∞))
314uztrn2 12840 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
32 xnegex 13186 . . . . . . . . 9 -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ∈ V
33 fvmpt4 43931 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ∈ V) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
3431, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
3534breq1d 5158 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3635ralbidva 3175 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
3736rexbiia 3092 . . . . 5 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3837ralbii 3093 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
3938a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
40 nfmpt1 5256 . . . 4 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
415ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*)
4241xnegcld 13278 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘™) ∈ ℝ*)
4314eqcomi 2741 . . . . 5 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘™))
4442, 43fmptd 7113 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)):π‘βŸΆβ„*)
4540, 3, 4, 44limsupmnfuz 44433 . . 3 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
467, 4, 5xlimpnfxnegmnf 44520 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
4739, 45, 463bitr4d 310 . 2 (πœ‘ β†’ ((lim supβ€˜(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))) = -∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
4818, 30, 473bitrd 304 1 (πœ‘ β†’ ((lim infβ€˜πΉ) = +∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β„²wnfc 2883  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11108  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  β„*cxr 11246   ≀ cle 11248  β„€cz 12557  β„€β‰₯cuz 12821  -𝑒cxne 13088  lim supclsp 15413  lim infclsi 44457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-xneg 13091  df-ico 13329  df-fl 13756  df-ceil 13757  df-limsup 15414  df-liminf 44458
This theorem is referenced by:  xlimpnfliminf  44566  xlimpnfliminf2  44567
  Copyright terms: Public domain W3C validator