Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfpnfuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfpnfuz 42455
 Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfpnfuz.1 𝑗𝐹
liminfpnfuz.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
liminfpnfuz.3 𝑍 = (ℤ𝑀)
liminfpnfuz.4 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfpnfuz (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminfpnfuz
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . . . 5 𝑙𝜑
2 nfcv 2958 . . . . 5 𝑙𝐹
3 liminfpnfuz.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 liminfpnfuz.3 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 liminfpnfuz.4 . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
61, 2, 3, 4, 5liminfvaluz3 42435 . . . 4 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))))
7 liminfpnfuz.1 . . . . . . . . 9 𝑗𝐹
8 nfcv 2958 . . . . . . . . 9 𝑗𝑙
97, 8nffv 6659 . . . . . . . 8 𝑗(𝐹𝑙)
109nfxneg 42097 . . . . . . 7 𝑗-𝑒(𝐹𝑙)
11 nfcv 2958 . . . . . . 7 𝑙-𝑒(𝐹𝑗)
12 fveq2 6649 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑗 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑗))
1312xnegeqd 42071 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹𝑙) = -𝑒(𝐹𝑗))
1410, 11, 13cbvmpt 5134 . . . . . 6 (𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙)) = (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
1514fveq2i 6652 . . . . 5 (lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))) = (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
1615xnegeqi 42074 . . . 4 -𝑒(lim sup‘(𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)))
176, 16eqtrdi 2852 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))))
1817eqeq1d 2803 . 2 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞))
19 xnegmnf 12595 . . . . . 6 -𝑒-∞ = +∞
2019eqcomi 2810 . . . . 5 +∞ = -𝑒-∞
2120a1i 11 . . . 4 (𝜑 → +∞ = -𝑒-∞)
2221eqeq2d 2812 . . 3 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞))
234fvexi 6663 . . . . . . 7 𝑍 ∈ V
2423mptex 6967 . . . . . 6 (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) ∈ V)
2625limsupcld 42329 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ*)
27 mnfxr 10691 . . . 4 -∞ ∈ ℝ*
28 xneg11 12600 . . . 4 (((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
2926, 27, 28sylancl 589 . . 3 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
3022, 29bitrd 282 . 2 (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = +∞ ↔ (lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞))
314uztrn2 12254 . . . . . . . . 9 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → 𝑗𝑍)
32 xnegex 12593 . . . . . . . . 9 -𝑒(𝐹𝑗) ∈ V
33 fvmpt4 41871 . . . . . . . . 9 ((𝑗𝑍 ∧ -𝑒(𝐹𝑗) ∈ V) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3431, 32, 33sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → ((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹𝑗))
3534breq1d 5043 . . . . . . 7 ((𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)) → (((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3635ralbidva 3164 . . . . . 6 (𝑘𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
3736rexbiia 3212 . . . . 5 (∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3837ralbii 3136 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
3938a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
40 nfmpt1 5131 . . . 4 𝑗(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))
415ffvelrnda 6832 . . . . . 6 ((𝜑𝑙𝑍) → (𝐹𝑙) ∈ ℝ*)
4241xnegcld 12685 . . . . 5 ((𝜑𝑙𝑍) → -𝑒(𝐹𝑙) ∈ ℝ*)
4314eqcomi 2810 . . . . 5 (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)) = (𝑙𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑙))
4442, 43fmptd 6859 . . . 4 (𝜑 → (𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
4540, 3, 4, 44limsupmnfuz 42366 . . 3 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)((𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
467, 4, 5xlimpnfxnegmnf 42453 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)-𝑒(𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
4739, 45, 463bitr4d 314 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗𝑍 ↦ -𝑒(𝐹𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
4818, 30, 473bitrd 308 1 (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)𝑥 ≤ (𝐹𝑗)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Ⅎwnfc 2939  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  ℝcr 10529  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  ℝ*cxr 10667   ≤ cle 10669  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  -𝑒cxne 12496  lim supclsp 14823  lim infclsi 42390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-xneg 12499  df-ico 12736  df-fl 13161  df-ceil 13162  df-limsup 14824  df-liminf 42391 This theorem is referenced by:  xlimpnfliminf  42499  xlimpnfliminf2  42500
 Copyright terms: Public domain W3C validator