Theorem liminfpnfuz 46259

Description: The inferior limit of a function is +∞ if and only if every real number is the lower bound of the restriction of the function to a set of upper integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfpnfuz.1	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
liminfpnfuz.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
liminfpnfuz.3	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
liminfpnfuz.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfpnfuz	⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑥   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑥,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem liminfpnfuz

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1921	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙𝜑
2		nfcv 2901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑙𝐹
3		liminfpnfuz.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		liminfpnfuz.3	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5		liminfpnfuz.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6	1, 2, 3, 4, 5	liminfvaluz3 46239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))))
7		liminfpnfuz.1	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
8		nfcv 2901	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗𝑙
9	7, 8	nffv 6837	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑙)
10	9	nfxneg 45904	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑙)
11		nfcv 2901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑙-𝑒(𝐹‘𝑗)
12		fveq2 6827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → (𝐹‘𝑙) = (𝐹‘𝑗))
13	12	xnegeqd 45880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝑗 → -𝑒(𝐹‘𝑙) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
14	10, 11, 13	cbvmpt 5174	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙)) = (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
15	14	fveq2i 6830	. . . . 5 ⊢ (lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))) = (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)))
16	15	xnegeqi 45883	. . . 4 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))) = -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)))
17	6, 16	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))))
18	17	eqeq1d 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = +∞))
19		xnegmnf 13153	. . . . . 6 ⊢ -𝑒-∞ = +∞
20	19	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ +∞ = -𝑒-∞
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → +∞ = -𝑒-∞)
22	21	eqeq2d 2750	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = +∞ ↔ -𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-∞))
23	4	fvexi 6841	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ∈ V
24	23	mptex 7167	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) ∈ V)
26	25	limsupcld 46133	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ*)
27		mnfxr 11193	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
28		xneg11 13158	. . . 4 ⊢ (((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) ∈ ℝ* ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞))
29	26, 27, 28	sylancl 592	. . 3 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -𝑒-∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞))
30	22, 29	bitrd 280	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝑒(lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = +∞ ↔ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞))
31	4	uztrn2 12798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
32		xnegex 13151	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V
33		fvmpt4 45682	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
34	31, 32, 33	sylancl 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
35	34	breq1d 5082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
36	35	ralbidva 3160	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
37	36	rexbiia 3084	. . . . 5 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
38	37	ralbii 3085	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
39	38	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
40		nfmpt1 5171	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
41	5	ffvelcdmda 7025	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
42	41	xnegcld 13243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑙 ∈ 𝑍) → -𝑒(𝐹‘𝑙) ∈ ℝ*)
43	14	eqcomi 2748	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) = (𝑙 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑙))
44	42, 43	fmptd 7055	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
45	40, 3, 4, 44	limsupmnfuz 46170	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
46	7, 4, 5	xlimpnfxnegmnf 46257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
47	39, 45, 46	3bitr4d 312	. 2 ⊢ (𝜑 → ((lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))) = -∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
48	18, 30, 47	3bitrd 306	1 ⊢ (𝜑 → ((lim inf‘𝐹) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Ⅎwnfc 2886  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  ℝcr 11028  +∞cpnf 11167  -∞cmnf 11168  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  -_𝑒cxne 13051  lim supclsp 15423  lim infclsi 46194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-xneg 13054  df-ico 13295  df-fl 13742  df-ceil 13743  df-limsup 15424  df-liminf 46195

This theorem is referenced by:  xlimpnfliminf  46303  xlimpnfliminf2  46304