Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimpnfxnegmnf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimpnfxnegmnf2 44189
Description: A sequence converges to +∞ if and only if its negation converges to -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimpnfxnegmnf2.j Ⅎ𝑗𝐹
xlimpnfxnegmnf2.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimpnfxnegmnf2.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimpnfxnegmnf2.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
xlimpnfxnegmnf2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*+∞ ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))~~>*-∞))
Distinct variable group:   𝑗,𝑍
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem xlimpnfxnegmnf2
Dummy variables π‘˜ π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimpnfxnegmnf2.j . . 3 Ⅎ𝑗𝐹
2 xlimpnfxnegmnf2.z . . 3 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
3 xlimpnfxnegmnf2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
41, 2, 3xlimpnfxnegmnf 44145 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
5 xlimpnfxnegmnf2.m . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
61, 5, 2, 3xlimpnf 44173 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)π‘₯ ≀ (πΉβ€˜π‘—)))
7 nfmpt1 5217 . . . 4 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
83ffvelcdmda 7039 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
98xnegcld 13228 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
10 nfcv 2904 . . . . . 6 β„²π‘˜-𝑒(πΉβ€˜π‘—)
11 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘—π‘˜
121, 11nffv 6856 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗(πΉβ€˜π‘˜)
1312nfxneg 43786 . . . . . 6 Ⅎ𝑗-𝑒(πΉβ€˜π‘˜)
14 fveq2 6846 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘—) = (πΉβ€˜π‘˜))
1514xnegeqd 43762 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))
1610, 13, 15cbvmpt 5220 . . . . 5 (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)) = (π‘˜ ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘˜))
179, 16fmptd 7066 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—)):π‘βŸΆβ„*)
187, 5, 2, 17xlimmnf 44172 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯))
192uztrn2 12790 . . . . . . 7 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ 𝑗 ∈ 𝑍)
20 xnegex 13136 . . . . . . . . 9 -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ∈ V
21 fvmpt4 43555 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ∈ V) β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
2220, 21mpan2 690 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) = -𝑒(πΉβ€˜π‘—))
2322breq1d 5119 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ 𝑍 β†’ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2419, 23syl 17 . . . . . 6 ((π‘˜ ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)) β†’ (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ -𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2524ralbidva 3169 . . . . 5 (π‘˜ ∈ 𝑍 β†’ (βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2625rexbiia 3092 . . . 4 (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
2726ralbii 3093 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))β€˜π‘—) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
2818, 27bitrdi 287 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)-𝑒(πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
294, 6, 283bitr4d 311 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*+∞ ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(πΉβ€˜π‘—))~~>*-∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  β„cr 11058  +∞cpnf 11194  -∞cmnf 11195  β„*cxr 11196   ≀ cle 11198  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  -𝑒cxne 13038  ~~>*clsxlim 44149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-1o 8416  df-er 8654  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fi 9355  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-z 12508  df-uz 12772  df-xneg 13041  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-topgen 17333  df-ordt 17391  df-ps 18463  df-tsr 18464  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-lm 22603  df-xlim 44150
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator