Theorem xlimpnfxnegmnf2 46673

Description: A sequence converges to +∞ if and only if its negation converges to -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf2.j	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
xlimpnfxnegmnf2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfxnegmnf2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfxnegmnf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞))

Distinct variable group:   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem xlimpnfxnegmnf2

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfxnegmnf2.j	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		xlimpnfxnegmnf2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimpnfxnegmnf2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimpnfxnegmnf 46629	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
5		xlimpnfxnegmnf2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	1, 5, 2, 3	xlimpnf 46657	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
7		nfmpt1 5208	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
8	3	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
9	8	xnegcld 13354	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝑒(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
10		nfcv 2924	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘-𝑒(𝐹‘𝑗)
11		nfcv 2924	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑘
12	1, 11	nffv 6892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘)
13	12	nfxneg 46276	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑘)
14		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
15	14	xnegeqd 46252	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → -𝑒(𝐹‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑘))
16	10, 13, 15	cbvmpt 5211	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))
17	9, 16	fmptd 7110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
18	7, 5, 2, 17	xlimmnf 46656	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
19	2	uztrn2 12909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
20		xnegex 13262	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V
21		fvmpt4 46054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
22	20, 21	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
23	22	breq1d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
24	19, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
25	24	ralbidva 3185	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
26	25	rexbiia 3109	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
27	26	ralbii 3110	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
28	18, 27	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
29	4, 6, 28	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3078  ∃wrex 3088  Vcvv 3453   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℝcr 11126  +∞cpnf 11267  -∞cmnf 11268  ℝ^*cxr 11269   ≤ cle 11271  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  -_𝑒cxne 13162  ~~>*clsxlim 46633

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9384  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-z 12619  df-uz 12891  df-xneg 13165  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-topgen 17532  df-ordt 17591  df-ps 18658  df-tsr 18659  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172  df-lm 23455  df-xlim 46634

This theorem is used by: (None)