Theorem xlimpnfxnegmnf2 45849

Description: A sequence converges to +∞ if and only if its negation converges to -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf2.j	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
xlimpnfxnegmnf2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfxnegmnf2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfxnegmnf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞))

Distinct variable group:   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem xlimpnfxnegmnf2

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfxnegmnf2.j	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		xlimpnfxnegmnf2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimpnfxnegmnf2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimpnfxnegmnf 45805	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
5		xlimpnfxnegmnf2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	1, 5, 2, 3	xlimpnf 45833	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
7		nfmpt1 5191	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
8	3	ffvelcdmda 7018	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
9	8	xnegcld 13202	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝑒(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
10		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘-𝑒(𝐹‘𝑗)
11		nfcv 2891	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑘
12	1, 11	nffv 6832	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘)
13	12	nfxneg 45450	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑘)
14		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
15	14	xnegeqd 45426	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → -𝑒(𝐹‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑘))
16	10, 13, 15	cbvmpt 5194	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))
17	9, 16	fmptd 7048	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
18	7, 5, 2, 17	xlimmnf 45832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
19	2	uztrn2 12754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
20		xnegex 13110	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V
21		fvmpt4 45226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
22	20, 21	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
23	22	breq1d 5102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
24	19, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
25	24	ralbidva 3150	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
26	25	rexbiia 3074	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
27	26	ralbii 3075	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
28	18, 27	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
29	4, 6, 28	3bitr4d 311	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  ℝcr 11008  +∞cpnf 11146  -∞cmnf 11147  ℝ^*cxr 11148   ≤ cle 11150  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  -_𝑒cxne 13011  ~~>*clsxlim 45809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-z 12472  df-uz 12736  df-xneg 13014  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-lm 23114  df-xlim 45810

This theorem is referenced by: (None)