Theorem xlimpnfxnegmnf2 46499

Description: A sequence converges to +∞ if and only if its negation converges to -∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf2.j	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
xlimpnfxnegmnf2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimpnfxnegmnf2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimpnfxnegmnf2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimpnfxnegmnf2	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞))

Distinct variable group:   𝑗,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)   𝑀(𝑗)

Proof of Theorem xlimpnfxnegmnf2

Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimpnfxnegmnf2.j	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
2		xlimpnfxnegmnf2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		xlimpnfxnegmnf2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
4	1, 2, 3	xlimpnfxnegmnf 46455	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
5		xlimpnfxnegmnf2.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	1, 5, 2, 3	xlimpnf 46483	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)𝑥 ≤ (𝐹‘𝑗)))
7		nfmpt1 5212	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))
8	3	ffvelcdmda 7080	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
9	8	xnegcld 13326	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → -𝑒(𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
10		nfcv 2931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘-𝑒(𝐹‘𝑗)
11		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑗𝑘
12	1, 11	nffv 6892	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐹‘𝑘)
13	12	nfxneg 46102	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗-𝑒(𝐹‘𝑘)
14		fveq2 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝐹‘𝑗) = (𝐹‘𝑘))
15	14	xnegeqd 46078	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → -𝑒(𝐹‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑘))
16	10, 13, 15	cbvmpt 5215	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)) = (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑘))
17	9, 16	fmptd 7110	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗)):𝑍⟶ℝ*)
18	7, 5, 2, 17	xlimmnf 46482	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥))
19	2	uztrn2 12881	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → 𝑗 ∈ 𝑍)
20		xnegex 13234	. . . . . . . . 9 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V
21		fvmpt4 45880	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑗) ∈ V) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
22	20, 21	mpan2 703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) = -𝑒(𝐹‘𝑗))
23	22	breq1d 5121	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
24	19, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑍 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)) → (((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ -𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
25	24	ralbidva 3192	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → (∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
26	25	rexbiia 3116	. . . 4 ⊢ (∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
27	26	ralbii 3117	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))‘𝑗) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
28	18, 27	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)-𝑒(𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
29	4, 6, 28	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*+∞ ↔ (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑗))~~>*-∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Ⅎwnfc 2916  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  Vcvv 3461   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  +∞cpnf 11240  -∞cmnf 11241  ℝ^*cxr 11242   ≤ cle 11244  ℤcz 12591  ℤ_≥cuz 12862  -_𝑒cxne 13134  ~~>*clsxlim 46459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9371  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-z 12592  df-uz 12863  df-xneg 13137  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-topgen 17496  df-ordt 17555  df-ps 18622  df-tsr 18623  df-top 23020  df-topon 23037  df-bases 23072  df-lm 23355  df-xlim 46460

This theorem is referenced by: (None)