Theorem liminfvalxr 41441

Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvalxr.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
liminfvalxr.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfvalxr.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvalxr	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxr

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1767	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		inss2 4088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3		infxrcl 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6	1, 5	supminfxrrnmpt 41124	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7	6	mptru 1514	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9		tru 1511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊤
10		inss2 4088	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
12	11	supminfxr2 41122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < )
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
15		elinel1 4056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
16		nfmpt1 5019	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))
17		xnegex 12411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V
18		eqid 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))
19	17, 18	fnmpti 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
21	20	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
23	16, 21, 22	fvelimad 40891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
24	23	3adant2 1111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
25	15, 24	syl3an3 1145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
26		elinel2 4057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
27		elinel1 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
28	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V)
29	18	fvmpt2 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑦))
30	27, 28, 29	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑦))
31	30	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
32	31	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
33		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
34	32, 33	eqtrd 2808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧)
35	34	adantll 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧)
36		eqcom 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧 ↔ -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
37	36	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
38	37	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
39		simplr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
40		liminfvalxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41	40	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
42	27	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
43	41, 42	ffvelrnd 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
44	43	adantlr 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
45		xneg11 12418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
46	39, 44, 45	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
47	46	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
48	38, 47	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
49	40	ffund 6342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
50	49, 27	anim12i 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
51	50	simpld 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹)
52	40	fdmd 6347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
53	52	eqcomd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom 𝐹)
54	53	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹)
55	42, 54	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
56	51, 55	jca 504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹))
57		elinel2 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
58	57	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
59		funfvima 6812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
60	56, 58, 59	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
61	60	ad4ant13 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
62	48, 61	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
63	35, 62	syldan 582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
64	63	rexlimdva2 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
65	64	3adant3 1112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
66	26, 65	syl3an3 1145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
67	25, 66	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
68	67	rabssdv 3937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
69		ssrab2 3942	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*)
71	68, 70	ssind 4091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
72	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
73	40	ffnd 6339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
74	73	adantr 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝐹 Fn 𝐴)
75		elinel1 4056	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
76	75	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
77		fvelima2 40906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
78	74, 76, 77	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
79		elinel2 4057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
80		eqcom 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
81	80	biimpi 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
82	81	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
83	82	xnegeqd 41088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
84		simpl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
85	82, 84	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
86	84, 85, 45	syl2anc 576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
87	83, 86	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
88	87	xnegeqd 41088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
89	88	ex 405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
90	89	reximdv 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
91	79, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
92	91	adantl 474	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
93	78, 92	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
94		xnegex 12411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -𝑒𝑧 ∈ V
95		elmptima 40904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ V → (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
97	93, 96	sylibr 226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
98	72	sselda 3854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
99	98	xnegcld 12502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
100	97, 99	elind 4055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
101	72, 100	ssrabdv 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)})
102	71, 101	eqssd 3871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
103	102	infeq1d 8728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
104	103	xnegeqd 41088	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
105	14, 104	eqtr2d 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
106	105	mpteq2dv 5017	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
107	106	rneqd 5644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
108	107	infeq1d 8728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
109	108	xnegeqd 41088	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
110	8, 109	eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
111		liminfvalxr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
112	40, 111	fexd 40748	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
113		eqid 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
114	113	liminfval 41417	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
115	112, 114	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
116	111	mptexd 6807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) ∈ V)
117		eqid 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
118	117	limsupval 14682	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
119	116, 118	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
120	119	xnegeqd 41088	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
121	110, 115, 120	3eqtr4d 2818	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))))
122		liminfvalxr.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
123		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
124	122, 123	nffv 6503	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
125	124	nfxneg 41114	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-𝑒(𝐹‘𝑦)
126		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦-𝑒(𝐹‘𝑥)
127		fveq2 6493	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
128	127	xnegeqd 41088	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑥))
129	125, 126, 128	cbvmpt 5021	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))
130	129	fveq2i 6496	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥)))
131	130	xnegeqi 41091	. . 3 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥)))
132	131	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))
133	121, 132	eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507  ⊤wtru 1508   ∈ wcel 2048  Ⅎwnfc 2910  ∃wrex 3083  {crab 3086  Vcvv 3409   ∩ cin 3824   ⊆ wss 3825   ↦ cmpt 5002  dom cdm 5400  ran crn 5401   “ cima 5403  Fun wfun 6176   Fn wfn 6177  ⟶wf 6178  ‘cfv 6182  (class class class)co 6970  supcsup 8691  infcinf 8692  ℝcr 10326  +∞cpnf 10463  ℝ^*cxr 10465   < clt 10466  -_𝑒cxne 12314  [,)cico 12549  lim supclsp 14678  lim infclsi 41409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-id 5305  df-po 5319  df-so 5320  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-sup 8693  df-inf 8694  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-xneg 12317  df-limsup 14679  df-liminf 41410

This theorem is referenced by:  liminfvalxrmpt  41444