Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvalxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvalxr 42422
Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvalxr.1 𝑥𝐹
liminfvalxr.2 (𝜑𝐴𝑉)
liminfvalxr.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfvalxr (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxr
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1806 . . . . . . 7 𝑘
2 inss2 4159 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3 infxrcl 12718 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
61, 5supminfxrrnmpt 42107 . . . . . 6 (⊤ → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
76mptru 1545 . . . . 5 sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9 tru 1542 . . . . . . . . . . 11
10 inss2 4159 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
1211supminfxr2 42105 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
139, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < )
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
15 elinel1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
16 nfmpt1 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))
17 xnegex 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V
18 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))
1917, 18fnmpti 6467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴)
2120adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴)
22 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
2316, 21, 22fvelimad 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
24233adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
2515, 24syl3an3 1162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
26 elinel2 4126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
27 elinel1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦𝐴)
2817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V)
2918fvmpt2 6760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐴 ∧ -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹𝑦))
3027, 28, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹𝑦))
3130eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹𝑦) = ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦))
3231adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦))
33 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
3432, 33eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧)
3534adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧)
36 eqcom 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧 ↔ -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
3736biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
3837adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
39 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
40 liminfvalxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4140adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4227adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦𝐴)
4341, 42ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
4443adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
45 xneg11 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4639, 44, 45syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4746adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4838, 47mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
4940ffund 6495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → Fun 𝐹)
5049, 27anim12i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹𝑦𝐴))
5150simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹)
5240fdmd 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
5352eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 = dom 𝐹)
5453adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹)
5542, 54eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5651, 55jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹))
57 elinel2 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
5857adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
59 funfvima 6974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6056, 58, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6160ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6248, 61eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6335, 62syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6463rexlimdva2 3249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
65643adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6626, 65syl3an3 1162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6725, 66mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6867rabssdv 4005 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
69 ssrab2 4010 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*)
7168, 70ssind 4162 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
7340ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
7473adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝐹 Fn 𝐴)
75 elinel1 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7675adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
77 fvelima2 41895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝐴𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧)
7874, 76, 77syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧)
79 elinel2 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
80 eqcom 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝐹𝑦))
8180biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝐹𝑦))
8281adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
8382xnegeqd 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
84 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
8582, 84eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
8684, 85, 45syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
8783, 86mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
8887xnegeqd 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
8988ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑦) = 𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9089reximdv 3235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℝ* → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9179, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9291adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9378, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
94 xnegex 12593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑒𝑧 ∈ V
95 elmptima 41893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ V → (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9694, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
9793, 96sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
9872sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
9998xnegcld 12685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
10097, 99elind 4124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
10172, 100ssrabdv 4004 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)})
10271, 101eqssd 3935 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
103102infeq1d 8929 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
104103xnegeqd 42071 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
10514, 104eqtr2d 2837 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
106105mpteq2dv 5129 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
107106rneqd 5776 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
108107infeq1d 8929 . . . . 5 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
109108xnegeqd 42071 . . . 4 (𝜑 → -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1108, 109eqtrd 2836 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
111 liminfvalxr.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
11240, 111fexd 6971 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
113 eqid 2801 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
114113liminfval 42398 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
115112, 114syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
116111mptexd 6968 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) ∈ V)
117 eqid 2801 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
118117limsupval 14827 . . . . 5 ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
119116, 118syl 17 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
120119xnegeqd 42071 . . 3 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
121110, 115, 1203eqtr4d 2846 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))))
122 liminfvalxr.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
123 nfcv 2958 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
124122, 123nffv 6659 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑦)
125124nfxneg 42097 . . . . . 6 𝑥-𝑒(𝐹𝑦)
126 nfcv 2958 . . . . . 6 𝑦-𝑒(𝐹𝑥)
127 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
128127xnegeqd 42071 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒(𝐹𝑥))
129125, 126, 128cbvmpt 5134 . . . . 5 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))
130129fveq2i 6652 . . . 4 (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥)))
131130xnegeqi 42074 . . 3 -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥)))
132131a1i 11 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
133121, 132eqtrd 2836 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2112  wnfc 2939  wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  cin 3883  wss 3884  cmpt 5113  dom cdm 5523  ran crn 5524  cima 5526  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  supcsup 8892  infcinf 8893  cr 10529  +∞cpnf 10665  *cxr 10667   < clt 10668  -𝑒cxne 12496  [,)cico 12732  lim supclsp 14823  lim infclsi 42390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-xneg 12499  df-limsup 14824  df-liminf 42391
This theorem is referenced by:  liminfvalxrmpt  42425
  Copyright terms: Public domain W3C validator