Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvalxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvalxr 45798
Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvalxr.1 𝑥𝐹
liminfvalxr.2 (𝜑𝐴𝑉)
liminfvalxr.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfvalxr (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxr
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1804 . . . . . . 7 𝑘
2 inss2 4238 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3 infxrcl 13375 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
61, 5supminfxrrnmpt 45482 . . . . . 6 (⊤ → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
76mptru 1547 . . . . 5 sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9 tru 1544 . . . . . . . . . . 11
10 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
1211supminfxr2 45480 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
139, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < )
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
15 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
16 nfmpt1 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))
17 xnegex 13250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V
18 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))
1917, 18fnmpti 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴)
22 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
2316, 21, 22fvelimad 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
24233adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
2515, 24syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
26 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
27 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦𝐴)
2817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V)
2918fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐴 ∧ -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹𝑦))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹𝑦))
3130eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹𝑦) = ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦))
33 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
3432, 33eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧)
3534adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧)
36 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧 ↔ -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
3736biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
39 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
40 liminfvalxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4227adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦𝐴)
4341, 42ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
4443adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
45 xneg11 13257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4639, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4838, 47mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
4940ffund 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → Fun 𝐹)
5049, 27anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹𝑦𝐴))
5150simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹)
5240fdmd 6746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
5352eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 = dom 𝐹)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹)
5542, 54eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5651, 55jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹))
57 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
59 funfvima 7250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6056, 58, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6160ad4ant13 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6248, 61eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6335, 62syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6463rexlimdva2 3157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
65643adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6626, 65syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6725, 66mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6867rabssdv 4075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
69 ssrab2 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*)
7168, 70ssind 4241 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
7340ffnd 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝐹 Fn 𝐴)
75 elinel1 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
77 fvelima2 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝐴𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧)
7874, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧)
79 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
80 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝐹𝑦))
8180biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝐹𝑦))
8281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
8382xnegeqd 45448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
84 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
8582, 84eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
8684, 85, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
8783, 86mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
8887xnegeqd 45448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
8988ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑦) = 𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9089reximdv 3170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℝ* → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9179, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9378, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
94 xnegex 13250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑒𝑧 ∈ V
95 elmptima 45265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ V → (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9694, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
9793, 96sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
9872sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
9998xnegcld 13342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
10097, 99elind 4200 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
10172, 100ssrabdv 4074 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)})
10271, 101eqssd 4001 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
103102infeq1d 9517 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
104103xnegeqd 45448 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
10514, 104eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
106105mpteq2dv 5244 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
107106rneqd 5949 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
108107infeq1d 9517 . . . . 5 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
109108xnegeqd 45448 . . . 4 (𝜑 → -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1108, 109eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
111 liminfvalxr.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
11240, 111fexd 7247 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
113 eqid 2737 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
114113liminfval 45774 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
115112, 114syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
116111mptexd 7244 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) ∈ V)
117 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
118117limsupval 15510 . . . . 5 ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
119116, 118syl 17 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
120119xnegeqd 45448 . . 3 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
121110, 115, 1203eqtr4d 2787 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))))
122 liminfvalxr.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
123 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
124122, 123nffv 6916 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑦)
125124nfxneg 45472 . . . . . 6 𝑥-𝑒(𝐹𝑦)
126 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑦-𝑒(𝐹𝑥)
127 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
128127xnegeqd 45448 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒(𝐹𝑥))
129125, 126, 128cbvmpt 5253 . . . . 5 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))
130129fveq2i 6909 . . . 4 (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥)))
131130xnegeqi 45451 . . 3 -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥)))
132131a1i 11 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
133121, 132eqtrd 2777 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wnfc 2890  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  infcinf 9481  cr 11154  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  -𝑒cxne 13151  [,)cico 13389  lim supclsp 15506  lim infclsi 45766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-xneg 13154  df-limsup 15507  df-liminf 45767
This theorem is referenced by:  liminfvalxrmpt  45801
  Copyright terms: Public domain W3C validator