Theorem liminfvalxr 47060

Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvalxr.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
liminfvalxr.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfvalxr.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvalxr	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxr

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1837	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		inss2 4137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3		infxrcl 13502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6	1, 5	supminfxrrnmpt 46748	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7	6	mptru 1577	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9		tru 1574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊤
10		inss2 4137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
12	11	supminfxr2 46746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -einf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -einf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < )
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -einf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
15		elinel1 4101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
16		nfmpt1 5208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))
17		xnegex 13376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -e(𝐹‘𝑦) ∈ V
18		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))
19	17, 18	fnmpti 6710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
23	16, 21, 22	fvelimad 6981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧)
24	23	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧)
25	15, 24	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧)
26		elinel2 4102	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -e𝑧 ∈ ℝ*)
27		elinel1 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
28	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -e(𝐹‘𝑦) ∈ V)
29	18	fvmpt2 7034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ -e(𝐹‘𝑦) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e(𝐹‘𝑦))
30	27, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e(𝐹‘𝑦))
31	30	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -e(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧) → -e(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
33		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧)
34	32, 33	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧) → -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧)
35	34	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧) → -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧)
36		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ( -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧 ↔ -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦))
37	36	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧) → -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦))
38		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
39		liminfvalxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
42	40, 41	ffvelcdmd 7115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
43	42	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
44		xneg11 13383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*) → ( -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
45	38, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ( -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧) → ( -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
47	37, 46	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
48	39	ffund 6742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
49	48, 27	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
50	49	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹)
51	39	fdmd 6748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
52	51	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom 𝐹)
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹)
54	41, 53	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
55	50, 54	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹))
56		elinel2 4102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
57	56	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
58		funfvima 7265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
59	55, 57, 58	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
60	59	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
61	47, 60	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
62	35, 61	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
63	62	rexlimdva2 3169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
64	63	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -e𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
65	26, 64	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
66	25, 65	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
67	66	rabssdv 4002	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
68		ssrab2 4008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*)
70	67, 69	ssind 4140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
71	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
72	39	ffnd 6738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
73	72	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝐹 Fn 𝐴)
74		elinel1 4101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
75	74	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
76		fvelima2 6966	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
77	73, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
78		elinel2 4102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
79		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
80	79	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
81	80	xnegeqd 46714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦))
82	81	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦)))
83	82	reximdv 3181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦)))
84	78, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦)))
85	84	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦)))
86	77, 85	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦))
87		xnegex 13376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -e𝑧 ∈ V
88		elmptima 46537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -e𝑧 ∈ V → ( -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦)))
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦))
90	86, 89	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
91	71	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
92	91	xnegcld 13468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -e𝑧 ∈ ℝ*)
93	90, 92	elind 4100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
94	71, 93	ssrabdv 4001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)})
95	70, 94	eqssd 3930	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
96	95	infeq1d 9505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
97	96	xnegeqd 46714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -einf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
98	14, 97	eqtr2d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
99	98	mpteq2dv 5203	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
100	99	rneqd 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
101	100	infeq1d 9505	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
102	101	xnegeqd 46714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
103	8, 102	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
104		liminfvalxr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
105	39, 104	fexd 7262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
106		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
107	106	liminfval 47036	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
108	105, 107	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
109	104	mptexd 7259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) ∈ V)
110		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
111	110	limsupval 15682	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
112	109, 111	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
113	112	xnegeqd 46714	. . 3 ⊢ (𝜑 → -e(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
114	103, 108, 113	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))))
115		liminfvalxr.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
116		nfcv 2926	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
117	115, 116	nffv 6924	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
118	117	nfxneg 46738	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 -e(𝐹‘𝑦)
119		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 -e(𝐹‘𝑥)
120		fveq2 6914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
121	120	xnegeqd 46714	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -e(𝐹‘𝑦) = -e(𝐹‘𝑥))
122	118, 119, 121	cbvmpt 5211	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥))
123	122	fveq2i 6917	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥)))
124	123	xnegeqi 46717	. . 3 ⊢ -e(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥)))
125	124	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -e(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥))))
126	114, 125	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  Ⅎwnfc 2911  ∃wrex 3090  {crab 3416  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5656  ran crn 5657   “ cima 5659  Fun wfun 6558   Fn wfn 6559  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  supcsup 9467  infcinf 9468  ℝcr 11236  +∞cpnf 11377  ℝ^*cxr 11379   < clt 11380   -_ecxne 13276  [,)cico 13516  lim supclsp 15678  lim infclsi 47028

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-sup 9469  df-inf 9470  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-xneg 13279  df-limsup 15679  df-liminf 47029

This theorem is used by:  liminfvalxrmpt  47063