| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | nftru 1804 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘⊤ |
| 2 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
⊆ ℝ* |
| 3 | | infxrcl 13375 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < ) ∈ ℝ*) |
| 4 | 2, 3 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢
inf(((𝐹 “
(𝑘[,)+∞)) ∩
ℝ*), ℝ*, < ) ∈
ℝ* |
| 5 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢
((⊤ ∧ 𝑘
∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < ) ∈ ℝ*) |
| 6 | 1, 5 | supminfxrrnmpt 45482 |
. . . . . 6
⊢ (⊤
→ sup(ran (𝑘 ∈
ℝ ↦ inf(((𝐹
“ (𝑘[,)+∞))
∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*,
< ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦
-𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < )) |
| 7 | 6 | mptru 1547 |
. . . . 5
⊢ sup(ran
(𝑘 ∈ ℝ ↦
inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩
ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
= -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦
-𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < ) |
| 8 | 7 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦
inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩
ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
= -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦
-𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < )) |
| 9 | | tru 1544 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
⊤ |
| 10 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
⊆ ℝ* |
| 11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (⊤
→ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
⊆ ℝ*) |
| 12 | 11 | supminfxr2 45480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (⊤
→ sup((((𝑦 ∈
𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)},
ℝ*, < )) |
| 13 | 9, 12 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . 10
⊢
sup((((𝑦 ∈
𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)},
ℝ*, < ) |
| 14 | 13 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)},
ℝ*, < )) |
| 15 | | elinel1 4201 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
→ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) |
| 16 | | nfmpt1 5250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 17 | | xnegex 13250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
-𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V |
| 18 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 19 | 17, 18 | fnmpti 6711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴 |
| 20 | 19 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴) |
| 21 | 20 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴) |
| 22 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) →
-𝑒𝑧
∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) |
| 23 | 16, 21, 22 | fvelimad 6976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) |
| 24 | 23 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧
-𝑒𝑧
∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) |
| 25 | 15, 24 | syl3an3 1166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ ∃𝑦 ∈
(𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) |
| 26 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
→ -𝑒𝑧 ∈ ℝ*) |
| 27 | | elinel1 4201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 28 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) →
-𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V) |
| 29 | 18 | fvmpt2 7027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 30 | 27, 28, 29 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 31 | 30 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) →
-𝑒(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦)) |
| 32 | 31 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦)) |
| 33 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) |
| 34 | 32, 33 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) |
| 35 | 34 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) |
| 36 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧 ↔ -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 37 | 36 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 38 | 37 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧
-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 39 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
| 40 | | liminfvalxr.3 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*) |
| 41 | 40 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*) |
| 42 | 27 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ 𝐴) |
| 43 | 41, 42 | ffvelcdmd 7105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈
ℝ*) |
| 44 | 43 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈
ℝ*) |
| 45 | | xneg11 13257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
→ (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦))) |
| 46 | 39, 44, 45 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) →
(-𝑒𝑧 =
-𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦))) |
| 47 | 46 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧
-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦))) |
| 48 | 38, 47 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧
-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦)) |
| 49 | 40 | ffund 6740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → Fun 𝐹) |
| 50 | 49, 27 | anim12i 613 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) |
| 51 | 50 | simpld 494 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹) |
| 52 | 40 | fdmd 6746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴) |
| 53 | 52 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom 𝐹) |
| 54 | 53 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹) |
| 55 | 42, 54 | eleqtrd 2843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹) |
| 56 | 51, 55 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹)) |
| 57 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) |
| 58 | 57 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞)) |
| 59 | | funfvima 7250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))) |
| 60 | 56, 58, 59 | sylc 65 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) |
| 61 | 60 | ad4ant13 751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧
-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) |
| 62 | 48, 61 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧
-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) |
| 63 | 35, 62 | syldan 591 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) |
| 64 | 63 | rexlimdva2 3157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) →
(∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))) |
| 65 | 64 | 3adant3 1133 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧
-𝑒𝑧
∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))) |
| 66 | 26, 65 | syl3an3 1166 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ (∃𝑦 ∈
(𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))) |
| 67 | 25, 66 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) |
| 68 | 67 | rabssdv 4075 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}
⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) |
| 69 | | ssrab2 4080 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ {𝑧 ∈ ℝ*
∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}
⊆ ℝ* |
| 70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}
⊆ ℝ*) |
| 71 | 68, 70 | ssind 4241 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}
⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩
ℝ*)) |
| 72 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
⊆ ℝ*) |
| 73 | 40 | ffnd 6737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴) |
| 74 | 73 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ 𝐹 Fn 𝐴) |
| 75 | | elinel1 4201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
→ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) |
| 76 | 75 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) |
| 77 | | fvelima2 6961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧) |
| 78 | 74, 76, 77 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ ∃𝑦 ∈
(𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧) |
| 79 | | elinel2 4202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
→ 𝑧 ∈
ℝ*) |
| 80 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)) |
| 81 | 80 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → 𝑧 = (𝐹‘𝑦)) |
| 82 | 81 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦)) |
| 83 | 82 | xnegeqd 45448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 84 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*) |
| 85 | 82, 84 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈
ℝ*) |
| 86 | 84, 85, 45 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦))) |
| 87 | 83, 86 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦)) |
| 88 | 87 | xnegeqd 45448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑧 ∈ ℝ*
∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 89 | 88 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑧 ∈ ℝ*
→ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))) |
| 90 | 89 | reximdv 3170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑧 ∈ ℝ*
→ (∃𝑦 ∈
(𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))) |
| 91 | 79, 90 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
→ (∃𝑦 ∈
(𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))) |
| 92 | 91 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ (∃𝑦 ∈
(𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))) |
| 93 | 78, 92 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ ∃𝑦 ∈
(𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 94 | | xnegex 13250 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
-𝑒𝑧 ∈ V |
| 95 | | elmptima 45265 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(-𝑒𝑧 ∈ V → (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))) |
| 96 | 94, 95 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)) |
| 97 | 93, 96 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) |
| 98 | 72 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ 𝑧 ∈
ℝ*) |
| 99 | 98 | xnegcld 13342 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ -𝑒𝑧 ∈ ℝ*) |
| 100 | 97, 99 | elind 4200 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
→ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩
ℝ*)) |
| 101 | 72, 100 | ssrabdv 4074 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)
⊆ {𝑧 ∈
ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩
ℝ*)}) |
| 102 | 71, 101 | eqssd 4001 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} =
((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩
ℝ*)) |
| 103 | 102 | infeq1d 9517 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣
-𝑒𝑧
∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)},
ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )) |
| 104 | 103 | xnegeqd 45448 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
-𝑒inf({𝑧
∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)},
ℝ*, < ) = -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )) |
| 105 | 14, 104 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 →
-𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < ) = sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )) |
| 106 | 105 | mpteq2dv 5244 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦
-𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < ))) |
| 107 | 106 | rneqd 5949 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦
-𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < ))) |
| 108 | 107 | infeq1d 9517 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦
-𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦
sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < )) |
| 109 | 108 | xnegeqd 45448 |
. . . 4
⊢ (𝜑 →
-𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦
-𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < ) =
-𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < )) |
| 110 | 8, 109 | eqtrd 2777 |
. . 3
⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦
inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩
ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
= -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < )) |
| 111 | | liminfvalxr.2 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) |
| 112 | 40, 111 | fexd 7247 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V) |
| 113 | | eqid 2737 |
. . . . 5
⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦
inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩
ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )) |
| 114 | 113 | liminfval 45774 |
. . . 4
⊢ (𝐹 ∈ V → (lim
inf‘𝐹) = sup(ran
(𝑘 ∈ ℝ ↦
inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩
ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, <
)) |
| 115 | 112, 114 | syl 17 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < )) |
| 116 | 111 | mptexd 7244 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) ∈ V) |
| 117 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦
sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )) |
| 118 | 117 | limsupval 15510 |
. . . . 5
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < )) |
| 119 | 116, 118 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < )) |
| 120 | 119 | xnegeqd 45448 |
. . 3
⊢ (𝜑 → -𝑒(lim
sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦
sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*),
ℝ*, < )), ℝ*, < )) |
| 121 | 110, 115,
120 | 3eqtr4d 2787 |
. 2
⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim
sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦)))) |
| 122 | | liminfvalxr.1 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥𝐹 |
| 123 | | nfcv 2905 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑥𝑦 |
| 124 | 122, 123 | nffv 6916 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦) |
| 125 | 124 | nfxneg 45472 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑥-𝑒(𝐹‘𝑦) |
| 126 | | nfcv 2905 |
. . . . . 6
⊢
Ⅎ𝑦-𝑒(𝐹‘𝑥) |
| 127 | | fveq2 6906 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥)) |
| 128 | 127 | xnegeqd 45448 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑥)) |
| 129 | 125, 126,
128 | cbvmpt 5253 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥)) |
| 130 | 129 | fveq2i 6909 |
. . . 4
⊢ (lim
sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦))) = (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))) |
| 131 | 130 | xnegeqi 45451 |
. . 3
⊢
-𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒(lim
sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑥))) |
| 132 | 131 | a1i 11 |
. 2
⊢ (𝜑 → -𝑒(lim
sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒(lim
sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑥)))) |
| 133 | 121, 132 | eqtrd 2777 |
1
⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim
sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦
-𝑒(𝐹‘𝑥)))) |