Theorem liminfvalxr 46318

Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvalxr.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
liminfvalxr.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfvalxr.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvalxr	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxr

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1823	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		inss2 4187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3		infxrcl 13331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6	1, 5	supminfxrrnmpt 46006	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7	6	mptru 1566	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9		tru 1563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊤
10		inss2 4187	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
12	11	supminfxr2 46004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < )
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
15		elinel1 4151	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
16		nfmpt1 5196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))
17		xnegex 13205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V
18		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))
19	17, 18	fnmpti 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
21	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
22		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
23	16, 21, 22	fvelimad 6929	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
24	23	3adant2 1143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
25	15, 24	syl3an3 1177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
26		elinel2 4152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
27		elinel1 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
28	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V)
29	18	fvmpt2 6982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑦))
30	27, 28, 29	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑦))
31	30	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
32	31	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
33		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
34	32, 33	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧)
35	34	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧)
36		eqcom 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧 ↔ -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
37	36	bilani 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
38		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
39		liminfvalxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
40	39	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41	27	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
42	40, 41	ffvelcdmd 7061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
43	42	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
44		xneg11 13212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
45	38, 43, 44	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
46	45	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
47	37, 46	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
48	39	ffund 6691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
49	48, 27	anim12i 622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
50	49	simpld 498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹)
51	39	fdmd 6697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
52	51	eqcomd 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom 𝐹)
53	52	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹)
54	41, 53	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
55	50, 54	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹))
56		elinel2 4152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
57	56	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
58		funfvima 7209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
59	55, 57, 58	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
60	59	ad4ant13 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
61	47, 60	eqeltrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
62	35, 61	syldan 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
63	62	rexlimdva2 3164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
64	63	3adant3 1144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
65	26, 64	syl3an3 1177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
66	25, 65	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
67	66	rabssdv 4025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
68		ssrab2 4031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*)
70	67, 69	ssind 4190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
71	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
72	39	ffnd 6687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
73	72	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝐹 Fn 𝐴)
74		elinel1 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
75	74	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
76		fvelima2 6914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
77	73, 75, 76	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
78		elinel2 4152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
79		eqcom 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
80	79	bilani 508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
81	80	xnegeqd 45972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
82	81	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
83	82	reximdv 3176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
84	78, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
85	84	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
86	77, 85	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
87		xnegex 13205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -𝑒𝑧 ∈ V
88		elmptima 45794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ V → (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
90	86, 89	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
91	71	sselda 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
92	91	xnegcld 13297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
93	90, 92	elind 4150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
94	71, 93	ssrabdv 4024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)})
95	70, 94	eqssd 3951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
96	95	infeq1d 9418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
97	96	xnegeqd 45972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
98	14, 97	eqtr2d 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
99	98	mpteq2dv 5191	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
100	99	rneqd 5910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
101	100	infeq1d 9418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
102	101	xnegeqd 45972	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
103	8, 102	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
104		liminfvalxr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
105	39, 104	fexd 7206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
106		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
107	106	liminfval 46294	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
108	105, 107	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
109	104	mptexd 7203	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) ∈ V)
110		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
111	110	limsupval 15492	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
112	109, 111	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
113	112	xnegeqd 45972	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
114	103, 108, 113	3eqtr4d 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))))
115		liminfvalxr.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
116		nfcv 2923	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
117	115, 116	nffv 6872	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
118	117	nfxneg 45996	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-𝑒(𝐹‘𝑦)
119		nfcv 2923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦-𝑒(𝐹‘𝑥)
120		fveq2 6862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
121	120	xnegeqd 45972	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑥))
122	118, 119, 121	cbvmpt 5199	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))
123	122	fveq2i 6865	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥)))
124	123	xnegeqi 45975	. . 3 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥)))
125	124	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))
126	114, 125	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559  ⊤wtru 1560   ∈ wcel 2141  Ⅎwnfc 2908  ∃wrex 3085  {crab 3413  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5643  ran crn 5644   “ cima 5646  Fun wfun 6510   Fn wfn 6511  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  supcsup 9380  infcinf 9381  ℝcr 11066  +∞cpnf 11207  ℝ^*cxr 11209   < clt 11210  -_𝑒cxne 13105  [,)cico 13345  lim supclsp 15488  lim infclsi 46286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-xneg 13108  df-limsup 15489  df-liminf 46287

This theorem is referenced by:  liminfvalxrmpt  46321