Theorem liminfvalxr 46887

Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvalxr.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
liminfvalxr.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfvalxr.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvalxr	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxr

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1836	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		inss2 4134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3		infxrcl 13468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6	1, 5	supminfxrrnmpt 46575	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7	6	mptru 1576	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9		tru 1573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊤
10		inss2 4134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
12	11	supminfxr2 46573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -einf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -einf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < )
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -einf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
15		elinel1 4098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
16		nfmpt1 5203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))
17		xnegex 13342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -e(𝐹‘𝑦) ∈ V
18		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))
19	17, 18	fnmpti 6683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
22		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
23	16, 21, 22	fvelimad 6953	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧)
24	23	3adant2 1149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧)
25	15, 24	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧)
26		elinel2 4099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -e𝑧 ∈ ℝ*)
27		elinel1 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
28	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -e(𝐹‘𝑦) ∈ V)
29	18	fvmpt2 7006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ -e(𝐹‘𝑦) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e(𝐹‘𝑦))
30	27, 28, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e(𝐹‘𝑦))
31	30	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -e(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧) → -e(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
33		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧)
34	32, 33	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧) → -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧)
35	34	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧) → -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧)
36		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ( -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧 ↔ -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦))
37	36	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧) → -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦))
38		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
39		liminfvalxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
40	39	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
42	40, 41	ffvelcdmd 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
43	42	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
44		xneg11 13349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*) → ( -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
45	38, 43, 44	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → ( -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
46	45	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧) → ( -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
47	37, 46	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
48	39	ffund 6715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
49	48, 27	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
50	49	simpld 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹)
51	39	fdmd 6721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
52	51	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom 𝐹)
53	52	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹)
54	41, 53	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
55	50, 54	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹))
56		elinel2 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
57	56	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
58		funfvima 7237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
59	55, 57, 58	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
60	59	ad4ant13 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
61	47, 60	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -e(𝐹‘𝑦) = -e𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
62	35, 61	syldan 603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
63	62	rexlimdva2 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
64	63	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -e𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
65	26, 64	syl3an3 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -e𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
66	25, 65	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
67	66	rabssdv 3999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
68		ssrab2 4005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*)
70	67, 69	ssind 4137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
71	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
72	39	ffnd 6711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
73	72	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝐹 Fn 𝐴)
74		elinel1 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
75	74	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
76		fvelima2 6938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
77	73, 75, 76	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
78		elinel2 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
79		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
80	79	bilani 510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
81	80	xnegeqd 46541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦))
82	81	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦)))
83	82	reximdv 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦)))
84	78, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦)))
85	84	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦)))
86	77, 85	mpd 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦))
87		xnegex 13342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -e𝑧 ∈ V
88		elmptima 46364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( -e𝑧 ∈ V → ( -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦)))
89	87, 88	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ( -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) -e𝑧 = -e(𝐹‘𝑦))
90	86, 89	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -e𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
91	71	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
92	91	xnegcld 13434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -e𝑧 ∈ ℝ*)
93	90, 92	elind 4097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
94	71, 93	ssrabdv 3998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)})
95	70, 94	eqssd 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
96	95	infeq1d 9474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
97	96	xnegeqd 46541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -einf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -e𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
98	14, 97	eqtr2d 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
99	98	mpteq2dv 5198	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
100	99	rneqd 5919	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
101	100	infeq1d 9474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
102	101	xnegeqd 46541	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -einf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
103	8, 102	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
104		liminfvalxr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
105	39, 104	fexd 7234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
106		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
107	106	liminfval 46863	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
108	105, 107	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
109	104	mptexd 7231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) ∈ V)
110		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
111	110	limsupval 15647	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
112	109, 111	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
113	112	xnegeqd 46541	. . 3 ⊢ (𝜑 → -e(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = -einf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
114	103, 108, 113	3eqtr4d 2805	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))))
115		liminfvalxr.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
116		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
117	115, 116	nffv 6896	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
118	117	nfxneg 46565	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 -e(𝐹‘𝑦)
119		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦 -e(𝐹‘𝑥)
120		fveq2 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
121	120	xnegeqd 46541	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -e(𝐹‘𝑦) = -e(𝐹‘𝑥))
122	118, 119, 121	cbvmpt 5206	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥))
123	122	fveq2i 6889	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥)))
124	123	xnegeqi 46544	. . 3 ⊢ -e(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥)))
125	124	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -e(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑦))) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥))))
126	114, 125	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -e(𝐹‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  Ⅎwnfc 2907  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653  Fun wfun 6533   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  supcsup 9436  infcinf 9437  ℝcr 11203  +∞cpnf 11344  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   -_ecxne 13242  [,)cico 13482  lim supclsp 15643  lim infclsi 46855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-xneg 13245  df-limsup 15644  df-liminf 46856

This theorem is used by:  liminfvalxrmpt  46890