Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvalxr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvalxr 43925
Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvalxr.1 𝑥𝐹
liminfvalxr.2 (𝜑𝐴𝑉)
liminfvalxr.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfvalxr (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxr
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nftru 1806 . . . . . . 7 𝑘
2 inss2 4187 . . . . . . . . 9 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3 infxrcl 13206 . . . . . . . . 9 (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8 inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
61, 5supminfxrrnmpt 43611 . . . . . 6 (⊤ → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
76mptru 1548 . . . . 5 sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9 tru 1545 . . . . . . . . . . 11
10 inss2 4187 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
1211supminfxr2 43609 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
139, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < )
1413a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
15 elinel1 4153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
16 nfmpt1 5211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))
17 xnegex 13081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V
18 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) = (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))
1917, 18fnmpti 6641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) Fn 𝐴)
22 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
2316, 21, 22fvelimad 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
24233adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
2515, 24syl3an3 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
26 elinel2 4154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
27 elinel1 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦𝐴)
2817a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V)
2918fvmpt2 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝐴 ∧ -𝑒(𝐹𝑦) ∈ V) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹𝑦))
3027, 28, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹𝑦))
3130eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹𝑦) = ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦))
33 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
3432, 33eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧)
3534adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧)
36 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧 ↔ -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
3736biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (-𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
39 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
40 liminfvalxr.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
4227adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦𝐴)
4341, 42ffvelcdmd 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
4443adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
45 xneg11 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4639, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
4838, 47mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
4940ffund 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → Fun 𝐹)
5049, 27anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹𝑦𝐴))
5150simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹)
5240fdmd 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
5352eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝐴 = dom 𝐹)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹)
5542, 54eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
5651, 55jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹))
57 elinel2 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
59 funfvima 7176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Fun 𝐹𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6056, 58, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6160ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → (𝐹𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6248, 61eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6335, 62syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6463rexlimdva2 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
65643adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6626, 65syl3an3 1165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
6725, 66mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
6867rabssdv 4030 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
69 ssrab2 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*)
7168, 70ssind 4190 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
7340ffnd 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝐹 Fn 𝐴)
75 elinel1 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
7675adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
77 fvelima2 43393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 Fn 𝐴𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧)
7874, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧)
79 elinel2 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
80 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐹𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝐹𝑦))
8180biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑦) = 𝑧𝑧 = (𝐹𝑦))
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
8382xnegeqd 43577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
84 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
8582, 84eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ*)
8684, 85, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹𝑦)))
8783, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹𝑦))
8887xnegeqd 43577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
8988ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑦) = 𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9089reximdv 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ ℝ* → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9179, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9378, 92mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
94 xnegex 13081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑒𝑧 ∈ V
95 elmptima 43391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-𝑒𝑧 ∈ V → (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦)))
9694, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹𝑦))
9793, 96sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
9872sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
9998xnegcld 13173 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
10097, 99elind 4152 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
10172, 100ssrabdv 4029 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)})
10271, 101eqssd 3959 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
103102infeq1d 9371 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
104103xnegeqd 43577 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
10514, 104eqtr2d 2778 . . . . . . . 8 (𝜑 → -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
106105mpteq2dv 5205 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
107106rneqd 5891 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
108107infeq1d 9371 . . . . 5 (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
109108xnegeqd 43577 . . . 4 (𝜑 → -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
1108, 109eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
111 liminfvalxr.2 . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
11240, 111fexd 7173 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ V)
113 eqid 2737 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
114113liminfval 43901 . . . 4 (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
115112, 114syl 17 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
116111mptexd 7170 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) ∈ V)
117 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
118117limsupval 15316 . . . . 5 ((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
119116, 118syl 17 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
120119xnegeqd 43577 . . 3 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
121110, 115, 1203eqtr4d 2787 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))))
122 liminfvalxr.1 . . . . . . . 8 𝑥𝐹
123 nfcv 2905 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
124122, 123nffv 6849 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑦)
125124nfxneg 43601 . . . . . 6 𝑥-𝑒(𝐹𝑦)
126 nfcv 2905 . . . . . 6 𝑦-𝑒(𝐹𝑥)
127 fveq2 6839 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
128127xnegeqd 43577 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → -𝑒(𝐹𝑦) = -𝑒(𝐹𝑥))
129125, 126, 128cbvmpt 5214 . . . . 5 (𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦)) = (𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))
130129fveq2i 6842 . . . 4 (lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥)))
131130xnegeqi 43580 . . 3 -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥)))
132131a1i 11 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
133121, 132eqtrd 2777 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒(𝐹𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wnfc 2885  wrex 3071  {crab 3405  Vcvv 3443  cin 3907  wss 3908  cmpt 5186  dom cdm 5631  ran crn 5632  cima 5634  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  supcsup 9334  infcinf 9335  cr 11008  +∞cpnf 11144  *cxr 11146   < clt 11147  -𝑒cxne 12984  [,)cico 13220  lim supclsp 15312  lim infclsi 43893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-xneg 12987  df-limsup 15313  df-liminf 43894
This theorem is referenced by:  liminfvalxrmpt  43928
  Copyright terms: Public domain W3C validator