Theorem liminfvalxr 45739

Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvalxr.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
liminfvalxr.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfvalxr.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvalxr	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxr

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1801	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		inss2 4246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3		infxrcl 13372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6	1, 5	supminfxrrnmpt 45421	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7	6	mptru 1544	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9		tru 1541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊤
10		inss2 4246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
12	11	supminfxr2 45419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < )
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
15		elinel1 4211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
16		nfmpt1 5256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))
17		xnegex 13247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V
18		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))
19	17, 18	fnmpti 6712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
23	16, 21, 22	fvelimad 6976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
24	23	3adant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
25	15, 24	syl3an3 1164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
26		elinel2 4212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
27		elinel1 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
28	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V)
29	18	fvmpt2 7027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑦))
30	27, 28, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑦))
31	30	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
34	32, 33	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧)
35	34	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧)
36		eqcom 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧 ↔ -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
37	36	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
39		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
40		liminfvalxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
42	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
43	41, 42	ffvelcdmd 7105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
44	43	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
45		xneg11 13254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
46	39, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
48	38, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
49	40	ffund 6741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
50	49, 27	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
51	50	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹)
52	40	fdmd 6747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
53	52	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom 𝐹)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹)
55	42, 54	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
56	51, 55	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹))
57		elinel2 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
59		funfvima 7250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
60	56, 58, 59	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
61	60	ad4ant13 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
62	48, 61	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
63	35, 62	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
64	63	rexlimdva2 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
65	64	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
66	26, 65	syl3an3 1164	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
67	25, 66	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
68	67	rabssdv 4085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
69		ssrab2 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*)
71	68, 70	ssind 4249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
72	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
73	40	ffnd 6738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝐹 Fn 𝐴)
75		elinel1 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
77		fvelima2 45205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
78	74, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
79		elinel2 4212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
80		eqcom 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
81	80	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
83	82	xnegeqd 45387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
84		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
85	82, 84	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
86	84, 85, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
87	83, 86	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
88	87	xnegeqd 45387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
89	88	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
90	89	reximdv 3168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
91	79, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
93	78, 92	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
94		xnegex 13247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -𝑒𝑧 ∈ V
95		elmptima 45203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ V → (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
97	93, 96	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
98	72	sselda 3995	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
99	98	xnegcld 13339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
100	97, 99	elind 4210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
101	72, 100	ssrabdv 4084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)})
102	71, 101	eqssd 4013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
103	102	infeq1d 9515	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
104	103	xnegeqd 45387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
105	14, 104	eqtr2d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
106	105	mpteq2dv 5250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
107	106	rneqd 5952	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
108	107	infeq1d 9515	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
109	108	xnegeqd 45387	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
110	8, 109	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
111		liminfvalxr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
112	40, 111	fexd 7247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
113		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
114	113	liminfval 45715	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
115	112, 114	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
116	111	mptexd 7244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) ∈ V)
117		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
118	117	limsupval 15507	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
119	116, 118	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
120	119	xnegeqd 45387	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
121	110, 115, 120	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))))
122		liminfvalxr.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
123		nfcv 2903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
124	122, 123	nffv 6917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
125	124	nfxneg 45411	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-𝑒(𝐹‘𝑦)
126		nfcv 2903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦-𝑒(𝐹‘𝑥)
127		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
128	127	xnegeqd 45387	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑥))
129	125, 126, 128	cbvmpt 5259	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))
130	129	fveq2i 6910	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥)))
131	130	xnegeqi 45390	. . 3 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥)))
132	131	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))
133	121, 132	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106  Ⅎwnfc 2888  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690   “ cima 5692  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  infcinf 9479  ℝcr 11152  +∞cpnf 11290  ℝ^*cxr 11292   < clt 11293  -_𝑒cxne 13149  [,)cico 13386  lim supclsp 15503  lim infclsi 45707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-xneg 13152  df-limsup 15504  df-liminf 45708

This theorem is referenced by:  liminfvalxrmpt  45742