Theorem liminfvalxr 46211

Description: Alternate definition of lim inf when 𝐹 is an extended real-valued function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvalxr.1	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
liminfvalxr.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfvalxr.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfvalxr	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfvalxr

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nftru 1806	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⊤
2		inss2 4178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
3		infxrcl 13286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6	1, 5	supminfxrrnmpt 45899	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7	6	mptru 1549	. . . . 5 ⊢ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < )
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
9		tru 1546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊤
10		inss2 4178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
12	11	supminfxr2 45897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < )
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ))
15		elinel1 4141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
16		nfmpt1 5184	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑦(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))
17		xnegex 13160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V
18		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))
19	17, 18	fnmpti 6641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) Fn 𝐴)
22		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
23	16, 21, 22	fvelimad 6907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
24	23	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
25	15, 24	syl3an3 1166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
26		elinel2 4142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
27		elinel1 4141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
28	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V)
29	18	fvmpt2 6959	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) ∈ V) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑦))
30	27, 28, 29	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑦))
31	30	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦))
33		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧)
34	32, 33	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧)
35	34	adantll 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧)
36		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧 ↔ -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
37	36	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (-𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
39		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
40		liminfvalxr.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
42	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ 𝐴)
43	41, 42	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
44	43	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
45		xneg11 13167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
46	39, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
48	38, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
49	40	ffund 6672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
50	49, 27	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
51	50	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → Fun 𝐹)
52	40	fdmd 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
53	52	eqcomd 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = dom 𝐹)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝐴 = dom 𝐹)
55	42, 54	eleqtrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ dom 𝐹)
56	51, 55	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹))
57		elinel2 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞)) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞))
59		funfvima 7185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝑘[,)+∞) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
60	56, 58, 59	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
61	60	ad4ant13 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
62	48, 61	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
63	35, 62	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))) ∧ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
64	63	rexlimdva2 3140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
65	64	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
66	26, 65	syl3an3 1166	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))‘𝑦) = -𝑒𝑧 → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))))
67	25, 66	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
68	67	rabssdv 4014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
69		ssrab2 4020	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ℝ*)
71	68, 70	ssind 4181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} ⊆ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
72	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
73	40	ffnd 6669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝐹 Fn 𝐴)
75		elinel1 4141	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
77		fvelima2 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ (𝐹 “ (𝑘[,)+∞))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
78	74, 76, 77	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧)
79		elinel2 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
80		eqcom 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
81	80	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
82	81	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
83	82	xnegeqd 45865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
84		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ*)
85	82, 84	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℝ*)
86	84, 85, 45	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → (-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦) ↔ 𝑧 = (𝐹‘𝑦)))
87	83, 86	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))
88	87	xnegeqd 45865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ (𝐹‘𝑦) = 𝑧) → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
89	88	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑦) = 𝑧 → -𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
90	89	reximdv 3152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ* → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
91	79, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → (∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))(𝐹‘𝑦) = 𝑧 → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
93	78, 92	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
94		xnegex 13160	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ -𝑒𝑧 ∈ V
95		elmptima 45687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ V → (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦)))
96	94, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴 ∩ (𝑘[,)+∞))-𝑒𝑧 = -𝑒(𝐹‘𝑦))
97	93, 96	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)))
98	72	sselda 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
99	98	xnegcld 13252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
100	97, 99	elind 4140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
101	72, 100	ssrabdv 4013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)})
102	71, 101	eqssd 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)} = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
103	102	infeq1d 9391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
104	103	xnegeqd 45865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ (((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*)}, ℝ*, < ) = -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
105	14, 104	eqtr2d 2772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
106	105	mpteq2dv 5179	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
107	106	rneqd 5893	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
108	107	infeq1d 9391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
109	108	xnegeqd 45865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ -𝑒inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
110	8, 109	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
111		liminfvalxr.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
112	40, 111	fexd 7182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
113		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
114	113	liminfval 46187	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
115	112, 114	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
116	111	mptexd 7179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) ∈ V)
117		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
118	117	limsupval 15436	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) ∈ V → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
119	116, 118	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
120	119	xnegeqd 45865	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒inf(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
121	110, 115, 120	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))))
122		liminfvalxr.1	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
123		nfcv 2898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
124	122, 123	nffv 6850	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑦)
125	124	nfxneg 45889	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥-𝑒(𝐹‘𝑦)
126		nfcv 2898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦-𝑒(𝐹‘𝑥)
127		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥))
128	127	xnegeqd 45865	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑒(𝐹‘𝑦) = -𝑒(𝐹‘𝑥))
129	125, 126, 128	cbvmpt 5187	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))
130	129	fveq2i 6843	. . . 4 ⊢ (lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥)))
131	130	xnegeqi 45868	. . 3 ⊢ -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥)))
132	131	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑦 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑦))) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))
133	121, 132	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒(𝐹‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2883  ∃wrex 3061  {crab 3389  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  Fun wfun 6492   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  supcsup 9353  infcinf 9354  ℝcr 11037  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179  -_𝑒cxne 13060  [,)cico 13300  lim supclsp 15432  lim infclsi 46179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-xneg 13063  df-limsup 15433  df-liminf 46180

This theorem is referenced by:  liminfvalxrmpt  46214