Users' Mathboxes Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  circum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem circum 31268
Description: The circumference of a circle of radius 𝑅, defined as the limit as 𝑛 ⇝ +∞ of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is ((2 · π) · 𝑅). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
circum.1 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
circum.2 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
circum.3 𝑅 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
circum 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)
Distinct variable group:   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem circum
Dummy variables 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11667 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11353 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 pirp 24112 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
4 nnrp 11786 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5 rpdivcl 11800 . . . . . . . . . 10 ((π ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
63, 4, 5sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
76rprene0d 11824 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
8 eldifsn 4292 . . . . . . . 8 ((π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
97, 8sylibr 224 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
109adantl 482 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
11 eqidd 2627 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)))
12 eqidd 2627 . . . . . 6 (⊤ → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)))
13 fveq2 6150 . . . . . . 7 (𝑦 = (π / 𝑛) → (sin‘𝑦) = (sin‘(π / 𝑛)))
14 id 22 . . . . . . 7 (𝑦 = (π / 𝑛) → 𝑦 = (π / 𝑛))
1513, 14oveq12d 6623 . . . . . 6 (𝑦 = (π / 𝑛) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) = ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
1610, 11, 12, 15fmptco 6352 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))))
17 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))
1817, 9fmpti 6340 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})
19 pire 24109 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
2019recni 9997 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
21 divcnv 14505 . . . . . . 7 (π ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
2220, 21mp1i 13 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
23 sinccvg 31267 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
2418, 22, 23sylancr 694 . . . . 5 (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
2516, 24eqbrtrrd 4642 . . . 4 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) ⇝ 1)
26 2re 11035 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2726, 19remulcli 9999 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
28 circum.3 . . . . . . 7 𝑅 ∈ ℝ
2927, 28remulcli 9999 . . . . . 6 ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℝ
3029recni 9997 . . . . 5 ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ
3130a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ)
32 circum.2 . . . . . 6 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
33 nnex 10971 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
3433mptex 6441 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))))) ∈ V
3532, 34eqeltri 2700 . . . . 5 𝑃 ∈ V
3635a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝑃 ∈ V)
37 eqid 2626 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦))
38 eldifi 3715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
3938resincld 14793 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
40 eldifsni 4294 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
4139, 38, 40redivcld 10798 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
4237, 41fmpti 6340 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ
43 fco 6017 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
4442, 18, 43mp2an 707 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
4516trud 1490 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
4645feq1i 5995 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
4744, 46mpbi 220 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
4847ffvelrni 6315 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
4948adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
5049recnd 10013 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
5126recni 9997 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
5320a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
54 nncn 10973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56 nnne0 10998 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
5756adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
5852, 53, 55, 57divassd 10781 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · π) / 𝑘) = (2 · (π / 𝑘)))
5958oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = ((2 · (π / 𝑘)) / 2))
60 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
61 nndivre 11001 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
6219, 60, 61sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
6362recnd 10013 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℂ)
64 2ne0 11058 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ≠ 0
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
6663, 52, 65divcan3d 10751 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (π / 𝑘)) / 2) = (π / 𝑘))
6759, 66eqtrd 2660 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = (π / 𝑘))
6867fveq2d 6154 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = (sin‘(π / 𝑘)))
6962resincld 14793 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℝ)
7069recnd 10013 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℂ)
71 nnrp 11786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
73 rpdivcl 11800 . . . . . . . . . . . . 13 ((π ∈ ℝ+𝑘 ∈ ℝ+) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
743, 72, 73sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
7574rpne0d 11821 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ≠ 0)
7670, 63, 75divcan2d 10748 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (sin‘(π / 𝑘)))
7768, 76eqtr4d 2663 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
7877oveq2d 6621 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
7928recni 9997 . . . . . . . . . 10 𝑅 ∈ ℂ
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
81 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (π / 𝑛) = (π / 𝑘))
8281fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(π / 𝑛)) = (sin‘(π / 𝑘)))
8382, 81oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
84 eqid 2626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
85 ovex 6633 . . . . . . . . . . . 12 ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ V
8683, 84, 85fvmpt 6240 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
8786adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
8887, 50eqeltrrd 2705 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
8980, 63, 88mulassd 10008 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
9078, 89eqtr4d 2663 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
9190oveq2d 6621 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
92 mulcl 9965 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
9351, 55, 92sylancr 694 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
94 mulcl 9965 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (π / 𝑘) ∈ ℂ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
9579, 63, 94sylancr 694 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
9693, 95, 88mulassd 10008 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
9752, 55, 80, 63mul4d 10193 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))))
9853, 55, 57divcan2d 10748 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (π / 𝑘)) = π)
9998oveq2d 6621 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · π))
10052, 80, 53mul32d 10191 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · π) = ((2 · π) · 𝑅))
10199, 100eqtrd 2660 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
10297, 101eqtrd 2660 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
103102oveq1d 6620 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
10491, 96, 1033eqtr2d 2666 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
105 oveq2 6613 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
106 circum.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
107 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · π) / 𝑛) = ((2 · π) / 𝑘))
108106, 107syl5eq 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘𝐴 = ((2 · π) / 𝑘))
109108oveq1d 6620 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 2) = (((2 · π) / 𝑘) / 2))
110109fveq2d 6154 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))
111110oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))) = (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))))
112105, 111oveq12d 6623 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
113 ovex 6633 . . . . . . 7 ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) ∈ V
114112, 32, 113fvmpt 6240 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
115114adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
11687oveq2d 6621 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
117104, 115, 1163eqtr4d 2670 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑘) = (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)))
1181, 2, 25, 31, 36, 50, 117climmulc2 14296 . . 3 (⊤ → 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1))
119118trud 1490 . 2 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1)
12030mulid1i 9987 . 2 (((2 · π) · 𝑅) · 1) = ((2 · π) · 𝑅)
121119, 120breqtri 4643 1 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1992  wne 2796  Vcvv 3191  cdif 3557  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678  ccom 5083  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  +crp 11776  cli 14144  sincsin 14714  πcpi 14717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-sin 14720  df-cos 14721  df-pi 14723  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator