Theorem circum 32917

Description: The circumference of a circle of radius 𝑅, defined as the limit as 𝑛 ⇝ +∞ of the perimeter of an inscribed n-sided isogons, is ((2 · π) · 𝑅). (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
circum.1	⊢ 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
circum.2	⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
circum.3	⊢ 𝑅 ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
circum	⊢ 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)

Distinct variable group:   𝑅,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛)   𝑃(𝑛)

Proof of Theorem circum

Dummy variables 𝑦 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12282	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12014	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		pirp 25047	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ+
4		nnrp 12401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5		rpdivcl 12415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
6	3, 4, 5	sylancr 589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ ℝ+)
7	6	rprene0d 12440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
8		eldifsn 4719	. . . . . . . 8 ⊢ ((π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((π / 𝑛) ∈ ℝ ∧ (π / 𝑛) ≠ 0))
9	7, 8	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
10	9	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (π / 𝑛) ∈ (ℝ ∖ {0}))
11		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)))
12		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)))
13		fveq2 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (π / 𝑛) → (sin‘𝑦) = (sin‘(π / 𝑛)))
14		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (π / 𝑛) → 𝑦 = (π / 𝑛))
15	13, 14	oveq12d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (π / 𝑛) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) = ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
16	10, 11, 12, 15	fmptco 6891	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))))
17		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))
18	17, 9	fmpti 6876	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})
19		pire 25044	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
20	19	recni 10655	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
21		divcnv 15208	. . . . . . 7 ⊢ (π ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
22	20, 21	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0)
23		sinccvg 32916	. . . . . 6 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)) ⇝ 0) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
24	18, 22, 23	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) ⇝ 1)
25	16, 24	eqbrtrrd 5090	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) ⇝ 1)
26		2re 11712	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
27	26, 19	remulcli 10657	. . . . . . 7 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
28		circum.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
29	27, 28	remulcli 10657	. . . . . 6 ⊢ ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℝ
30	29	recni 10655	. . . . 5 ⊢ ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ
31	30	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((2 · π) · 𝑅) ∈ ℂ)
32		circum.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
33		nnex 11644	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
34	33	mptex 6986	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))))) ∈ V
35	32, 34	eqeltri 2909	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 𝑃 ∈ V)
37		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦))
38		eldifi 4103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ∈ ℝ)
39	38	resincld 15496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
40		eldifsni 4722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → 𝑦 ≠ 0)
41	39, 38, 40	redivcld 11468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) → ((sin‘𝑦) / 𝑦) ∈ ℝ)
42	37, 41	fmpti 6876	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ
43		fco 6531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)):(ℝ ∖ {0})⟶ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛)):ℕ⟶(ℝ ∖ {0})) → ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
44	42, 18, 43	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
45	16	mptru 1544	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
46	45	feq1i 6505	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑦) / 𝑦)) ∘ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ)
47	44, 46	mpbi 232	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))):ℕ⟶ℝ
48	47	ffvelrni 6850	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
49	48	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℝ)
50	49	recnd 10669	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
51	26	recni 10655	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
53	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
54		nncn 11646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
55	54	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
56		nnne0 11672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
57	56	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≠ 0)
58	52, 53, 55, 57	divassd 11451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · π) / 𝑘) = (2 · (π / 𝑘)))
59	58	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = ((2 · (π / 𝑘)) / 2))
60		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
61		nndivre 11679	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
62	19, 60, 61	sylancr 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ)
63	62	recnd 10669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℂ)
64		2ne0 11742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ≠ 0
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ≠ 0)
66	63, 52, 65	divcan3d 11421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · (π / 𝑘)) / 2) = (π / 𝑘))
67	59, 66	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) / 𝑘) / 2) = (π / 𝑘))
68	67	fveq2d 6674	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = (sin‘(π / 𝑘)))
69	62	resincld 15496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℝ)
70	69	recnd 10669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(π / 𝑘)) ∈ ℂ)
71		nnrp 12401	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ+)
72	71	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ+)
73		rpdivcl 12415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((π ∈ ℝ+ ∧ 𝑘 ∈ ℝ+) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
74	3, 72, 73	sylancr 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ∈ ℝ+)
75	74	rpne0d 12437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (π / 𝑘) ≠ 0)
76	70, 63, 75	divcan2d 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (sin‘(π / 𝑘)))
77	68, 76	eqtr4d 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)) = ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
78	77	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
79	28	recni 10655	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ ℂ
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
81		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (π / 𝑛) = (π / 𝑘))
82	81	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(π / 𝑛)) = (sin‘(π / 𝑘)))
83	82, 81	oveq12d 7174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
84		eqid 2821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))
85		ovex 7189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ V
86	83, 84, 85	fvmpt 6768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
87	86	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘) = ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))
88	87, 50	eqeltrrd 2914	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
89	80, 63, 88	mulassd 10664	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (𝑅 · ((π / 𝑘) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
90	78, 89	eqtr4d 2859	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))) = ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
91	90	oveq2d 7172	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
92		mulcl 10621	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
93	51, 55, 92	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
94		mulcl 10621	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ ℂ ∧ (π / 𝑘) ∈ ℂ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
95	79, 63, 94	sylancr 589	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑅 · (π / 𝑘)) ∈ ℂ)
96	93, 95, 88	mulassd 10664	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑘) · ((𝑅 · (π / 𝑘)) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘)))))
97	52, 55, 80, 63	mul4d 10852	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))))
98	53, 55, 57	divcan2d 11418	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · (π / 𝑘)) = π)
99	98	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · 𝑅) · π))
100	52, 80, 53	mul32d 10850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · π) = ((2 · π) · 𝑅))
101	99, 100	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑅) · (𝑘 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
102	97, 101	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) = ((2 · π) · 𝑅))
103	102	oveq1d 7171	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · 𝑘) · (𝑅 · (π / 𝑘))) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
104	91, 96, 103	3eqtr2d 2862	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
105		oveq2 7164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
106		circum.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = ((2 · π) / 𝑛)
107		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · π) / 𝑛) = ((2 · π) / 𝑘))
108	106, 107	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝐴 = ((2 · π) / 𝑘))
109	108	oveq1d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 / 2) = (((2 · π) / 𝑘) / 2))
110	109	fveq2d 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝐴 / 2)) = (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))
111	110	oveq2d 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2))) = (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2))))
112	105, 111	oveq12d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) · (𝑅 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
113		ovex 7189	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))) ∈ V
114	112, 32, 113	fvmpt 6768	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑃‘𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
115	114	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) = ((2 · 𝑘) · (𝑅 · (sin‘(((2 · π) / 𝑘) / 2)))))
116	87	oveq2d 7172	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)) = (((2 · π) · 𝑅) · ((sin‘(π / 𝑘)) / (π / 𝑘))))
117	104, 115, 116	3eqtr4d 2866	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑘) = (((2 · π) · 𝑅) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(π / 𝑛)) / (π / 𝑛)))‘𝑘)))
118	1, 2, 25, 31, 36, 50, 117	climmulc2 14993	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1))
119	118	mptru 1544	. 2 ⊢ 𝑃 ⇝ (((2 · π) · 𝑅) · 1)
120	30	mulid1i 10645	. 2 ⊢ (((2 · π) · 𝑅) · 1) = ((2 · π) · 𝑅)
121	119, 120	breqtri 5091	1 ⊢ 𝑃 ⇝ ((2 · π) · 𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933  {csn 4567   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146   ∘ ccom 5559  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  ℝ⁺crp 12390   ⇝ cli 14841  sincsin 15417  πcpi 15420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465

This theorem is referenced by: (None)