MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divassd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divassd 10682
Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divassd (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divass 10549 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1321 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  (class class class)co 6524  cc 9787  0cc0 9789   · cmul 9794   / cdiv 10530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531
This theorem is referenced by:  zesq  12801  discr  12815  crre  13645  abs1m  13866  sqreulem  13890  o1rlimmul  14140  geoisum1c  14393  mertenslem1  14398  eftlub  14621  lcmgcdlem  15100  cncongr2  15163  isprm5  15200  pcaddlem  15373  pockthlem  15390  mul4sqlem  15438  4sqlem17  15446  odadd1  18017  nmoleub3  22655  ipcau2  22759  pjthlem1  22930  dvrec  23438  plyeq0lem  23684  aareccl  23799  dvradcnv  23893  abelthlem7  23910  tangtx  23975  tanarg  24083  logcnlem4  24105  mcubic  24288  cubic2  24289  dquart  24294  quart1lem  24296  quart1  24297  tanatan  24360  atantan  24364  dvatan  24376  atantayl  24378  log2cnv  24385  lgamgulmlem4  24472  basellem3  24523  perfectlem2  24669  bposlem1  24723  bposlem2  24724  lgsquad2lem1  24823  chebbnd1lem2  24873  selberg3lem1  24960  selberg4lem1  24963  selberg4  24964  selberg4r  24973  pntrlog2bndlem2  24981  pntrlog2bndlem3  24982  pntrlog2bndlem4  24983  pntrlog2bndlem5  24984  pntrlog2bndlem6  24986  pntibndlem2  24994  pntlemo  25010  ostth2lem3  25038  axeuclidlem  25557  pjhthlem1  27437  signsplypnf  29756  subfaclim  30227  circum  30625  faclimlem1  30685  faclimlem3  30687  knoppndvlem2  31477  knoppndvlem7  31482  knoppndvlem17  31492  itg2addnclem  32431  dvasin  32466  areacirclem1  32470  pellexlem6  36216  reglogexp  36276  binomcxplemwb  37369  binomcxplemnotnn0  37377  0ellimcdiv  38517  stoweidlem1  38695  wallispilem4  38762  stirlinglem3  38770  stirlinglem4  38771  stirlinglem7  38774  dirkertrigeq  38795  dirkercncflem2  38798  fourierdlem30  38831  fourierdlem83  38883  elaa2lem  38927  etransclem23  38951  etransclem24  38952  etransclem44  38972  etransclem45  38973  perfectALTVlem2  39967
  Copyright terms: Public domain W3C validator