Theorem divassd 11451

Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divassd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divmuld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
4		divassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
5		divass 11316	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl112anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537   · cmul 10542   / cdiv 11297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298

This theorem is referenced by:  zesq  13588  discr  13602  crre  14473  abs1m  14695  sqreulem  14719  o1rlimmul  14975  geoisum1c  15236  mertenslem1  15240  eftlub  15462  lcmgcdlem  15950  cncongr2  16012  isprm5  16051  pcaddlem  16224  pockthlem  16241  mul4sqlem  16289  4sqlem17  16297  odadd1  18968  nmoleub3  23723  ipcau2  23837  pjthlem1  24040  dvrec  24552  plyeq0lem  24800  aareccl  24915  dvradcnv  25009  abelthlem7  25026  tangtx  25091  tanarg  25202  logcnlem4  25228  mcubic  25425  cubic2  25426  dquart  25431  quart1lem  25433  quart1  25434  tanatan  25497  atantan  25501  dvatan  25513  atantayl  25515  log2cnv  25522  lgamgulmlem4  25609  basellem3  25660  perfectlem2  25806  bposlem1  25860  bposlem2  25861  lgsquad2lem1  25960  chebbnd1lem2  26046  selberg3lem1  26133  selberg4lem1  26136  selberg4  26137  selberg4r  26146  pntrlog2bndlem2  26154  pntrlog2bndlem3  26155  pntrlog2bndlem4  26156  pntrlog2bndlem5  26157  pntrlog2bndlem6  26159  pntibndlem2  26167  pntlemo  26183  ostth2lem3  26211  axeuclidlem  26748  pjhthlem1  29168  signsplypnf  31820  hgt750leme  31929  subfaclim  32435  circum  32917  faclimlem1  32975  faclimlem3  32977  knoppndvlem2  33852  knoppndvlem7  33857  knoppndvlem17  33867  itg2addnclem  34958  dvasin  34993  areacirclem1  34997  pellexlem6  39451  reglogexp  39511  binomcxplemwb  40700  binomcxplemnotnn0  40708  0ellimcdiv  41950  stoweidlem1  42306  wallispilem4  42373  stirlinglem3  42381  stirlinglem4  42382  stirlinglem7  42385  dirkertrigeq  42406  dirkercncflem2  42409  fourierdlem30  42442  fourierdlem83  42494  elaa2lem  42538  etransclem23  42562  etransclem24  42563  etransclem44  42583  etransclem45  42584  perfectALTVlem2  43907  itscnhlc0xyqsol  44772  itsclc0xyqsolr  44776  itsclquadb  44783