MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divassd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divassd 10796
Description: An associative law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divmuld.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
divassd.4 (𝜑𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divassd (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))

Proof of Theorem divassd
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 divmuld.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 divassd.4 . 2 (𝜑𝐶 ≠ 0)
5 divass 10663 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1327 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) / 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6615  cc 9894  0cc0 9896   · cmul 9901   / cdiv 10644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645
This theorem is referenced by:  zesq  12943  discr  12957  crre  13804  abs1m  14025  sqreulem  14049  o1rlimmul  14299  geoisum1c  14555  mertenslem1  14560  eftlub  14783  lcmgcdlem  15262  cncongr2  15325  isprm5  15362  pcaddlem  15535  pockthlem  15552  mul4sqlem  15600  4sqlem17  15608  odadd1  18191  nmoleub3  22859  ipcau2  22973  pjthlem1  23148  dvrec  23658  plyeq0lem  23904  aareccl  24019  dvradcnv  24113  abelthlem7  24130  tangtx  24195  tanarg  24303  logcnlem4  24325  mcubic  24508  cubic2  24509  dquart  24514  quart1lem  24516  quart1  24517  tanatan  24580  atantan  24584  dvatan  24596  atantayl  24598  log2cnv  24605  lgamgulmlem4  24692  basellem3  24743  perfectlem2  24889  bposlem1  24943  bposlem2  24944  lgsquad2lem1  25043  chebbnd1lem2  25093  selberg3lem1  25180  selberg4lem1  25183  selberg4  25184  selberg4r  25193  pntrlog2bndlem2  25201  pntrlog2bndlem3  25202  pntrlog2bndlem4  25203  pntrlog2bndlem5  25204  pntrlog2bndlem6  25206  pntibndlem2  25214  pntlemo  25230  ostth2lem3  25258  axeuclidlem  25776  pjhthlem1  28138  signsplypnf  30449  subfaclim  30931  circum  31329  faclimlem1  31390  faclimlem3  31392  knoppndvlem2  32199  knoppndvlem7  32204  knoppndvlem17  32214  itg2addnclem  33132  dvasin  33167  areacirclem1  33171  pellexlem6  36917  reglogexp  36977  binomcxplemwb  38068  binomcxplemnotnn0  38076  0ellimcdiv  39317  stoweidlem1  39555  wallispilem4  39622  stirlinglem3  39630  stirlinglem4  39631  stirlinglem7  39634  dirkertrigeq  39655  dirkercncflem2  39658  fourierdlem30  39691  fourierdlem83  39743  elaa2lem  39787  etransclem23  39811  etransclem24  39812  etransclem44  39832  etransclem45  39833  perfectALTVlem2  40956
  Copyright terms: Public domain W3C validator