Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioolem1 40461
 Description: Given a function with bounded derivative, on an open interval, here is an absolute bound to the difference of the image of two points in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
dvbdfbdioolem1.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem1.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.dvbd (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
dvbdfbdioolem1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem1.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem1 (𝜑 → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvbdfbdioolem1
StepHypRef Expression
1 ioossre 12273 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2 dvbdfbdioolem1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31, 2sseldi 3634 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 ioossre 12273 . . . 4 (𝐶(,)𝐵) ⊆ ℝ
5 dvbdfbdioolem1.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵))
64, 5sseldi 3634 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
73rexrd 10127 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
8 dvbdfbdioolem1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10127 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
10 ioogtlb 40035 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
117, 9, 5, 10syl3anc 1366 . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐷)
12 dvbdfbdioolem1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1312rexrd 10127 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
14 ioogtlb 40035 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
1513, 9, 2, 14syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑𝐴 < 𝐶)
16 iooltub 40053 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝐷 < 𝐵)
177, 9, 5, 16syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑𝐷 < 𝐵)
18 iccssioo 12280 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1913, 9, 15, 17, 18syl22anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
20 dvbdfbdioolem1.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
21 ax-resscn 10031 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2320, 22fssd 6095 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
25 dvbdfbdioolem1.dmdv . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
26 dvcn 23729 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
2722, 23, 24, 25, 26syl31anc 1369 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
28 cncffvrn 22748 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
2922, 27, 28syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3020, 29mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
31 rescncf 22747 . . . 4 ((𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ∈ ((𝐶[,]𝐷)–cn→ℝ)))
3219, 30, 31sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ∈ ((𝐶[,]𝐷)–cn→ℝ))
3319, 24sstrd 3646 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
34 eqid 2651 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3534tgioo2 22653 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3634, 35dvres 23720 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
3722, 23, 24, 33, 36syl22anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
38 iccntr 22671 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
393, 6, 38syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
4039reseq2d 5428 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4137, 40eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4241dmeqd 5358 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4312, 3, 15ltled 10223 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐶)
446, 8, 17ltled 10223 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐵)
45 ioossioo 12303 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4613, 9, 43, 44, 45syl22anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4746, 25sseqtr4d 3675 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
48 ssdmres 5455 . . . . 5 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
4947, 48sylib 208 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
5042, 49eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (𝐶(,)𝐷))
513, 6, 11, 32, 50mvth 23800 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)))
5241fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷))‘𝑥))
53 fvres 6245 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5452, 53sylan9eq 2705 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5554eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥))
56553adant3 1101 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥))
57 simp3 1083 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)))
586rexrd 10127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
593, 6, 11ltled 10223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝐷)
60 ubicc2 12327 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷))
617, 58, 59, 60syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷))
62 fvres 6245 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) = (𝐹𝐷))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) = (𝐹𝐷))
64 lbicc2 12326 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷))
657, 58, 59, 64syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷))
66 fvres 6245 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
6863, 67oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) = ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)))
6968oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
70693ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
7156, 57, 703eqtrd 2689 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
72 simp3 1083 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
7372eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
7419, 61sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵))
7520, 74ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
7620, 2ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
7775, 76resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
7877recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
79783ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
80 dvfre 23759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8120, 24, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8225feq2d 6069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
8381, 82mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8546sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
8684, 85ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
8786recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
88873adant3 1101 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
896, 3resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
9089recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
91903ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
923, 6posdifd 10652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐶)))
9311, 92mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐷𝐶))
9493gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐶) ≠ 0)
95943ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (𝐷𝐶) ≠ 0)
9679, 88, 91, 95divmul3d 10873 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ↔ ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))))
9773, 96mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶)))
9897fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) = (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))))
9990adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
10087, 99absmuld 14237 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))))
1011003adant3 1101 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))))
10298, 101eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))))
1033, 6, 59abssubge0d 14214 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐶)) = (𝐷𝐶))
104103oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)))
1051043ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)))
106102, 105eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)))
10787abscld 14219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
108 dvbdfbdioolem1.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
109108adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11089adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
111 0red 10079 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
112111, 89, 93ltled 10223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐷𝐶))
113112adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 0 ≤ (𝐷𝐶))
114 dvbdfbdioolem1.dvbd . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
115114adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
116 rspa 2959 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
117115, 85, 116syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
118107, 109, 110, 113, 117lemul1ad 11001 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
1191183adant3 1101 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
120106, 119eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
12171, 120syld3an3 1411 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
12299abscld 14219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘(𝐷𝐶)) ∈ ℝ)
1238, 12resubcld 10496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
124123adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
12587absge0d 14227 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
12699absge0d 14227 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 0 ≤ (abs‘(𝐷𝐶)))
1276, 12, 8, 3, 44, 43le2subd 10685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐴))
128103, 127eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐴))
129128adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘(𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐴))
130107, 109, 122, 124, 125, 126, 117, 129lemul12ad 11004 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
1311303adant3 1101 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
132102, 131eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13371, 132syld3an3 1411 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
134121, 133jca 553 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
135134rexlimdv3a 3062 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)) → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))))
13651, 135mpd 15 1 (𝜑 → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304   / cdiv 10722  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  ℂfldccnfld 19794  intcnt 20869  –cn→ccncf 22726   D cdv 23672 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676 This theorem is referenced by:  dvbdfbdioolem2  40462  ioodvbdlimc1lem1  40464  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467
 Copyright terms: Public domain W3C validator