Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioolem1 40461
Description: Given a function with bounded derivative, on an open interval, here is an absolute bound to the difference of the image of two points in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
dvbdfbdioolem1.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem1.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.dvbd (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
dvbdfbdioolem1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem1.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem1 (𝜑 → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvbdfbdioolem1
StepHypRef Expression
1 ioossre 12273 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2 dvbdfbdioolem1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31, 2sseldi 3634 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 ioossre 12273 . . . 4 (𝐶(,)𝐵) ⊆ ℝ
5 dvbdfbdioolem1.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵))
64, 5sseldi 3634 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
73rexrd 10127 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
8 dvbdfbdioolem1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10127 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
10 ioogtlb 40035 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
117, 9, 5, 10syl3anc 1366 . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐷)
12 dvbdfbdioolem1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1312rexrd 10127 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
14 ioogtlb 40035 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
1513, 9, 2, 14syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑𝐴 < 𝐶)
16 iooltub 40053 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝐷 < 𝐵)
177, 9, 5, 16syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑𝐷 < 𝐵)
18 iccssioo 12280 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1913, 9, 15, 17, 18syl22anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
20 dvbdfbdioolem1.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
21 ax-resscn 10031 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2320, 22fssd 6095 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
25 dvbdfbdioolem1.dmdv . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
26 dvcn 23729 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
2722, 23, 24, 25, 26syl31anc 1369 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
28 cncffvrn 22748 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
2922, 27, 28syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3020, 29mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
31 rescncf 22747 . . . 4 ((𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ∈ ((𝐶[,]𝐷)–cn→ℝ)))
3219, 30, 31sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ∈ ((𝐶[,]𝐷)–cn→ℝ))
3319, 24sstrd 3646 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
34 eqid 2651 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3534tgioo2 22653 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3634, 35dvres 23720 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
3722, 23, 24, 33, 36syl22anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
38 iccntr 22671 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
393, 6, 38syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
4039reseq2d 5428 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4137, 40eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4241dmeqd 5358 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4312, 3, 15ltled 10223 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐶)
446, 8, 17ltled 10223 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐵)
45 ioossioo 12303 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4613, 9, 43, 44, 45syl22anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4746, 25sseqtr4d 3675 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
48 ssdmres 5455 . . . . 5 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
4947, 48sylib 208 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
5042, 49eqtrd 2685 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (𝐶(,)𝐷))
513, 6, 11, 32, 50mvth 23800 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)))
5241fveq1d 6231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷))‘𝑥))
53 fvres 6245 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5452, 53sylan9eq 2705 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5554eqcomd 2657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥))
56553adant3 1101 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥))
57 simp3 1083 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)))
586rexrd 10127 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
593, 6, 11ltled 10223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝐷)
60 ubicc2 12327 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷))
617, 58, 59, 60syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷))
62 fvres 6245 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) = (𝐹𝐷))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) = (𝐹𝐷))
64 lbicc2 12326 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷))
657, 58, 59, 64syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷))
66 fvres 6245 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
6863, 67oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) = ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)))
6968oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
70693ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
7156, 57, 703eqtrd 2689 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
72 simp3 1083 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
7372eqcomd 2657 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
7419, 61sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵))
7520, 74ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
7620, 2ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
7775, 76resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
7877recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
79783ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
80 dvfre 23759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8120, 24, 80syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8225feq2d 6069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
8381, 82mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8546sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
8684, 85ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
8786recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
88873adant3 1101 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
896, 3resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
9089recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
91903ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
923, 6posdifd 10652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐶)))
9311, 92mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐷𝐶))
9493gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐶) ≠ 0)
95943ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (𝐷𝐶) ≠ 0)
9679, 88, 91, 95divmul3d 10873 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ↔ ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))))
9773, 96mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶)))
9897fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) = (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))))
9990adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
10087, 99absmuld 14237 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))))
1011003adant3 1101 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))))
10298, 101eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))))
1033, 6, 59abssubge0d 14214 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐶)) = (𝐷𝐶))
104103oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)))
1051043ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)))
106102, 105eqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)))
10787abscld 14219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
108 dvbdfbdioolem1.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
109108adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11089adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
111 0red 10079 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
112111, 89, 93ltled 10223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐷𝐶))
113112adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 0 ≤ (𝐷𝐶))
114 dvbdfbdioolem1.dvbd . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
115114adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
116 rspa 2959 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
117115, 85, 116syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
118107, 109, 110, 113, 117lemul1ad 11001 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
1191183adant3 1101 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
120106, 119eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
12171, 120syld3an3 1411 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
12299abscld 14219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘(𝐷𝐶)) ∈ ℝ)
1238, 12resubcld 10496 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
124123adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
12587absge0d 14227 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
12699absge0d 14227 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 0 ≤ (abs‘(𝐷𝐶)))
1276, 12, 8, 3, 44, 43le2subd 10685 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐴))
128103, 127eqbrtrd 4707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐴))
129128adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘(𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐴))
130107, 109, 122, 124, 125, 126, 117, 129lemul12ad 11004 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
1311303adant3 1101 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
132102, 131eqbrtrd 4707 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13371, 132syld3an3 1411 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
134121, 133jca 553 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
135134rexlimdv3a 3062 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)) → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))))
13651, 135mpd 15 1 (𝜑 → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869  cnccncf 22726   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  dvbdfbdioolem2  40462  ioodvbdlimc1lem1  40464  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467
  Copyright terms: Public domain W3C validator