Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dvbdfbdioolem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvbdfbdioolem1 39436
Description: Given a function with bounded derivative, on an open interval, here is an absolute bound to the difference of the image of two points in the interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dvbdfbdioolem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
dvbdfbdioolem1.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem1.k (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
dvbdfbdioolem1.dvbd (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
dvbdfbdioolem1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
dvbdfbdioolem1.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
dvbdfbdioolem1 (𝜑 → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem dvbdfbdioolem1
StepHypRef Expression
1 ioossre 12174 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
2 dvbdfbdioolem1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
31, 2sseldi 3586 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
4 ioossre 12174 . . . 4 (𝐶(,)𝐵) ⊆ ℝ
5 dvbdfbdioolem1.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵))
64, 5sseldi 3586 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
73rexrd 10034 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
8 dvbdfbdioolem1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10034 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
10 ioogtlb 39115 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝐶 < 𝐷)
117, 9, 5, 10syl3anc 1323 . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐷)
12 dvbdfbdioolem1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1312rexrd 10034 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
14 ioogtlb 39115 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝐶)
1513, 9, 2, 14syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑𝐴 < 𝐶)
16 iooltub 39133 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐷 ∈ (𝐶(,)𝐵)) → 𝐷 < 𝐵)
177, 9, 5, 16syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑𝐷 < 𝐵)
18 iccssioo 12181 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < 𝐶𝐷 < 𝐵)) → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
1913, 9, 15, 17, 18syl22anc 1324 . . . 4 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
20 dvbdfbdioolem1.f . . . . 5 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
21 ax-resscn 9938 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
2221a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
2320, 22fssd 6016 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
241a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
25 dvbdfbdioolem1.dmdv . . . . . . 7 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
26 dvcn 23585 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
2722, 23, 24, 25, 26syl31anc 1326 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
28 cncffvrn 22604 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
2922, 27, 28syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
3020, 29mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
31 rescncf 22603 . . . 4 ((𝐶[,]𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ∈ ((𝐶[,]𝐷)–cn→ℝ)))
3219, 30, 31sylc 65 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ∈ ((𝐶[,]𝐷)–cn→ℝ))
3319, 24sstrd 3598 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
34 eqid 2626 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3534tgioo2 22509 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3634, 35dvres 23576 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ∧ (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
3722, 23, 24, 33, 36syl22anc 1324 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))))
38 iccntr 22527 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
393, 6, 38syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
4039reseq2d 5360 . . . . . 6 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4137, 40eqtrd 2660 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4241dmeqd 5291 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)))
4312, 3, 15ltled 10130 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐶)
446, 8, 17ltled 10130 . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝐵)
45 ioossioo 12204 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐶𝐷𝐵)) → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4613, 9, 43, 44, 45syl22anc 1324 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4746, 25sseqtr4d 3626 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶(,)𝐷) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
48 ssdmres 5383 . . . . 5 ((𝐶(,)𝐷) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
4947, 48sylib 208 . . . 4 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷)) = (𝐶(,)𝐷))
5042, 49eqtrd 2660 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))) = (𝐶(,)𝐷))
513, 6, 11, 32, 50mvth 23654 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)))
5241fveq1d 6152 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷))‘𝑥))
53 fvres 6165 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐶(,)𝐷))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5452, 53sylan9eq 2680 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
5554eqcomd 2632 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥))
56553adant3 1079 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥))
57 simp3 1061 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)))
586rexrd 10034 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
593, 6, 11ltled 10130 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝐷)
60 ubicc2 12228 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → 𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷))
617, 58, 59, 60syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷))
62 fvres 6165 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (𝐶[,]𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) = (𝐹𝐷))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) = (𝐹𝐷))
64 lbicc2 12227 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*𝐶𝐷) → 𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷))
657, 58, 59, 64syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷))
66 fvres 6165 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (𝐶[,]𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
6765, 66syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶) = (𝐹𝐶))
6863, 67oveq12d 6623 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) = ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)))
6968oveq1d 6620 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
70693ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
7156, 57, 703eqtrd 2664 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
72 simp3 1061 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)))
7372eqcomd 2632 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
7419, 61sseldd 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ (𝐴(,)𝐵))
7520, 74ffvelrnd 6317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐷) ∈ ℝ)
7620, 2ffvelrnd 6317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
7775, 76resubcld 10403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
7877recnd 10013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
79783ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
80 dvfre 23615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8120, 24, 80syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
8225feq2d 5990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
8381, 82mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
8546sselda 3588 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
8684, 85ffvelrnd 6317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
8786recnd 10013 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
88873adant3 1079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
896, 3resubcld 10403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
9089recnd 10013 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
91903ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
923, 6posdifd 10559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 ↔ 0 < (𝐷𝐶)))
9311, 92mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < (𝐷𝐶))
9493gt0ne0d 10537 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷𝐶) ≠ 0)
95943ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (𝐷𝐶) ≠ 0)
9679, 88, 91, 95divmul3d 10780 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶)) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ↔ ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))))
9773, 96mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) = (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶)))
9897fveq2d 6154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) = (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))))
9990adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℂ)
10087, 99absmuld 14122 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))))
1011003adant3 1079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹)‘𝑥) · (𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))))
10298, 101eqtrd 2660 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))))
1033, 6, 59abssubge0d 14099 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐶)) = (𝐷𝐶))
104103oveq2d 6621 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)))
1051043ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)))
106102, 105eqtrd 2660 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)))
10787abscld 14104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
108 dvbdfbdioolem1.k . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
109108adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11089adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (𝐷𝐶) ∈ ℝ)
111 0red 9986 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
112111, 89, 93ltled 10130 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐷𝐶))
113112adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 0 ≤ (𝐷𝐶))
114 dvbdfbdioolem1.dvbd . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
115114adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
116 rspa 2930 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
117115, 85, 116syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝐾)
118107, 109, 110, 113, 117lemul1ad 10908 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
1191183adant3 1079 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (𝐷𝐶)) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
120106, 119eqbrtrd 4640 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
12171, 120syld3an3 1368 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)))
12299abscld 14104 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘(𝐷𝐶)) ∈ ℝ)
1238, 12resubcld 10403 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
124123adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
12587absge0d 14112 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
12699absge0d 14112 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → 0 ≤ (abs‘(𝐷𝐶)))
1276, 12, 8, 3, 44, 43le2subd 10592 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷𝐶) ≤ (𝐵𝐴))
128103, 127eqbrtrd 4640 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘(𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐴))
129128adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → (abs‘(𝐷𝐶)) ≤ (𝐵𝐴))
130107, 109, 122, 124, 125, 126, 117, 129lemul12ad 10911 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
1311303adant3 1079 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) · (abs‘(𝐷𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
132102, 131eqbrtrd 4640 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = (((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
13371, 132syld3an3 1368 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))
134121, 133jca 554 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷) ∧ ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶))) → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
135134rexlimdv3a 3031 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐶(,)𝐷)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)))‘𝑥) = ((((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐷) − ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷))‘𝐶)) / (𝐷𝐶)) → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴)))))
13651, 135mpd 15 1 (𝜑 → ((abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐷𝐶)) ∧ (abs‘((𝐹𝐷) − (𝐹𝐶))) ≤ (𝐾 · (𝐵𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  wss 3560   class class class wbr 4618  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881   · cmul 9886  *cxr 10018   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  (,)cioo 12114  [,]cicc 12117  abscabs 13903  TopOpenctopn 15998  topGenctg 16014  fldccnfld 19660  intcnt 20726  cnccncf 22582   D cdv 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-cmp 21095  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532
This theorem is referenced by:  dvbdfbdioolem2  39437  ioodvbdlimc1lem1  39439  ioodvbdlimc1lem2  39440  ioodvbdlimc2lem  39442
  Copyright terms: Public domain W3C validator