Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem24 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem24 39671
Description: A sufficient condition for module being nonzero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem24 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)

Proof of Theorem fourierdlem24
StepHypRef Expression
1 0zd 11336 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℤ)
2 pire 24121 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
32renegcli 10289 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
4 iccssre 12200 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
53, 2, 4mp2an 707 . . . . . . . 8 (-π[,]π) ⊆ ℝ
6 eldifi 3712 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ (-π[,]π))
75, 6sseldi 3582 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
9 2re 11037 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
109, 2remulcli 10001 . . . . . . 7 (2 · π) ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ)
12 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
13 2pos 11059 . . . . . . . 8 0 < 2
14 pipos 24123 . . . . . . . 8 0 < π
159, 2, 13, 14mulgt0ii 10117 . . . . . . 7 0 < (2 · π)
1615a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (2 · π))
178, 11, 12, 16divgt0d 10906 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (𝐴 / (2 · π)))
1811, 16elrpd 11816 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (2 · π) ∈ ℝ+)
192a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ)
2010a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ)
213rexri 10044 . . . . . . . . . . . 12 -π ∈ ℝ*
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ∈ ℝ*)
2319rexrd 10036 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π ∈ ℝ*)
24 iccleub 12174 . . . . . . . . . . 11 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → 𝐴 ≤ π)
2522, 23, 6, 24syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≤ π)
26 pirp 24124 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℝ+
27 2timesgt 38982 . . . . . . . . . . 11 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
2826, 27mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → π < (2 · π))
297, 19, 20, 25, 28lelttrd 10142 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 < (2 · π))
3029adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 < (2 · π))
318, 11, 18, 30ltdiv1dd 11876 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
3210recni 9999 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℂ
3310, 15gt0ne0ii 10511 . . . . . . . 8 (2 · π) ≠ 0
3432, 33dividi 10705 . . . . . . 7 ((2 · π) / (2 · π)) = 1
3531, 34syl6breq 4656 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < 1)
36 0p1e1 11079 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3735, 36syl6breqr 4657 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1))
38 btwnnz 11400 . . . . 5 ((0 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (0 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
391, 17, 37, 38syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
40 simpl 473 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
417adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
42 0red 9988 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ∈ ℝ)
43 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ 0 < 𝐴)
4441, 42, 43nltled 10134 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≤ 0)
45 eldifsni 4291 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ≠ 0)
4645necomd 2845 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 0 ≠ 𝐴)
4746adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 0 ≠ 𝐴)
4841, 42, 44, 47leneltd 10138 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → 𝐴 < 0)
49 neg1z 11360 . . . . . . 7 -1 ∈ ℤ
5049a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 ∈ ℤ)
5133a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ≠ 0)
527, 20, 51redivcld 10800 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5352adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
54 1red 10002 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 1 ∈ ℝ)
557recnd 10015 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝐴 ∈ ℂ)
5655adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5732a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℂ)
5833a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ≠ 0)
5956, 57, 58divnegd 10761 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) = (-𝐴 / (2 · π)))
607renegcld 10404 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ∈ ℝ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
6210a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ)
63 2rp 11784 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ+
64 rpmulcl 11802 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (2 · π) ∈ ℝ+)
6563, 26, 64mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 (2 · π) ∈ ℝ+
6665a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (2 · π) ∈ ℝ+)
67 iccgelb 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝐴 ∈ (-π[,]π)) → -π ≤ 𝐴)
6822, 23, 6, 67syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -π ≤ 𝐴)
6919, 7, 68lenegcon1d 10556 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 ≤ π)
7060, 19, 20, 69, 28lelttrd 10142 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → -𝐴 < (2 · π))
7170adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 < (2 · π))
7261, 62, 66, 71ltdiv1dd 11876 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < ((2 · π) / (2 · π)))
7372, 34syl6breq 4656 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 / (2 · π)) < 1)
7459, 73eqbrtrd 4637 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -(𝐴 / (2 · π)) < 1)
7553, 54, 74ltnegcon1d 10554 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → -1 < (𝐴 / (2 · π)))
767adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
77 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 < 0)
7876, 66, 77divlt0gt0d 38980 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < 0)
79 neg1cn 11071 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
80 ax-1cn 9941 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
8179, 80addcomi 10174 . . . . . . . 8 (-1 + 1) = (1 + -1)
82 1pneg1e0 11076 . . . . . . . 8 (1 + -1) = 0
8381, 82eqtr2i 2644 . . . . . . 7 0 = (-1 + 1)
8478, 83syl6breq 4656 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1))
85 btwnnz 11400 . . . . . 6 ((-1 ∈ ℤ ∧ -1 < (𝐴 / (2 · π)) ∧ (𝐴 / (2 · π)) < (-1 + 1)) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8650, 75, 84, 85syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ 𝐴 < 0) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8740, 48, 86syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) ∧ ¬ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8839, 87pm2.61dan 831 . . 3 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ)
8965a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (2 · π) ∈ ℝ+)
90 mod0 12618 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
917, 89, 90syl2anc 692 . . 3 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ((𝐴 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℤ))
9288, 91mtbird 315 . 2 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → ¬ (𝐴 mod (2 · π)) = 0)
9392neqned 2797 1 (𝐴 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝐴 mod (2 · π)) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3553  wss 3556  {csn 4150   class class class wbr 4615  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888  *cxr 10020   < clt 10021  cle 10022  -cneg 10214   / cdiv 10631  2c2 11017  cz 11324  +crp 11779  [,]cicc 12123   mod cmo 12611  πcpi 14725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ioc 12125  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-fac 13004  df-bc 13033  df-hash 13061  df-shft 13744  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-ef 14726  df-sin 14728  df-cos 14729  df-pi 14731  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cncf 22594  df-limc 23543  df-dv 23544
This theorem is referenced by:  fourierdlem66  39712
  Copyright terms: Public domain W3C validator