Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem66 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem66 39712
Description: Value of the 𝐺 function when the argument is not zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem66.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem66.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem66.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem66.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem66.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem66.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem66.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem66.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem66.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem66.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem66.a 𝐴 = ((-π[,]π) ∖ {0})
Assertion
Ref Expression
fourierdlem66 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛,𝑠)   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑈(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)   𝐺(𝑛,𝑠)   𝐻(𝑛,𝑠)   𝐾(𝑛,𝑠)   𝑊(𝑛,𝑠)   𝑋(𝑛,𝑠)   𝑌(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem66
StepHypRef Expression
1 fourierdlem66.a . . . . . . . 8 𝐴 = ((-π[,]π) ∖ {0})
21eqimssi 3640 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0})
3 difss 3717 . . . . . . 7 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
42, 3sstri 3593 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (-π[,]π)
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
65sselda 3584 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
76adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
8 fourierdlem66.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10 fourierdlem66.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
12 fourierdlem66.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
14 fourierdlem66.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
16 fourierdlem66.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
17 fourierdlem66.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
18 fourierdlem66.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
199, 11, 13, 15, 16, 17, 18fourierdlem55 39701 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
2019adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
2120, 7ffvelrnd 6318 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
22 nnre 10974 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
23 fourierdlem66.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
2423fourierdlem5 39652 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2625ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2726, 7ffvelrnd 6318 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
2821, 27remulcld 10017 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
29 fourierdlem66.g . . . 4 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
3029fvmpt2 6250 . . 3 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
317, 28, 30syl2anc 692 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
328, 10, 12, 14, 16fourierdlem9 39656 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
3433, 6ffvelrnd 6318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
3517fourierdlem43 39690 . . . . . . . . 9 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
3736, 6ffvelrnd 6318 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
3834, 37remulcld 10017 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
3918fvmpt2 6250 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
406, 38, 39syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
41 0red 9988 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 0 ∈ ℝ)
428adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4310adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
44 pire 24121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ
4544renegcli 10289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℝ
46 iccssre 12200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
4745, 44, 46mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π[,]π) ⊆ ℝ
484sseli 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠𝐴𝑠 ∈ (-π[,]π))
4947, 48sseldi 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠𝐴𝑠 ∈ ℝ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
5143, 50readdcld 10016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5242, 51ffvelrnd 6318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
5312, 14ifcld 4105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5552, 54resubcld 10405 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
56 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
572, 56sseldi 3582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
5857eldifbd 3569 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
59 velsn 4166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
6058, 59sylnib 318 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
6160neqned 2797 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
6255, 50, 61redivcld 10800 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℝ)
6341, 62ifcld 4105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
6416fvmpt2 6250 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
656, 63, 64syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6660iffalsed 4071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
6765, 66eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
68 1red 10002 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 1 ∈ ℝ)
69 2re 11037 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
7150rehalfcld 11226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
7271resincld 14801 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
7370, 72remulcld 10017 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
74 2cnd 11040 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
7572recnd 10015 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
76 2ne0 11060 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ≠ 0)
78 fourierdlem44 39691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
796, 61, 78syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
8074, 75, 77, 79mulne0d 10626 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
8150, 73, 80redivcld 10800 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
8268, 81ifcld 4105 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
8317fvmpt2 6250 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
846, 82, 83syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8560iffalsed 4071 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8684, 85eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8767, 86oveq12d 6625 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8855recnd 10015 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
8950recnd 10015 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
9074, 75mulcld 10007 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
9188, 89, 90, 61, 80dmdcan2d 10778 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9240, 87, 913eqtrd 2659 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9392adantlr 750 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9422ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
95 1red 10002 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 1 ∈ ℝ)
9695rehalfcld 11226 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (1 / 2) ∈ ℝ)
9794, 96readdcld 10016 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9849adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
9997, 98remulcld 10017 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
10099resincld 14801 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
10123fvmpt2 6250 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1027, 100, 101syl2anc 692 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
10393, 102oveq12d 6625 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
10488adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
10590adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
106100recnd 10015 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
10780adantlr 750 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
108104, 105, 106, 107div32d 10771 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
10922adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
110 halfre 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (1 / 2) ∈ ℝ)
112109, 111readdcld 10016 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11349adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 10017 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
115114resincld 14801 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
116115recnd 10015 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
11769a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
118113rehalfcld 11226 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
119118resincld 14801 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
120117, 119remulcld 10017 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
121120recnd 10015 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
122 picn 24122 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
123122a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → π ∈ ℂ)
124 2cnd 11040 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → 2 ∈ ℂ)
125 rehalfcl 11205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
126 resincl 14798 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
12749, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
128127recnd 10015 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
12976a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → 2 ≠ 0)
130 eldifsni 4291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ≠ 0)
131130, 1eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴𝑠 ≠ 0)
13248, 131, 78syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
133124, 128, 129, 132mulne0d 10626 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝐴 → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
134133adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
135 0re 9987 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
136 pipos 24123 . . . . . . . . . . 11 0 < π
137135, 136gtneii 10096 . . . . . . . . . 10 π ≠ 0
138137a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → π ≠ 0)
139116, 121, 123, 134, 138divdiv1d 10779 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π)))
140 2cnd 11040 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
141128adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
142140, 141, 123mulassd 10010 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π) = (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)))
143142oveq2d 6623 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π)) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π))))
144141, 123mulcomd 10008 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘(𝑠 / 2)) · π) = (π · (sin‘(𝑠 / 2))))
145144oveq2d 6623 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)) = (2 · (π · (sin‘(𝑠 / 2)))))
146140, 123, 141mulassd 10010 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))) = (2 · (π · (sin‘(𝑠 / 2)))))
147145, 146eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
148147oveq2d 6623 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
149139, 143, 1483eqtrd 2659 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
150149oveq2d 6623 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π)) = (π · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
151115, 120, 134redivcld 10800 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
152151recnd 10015 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
153152, 123, 138divcan2d 10750 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π)) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
154 fourierdlem66.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
155154dirkerval2 39634 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
15649, 155sylan2 491 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
157 fourierdlem24 39671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
158157, 1eleq2s 2716 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
159158neneqd 2795 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝐴 → ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
160159adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
161160iffalsed 4071 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
162156, 161eqtr2d 2656 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
163162oveq2d 6623 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
164150, 153, 1633eqtr3d 2663 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
165164oveq2d 6623 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
166165adantll 749 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
167122a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → π ∈ ℂ)
168154dirkerre 39635 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
16949, 168sylan2 491 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
170169recnd 10015 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
171170adantll 749 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
172104, 167, 171mul12d 10192 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
173108, 166, 1723eqtrd 2659 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
17431, 103, 1733eqtrd 2659 1 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3553  wss 3556  ifcif 4060  {csn 4150   class class class wbr 4615  cmpt 4675  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021  cmin 10213  -cneg 10214   / cdiv 10631  cn 10967  2c2 11017  [,]cicc 12123   mod cmo 12611  sincsin 14722  πcpi 14725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ioc 12125  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-fac 13004  df-bc 13033  df-hash 13061  df-shft 13744  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-ef 14726  df-sin 14728  df-cos 14729  df-pi 14731  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cncf 22594  df-limc 23543  df-dv 23544
This theorem is referenced by:  fourierdlem95  39741
  Copyright terms: Public domain W3C validator