Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem95 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem95 39725
 Description: Algebraic manipulation of integrals, used by other lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem95.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem95.xre (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem95.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem95.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem95.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem95.x (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
fourierdlem95.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem95.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
fourierdlem95.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem95.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem95.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem95.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem95.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem95.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem95.i 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
fourierdlem95.ifn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
fourierdlem95.b (𝜑𝐵 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem95.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem95.y (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
fourierdlem95.w (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
fourierdlem95.ass (𝜑𝐴 ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
fourierdlem95.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem95.o (𝜑𝑂 ∈ ℝ)
fourierdlem95.ifeqo ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑂)
fourierdlem95.itgdirker ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (1 / 2))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem95 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑛) + (𝑂 / 2)) = ∫𝐴((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝐶,𝑠   𝐷,𝑠   𝐹,𝑠   𝑖,𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐾,𝑠   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑝,𝑚   𝑀,𝑠   𝑂,𝑠   𝑅,𝑠   𝑆,𝑠   𝑖,𝑉,𝑝   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝑖,𝑋,𝑝,𝑚   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝑖,𝑛,𝑠   𝜑,𝑖,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑝)   𝐴(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐵(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐶(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑅(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑆(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑈(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐸(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐹(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐺(𝑚,𝑛,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐼(𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐾(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑛)   𝑂(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑉(𝑚,𝑛)   𝑊(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑋(𝑛)   𝑌(𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem95
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
2 fourierdlem95.ass . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
32difss2d 3718 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ (-π[,]π))
54sselda 3583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
6 fourierdlem95.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8 fourierdlem95.xre . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
10 ioossre 12177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℝ)
126, 11fssresd 6028 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)):(𝑋(,)+∞)⟶ℝ)
13 ioosscn 39127 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋(,)+∞) ⊆ ℂ)
15 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
16 pnfxr 10036 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
188ltpnfd 11899 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 < +∞)
1915, 17, 8, 18lptioo1cn 39282 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝑋(,)+∞)))
20 fourierdlem95.y . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
2112, 14, 19, 20limcrecl 39265 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
23 ioossre 12177 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℝ)
256, 24fssresd 6028 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)):(-∞(,)𝑋)⟶ℝ)
26 ioosscn 39127 . . . . . . . . . . . 12 (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-∞(,)𝑋) ⊆ ℂ)
28 mnfxr 10040 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
308mnfltd 11902 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -∞ < 𝑋)
3115, 29, 8, 30lptioo2cn 39281 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(-∞(,)𝑋)))
32 fourierdlem95.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
3325, 27, 31, 32limcrecl 39265 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
35 fourierdlem95.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
36 fourierdlem95.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
37 fourierdlem95.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
381nnred 10979 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
39 fourierdlem95.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
40 fourierdlem95.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
417, 9, 22, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40fourierdlem67 39697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
4241ffvelrnda 6315 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
435, 42syldan 487 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
44 fourierdlem95.admvol . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
4544adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
4641feqmptd 6206 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)))
47 fourierdlem95.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
48 fourierdlem95.x . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ran 𝑉)
4948adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ran 𝑉)
5020adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
5132adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
52 fourierdlem95.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
54 fourierdlem95.v . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
5554adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
56 fourierdlem95.fcn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
5756adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
58 fourierdlem95.r . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
5958adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉𝑖)))
60 fourierdlem95.l . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
6160adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑉‘(𝑖 + 1))))
62 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑖 → (𝑉𝑗) = (𝑉𝑖))
6362oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑉𝑗) − 𝑋) = ((𝑉𝑖) − 𝑋))
6463cbvmptv 4710 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑗) − 𝑋)) = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
65 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
66 fourierdlem95.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (ℝ D 𝐹)
67 fourierdlem95.ifn . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
6867adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 ↾ ((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))):((𝑉𝑖)(,)(𝑉‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
69 fourierdlem95.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
7069adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ((𝐼 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
71 fourierdlem95.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
7271adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ((𝐼 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
7347, 7, 49, 50, 51, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 53, 55, 57, 59, 61, 64, 65, 66, 68, 70, 72fourierdlem88 39718 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
7446, 73eqeltrrd 2699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
754, 45, 42, 74iblss 23477 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
7643, 75itgrecl 23470 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℝ)
77 pire 24114 . . . . . 6 π ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
79 pipos 24116 . . . . . . 7 0 < π
8077, 79gt0ne0ii 10508 . . . . . 6 π ≠ 0
8180a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ≠ 0)
8276, 78, 81redivcld 10797 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℝ)
83 fourierlemenplusacver2eqitgdirker.e . . . . 5 𝐸 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
8483fvmpt2 6248 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) ∈ ℝ) → (𝐸𝑛) = (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
851, 82, 84syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐸𝑛) = (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π))
86 fourierdlem95.o . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ ℝ)
8786recnd 10012 . . . . . 6 (𝜑𝑂 ∈ ℂ)
88 2cnd 11037 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
89 2ne0 11057 . . . . . . 7 2 ≠ 0
9089a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9187, 88, 90divrecd 10748 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂 / 2) = (𝑂 · (1 / 2)))
9291adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑂 / 2) = (𝑂 · (1 / 2)))
93 fourierdlem95.itgdirker . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠 = (1 / 2))
9493eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 2) = ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠)
9594oveq2d 6620 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑂 · (1 / 2)) = (𝑂 · ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠))
9692, 95eqtrd 2655 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑂 / 2) = (𝑂 · ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠))
9785, 96oveq12d 6622 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑛) + (𝑂 / 2)) = ((∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) + (𝑂 · ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠)))
982sselda 3583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
9998adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
100 fourierdlem95.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
101 eqid 2621 . . . . . . . 8 ((-π[,]π) ∖ {0}) = ((-π[,]π) ∖ {0})
1026, 8, 21, 33, 100, 35, 36, 37, 39, 40, 101fourierdlem66 39696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0})) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
10399, 102syldan 487 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
104103itgeq2dv 23454 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫𝐴(π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠)
105104oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) = (∫𝐴(π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠 / π))
10678recnd 10012 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℂ)
1076adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
1088adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
109 difss 3715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
11077renegcli 10286 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ
111 iccssre 12197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
112110, 77, 111mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 (-π[,]π) ⊆ ℝ
113109, 112sstri 3592 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ ℝ
114113, 98sseldi 3581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
115108, 114readdcld 10013 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
116107, 115ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
11721, 33ifcld 4103 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
118117adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
119116, 118resubcld 10402 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
120119adantlr 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑛 ∈ ℕ)
122114adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
123100dirkerre 39619 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
124121, 122, 123syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
125120, 124remulcld 10014 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
126103eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝐺𝑠))
127126oveq1d 6619 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) / π) = ((𝐺𝑠) / π))
128 picn 24115 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℂ
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → π ∈ ℂ)
130125recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
13180a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → π ≠ 0)
132129, 130, 129, 131div23d 10782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) / π) = ((π / π) · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
13343recnd 10012 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
134133, 129, 131divrec2d 10749 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐺𝑠) / π) = ((1 / π) · (𝐺𝑠)))
135127, 132, 1343eqtr3rd 2664 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((1 / π) · (𝐺𝑠)) = ((π / π) · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
136128, 80dividi 10702 . . . . . . . . . . . 12 (π / π) = 1
137136a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (π / π) = 1)
138137oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((π / π) · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (1 · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
139130mulid2d 10002 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (1 · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
140135, 138, 1393eqtrrd 2660 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = ((1 / π) · (𝐺𝑠)))
141140mpteq2dva 4704 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠𝐴 ↦ ((1 / π) · (𝐺𝑠))))
142106, 81reccld 10738 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / π) ∈ ℂ)
143142, 43, 75iblmulc2 23503 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ ((1 / π) · (𝐺𝑠))) ∈ 𝐿1)
144141, 143eqeltrd 2698 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
145106, 125, 144itgmulc2 23506 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (π · ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠) = ∫𝐴(π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠)
146145eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴(π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠 = (π · ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
147146oveq1d 6619 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐴(π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠 / π) = ((π · ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠) / π))
148125, 144itgcl 23456 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℂ)
149148, 106, 81divcan3d 10750 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((π · ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠) / π) = ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
150105, 147, 1493eqtrd 2659 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) = ∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
15187adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑂 ∈ ℂ)
152112sseli 3579 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
153152, 123sylan2 491 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
154153adantll 749 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
155110a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
156 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
157156a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ℝ ⊆ ℂ)
158 ssid 3603 . . . . . . . . 9 ℂ ⊆ ℂ
159 cncfss 22610 . . . . . . . . 9 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
160157, 158, 159sylancl 693 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → ((-π[,]π)–cn→ℝ) ⊆ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
161 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠))
162100dirkerf 39621 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
163162feqmptd 6206 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
164100dirkercncf 39631 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
165163, 164eqeltrrd 2699 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
166112a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
167 ssid 3603 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ
168167a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ℝ ⊆ ℝ)
169161, 165, 166, 168, 153cncfmptssg 39386 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
170160, 169sseldd 3584 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
171170adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
172 cniccibl 23513 . . . . . 6 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
173155, 78, 171, 172syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
1744, 45, 154, 173iblss 23477 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
175151, 124, 174itgmulc2 23506 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑂 · ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠) = ∫𝐴(𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
176150, 175oveq12d 6622 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((∫𝐴(𝐺𝑠) d𝑠 / π) + (𝑂 · ∫𝐴((𝐷𝑛)‘𝑠) d𝑠)) = (∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫𝐴(𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
17786ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑂 ∈ ℝ)
178177, 124remulcld 10014 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℝ)
179151, 124, 174iblmulc2 23503 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠𝐴 ↦ (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
180125, 144, 178, 179itgadd 23497 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠 = (∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫𝐴(𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
181 fourierdlem95.ifeqo . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) = 𝑂)
182181eqcomd 2627 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑂 = if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))
183182adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑂 = if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊))
184183oveq1d 6619 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
185184oveq2d 6620 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
186116recnd 10012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
187186adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
188118recnd 10012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
189188adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℂ)
190124recnd 10012 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
191187, 189, 190subdird 10431 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) − (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
192191oveq1d 6619 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) − (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) + (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
193187, 190mulcld 10004 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
194189, 190mulcld 10004 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
195193, 194npcand 10340 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) − (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) + (if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
196185, 192, 1953eqtrd 2659 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
197196itgeq2dv 23454 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝐴((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) + (𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) d𝑠 = ∫𝐴((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
198180, 197eqtr3d 2657 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (∫𝐴(((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫𝐴(𝑂 · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠) = ∫𝐴((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
19997, 176, 1983eqtrd 2659 1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐸𝑛) + (𝑂 / 2)) = ∫𝐴((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  {crab 2911   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  ifcif 4058  {csn 4148   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075   ↾ cres 5076  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↑𝑚 cmap 7802  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015  -∞cmnf 10016  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   − cmin 10210  -cneg 10211   / cdiv 10628  ℕcn 10964  2c2 11014  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406   mod cmo 12608  sincsin 14719  πcpi 14722  TopOpenctopn 16003  ℂfldccnfld 19665  –cn→ccncf 22587  volcvol 23139  𝐿1cibl 23292  ∫citg 23293   limℂ climc 23532   D cdv 23533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-t1 21028  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296  df-ibl 23297  df-itg 23298  df-0p 23343  df-limc 23536  df-dv 23537 This theorem is referenced by:  fourierdlem103  39733  fourierdlem104  39734
 Copyright terms: Public domain W3C validator