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Theorem ipidsq 27693
Description: The inner product of a vector with itself is the square of the vector's norm. Equation I4 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipid.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ipid.6 𝑁 = (normCV𝑈)
ipid.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
ipidsq ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))

Proof of Theorem ipidsq
StepHypRef Expression
1 ipid.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2651 . . . 4 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2651 . . . 4 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 ipid.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
5 ipid.7 . . . 4 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 27690 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = (((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
763anidm23 1425 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = (((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
81, 2, 3nv2 27615 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)𝐴) = (2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))
98fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)) = (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
10 2re 11128 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
11 0le2 11149 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 2
1210, 11pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
131, 3, 4nvsge0 27647 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (2 · (𝑁𝐴)))
1412, 13mp3an2 1452 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(2( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (2 · (𝑁𝐴)))
159, 14eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴)) = (2 · (𝑁𝐴)))
1615oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) = ((2 · (𝑁𝐴))↑2))
171, 4nvcl 27644 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
1817recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
19 2cn 11129 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
20 2nn0 11347 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
21 mulexp 12939 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)))
2219, 20, 21mp3an13 1455 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐴) ∈ ℂ → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)))
2318, 22syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)))
24 sq2 13000 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
2524oveq1i 6700 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((𝑁𝐴)↑2)) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2))
2623, 25syl6eq 2701 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((2 · (𝑁𝐴))↑2) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
2716, 26eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
28 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
291, 2, 3, 28nvrinv 27634 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (0vec𝑈))
3029fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = (𝑁‘(0vec𝑈)))
3128, 4nvz0 27651 . . . . . . . . . 10 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0vec𝑈)) = 0)
3231adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(0vec𝑈)) = 0)
3330, 32eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = 0)
3433sq0id 12997 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) = 0)
3527, 34oveq12d 6708 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) − 0))
36 4cn 11136 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
3718sqcld 13046 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ)
38 mulcl 10058 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℂ ∧ ((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ) → (4 · ((𝑁𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
3936, 37, 38sylancr 696 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (4 · ((𝑁𝐴)↑2)) ∈ ℂ)
4039subid1d 10419 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) − 0) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
4135, 40eqtrd 2685 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
42 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
43 neg1rr 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℝ
44 absreim 14077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℝ) → (abs‘(1 + (i · -1))) = (√‘((1↑2) + (-1↑2))))
4542, 43, 44mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘(1 + (i · -1))) = (√‘((1↑2) + (-1↑2)))
46 ax-icn 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 i ∈ ℂ
47 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℂ
4846, 47mulneg2i 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i · -1) = -(i · 1)
4946mulid1i 10080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · 1) = i
5049negeqi 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 -(i · 1) = -i
5148, 50eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (i · -1) = -i
5251oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + (i · -1)) = (1 + -i)
5352fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs‘(1 + (i · -1))) = (abs‘(1 + -i))
54 sqneg 12963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 ∈ ℂ → (-1↑2) = (1↑2))
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-1↑2) = (1↑2)
5655oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1↑2) + (-1↑2)) = ((1↑2) + (1↑2))
5756fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (√‘((1↑2) + (-1↑2))) = (√‘((1↑2) + (1↑2)))
5845, 53, 573eqtr3i 2681 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(1 + -i)) = (√‘((1↑2) + (1↑2)))
59 absreim 14077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (abs‘(1 + (i · 1))) = (√‘((1↑2) + (1↑2))))
6042, 42, 59mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(1 + (i · 1))) = (√‘((1↑2) + (1↑2)))
6149oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + (i · 1)) = (1 + i)
6261fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘(1 + (i · 1))) = (abs‘(1 + i))
6358, 60, 623eqtr2i 2679 . . . . . . . . . . . . 13 (abs‘(1 + -i)) = (abs‘(1 + i))
6463oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(1 + -i)) · (𝑁𝐴)) = ((abs‘(1 + i)) · (𝑁𝐴))
65 negicn 10320 . . . . . . . . . . . . . 14 -i ∈ ℂ
6647, 65addcli 10082 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + -i) ∈ ℂ
671, 3, 4nvs 27646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 + -i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + -i)) · (𝑁𝐴)))
6866, 67mp3an2 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + -i)) · (𝑁𝐴)))
6947, 46addcli 10082 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + i) ∈ ℂ
701, 3, 4nvs 27646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 + i) ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + i)) · (𝑁𝐴)))
7169, 70mp3an2 1452 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = ((abs‘(1 + i)) · (𝑁𝐴)))
7264, 68, 713eqtr4a 2711 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
731, 2, 3nvdir 27614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ -i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7447, 73mp3anr1 1461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7565, 74mpanr1 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
761, 3nvsid 27610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = 𝐴)
7776oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7875, 77eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
7978fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + -i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
801, 2, 3nvdir 27614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8147, 80mp3anr1 1461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (i ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8246, 81mpanr1 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8376oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8482, 83eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = (𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
8584fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘((1 + i)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
8672, 79, 853eqtr3d 2693 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
8786oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) = ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))
8887oveq2d 6706 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))
891, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 27689 . . . . . . . . . . 11 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) ∧ i ∈ ℂ) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
9046, 89mpan2 707 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
91903anidm23 1425 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
9291subidd 10418 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = 0)
9388, 92eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) = 0)
9493oveq2d 6706 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))) = (i · 0))
95 it0e0 11292 . . . . . 6 (i · 0) = 0
9694, 95syl6eq 2701 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2))) = 0)
9741, 96oveq12d 6708 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) = ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) + 0))
9839addid1d 10274 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) + 0) = (4 · ((𝑁𝐴)↑2)))
9997, 98eqtr2d 2686 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (4 · ((𝑁𝐴)↑2)) = ((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))))
10099oveq1d 6705 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = (((((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)𝐴))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)) + (i · (((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2) − ((𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-i( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))↑2)))) / 4))
101 4ne0 11155 . . . 4 4 ≠ 0
102 divcan3 10749 . . . 4 ((((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = ((𝑁𝐴)↑2))
10336, 101, 102mp3an23 1456 . . 3 (((𝑁𝐴)↑2) ∈ ℂ → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = ((𝑁𝐴)↑2))
10437, 103syl 17 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((4 · ((𝑁𝐴)↑2)) / 4) = ((𝑁𝐴)↑2))
1057, 100, 1043eqtr2d 2691 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝑃𝐴) = ((𝑁𝐴)↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  4c4 11110  0cn0 11330  cexp 12900  csqrt 14017  abscabs 14018  NrmCVeccnv 27567   +𝑣 cpv 27568  BaseSetcba 27569   ·𝑠OLD cns 27570  0veccn0v 27571  normCVcnmcv 27573  ·𝑖OLDcdip 27683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-nmcv 27583  df-dip 27684
This theorem is referenced by:  ipnm  27694  ipz  27702  pythi  27833  siilem1  27834  hlipgt0  27898  htthlem  27902
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