MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bposlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bposlem1 25054
Description: An upper bound on the prime powers dividing a central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bposlem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))

Proof of Theorem bposlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12812 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin)
2 2nn 11223 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
3 nnmulcl 11081 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
42, 3mpan 706 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
54ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
6 prmnn 15435 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
76ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑃 ∈ ℕ)
8 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ)
98adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ)
109nnnn0d 11389 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
117, 10nnexpcld 13070 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℕ)
12 nnrp 11880 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
13 nnrp 11880 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑘) ∈ ℕ → (𝑃𝑘) ∈ ℝ+)
14 rpdivcl 11894 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ+ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ+) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
1512, 13, 14syl2an 493 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℕ) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
165, 11, 15syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
1716rpred 11910 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
1817flcld 12639 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
19 2z 11447 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
20 simpll 805 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
21 nnrp 11880 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22 rpdivcl 11894 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ+) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
2321, 13, 22syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℕ) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
2420, 11, 23syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ+)
2524rpred 11910 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
2625flcld 12639 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ)
27 zmulcl 11464 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℤ) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℤ)
2819, 26, 27sylancr 696 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℤ)
2918, 28zsubcld 11525 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℤ)
3029zred 11520 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℝ)
31 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
32 0re 10078 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3331, 32keepel 4188 . . . . 5 if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ∈ ℝ)
3528zred 11520 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) ∈ ℝ)
3617, 35resubcld 10496 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℝ)
37 2re 11128 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 2 ∈ ℝ)
3918zred 11520 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
40 flle 12640 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
4117, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
4239, 17, 35, 41lesub1dd 10681 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
43 resubcl 10383 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ)
4425, 31, 43sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ)
45 remulcl 10059 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) ∈ ℝ)
4637, 44, 45sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) ∈ ℝ)
47 flltp1 12641 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + 1))
4825, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + 1))
49 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℝ)
5026zred 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
5125, 49, 50ltsubaddd 10661 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) + 1)))
5248, 51mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))
53 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
5437, 53pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
55 ltmul2 10912 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5654, 55mp3an3 1453 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) ∈ ℝ ∧ (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5744, 50, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1) < (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) ↔ (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
5852, 57mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) < (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))))
5946, 35, 17, 58ltsub2dd 10678 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1))))
60 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 2 ∈ ℂ)
61 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
6261ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℂ)
6311nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℂ)
6411nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ≠ 0)
6560, 62, 63, 64divassd 10874 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) = (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))))
6625recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℂ)
67 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
6860, 66, 67subdid 10524 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) = ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − (2 · 1)))
69 2t1e2 11214 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 1) = 2
7069oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − (2 · 1)) = ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)
7168, 70syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1)) = ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2))
7265, 71oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1))) = ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)))
73 remulcl 10059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ) → (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
7437, 25, 73sylancr 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℝ)
7574recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ)
76 2cn 11129 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
77 nncan 10348 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)) = 2)
7875, 76, 77sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − ((2 · (𝑁 / (𝑃𝑘))) − 2)) = 2)
7972, 78eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · ((𝑁 / (𝑃𝑘)) − 1))) = 2)
8059, 79breqtrd 4711 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < 2)
8130, 36, 38, 42, 80lelttrd 10233 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < 2)
82 df-2 11117 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
8381, 82syl6breq 4726 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (1 + 1))
84 1z 11445 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
85 zleltp1 11466 . . . . . . . 8 ((((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (1 + 1)))
8629, 84, 85sylancl 695 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) < (1 + 1)))
8783, 86mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1)
88 iftrue 4125 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = 1)
8988breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 1))
9087, 89syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
919nnge1d 11101 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ≤ 𝑘)
9291biantrurd 528 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
936adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℕ)
9493nnred 11073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ)
95 prmuz2 15455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
9695adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
97 eluz2b1 11797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑃))
9897simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
9996, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < 𝑃)
10094, 99jca 553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
102 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
103102adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
1044adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ)
105104nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
106105adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
107 efexple 25051 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
108101, 103, 106, 107syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁) ↔ 𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
1099nnzd 11519 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑘 ∈ ℤ)
11084a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 1 ∈ ℤ)
111104nnred 11073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
112 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ∈ ℝ)
11337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℝ)
114 1lt2 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 < 2
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < 2)
116 nnre 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
117116adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
118 0le2 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ≤ 2
11937, 118pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2))
121 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑁)
122121adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 ≤ 𝑁)
123 lemul2a 10916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2)) ∧ 1 ≤ 𝑁) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
124112, 117, 120, 122, 123syl31anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑁))
12569, 124syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 2 ≤ (2 · 𝑁))
126112, 113, 111, 115, 125ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 1 < (2 · 𝑁))
127111, 126rplogcld 24420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
12894, 99rplogcld 24420 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ+)
129127, 128rpdivcld 11927 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ+)
130129rpred 11910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
131130flcld 12639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
132131adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ)
133 elfz 12370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
134109, 110, 132, 133syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
13592, 108, 1343bitr4rd 301 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
136135notbid 307 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ ¬ (𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
137111adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
13811nnred 11073 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
139137, 138ltnled 10222 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) ↔ ¬ (𝑃𝑘) ≤ (2 · 𝑁)))
140136, 139bitr4d 271 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)))
14116rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
142141adantrr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → 0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)))
14311nngt0d 11102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 < (𝑃𝑘))
144 ltdivmul 10936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑘))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1)))
145137, 49, 138, 143, 144syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1)))
14663mulid1d 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑃𝑘) · 1) = (𝑃𝑘))
147146breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < ((𝑃𝑘) · 1) ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)))
148145, 147bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)))
149148biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1))
150149impr 648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < 1)
151 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) = 1
152150, 151syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
15317adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
154 0z 11426 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
155 flbi 12657 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
156153, 154, 155sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) ∧ ((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
157142, 152, 156mpbir2and 977 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) = 0)
15824rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)))
159158adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → 0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)))
160116, 21ltaddrp2d 11944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 𝑁))
161612timesd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
162160, 161breqtrrd 4713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (2 · 𝑁))
163162ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 < (2 · 𝑁))
164116ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ)
165 lttr 10152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑁 < (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)) → 𝑁 < (𝑃𝑘)))
166164, 137, 138, 165syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 < (2 · 𝑁) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘)) → 𝑁 < (𝑃𝑘)))
167163, 166mpand 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → 𝑁 < (𝑃𝑘)))
168 ltdivmul 10936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((𝑃𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑘))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1)))
169164, 49, 138, 143, 168syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1)))
170146breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (𝑁 < ((𝑃𝑘) · 1) ↔ 𝑁 < (𝑃𝑘)))
171169, 170bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1 ↔ 𝑁 < (𝑃𝑘)))
172167, 171sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1))
173172impr 648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < 1)
174173, 151syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))
17525adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ)
176 flbi 12657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 / (𝑃𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
177175, 154, 176sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝑁 / (𝑃𝑘)) ∧ (𝑁 / (𝑃𝑘)) < (0 + 1))))
178159, 174, 177mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))) = 0)
179178oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = (2 · 0))
180 2t0e0 11221 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
181179, 180syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘)))) = 0)
182157, 181oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = (0 − 0))
183 0m0e0 11168 . . . . . . . . . 10 (0 − 0) = 0
184182, 183syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) = 0)
185 0le0 11148 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
186184, 185syl6eqbr 4724 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ (𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁)) ∧ (2 · 𝑁) < (𝑃𝑘))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0)
187186expr 642 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((2 · 𝑁) < (𝑃𝑘) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0))
188140, 187sylbid 230 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0))
189 iffalse 4128 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = 0)
190189eqcomd 2657 . . . . . . 7 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → 0 = if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
191190breq2d 4697 . . . . . 6 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ 0 ↔ ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
192188, 191mpbidi 231 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → (¬ 𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0)))
19390, 192pm2.61d 170 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))) → ((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
1941, 30, 34, 193fsumle 14575 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))) ≤ Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
195 pcbcctr 25046 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))((⌊‘((2 · 𝑁) / (𝑃𝑘))) − (2 · (⌊‘(𝑁 / (𝑃𝑘))))))
196131zred 11520 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℝ)
197 flle 12640 . . . . . . . . 9 (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))
198130, 197syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))
199104nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
20093, 199nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) ∈ ℕ)
201200nnred 11073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
202 bernneq3 13032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) < (𝑃↑(2 · 𝑁)))
20396, 199, 202syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) < (𝑃↑(2 · 𝑁)))
204111, 201, 203ltled 10223 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑃↑(2 · 𝑁)))
205105reeflogd 24415 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) = (2 · 𝑁))
20693nnrpd 11908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℝ+)
207104nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
208 reexplog 24386 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℝ+ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) = (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
209206, 207, 208syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(2 · 𝑁)) = (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
210209eqcomd 2657 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))) = (𝑃↑(2 · 𝑁)))
211204, 205, 2103brtr4d 4717 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
212105relogcld 24414 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
213128rpred 11910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘𝑃) ∈ ℝ)
214111, 213remulcld 10108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ∈ ℝ)
215 efle 14892 . . . . . . . . . . 11 (((log‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ∈ ℝ) → ((log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ↔ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))))
216212, 214, 215syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)) ↔ (exp‘(log‘(2 · 𝑁))) ≤ (exp‘((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))))
217211, 216mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃)))
218212, 111, 128ledivmul2d 11964 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (log‘(2 · 𝑁)) ≤ ((2 · 𝑁) · (log‘𝑃))))
219217, 218mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ≤ (2 · 𝑁))
220196, 130, 111, 198, 219letrd 10232 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁))
221 eluz 11739 . . . . . . . 8 (((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁)))
222131, 207, 221syl2anc 694 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ↔ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ≤ (2 · 𝑁)))
223220, 222mpbird 247 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
224 fzss2 12419 . . . . . 6 ((2 · 𝑁) ∈ (ℤ‘(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) → (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁)))
225223, 224syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁)))
226 sumhash 15647 . . . . 5 (((1...(2 · 𝑁)) ∈ Fin ∧ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))) ⊆ (1...(2 · 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = (#‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
2271, 225, 226syl2anc 694 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0) = (#‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))))
228129rprege0d 11917 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
229 flge0nn0 12661 . . . . 5 ((((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℕ0)
230 hashfz1 13174 . . . . 5 ((⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))) = (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
231228, 229, 2303syl 18 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (#‘(1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))) = (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
232227, 231eqtr2d 2686 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))) = Σ𝑘 ∈ (1...(2 · 𝑁))if(𝑘 ∈ (1...(⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))), 1, 0))
233194, 195, 2323brtr4d 4717 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃))))
234 simpr 476 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℙ)
235 nnnn0 11337 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
236 fzctr 12490 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)))
237 bccl2 13150 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (0...(2 · 𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
238235, 236, 2373syl 18 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
239238adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((2 · 𝑁)C𝑁) ∈ ℕ)
240234, 239pccld 15602 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℕ0)
241240nn0zd 11518 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ)
242 efexple 25051 . . 3 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) ∧ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℝ+) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
24394, 99, 241, 105, 242syl211anc 1372 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁)) ≤ (⌊‘((log‘(2 · 𝑁)) / (log‘𝑃)))))
244233, 243mpbird 247 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑃↑(𝑃 pCnt ((2 · 𝑁)C𝑁))) ≤ (2 · 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  cfl 12631  cexp 12900  Ccbc 13129  #chash 13157  Σcsu 14460  expce 14836  cprime 15432   pCnt cpc 15588  logclog 24346
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  bposlem5  25058  bposlem6  25059  chebbnd1lem1  25203
  Copyright terms: Public domain W3C validator