Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  logbpw2m1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logbpw2m1 41627
Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of a positive integer minus 1 is equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
logbpw2m1 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Proof of Theorem logbpw2m1
StepHypRef Expression
1 2rp 11781 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
21a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3 2nn0 11254 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5 nnnn0 11244 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
64, 5nn0expcld 12968 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
7 nnge1 10991 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
8 2re 11035 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10 1zzd 11353 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11 nnz 11344 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
12 1lt2 11139 . . . . . . . . . 10 1 < 2
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
149, 10, 11, 13leexp2d 12976 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
15 2cn 11036 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℂ
16 exp1 12803 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (2↑1) = 2
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
1918breq1d 4628 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑1) ≤ (2↑𝐼) ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
2014, 19bitrd 268 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
217, 20mpbid 222 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
22 nn0ge2m1nn 11305 . . . . . 6 (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
236, 21, 22syl2anc 692 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
2423nnrpd 11814 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
25 1ne2 11185 . . . . . 6 1 ≠ 2
2625necomi 2850 . . . . 5 2 ≠ 1
2726a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
28 relogbcl 24406 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
292, 24, 27, 28syl3anc 1323 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
3029flcld 12536 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
31 peano2zm 11365 . . 3 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
3211, 31syl 17 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
33 2z 11354 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
34 uzid 11646 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
36 nnlogbexp 24414 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
3735, 32, 36sylancr 694 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
3837fveq2d 6154 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (⌊‘(𝐼 − 1)))
39 flid 12546 . . . . 5 ((𝐼 − 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
4032, 39syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
4138, 40eqtrd 2660 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (𝐼 − 1))
42 2nn 11130 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
4342a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
44 nnm1nn0 11279 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
4543, 44nnexpcld 12967 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
4645nnrpd 11814 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
47 relogbcl 24406 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
482, 46, 27, 47syl3anc 1323 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
49 pw2m1lepw2m1 41572 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
5035a1i 11 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ‘2))
51 logbleb 24416 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+) → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5250, 46, 24, 51syl3anc 1323 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5349, 52mpbid 222 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
54 flwordi 12550 . . . 4 (((2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))) → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5548, 29, 53, 54syl3anc 1323 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5641, 55eqbrtrrd 4642 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
5743, 5nnexpcld 12967 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ)
5857nnnn0d 11296 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
5958, 21, 22syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
6059nnrpd 11814 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
612, 60, 27, 28syl3anc 1323 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
6261flcld 12536 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
6362zred 11426 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℝ)
64 nnre 10972 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℝ)
65 peano2rem 10293 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
6664, 65syl 17 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
67 peano2re 10154 . . . 4 ((𝐼 − 1) ∈ ℝ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
69 flle 12537 . . . 4 ((2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
7029, 69syl 17 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
7157nnrpd 11814 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
72 relogbcl 24406 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
732, 71, 27, 72syl3anc 1323 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
7457nnred 10980 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
7574ltm1d 10901 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼))
76 logblt 24417 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+) → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
7750, 24, 71, 76syl3anc 1323 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
7875, 77mpbid 222 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼)))
7964leidd 10539 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼𝐼)
80 nnlogbexp 24414 . . . . . 6 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
8135, 11, 80sylancr 694 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
82 nncn 10973 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
83 npcan1 10400 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
8482, 83syl 17 . . . . 5 (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
8579, 81, 843brtr4d 4650 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ ((𝐼 − 1) + 1))
8629, 73, 68, 78, 85ltletrd 10142 . . 3 (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < ((𝐼 − 1) + 1))
8763, 29, 68, 70, 86lelttrd 10140 . 2 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))
88 zgeltp1eq 40603 . . 3 (((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1)) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1)))
8988imp 445 . 2 ((((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
9030, 32, 56, 87, 89syl22anc 1324 1 (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  cn 10965  2c2 11015  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  +crp 11776  cfl 12528  cexp 12797   logb clogb 24397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-shft 13736  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-ef 14718  df-sin 14720  df-cos 14721  df-pi 14723  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-limc 23531  df-dv 23532  df-log 24202  df-cxp 24203  df-logb 24398
This theorem is referenced by:  fllog2  41628  blenpw2m1  41639
  Copyright terms: Public domain W3C validator