MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicabvcxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem padicabvcxp 25366
Description: All positive powers of the p-adic absolute value are absolute values. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
qrng.q 𝑄 = (ℂflds ℚ)
qabsabv.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
padic.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
padicabvcxp ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝑦   𝑦,𝐽   𝐴,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑄,𝑦   𝑃,𝑞,𝑥,𝑦   𝑅,𝑞,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑞)   𝑅(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem padicabvcxp
StepHypRef Expression
1 padic.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
21padicval 25351 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
32adantlr 751 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑦) = if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))))
43oveq1d 6705 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅))
5 ovif 6779 . . . . 5 (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
6 rpre 11877 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℝ)
87recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ∈ ℂ)
9 rpne0 11886 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ≠ 0)
109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑅 ≠ 0)
118, 100cxpd 24501 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (0↑𝑐𝑅) = 0)
1211adantr 480 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (0↑𝑐𝑅) = 0)
1312ifeq1d 4137 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → if(𝑦 = 0, (0↑𝑐𝑅), ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
145, 13syl5eq 2697 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (if(𝑦 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)))
15 df-ne 2824 . . . . . 6 (𝑦 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑦 = 0)
16 pcqcl 15608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
1716adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
1817zcnd 11521 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ)
198adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ ℂ)
20 mulneg12 10506 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅))
2118, 19, 20syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅))
2219negcld 10417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -𝑅 ∈ ℂ)
2318, 22mulcomd 10099 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃 pCnt 𝑦) · -𝑅) = (-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦)))
2421, 23eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅) = (-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦)))
2524oveq2d 6706 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅)) = (𝑃𝑐(-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦))))
26 prmuz2 15455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
28 eluz2b2 11799 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
3029simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℕ)
3130nnrpd 11908 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3317znegcld 11522 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℤ)
3433zred 11520 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -(𝑃 pCnt 𝑦) ∈ ℝ)
3532, 34, 19cxpmuld 24525 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐(-(𝑃 pCnt 𝑦) · 𝑅)) = ((𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
367renegcld 10495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → -𝑅 ∈ ℝ)
3736adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → -𝑅 ∈ ℝ)
3832, 37, 18cxpmuld 24525 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐(-𝑅 · (𝑃 pCnt 𝑦))) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
3925, 35, 383eqtr3d 2693 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)))
4030nnred 11073 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℝ)
4140recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ∈ ℂ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
4330nnne0d 11103 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑃 ≠ 0)
4443adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → 𝑃 ≠ 0)
4542, 44, 33cxpexpzd 24502 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦)))
4645oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃𝑐-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅))
4731, 36rpcxpcld 24521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4847adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+)
4948rpcnd 11912 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℂ)
50 rpne0 11886 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → (𝑃𝑐-𝑅) ≠ 0)
5148, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → (𝑃𝑐-𝑅) ≠ 0)
5249, 51, 17cxpexpzd 24502 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃𝑐-𝑅)↑𝑐(𝑃 pCnt 𝑦)) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5339, 46, 523eqtr3d 2693 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5453anassrs 681 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5515, 54sylan2br 492 . . . . 5 ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) ∧ ¬ 𝑦 = 0) → ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅) = ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))
5655ifeq2da 4150 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑦))↑𝑐𝑅)) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
574, 14, 563eqtrd 2689 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅) = if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
5857mpteq2dva 4777 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))))
59 rpre 11877 . . . . 5 ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
6047, 59syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ)
61 rpgt0 11882 . . . . 5 ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ+ → 0 < (𝑃𝑐-𝑅))
6247, 61syl 17 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 < (𝑃𝑐-𝑅))
63 rpgt0 11882 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑅)
6463adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 < 𝑅)
657lt0neg2d 10636 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (0 < 𝑅 ↔ -𝑅 < 0))
6664, 65mpbid 222 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → -𝑅 < 0)
6729simprd 478 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 1 < 𝑃)
68 0red 10079 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
6940, 67, 36, 68cxpltd 24510 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (-𝑅 < 0 ↔ (𝑃𝑐-𝑅) < (𝑃𝑐0)))
7066, 69mpbid 222 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) < (𝑃𝑐0))
7141cxp0d 24496 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐0) = 1)
7270, 71breqtrd 4711 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) < 1)
73 0xr 10124 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
74 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
7574rexri 10135 . . . . 5 1 ∈ ℝ*
76 elioo2 12254 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑐-𝑅) ∧ (𝑃𝑐-𝑅) < 1)))
7773, 75, 76mp2an 708 . . . 4 ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1) ↔ ((𝑃𝑐-𝑅) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑃𝑐-𝑅) ∧ (𝑃𝑐-𝑅) < 1))
7860, 62, 72, 77syl3anbrc 1265 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1))
79 qrng.q . . . 4 𝑄 = (ℂflds ℚ)
80 qabsabv.a . . . 4 𝐴 = (AbsVal‘𝑄)
81 eqid 2651 . . . 4 (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦))))
8279, 80, 81padicabv 25364 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃𝑐-𝑅) ∈ (0(,)1)) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8378, 82syldan 486 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ if(𝑦 = 0, 0, ((𝑃𝑐-𝑅)↑(𝑃 pCnt 𝑦)))) ∈ 𝐴)
8458, 83eqeltrd 2730 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℚ ↦ (((𝐽𝑃)‘𝑦)↑𝑐𝑅)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  *cxr 10111   < clt 10112  -cneg 10305  cn 11058  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  cq 11826  +crp 11870  (,)cioo 12213  cexp 12900  cprime 15432   pCnt cpc 15588  s cress 15905  AbsValcabv 18864  fldccnfld 19794  𝑐ccxp 24347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349
This theorem is referenced by:  ostth3  25372  ostth  25373
  Copyright terms: Public domain W3C validator