MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntleml Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntleml 25345
Description: Lemma for pnt 25348. Equation 10.6.35 in [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem3.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem3.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem3.A (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntlemp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlemp.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlemp.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlemp.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlemp.K (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
Assertion
Ref Expression
pntleml (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑒,𝑎,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑅,𝑒,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑒,𝐿,𝑘,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦   𝐵,𝑒,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐴(𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐵(𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑎)

Proof of Theorem pntleml
Dummy variables 𝑠 𝑟 𝑡 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pntlem3.r . 2 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem3.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem3.A . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
4 eqid 2651 . 2 {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} = {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}
5 pntlemp.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
6 pntlemp.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
7 pntlemp.d . . . 4 𝐷 = (𝐴 + 1)
8 pntlemp.f . . . 4 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
91, 2, 5, 6, 7, 8pntlemd 25328 . . 3 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
109simp3d 1095 . 2 (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
11 0m0e0 11168 . . . . 5 (0 − 0) = 0
12 simpr 476 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → 𝑟 = 0)
1312oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟↑3) = (0↑3))
14 3nn 11224 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
15 0exp 12935 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0↑3) = 0
1713, 16syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟↑3) = 0)
1817oveq2d 6706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · (𝑟↑3)) = (𝐹 · 0))
1910rpcnd 11912 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
2019mul01d 10273 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 · 0) = 0)
2120ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · 0) = 0)
2218, 21eqtrd 2685 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝐹 · (𝑟↑3)) = 0)
2312, 22oveq12d 6708 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) = (0 − 0))
2411, 23, 123eqtr4a 2711 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) = 𝑟)
25 simplr 807 . . . 4 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → 𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
2624, 25eqeltrd 2730 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 = 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
27 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑠 → (𝑦[,)+∞) = (𝑠[,)+∞))
2827raleqdv 3174 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑠 → (∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
2928cbvrexv 3202 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 ↔ ∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
30 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))
31 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
322ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
3332rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴)))
3531, 33, 34sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴)))
3630, 35mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑟𝑟𝐴))
3736simp1d 1093 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
3810ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐹 ∈ ℝ+)
3936simp2d 1094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ 𝑟)
40 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ≠ 0)
4137, 39, 40ne0gt0d 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 < 𝑟)
4237, 41elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
43 3z 11448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
44 rpexpcl 12919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑟↑3) ∈ ℝ+)
4542, 43, 44sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟↑3) ∈ ℝ+)
4638, 45rpmulcld 11926 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝐹 · (𝑟↑3)) ∈ ℝ+)
4746rpred 11910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝐹 · (𝑟↑3)) ∈ ℝ)
4837, 47resubcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ)
493ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
505ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
516ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝐿 ∈ (0(,)1))
52 pntlemp.K . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
5352ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑒 ∈ (0(,)1)∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐵 / 𝑒))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝑒)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝑒))
5436simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑟𝐴)
55 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 / 𝐷) = (𝑟 / 𝐷)
56 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (exp‘(𝐵 / (𝑟 / 𝐷))) = (exp‘(𝐵 / (𝑟 / 𝐷)))
57 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
58 1rp 11874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ+
59 rpaddcl 11892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ+)
6057, 58, 59sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑠 + 1) ∈ ℝ+)
6157rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ 𝑠)
62 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
6357rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ)
64 addge02 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑠 ↔ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6562, 63, 64sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (0 ≤ 𝑠 ↔ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6661, 65mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 1 ≤ (𝑠 + 1))
6760, 66jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑠 + 1) ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ (𝑠 + 1)))
6857rpxrd 11911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ∈ ℝ*)
6963lep1d 10993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 𝑠 ≤ (𝑠 + 1))
70 df-ico 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 [,) = (𝑡 ∈ ℝ*, 𝑟 ∈ ℝ* ↦ {𝑤 ∈ ℝ* ∣ (𝑡𝑤𝑤 < 𝑟)})
71 xrletr 12027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑠 ∈ ℝ* ∧ (𝑠 + 1) ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) → ((𝑠 ≤ (𝑠 + 1) ∧ (𝑠 + 1) ≤ 𝑣) → 𝑠𝑣))
7270, 70, 71ixxss1 12231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑠 ∈ ℝ*𝑠 ≤ (𝑠 + 1)) → ((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞))
7368, 69, 72syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞))
74 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
75 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 + 1)[,)+∞) ⊆ (𝑠[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ∀𝑧 ∈ ((𝑠 + 1)[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
7673, 74, 75sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∀𝑧 ∈ ((𝑠 + 1)[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)
771, 32, 49, 50, 51, 7, 8, 53, 42, 54, 55, 56, 67, 76pntlemp 25344 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
78 rpre 11877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℝ)
7978adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ)
8079leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤𝑤)
81 elicopnf 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℝ → (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑤)))
8279, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑤𝑤)))
8379, 80, 82mpbir2and 977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞))
84 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤 → (𝑅𝑣) = (𝑅𝑤))
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑤𝑣 = 𝑤)
8684, 85oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑤 → ((𝑅𝑣) / 𝑣) = ((𝑅𝑤) / 𝑤))
8786fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣 = 𝑤 → (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) = (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)))
8887breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = 𝑤 → ((abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
8988rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ (𝑤[,)+∞) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
9083, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
911pntrf 25297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑅:ℝ+⟶ℝ
9291ffvelrni 6398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑤) ∈ ℝ)
93 rerpdivcl 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9492, 93mpancom 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ ℝ+ → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℝ)
9695recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((𝑅𝑤) / 𝑤) ∈ ℂ)
9796absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)))
98 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
9996abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∈ ℝ)
10048adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ)
101 letr 10169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∈ ℝ ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10298, 99, 100, 101syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((0 ≤ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ∧ (abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10397, 102mpand 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝑅𝑤) / 𝑤)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10490, 103syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
105104rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
10677, 105mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
10746rpge0d 11914 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → 0 ≤ (𝐹 · (𝑟↑3)))
10837, 47subge02d 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (0 ≤ (𝐹 · (𝑟↑3)) ↔ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝑟))
109107, 108mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝑟)
11048, 37, 33, 109, 54letrd 10232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)
111 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)))
11231, 33, 111sylancr 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∧ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ≤ 𝐴)))
11348, 106, 110, 112mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴))
114113, 77jca 553 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) ∧ (𝑠 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟)) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
115114rexlimdvaa 3061 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) → (∃𝑠 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑠[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
11629, 115syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ≠ 0 ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
117116anassrs 681 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑟 ∈ (0[,]𝐴)) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟 → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
118117expimpd 628 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ≠ 0) → ((𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟) → ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))))
119 breq2 4689 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑟 → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
120119rexralbidv 3087 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑟 → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
121120elrab 3396 . . . . . 6 (𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} ↔ (𝑟 ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑟))
122 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → ((abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
123122rexralbidv 3087 . . . . . . . 8 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
124 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧 → (𝑅𝑣) = (𝑅𝑧))
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 = 𝑧𝑣 = 𝑧)
126124, 125oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → ((𝑅𝑣) / 𝑣) = ((𝑅𝑧) / 𝑧))
127126fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑧 → (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) = (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)))
128127breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑧 → ((abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ (abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
129128cbvralv 3201 . . . . . . . . . 10 (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
130 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑦 → (𝑤[,)+∞) = (𝑦[,)+∞))
131130raleqdv 3174 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
132129, 131syl5bb 272 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑦 → (∀𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
133132cbvrexv 3202 . . . . . . . 8 (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))))
134123, 133syl6bbr 278 . . . . . . 7 (𝑡 = (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) → (∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡 ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
135134elrab 3396 . . . . . 6 ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} ↔ ((𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ (0[,]𝐴) ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (𝑤[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3)))))
136118, 121, 1353imtr4g 285 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ≠ 0) → (𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡} → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}))
137136imp 444 . . . 4 (((𝜑𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
138137an32s 863 . . 3 (((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) ∧ 𝑟 ≠ 0) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
13926, 138pm2.61dane 2910 . 2 ((𝜑𝑟 ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡}) → (𝑟 − (𝐹 · (𝑟↑3))) ∈ {𝑡 ∈ (0[,]𝐴) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝑦[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑡})
1401, 2, 3, 4, 10, 139pntlem3 25343 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑥) / 𝑥)) ⇝𝑟 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  cz 11415  cdc 11531  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  [,]cicc 12216  cexp 12900  abscabs 14018  𝑟 crli 14260  expce 14836  ψcchp 24864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-cxp 24349  df-em 24764  df-cht 24868  df-vma 24869  df-chp 24870  df-ppi 24871  df-mu 24872
This theorem is referenced by:  pnt3  25346
  Copyright terms: Public domain W3C validator