Theorem 1pru 7916

Description: The upper cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1pru	|- ( 2nd ` 1P ) = { x | 1Q <Q x }

Proof of Theorem 1pru

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7827	. . 3 |- 1P = <. { y | y <Q 1Q } , { x | 1Q <Q x } >.
2	1	fveq2i 5696	. 2 |- ( 2nd ` 1P ) = ( 2nd ` <. { y | y <Q 1Q } , { x | 1Q <Q x } >. )
3		ltnqex 7909	. . 3 |- { y | y <Q 1Q } e. _V
4		gtnqex 7910	. . 3 |- { x | 1Q <Q x } e. _V
5	3, 4	op2nd 6374	. 2 |- ( 2nd ` <. { y | y <Q 1Q } , { x | 1Q <Q x } >. ) = { x | 1Q <Q x }
6	2, 5	eqtri 2259	1 |- ( 2nd ` 1P ) = { x | 1Q <Q x }

Syntax hints:   = wceq 1402   {cab 2224   <.cop 3711   class class class wbr 4128   ` cfv 5375   2ndc2nd 6366   1Qc1q 7641   <Q cltq 7645   1Pc1p 7652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-2nd 6368  df-qs 6806  df-ni 7664  df-nqqs 7708  df-ltnqqs 7713  df-i1p 7827

This theorem is referenced by:  1idpru  7951  recexprlem1ssu  7994  recexprlemss1u  7996