ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1pru Unicode version

Theorem 1pru 7212
Description: The upper cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
1pru  |-  ( 2nd `  1P )  =  {
x  |  1Q  <Q  x }

Proof of Theorem 1pru
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-i1p 7123 . . 3  |-  1P  =  <. { y  |  y 
<Q  1Q } ,  {
x  |  1Q  <Q  x } >.
21fveq2i 5343 . 2  |-  ( 2nd `  1P )  =  ( 2nd `  <. { y  |  y  <Q  1Q } ,  { x  |  1Q  <Q  x } >. )
3 ltnqex 7205 . . 3  |-  { y  |  y  <Q  1Q }  e.  _V
4 gtnqex 7206 . . 3  |-  { x  |  1Q  <Q  x }  e.  _V
53, 4op2nd 5956 . 2  |-  ( 2nd `  <. { y  |  y  <Q  1Q } ,  { x  |  1Q  <Q  x } >. )  =  { x  |  1Q  <Q  x }
62, 5eqtri 2115 1  |-  ( 2nd `  1P )  =  {
x  |  1Q  <Q  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1296   {cab 2081   <.cop 3469   class class class wbr 3867   ` cfv 5049   2ndc2nd 5948   1Qc1q 6937    <Q cltq 6941   1Pc1p 6948
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-2nd 5950  df-qs 6338  df-ni 6960  df-nqqs 7004  df-ltnqqs 7009  df-i1p 7123
This theorem is referenced by:  1idpru  7247  recexprlem1ssu  7290  recexprlemss1u  7292
  Copyright terms: Public domain W3C validator