Theorem 1pru 7530

Description: The upper cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1pru	|- ( 2nd ` 1P ) = { x | 1Q <Q x }

Proof of Theorem 1pru

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7441	. . 3 |- 1P = <. { y | y <Q 1Q } , { x | 1Q <Q x } >.
2	1	fveq2i 5510	. 2 |- ( 2nd ` 1P ) = ( 2nd ` <. { y | y <Q 1Q } , { x | 1Q <Q x } >. )
3		ltnqex 7523	. . 3 |- { y | y <Q 1Q } e. _V
4		gtnqex 7524	. . 3 |- { x | 1Q <Q x } e. _V
5	3, 4	op2nd 6138	. 2 |- ( 2nd ` <. { y | y <Q 1Q } , { x | 1Q <Q x } >. ) = { x | 1Q <Q x }
6	2, 5	eqtri 2196	1 |- ( 2nd ` 1P ) = { x | 1Q <Q x }

Syntax hints:   = wceq 1353   {cab 2161   <.cop 3592   class class class wbr 3998   ` cfv 5208   2ndc2nd 6130   1Qc1q 7255   <Q cltq 7259   1Pc1p 7266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-2nd 6132  df-qs 6531  df-ni 7278  df-nqqs 7322  df-ltnqqs 7327  df-i1p 7441

This theorem is referenced by:  1idpru  7565  recexprlem1ssu  7608  recexprlemss1u  7610