Theorem 1pru 7212

Description: The upper cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1pru	|- ( 2nd ` 1P ) = { x | 1Q <Q x }

Proof of Theorem 1pru

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7123	. . 3 |- 1P = <. { y | y <Q 1Q } , { x | 1Q <Q x } >.
2	1	fveq2i 5343	. 2 |- ( 2nd ` 1P ) = ( 2nd ` <. { y | y <Q 1Q } , { x | 1Q <Q x } >. )
3		ltnqex 7205	. . 3 |- { y | y <Q 1Q } e. _V
4		gtnqex 7206	. . 3 |- { x | 1Q <Q x } e. _V
5	3, 4	op2nd 5956	. 2 |- ( 2nd ` <. { y | y <Q 1Q } , { x | 1Q <Q x } >. ) = { x | 1Q <Q x }
6	2, 5	eqtri 2115	1 |- ( 2nd ` 1P ) = { x | 1Q <Q x }

Syntax hints:   = wceq 1296   {cab 2081   <.cop 3469   class class class wbr 3867   ` cfv 5049   2ndc2nd 5948   1Qc1q 6937   <Q cltq 6941   1Pc1p 6948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-iinf 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-2nd 5950  df-qs 6338  df-ni 6960  df-nqqs 7004  df-ltnqqs 7009  df-i1p 7123

This theorem is referenced by:  1idpru  7247  recexprlem1ssu  7290  recexprlemss1u  7292