Theorem 1pru 7764

Description: The upper cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1pru	⊢ (2nd ‘1P) = {𝑥 ∣ 1Q <Q 𝑥}

Proof of Theorem 1pru

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7675	. . 3 ⊢ 1P = ⟨{𝑦 ∣ 𝑦 <Q 1Q}, {𝑥 ∣ 1Q <Q 𝑥}⟩
2	1	fveq2i 5636	. 2 ⊢ (2nd ‘1P) = (2nd ‘⟨{𝑦 ∣ 𝑦 <Q 1Q}, {𝑥 ∣ 1Q <Q 𝑥}⟩)
3		ltnqex 7757	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ 𝑦 <Q 1Q} ∈ V
4		gtnqex 7758	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 1Q <Q 𝑥} ∈ V
5	3, 4	op2nd 6303	. 2 ⊢ (2nd ‘⟨{𝑦 ∣ 𝑦 <Q 1Q}, {𝑥 ∣ 1Q <Q 𝑥}⟩) = {𝑥 ∣ 1Q <Q 𝑥}
6	2, 5	eqtri 2250	1 ⊢ (2nd ‘1P) = {𝑥 ∣ 1Q <Q 𝑥}

Syntax hints:   = wceq 1395  {cab 2215  ⟨cop 3670   class class class wbr 4084  ‘cfv 5322  2^nd c2nd 6295  1_Qc1q 7489   <_Q cltq 7493  1_Pc1p 7500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-iinf 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-2nd 6297  df-qs 6701  df-ni 7512  df-nqqs 7556  df-ltnqqs 7561  df-i1p 7675

This theorem is referenced by:  1idpru  7799  recexprlem1ssu  7842  recexprlemss1u  7844