ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1idpru Unicode version

Theorem 1idpru 7247
Description: Lemma for 1idpr 7248. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
1idpru  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A ) )

Proof of Theorem 1idpru
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3059 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  1P )  C_  ( 2nd `  1P )
2 rexss 3103 . . . . . 6  |-  ( ( 2nd `  1P ) 
C_  ( 2nd `  1P )  ->  ( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h )  <->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
31, 2ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
)  <->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) )
4 r19.42v 2538 . . . . . 6  |-  ( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( f 
<Q  x  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) )
5 1pr 7210 . . . . . . . . . . 11  |-  1P  e.  P.
6 prop 7131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1P  e.  P.  ->  <. ( 1st `  1P ) ,  ( 2nd `  1P ) >.  e.  P. )
7 elprnqu 7138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. ( 1st `  1P ) ,  ( 2nd `  1P ) >.  e.  P.  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  ->  h  e.  Q. )
86, 7sylan 278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  ->  h  e.  Q. )
95, 8mpan 416 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  ( 2nd `  1P )  ->  h  e.  Q. )
10 prop 7131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
11 elprnqu 7138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
f  e.  Q. )
1210, 11sylan 278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
f  e.  Q. )
13 breq2 3871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( f  .Q  h )  ->  (
f  <Q  x  <->  f  <Q  ( f  .Q  h ) ) )
14133ad2ant3 969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  f 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
15 1pru 7212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2nd `  1P )  =  {
h  |  1Q  <Q  h }
1615abeq2i 2205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  h )
17 1nq 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1Q  e.  Q.
18 ltmnqg 7057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  ( f  .Q  1Q )  <Q  (
f  .Q  h ) ) )
1917, 18mp3an1 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( h  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  ( f  .Q  1Q ) 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
2019ancoms 265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  ( f  .Q  1Q ) 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
21 mulidnq 7045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
f  .Q  1Q )  =  f )
2221breq1d 3877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  1Q )  <Q  ( f  .Q  h )  <->  f  <Q  ( f  .Q  h ) ) )
2322adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( ( f  .Q  1Q )  <Q  (
f  .Q  h )  <-> 
f  <Q  ( f  .Q  h ) ) )
2420, 23bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  f 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
2516, 24syl5rbb 192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  (
f  .Q  h )  <-> 
h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
26253adant3 966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  (
f  .Q  h )  <-> 
h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
2714, 26bitrd 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
2812, 27syl3an1 1214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
299, 28syl3an2 1215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
30293expia 1148 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  -> 
( x  =  ( f  .Q  h )  ->  ( f  <Q  x 
<->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) ) )
3130pm5.32rd 440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  -> 
( ( f  <Q  x  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
3231rexbidva 2388 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( f  <Q  x  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
334, 32syl5rbbr 194 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
343, 33syl5bb 191 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h )  <-> 
( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
3534rexbidva 2388 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. f  e.  ( 2nd `  A ) E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
)  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
36 df-imp 7125 . . . . 5  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  z  e.  P.  |->  <. { w  e.  Q.  |  E. u  e.  Q.  E. v  e.  Q.  (
u  e.  ( 1st `  y )  /\  v  e.  ( 1st `  z
)  /\  w  =  ( u  .Q  v
) ) } ,  { w  e.  Q.  |  E. u  e.  Q.  E. v  e.  Q.  (
u  e.  ( 2nd `  y )  /\  v  e.  ( 2nd `  z
)  /\  w  =  ( u  .Q  v
) ) } >. )
37 mulclnq 7032 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( u  .Q  v
)  e.  Q. )
3836, 37genpelvu 7169 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( x  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
) ) )
395, 38mpan2 417 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A
) E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) )
40 prnminu 7145 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  x  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) f 
<Q  x )
4110, 40sylan 278 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) f 
<Q  x )
42 ltrelnq 7021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
4342brel 4519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( f  e.  Q.  /\  x  e.  Q. ) )
4443ancomd 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. ) )
45 ltmnqg 7057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
4645adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  ( y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
47 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  f  e.  Q. )
48 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  x  e.  Q. )
49 recclnq 7048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Q.  ->  ( *Q `  f )  e. 
Q. )
5049adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( *Q `  f
)  e.  Q. )
51 mulcomnqg 7039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  =  ( z  .Q  y ) )
5251adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
5346, 47, 48, 50, 52caovord2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x  <->  ( f  .Q  ( *Q
`  f ) ) 
<Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
54 recidnq 7049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
f  .Q  ( *Q
`  f ) )  =  1Q )
5554breq1d 3877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  ( *Q `  f ) ) 
<Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  <-> 
1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
5655adantl 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( ( f  .Q  ( *Q `  f
) )  <Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) )  <-> 
1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
5753, 56bitrd 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x  <->  1Q 
<Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
5857biimpd 143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x  ->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
5944, 58mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f 
<Q  x  ->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q
`  f ) ) )
60 mulclnq 7032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( *Q `  f )  e.  Q. )  -> 
( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  Q. )
6149, 60sylan2 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  Q. )
62 breq2 3871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
6362, 15elab2g 2776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  .Q  ( *Q
`  f ) )  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
6444, 61, 633syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( ( x  .Q  ( *Q
`  f ) )  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
6559, 64mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  ( 2nd `  1P ) )
66 mulassnqg 7040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( y  .Q  z
)  .Q  w )  =  ( y  .Q  ( z  .Q  w
) ) )
6766adantl 272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  ( (
y  .Q  z )  .Q  w )  =  ( y  .Q  (
z  .Q  w ) ) )
6847, 48, 50, 52, 67caov12d 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) )  =  ( x  .Q  ( f  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
6954oveq2d 5706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( f  .Q  ( *Q `  f ) ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
7069adantl 272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  (
f  .Q  ( *Q
`  f ) ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
71 mulidnq 7045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  1Q )  =  x )
7271adantr 271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  1Q )  =  x )
7368, 70, 723eqtrrd 2132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  x  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
7444, 73syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
<Q  x  ->  x  =  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) ) )
75 oveq2 5698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( f  .Q  h )  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
7675eqeq2d 2106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( x  =  ( f  .Q  h )  <->  x  =  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) ) ) )
7776rspcev 2736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )  ->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) )
7865, 74, 77syl2anc 404 . . . . . . . . 9  |-  ( f 
<Q  x  ->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) )
7978a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( 2nd `  A
)  ->  ( f  <Q  x  ->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) )
8079ancld 319 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( 2nd `  A
)  ->  ( f  <Q  x  ->  ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
8180reximia 2480 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( 2nd `  A ) f  <Q  x  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h ) ) )
8241, 81syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
) ) )
8382ex 114 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  A )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A
) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
84 prcunqu 7141 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( f  <Q  x  ->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
8510, 84sylan 278 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( f  <Q  x  ->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
8685adantrd 274 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) )  ->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
8786rexlimdva 2502 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
) )  ->  x  e.  ( 2nd `  A
) ) )
8883, 87impbid 128 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  A )  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A
) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
8935, 39, 883bitr4d 219 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  <->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
9089eqrdv 2093 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 927    = wceq 1296    e. wcel 1445   E.wrex 2371    C_ wss 3013   <.cop 3469   class class class wbr 3867   ` cfv 5049  (class class class)co 5690   1stc1st 5947   2ndc2nd 5948   Q.cnq 6936   1Qc1q 6937    .Q cmq 6939   *Qcrq 6940    <Q cltq 6941   P.cnp 6947   1Pc1p 6948    .P. cmp 6950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-eprel 4140  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-1o 6219  df-oadd 6223  df-omul 6224  df-er 6332  df-ec 6334  df-qs 6338  df-ni 6960  df-pli 6961  df-mi 6962  df-lti 6963  df-plpq 7000  df-mpq 7001  df-enq 7003  df-nqqs 7004  df-plqqs 7005  df-mqqs 7006  df-1nqqs 7007  df-rq 7008  df-ltnqqs 7009  df-inp 7122  df-i1p 7123  df-imp 7125
This theorem is referenced by:  1idpr  7248
  Copyright terms: Public domain W3C validator