Theorem 1idpru 7620

Description: Lemma for 1idpr 7621. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1idpru	|- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) = ( 2nd ` A ) )

Proof of Theorem 1idpru

Dummy variables x y z w v u f h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3190	. . . . . 6 |- ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` 1P )
2		rexss 3237	. . . . . 6 |- ( ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` 1P ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) )
4		1pr 7583	. . . . . . . . . . 11 |- 1P e. P.
5		prop 7504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1P e. P. -> <. ( 1st ` 1P ) , ( 2nd ` 1P ) >. e. P. )
6		elprnqu 7511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. ( 1st ` 1P ) , ( 2nd ` 1P ) >. e. P. /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> h e. Q. )
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1P e. P. /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> h e. Q. )
8	4, 7	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( h e. ( 2nd ` 1P ) -> h e. Q. )
9		prop 7504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
10		elprnqu 7511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> f e. Q. )
11	9, 10	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> f e. Q. )
12		breq2 4022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( f .Q h ) -> ( f <Q x <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
13	12	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
14		1pru 7585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2nd ` 1P ) = { h | 1Q <Q h }
15	14	abeq2i 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q h )
16		1nq 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. Q.
17		ltmnqg 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1Q e. Q. /\ h e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) ) )
18	16, 17	mp3an1 1335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( h e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) ) )
19	18	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) ) )
20		mulidnq 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. Q. -> ( f .Q 1Q ) = f )
21	20	breq1d 4028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
23	19, 22	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
24	15, 23	bitr2id 193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q ( f .Q h ) <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
25	24	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q ( f .Q h ) <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
26	13, 25	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
27	11, 26	syl3an1 1282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
28	8, 27	syl3an2 1283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
29	28	3expia 1207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> ( x = ( f .Q h ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) ) )
30	29	pm5.32rd 451	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> ( ( f <Q x /\ x = ( f .Q h ) ) <-> ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) ) )
31	30	rexbidva 2487	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( f <Q x /\ x = ( f .Q h ) ) <-> E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) ) )
32		r19.42v 2647	. . . . . 6 |- ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( f <Q x /\ x = ( f .Q h ) ) <-> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
33	31, 32	bitr3di 195	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) <-> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
34	3, 33	bitrid 192	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
35	34	rexbidva 2487	. . 3 |- ( A e. P. -> ( E. f e. ( 2nd ` A ) E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
36		df-imp 7498	. . . . 5 |- .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> <. { w e. Q. | E. u e. Q. E. v e. Q. ( u e. ( 1st ` y ) /\ v e. ( 1st ` z ) /\ w = ( u .Q v ) ) } , { w e. Q. | E. u e. Q. E. v e. Q. ( u e. ( 2nd ` y ) /\ v e. ( 2nd ` z ) /\ w = ( u .Q v ) ) } >. )
37		mulclnq 7405	. . . . 5 |- ( ( u e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( u .Q v ) e. Q. )
38	36, 37	genpelvu 7542	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x e. ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
39	4, 38	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
40		prnminu 7518	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ x e. ( 2nd ` A ) ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) f <Q x )
41	9, 40	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ x e. ( 2nd ` A ) ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) f <Q x )
42		ltrelnq 7394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
43	42	brel 4696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f <Q x -> ( f e. Q. /\ x e. Q. ) )
44	43	ancomd 267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f <Q x -> ( x e. Q. /\ f e. Q. ) )
45		ltmnqg 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> f e. Q. )
48		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x e. Q. )
49		recclnq 7421	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( *Q ` f ) e. Q. )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( *Q ` f ) e. Q. )
51		mulcomnqg 7412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
53	46, 47, 48, 50, 52	caovord2d 6066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f <Q x <-> ( f .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
54		recidnq 7422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( f .Q ( *Q ` f ) ) = 1Q )
55	54	breq1d 4028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. Q. -> ( ( f .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( ( f .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
57	53, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f <Q x <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
58	57	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f <Q x -> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
59	44, 58	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( f <Q x -> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) )
60		mulclnq 7405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ ( *Q ` f ) e. Q. ) -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
61	49, 60	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
62		breq2 4022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( 1Q <Q h <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
63	62, 14	elab2g 2899	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
64	44, 61, 63	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( f <Q x -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
65	59, 64	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( f <Q x -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) )
66		mulassnqg 7413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) ) )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) ) )
68	47, 48, 50, 52, 67	caov12d 6078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) )
69	54	oveq2d 5912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Q. -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
70	69	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
71		mulidnq 7418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Q. -> ( x .Q 1Q ) = x )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q 1Q ) = x )
73	68, 70, 72	3eqtrrd 2227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
74	44, 73	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f <Q x -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
75		oveq2 5904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( f .Q h ) = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
76	75	eqeq2d 2201	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( x = ( f .Q h ) <-> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) )
77	76	rspcev 2856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) -> E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) )
78	65, 74, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( f <Q x -> E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) )
79	78	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( 2nd ` A ) -> ( f <Q x -> E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
80	79	ancld 325	. . . . . . 7 |- ( f e. ( 2nd ` A ) -> ( f <Q x -> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
81	80	reximia 2585	. . . . . 6 |- ( E. f e. ( 2nd ` A ) f <Q x -> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
82	41, 81	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ x e. ( 2nd ` A ) ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
83	82	ex 115	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` A ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
84		prcunqu 7514	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( f <Q x -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
85	9, 84	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( f <Q x -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
86	85	adantrd 279	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
87	86	rexlimdva 2607	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
88	83, 87	impbid 129	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` A ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
89	35, 39, 88	3bitr4d 220	. 2 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) <-> x e. ( 2nd ` A ) ) )
90	89	eqrdv 2187	1 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) = ( 2nd ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   E.wrex 2469   C_ wss 3144   <.cop 3610   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   1stc1st 6163   2ndc2nd 6164   Q.cnq 7309   1Qc1q 7310   .Q cmq 7312   *Qcrq 7313   <Q cltq 7314   P.cnp 7320   1Pc1p 7321   .P. cmp 7323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-er 6559  df-ec 6561  df-qs 6565  df-ni 7333  df-pli 7334  df-mi 7335  df-lti 7336  df-plpq 7373  df-mpq 7374  df-enq 7376  df-nqqs 7377  df-plqqs 7378  df-mqqs 7379  df-1nqqs 7380  df-rq 7381  df-ltnqqs 7382  df-inp 7495  df-i1p 7496  df-imp 7498

This theorem is referenced by:  1idpr  7621