Theorem 1idpru 7581

Description: Lemma for 1idpr 7582. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1idpru	|- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) = ( 2nd ` A ) )

Proof of Theorem 1idpru

Dummy variables x y z w v u f h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3175	. . . . . 6 |- ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` 1P )
2		rexss 3222	. . . . . 6 |- ( ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` 1P ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) )
4		1pr 7544	. . . . . . . . . . 11 |- 1P e. P.
5		prop 7465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1P e. P. -> <. ( 1st ` 1P ) , ( 2nd ` 1P ) >. e. P. )
6		elprnqu 7472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. ( 1st ` 1P ) , ( 2nd ` 1P ) >. e. P. /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> h e. Q. )
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1P e. P. /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> h e. Q. )
8	4, 7	mpan 424	. . . . . . . . . 10 |- ( h e. ( 2nd ` 1P ) -> h e. Q. )
9		prop 7465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
10		elprnqu 7472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> f e. Q. )
11	9, 10	sylan 283	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> f e. Q. )
12		breq2 4004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( f .Q h ) -> ( f <Q x <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
13	12	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
14		1pru 7546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2nd ` 1P ) = { h | 1Q <Q h }
15	14	abeq2i 2288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( h e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q h )
16		1nq 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. Q.
17		ltmnqg 7391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1Q e. Q. /\ h e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) ) )
18	16, 17	mp3an1 1324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( h e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) ) )
19	18	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) ) )
20		mulidnq 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f e. Q. -> ( f .Q 1Q ) = f )
21	20	breq1d 4010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
22	21	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f .Q 1Q ) <Q ( f .Q h ) <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
23	19, 22	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( 1Q <Q h <-> f <Q ( f .Q h ) ) )
24	15, 23	bitr2id 193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q ( f .Q h ) <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
25	24	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q ( f .Q h ) <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
26	13, 25	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. Q. /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
27	11, 26	syl3an1 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. Q. /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
28	8, 27	syl3an2 1272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) )
29	28	3expia 1205	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> ( x = ( f .Q h ) -> ( f <Q x <-> h e. ( 2nd ` 1P ) ) ) )
30	29	pm5.32rd 451	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) /\ h e. ( 2nd ` 1P ) ) -> ( ( f <Q x /\ x = ( f .Q h ) ) <-> ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) ) )
31	30	rexbidva 2474	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( f <Q x /\ x = ( f .Q h ) ) <-> E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) ) )
32		r19.42v 2634	. . . . . 6 |- ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( f <Q x /\ x = ( f .Q h ) ) <-> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
33	31, 32	bitr3di 195	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) ( h e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q h ) ) <-> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
34	3, 33	bitrid 192	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
35	34	rexbidva 2474	. . 3 |- ( A e. P. -> ( E. f e. ( 2nd ` A ) E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
36		df-imp 7459	. . . . 5 |- .P. = ( y e. P. , z e. P. |-> <. { w e. Q. | E. u e. Q. E. v e. Q. ( u e. ( 1st ` y ) /\ v e. ( 1st ` z ) /\ w = ( u .Q v ) ) } , { w e. Q. | E. u e. Q. E. v e. Q. ( u e. ( 2nd ` y ) /\ v e. ( 2nd ` z ) /\ w = ( u .Q v ) ) } >. )
37		mulclnq 7366	. . . . 5 |- ( ( u e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( u .Q v ) e. Q. )
38	36, 37	genpelvu 7503	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x e. ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
39	4, 38	mpan2 425	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
40		prnminu 7479	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ x e. ( 2nd ` A ) ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) f <Q x )
41	9, 40	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ x e. ( 2nd ` A ) ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) f <Q x )
42		ltrelnq 7355	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
43	42	brel 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f <Q x -> ( f e. Q. /\ x e. Q. ) )
44	43	ancomd 267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f <Q x -> ( x e. Q. /\ f e. Q. ) )
45		ltmnqg 7391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
46	45	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> f e. Q. )
48		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x e. Q. )
49		recclnq 7382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( *Q ` f ) e. Q. )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( *Q ` f ) e. Q. )
51		mulcomnqg 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
53	46, 47, 48, 50, 52	caovord2d 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f <Q x <-> ( f .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
54		recidnq 7383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f e. Q. -> ( f .Q ( *Q ` f ) ) = 1Q )
55	54	breq1d 4010	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. Q. -> ( ( f .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( ( f .Q ( *Q ` f ) ) <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
57	53, 56	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f <Q x <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
58	57	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f <Q x -> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
59	44, 58	mpcom 36	. . . . . . . . . . 11 |- ( f <Q x -> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) )
60		mulclnq 7366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. Q. /\ ( *Q ` f ) e. Q. ) -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
61	49, 60	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. )
62		breq2 4004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( h = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( 1Q <Q h <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
63	62, 14	elab2g 2884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. Q. -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
64	44, 61, 63	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( f <Q x -> ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
65	59, 64	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 |- ( f <Q x -> ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) )
66		mulassnqg 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) ) )
67	66	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) /\ ( y e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) ) -> ( ( y .Q z ) .Q w ) = ( y .Q ( z .Q w ) ) )
68	47, 48, 50, 52, 67	caov12d 6050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) )
69	54	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. Q. -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
70	69	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q ( f .Q ( *Q ` f ) ) ) = ( x .Q 1Q ) )
71		mulidnq 7379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. Q. -> ( x .Q 1Q ) = x )
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> ( x .Q 1Q ) = x )
73	68, 70, 72	3eqtrrd 2215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. Q. /\ f e. Q. ) -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
74	44, 73	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( f <Q x -> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
75		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( f .Q h ) = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) )
76	75	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . 11 |- ( h = ( x .Q ( *Q ` f ) ) -> ( x = ( f .Q h ) <-> x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) )
77	76	rspcev 2841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .Q ( *Q ` f ) ) e. ( 2nd ` 1P ) /\ x = ( f .Q ( x .Q ( *Q ` f ) ) ) ) -> E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) )
78	65, 74, 77	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( f <Q x -> E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) )
79	78	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( 2nd ` A ) -> ( f <Q x -> E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
80	79	ancld 325	. . . . . . 7 |- ( f e. ( 2nd ` A ) -> ( f <Q x -> ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
81	80	reximia 2572	. . . . . 6 |- ( E. f e. ( 2nd ` A ) f <Q x -> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
82	41, 81	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ x e. ( 2nd ` A ) ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) )
83	82	ex 115	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` A ) -> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
84		prcunqu 7475	. . . . . . 7 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( f <Q x -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
85	9, 84	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( f <Q x -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
86	85	adantrd 279	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ f e. ( 2nd ` A ) ) -> ( ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
87	86	rexlimdva 2594	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) -> x e. ( 2nd ` A ) ) )
88	83, 87	impbid 129	. . 3 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` A ) <-> E. f e. ( 2nd ` A ) ( f <Q x /\ E. h e. ( 2nd ` 1P ) x = ( f .Q h ) ) ) )
89	35, 39, 88	3bitr4d 220	. 2 |- ( A e. P. -> ( x e. ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) <-> x e. ( 2nd ` A ) ) )
90	89	eqrdv 2175	1 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. 1P ) ) = ( 2nd ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   C_ wss 3129   <.cop 3594   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1stc1st 6133   2ndc2nd 6134   Q.cnq 7270   1Qc1q 7271   .Q cmq 7273   *Qcrq 7274   <Q cltq 7275   P.cnp 7281   1Pc1p 7282   .P. cmp 7284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-inp 7456  df-i1p 7457  df-imp 7459

This theorem is referenced by:  1idpr  7582