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Theorem 1idpru 7411
Description: Lemma for 1idpr 7412. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
1idpru  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A ) )

Proof of Theorem 1idpru
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3117 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  1P )  C_  ( 2nd `  1P )
2 rexss 3164 . . . . . 6  |-  ( ( 2nd `  1P ) 
C_  ( 2nd `  1P )  ->  ( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h )  <->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
)  <->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) )
4 1pr 7374 . . . . . . . . . . 11  |-  1P  e.  P.
5 prop 7295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1P  e.  P.  ->  <. ( 1st `  1P ) ,  ( 2nd `  1P ) >.  e.  P. )
6 elprnqu 7302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. ( 1st `  1P ) ,  ( 2nd `  1P ) >.  e.  P.  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  ->  h  e.  Q. )
75, 6sylan 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  ->  h  e.  Q. )
84, 7mpan 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  ( 2nd `  1P )  ->  h  e.  Q. )
9 prop 7295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
10 elprnqu 7302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
f  e.  Q. )
119, 10sylan 281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
f  e.  Q. )
12 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( f  .Q  h )  ->  (
f  <Q  x  <->  f  <Q  ( f  .Q  h ) ) )
13123ad2ant3 1004 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  f 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
14 1pru 7376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2nd `  1P )  =  {
h  |  1Q  <Q  h }
1514abeq2i 2250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  h )
16 1nq 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1Q  e.  Q.
17 ltmnqg 7221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  ( f  .Q  1Q )  <Q  (
f  .Q  h ) ) )
1816, 17mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( h  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  ( f  .Q  1Q ) 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
1918ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  ( f  .Q  1Q ) 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
20 mulidnq 7209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
f  .Q  1Q )  =  f )
2120breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  1Q )  <Q  ( f  .Q  h )  <->  f  <Q  ( f  .Q  h ) ) )
2221adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( ( f  .Q  1Q )  <Q  (
f  .Q  h )  <-> 
f  <Q  ( f  .Q  h ) ) )
2319, 22bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  f 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
2415, 23syl5rbb 192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  (
f  .Q  h )  <-> 
h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
25243adant3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  (
f  .Q  h )  <-> 
h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
2613, 25bitrd 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
2711, 26syl3an1 1249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
288, 27syl3an2 1250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
29283expia 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  -> 
( x  =  ( f  .Q  h )  ->  ( f  <Q  x 
<->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) ) )
3029pm5.32rd 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  -> 
( ( f  <Q  x  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
3130rexbidva 2434 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( f  <Q  x  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
32 r19.42v 2588 . . . . . 6  |-  ( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( f 
<Q  x  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) )
3331, 32bitr3di 194 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
343, 33syl5bb 191 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h )  <-> 
( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
3534rexbidva 2434 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. f  e.  ( 2nd `  A ) E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
)  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
36 df-imp 7289 . . . . 5  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  z  e.  P.  |->  <. { w  e.  Q.  |  E. u  e.  Q.  E. v  e.  Q.  (
u  e.  ( 1st `  y )  /\  v  e.  ( 1st `  z
)  /\  w  =  ( u  .Q  v
) ) } ,  { w  e.  Q.  |  E. u  e.  Q.  E. v  e.  Q.  (
u  e.  ( 2nd `  y )  /\  v  e.  ( 2nd `  z
)  /\  w  =  ( u  .Q  v
) ) } >. )
37 mulclnq 7196 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( u  .Q  v
)  e.  Q. )
3836, 37genpelvu 7333 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( x  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
) ) )
394, 38mpan2 421 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A
) E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) )
40 prnminu 7309 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  x  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) f 
<Q  x )
419, 40sylan 281 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) f 
<Q  x )
42 ltrelnq 7185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
4342brel 4591 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( f  e.  Q.  /\  x  e.  Q. ) )
4443ancomd 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. ) )
45 ltmnqg 7221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
4645adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  ( y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
47 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  f  e.  Q. )
48 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  x  e.  Q. )
49 recclnq 7212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Q.  ->  ( *Q `  f )  e. 
Q. )
5049adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( *Q `  f
)  e.  Q. )
51 mulcomnqg 7203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  =  ( z  .Q  y ) )
5251adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
5346, 47, 48, 50, 52caovord2d 5940 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x  <->  ( f  .Q  ( *Q
`  f ) ) 
<Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
54 recidnq 7213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
f  .Q  ( *Q
`  f ) )  =  1Q )
5554breq1d 3939 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  ( *Q `  f ) ) 
<Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  <-> 
1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
5655adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( ( f  .Q  ( *Q `  f
) )  <Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) )  <-> 
1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
5753, 56bitrd 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x  <->  1Q 
<Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
5857biimpd 143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x  ->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
5944, 58mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f 
<Q  x  ->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q
`  f ) ) )
60 mulclnq 7196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( *Q `  f )  e.  Q. )  -> 
( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  Q. )
6149, 60sylan2 284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  Q. )
62 breq2 3933 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
6362, 14elab2g 2831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  .Q  ( *Q
`  f ) )  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
6444, 61, 633syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( ( x  .Q  ( *Q
`  f ) )  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
6559, 64mpbird 166 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  ( 2nd `  1P ) )
66 mulassnqg 7204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( y  .Q  z
)  .Q  w )  =  ( y  .Q  ( z  .Q  w
) ) )
6766adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  ( (
y  .Q  z )  .Q  w )  =  ( y  .Q  (
z  .Q  w ) ) )
6847, 48, 50, 52, 67caov12d 5952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) )  =  ( x  .Q  ( f  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
6954oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( f  .Q  ( *Q `  f ) ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
7069adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  (
f  .Q  ( *Q
`  f ) ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
71 mulidnq 7209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  1Q )  =  x )
7271adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  1Q )  =  x )
7368, 70, 723eqtrrd 2177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  x  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
7444, 73syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
<Q  x  ->  x  =  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) ) )
75 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( f  .Q  h )  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
7675eqeq2d 2151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( x  =  ( f  .Q  h )  <->  x  =  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) ) ) )
7776rspcev 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )  ->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) )
7865, 74, 77syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( f 
<Q  x  ->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) )
7978a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( 2nd `  A
)  ->  ( f  <Q  x  ->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) )
8079ancld 323 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( 2nd `  A
)  ->  ( f  <Q  x  ->  ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
8180reximia 2527 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( 2nd `  A ) f  <Q  x  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h ) ) )
8241, 81syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
) ) )
8382ex 114 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  A )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A
) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
84 prcunqu 7305 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( f  <Q  x  ->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
859, 84sylan 281 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( f  <Q  x  ->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
8685adantrd 277 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) )  ->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
8786rexlimdva 2549 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
) )  ->  x  e.  ( 2nd `  A
) ) )
8883, 87impbid 128 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  A )  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A
) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
8935, 39, 883bitr4d 219 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  <->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
9089eqrdv 2137 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417    C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037   Q.cnq 7100   1Qc1q 7101    .Q cmq 7103   *Qcrq 7104    <Q cltq 7105   P.cnp 7111   1Pc1p 7112    .P. cmp 7114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-inp 7286  df-i1p 7287  df-imp 7289
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