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Theorem 1idpru 7620
Description: Lemma for 1idpr 7621. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
1idpru  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A ) )

Proof of Theorem 1idpru
Dummy variables  x  y  z  w  v  u  f  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3190 . . . . . 6  |-  ( 2nd `  1P )  C_  ( 2nd `  1P )
2 rexss 3237 . . . . . 6  |-  ( ( 2nd `  1P ) 
C_  ( 2nd `  1P )  ->  ( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h )  <->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
)  <->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) )
4 1pr 7583 . . . . . . . . . . 11  |-  1P  e.  P.
5 prop 7504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1P  e.  P.  ->  <. ( 1st `  1P ) ,  ( 2nd `  1P ) >.  e.  P. )
6 elprnqu 7511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. ( 1st `  1P ) ,  ( 2nd `  1P ) >.  e.  P.  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  ->  h  e.  Q. )
75, 6sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  ->  h  e.  Q. )
84, 7mpan 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  ( 2nd `  1P )  ->  h  e.  Q. )
9 prop 7504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
10 elprnqu 7511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
f  e.  Q. )
119, 10sylan 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
f  e.  Q. )
12 breq2 4022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( f  .Q  h )  ->  (
f  <Q  x  <->  f  <Q  ( f  .Q  h ) ) )
13123ad2ant3 1022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  f 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
14 1pru 7585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2nd `  1P )  =  {
h  |  1Q  <Q  h }
1514abeq2i 2300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  h )
16 1nq 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1Q  e.  Q.
17 ltmnqg 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  ( f  .Q  1Q )  <Q  (
f  .Q  h ) ) )
1816, 17mp3an1 1335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( h  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  ( f  .Q  1Q ) 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
1918ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  ( f  .Q  1Q ) 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
20 mulidnq 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
f  .Q  1Q )  =  f )
2120breq1d 4028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  1Q )  <Q  ( f  .Q  h )  <->  f  <Q  ( f  .Q  h ) ) )
2221adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( ( f  .Q  1Q )  <Q  (
f  .Q  h )  <-> 
f  <Q  ( f  .Q  h ) ) )
2319, 22bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  f 
<Q  ( f  .Q  h
) ) )
2415, 23bitr2id 193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  (
f  .Q  h )  <-> 
h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
25243adant3 1019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  (
f  .Q  h )  <-> 
h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
2613, 25bitrd 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
2711, 26syl3an1 1282 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  Q.  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
288, 27syl3an2 1283 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  -> 
( f  <Q  x  <->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) )
29283expia 1207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  -> 
( x  =  ( f  .Q  h )  ->  ( f  <Q  x 
<->  h  e.  ( 2nd `  1P ) ) ) )
3029pm5.32rd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  h  e.  ( 2nd `  1P ) )  -> 
( ( f  <Q  x  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
3130rexbidva 2487 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( f  <Q  x  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
32 r19.42v 2647 . . . . . 6  |-  ( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( f 
<Q  x  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) )
3331, 32bitr3di 195 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) ( h  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  h ) )  <->  ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
343, 33bitrid 192 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h )  <-> 
( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
3534rexbidva 2487 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. f  e.  ( 2nd `  A ) E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
)  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h ) ) ) )
36 df-imp 7498 . . . . 5  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  z  e.  P.  |->  <. { w  e.  Q.  |  E. u  e.  Q.  E. v  e.  Q.  (
u  e.  ( 1st `  y )  /\  v  e.  ( 1st `  z
)  /\  w  =  ( u  .Q  v
) ) } ,  { w  e.  Q.  |  E. u  e.  Q.  E. v  e.  Q.  (
u  e.  ( 2nd `  y )  /\  v  e.  ( 2nd `  z
)  /\  w  =  ( u  .Q  v
) ) } >. )
37 mulclnq 7405 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( u  .Q  v
)  e.  Q. )
3836, 37genpelvu 7542 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( x  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
) ) )
394, 38mpan2 425 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A
) E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) )
40 prnminu 7518 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  x  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) f 
<Q  x )
419, 40sylan 283 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) f 
<Q  x )
42 ltrelnq 7394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
4342brel 4696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( f  e.  Q.  /\  x  e.  Q. ) )
4443ancomd 267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. ) )
45 ltmnqg 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
4645adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  ( y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  f  e.  Q. )
48 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  x  e.  Q. )
49 recclnq 7421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Q.  ->  ( *Q `  f )  e. 
Q. )
5049adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( *Q `  f
)  e.  Q. )
51 mulcomnqg 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  =  ( z  .Q  y ) )
5251adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )
)  ->  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
5346, 47, 48, 50, 52caovord2d 6066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x  <->  ( f  .Q  ( *Q
`  f ) ) 
<Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
54 recidnq 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
f  .Q  ( *Q
`  f ) )  =  1Q )
5554breq1d 4028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
( f  .Q  ( *Q `  f ) ) 
<Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  <-> 
1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
5655adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( ( f  .Q  ( *Q `  f
) )  <Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) )  <-> 
1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
5753, 56bitrd 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x  <->  1Q 
<Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
5857biimpd 144 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  <Q  x  ->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
5944, 58mpcom 36 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f 
<Q  x  ->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q
`  f ) ) )
60 mulclnq 7405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( *Q `  f )  e.  Q. )  -> 
( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  Q. )
6149, 60sylan2 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  Q. )
62 breq2 4022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( 1Q  <Q  h  <->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
6362, 14elab2g 2899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  .Q  ( *Q
`  f ) )  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
6444, 61, 633syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( ( x  .Q  ( *Q
`  f ) )  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  ( x  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
6559, 64mpbird 167 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
<Q  x  ->  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  ( 2nd `  1P ) )
66 mulassnqg 7413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( y  .Q  z
)  .Q  w )  =  ( y  .Q  ( z  .Q  w
) ) )
6766adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  /\  ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )
)  ->  ( (
y  .Q  z )  .Q  w )  =  ( y  .Q  (
z  .Q  w ) ) )
6847, 48, 50, 52, 67caov12d 6078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) )  =  ( x  .Q  ( f  .Q  ( *Q `  f
) ) ) )
6954oveq2d 5912 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( f  .Q  ( *Q `  f ) ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
7069adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  (
f  .Q  ( *Q
`  f ) ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
71 mulidnq 7418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  1Q )  =  x )
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  ( x  .Q  1Q )  =  x )
7368, 70, 723eqtrrd 2227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  f  e.  Q. )  ->  x  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
7444, 73syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( f 
<Q  x  ->  x  =  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) ) )
75 oveq2 5904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( f  .Q  h )  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )
7675eqeq2d 2201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  =  ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  ->  ( x  =  ( f  .Q  h )  <->  x  =  ( f  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  f ) ) ) ) )
7776rspcev 2856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .Q  ( *Q `  f ) )  e.  ( 2nd `  1P )  /\  x  =  ( f  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  f ) ) ) )  ->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) )
7865, 74, 77syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( f 
<Q  x  ->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) )
7978a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( 2nd `  A
)  ->  ( f  <Q  x  ->  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) )
8079ancld 325 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( 2nd `  A
)  ->  ( f  <Q  x  ->  ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
8180reximia 2585 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  ( 2nd `  A ) f  <Q  x  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h ) ) )
8241, 81syl 14 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  x  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
) ) )
8382ex 115 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  A )  ->  E. f  e.  ( 2nd `  A
) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
84 prcunqu 7514 . . . . . . 7  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( f  <Q  x  ->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
859, 84sylan 283 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( f  <Q  x  ->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
8685adantrd 279 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  f  e.  ( 2nd `  A ) )  -> 
( ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) )  ->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
8786rexlimdva 2607 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. f  e.  ( 2nd `  A ) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  ( f  .Q  h
) )  ->  x  e.  ( 2nd `  A
) ) )
8883, 87impbid 129 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  A )  <->  E. f  e.  ( 2nd `  A
) ( f  <Q  x  /\  E. h  e.  ( 2nd `  1P ) x  =  (
f  .Q  h ) ) ) )
8935, 39, 883bitr4d 220 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
x  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  <->  x  e.  ( 2nd `  A ) ) )
9089eqrdv 2187 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  ( A  .P.  1P ) )  =  ( 2nd `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   E.wrex 2469    C_ wss 3144   <.cop 3610   class class class wbr 4018   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   1stc1st 6163   2ndc2nd 6164   Q.cnq 7309   1Qc1q 7310    .Q cmq 7312   *Qcrq 7313    <Q cltq 7314   P.cnp 7320   1Pc1p 7321    .P. cmp 7323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-er 6559  df-ec 6561  df-qs 6565  df-ni 7333  df-pli 7334  df-mi 7335  df-lti 7336  df-plpq 7373  df-mpq 7374  df-enq 7376  df-nqqs 7377  df-plqqs 7378  df-mqqs 7379  df-1nqqs 7380  df-rq 7381  df-ltnqqs 7382  df-inp 7495  df-i1p 7496  df-imp 7498
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