Theorem ltnqex 7662

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	|- { x | x <Q A } e. _V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7476	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7478	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4727	. . . 4 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . 3 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3268	. 2 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4182	1 |- { x | x <Q A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2176   {cab 2191   _Vcvv 2772   class class class wbr 4044   Q.cnq 7393   <Q cltq 7398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-qs 6626  df-ni 7417  df-nqqs 7461  df-ltnqqs 7466

This theorem is referenced by:  nqprl  7664  nqpru  7665  1prl  7668  1pru  7669  addnqprlemrl  7670  addnqprlemru  7671  addnqprlemfl  7672  addnqprlemfu  7673  mulnqprlemrl  7686  mulnqprlemru  7687  mulnqprlemfl  7688  mulnqprlemfu  7689  ltnqpr  7706  ltnqpri  7707  archpr  7756  cauappcvgprlemladdfu  7767  cauappcvgprlemladdfl  7768  cauappcvgprlem2  7773  caucvgprlemladdfu  7790  caucvgprlem2  7793  caucvgprprlemopu  7812  suplocexprlemloc  7834