Theorem ltnqex 7548

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	|- { x | x <Q A } e. _V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7362	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7364	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4679	. . . 4 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . 3 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3231	. 2 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4142	1 |- { x | x <Q A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2148   {cab 2163   _Vcvv 2738   class class class wbr 4004   Q.cnq 7279   <Q cltq 7284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-qs 6541  df-ni 7303  df-nqqs 7347  df-ltnqqs 7352

This theorem is referenced by:  nqprl  7550  nqpru  7551  1prl  7554  1pru  7555  addnqprlemrl  7556  addnqprlemru  7557  addnqprlemfl  7558  addnqprlemfu  7559  mulnqprlemrl  7572  mulnqprlemru  7573  mulnqprlemfl  7574  mulnqprlemfu  7575  ltnqpr  7592  ltnqpri  7593  archpr  7642  cauappcvgprlemladdfu  7653  cauappcvgprlemladdfl  7654  cauappcvgprlem2  7659  caucvgprlemladdfu  7676  caucvgprlem2  7679  caucvgprprlemopu  7698  suplocexprlemloc  7720