Theorem ltnqex 7732

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	|- { x | x <Q A } e. _V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7546	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7548	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4770	. . . 4 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . 3 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3299	. 2 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4221	1 |- { x | x <Q A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2799   class class class wbr 4082   Q.cnq 7463   <Q cltq 7468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-qs 6684  df-ni 7487  df-nqqs 7531  df-ltnqqs 7536

This theorem is referenced by:  nqprl  7734  nqpru  7735  1prl  7738  1pru  7739  addnqprlemrl  7740  addnqprlemru  7741  addnqprlemfl  7742  addnqprlemfu  7743  mulnqprlemrl  7756  mulnqprlemru  7757  mulnqprlemfl  7758  mulnqprlemfu  7759  ltnqpr  7776  ltnqpri  7777  archpr  7826  cauappcvgprlemladdfu  7837  cauappcvgprlemladdfl  7838  cauappcvgprlem2  7843  caucvgprlemladdfu  7860  caucvgprlem2  7863  caucvgprprlemopu  7882  suplocexprlemloc  7904