Theorem ltnqex 7692

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	|- { x | x <Q A } e. _V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7506	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7508	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4740	. . . 4 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . 3 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3272	. 2 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4193	1 |- { x | x <Q A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2177   {cab 2192   _Vcvv 2773   class class class wbr 4054   Q.cnq 7423   <Q cltq 7428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-iinf 4649

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-qs 6644  df-ni 7447  df-nqqs 7491  df-ltnqqs 7496

This theorem is referenced by:  nqprl  7694  nqpru  7695  1prl  7698  1pru  7699  addnqprlemrl  7700  addnqprlemru  7701  addnqprlemfl  7702  addnqprlemfu  7703  mulnqprlemrl  7716  mulnqprlemru  7717  mulnqprlemfl  7718  mulnqprlemfu  7719  ltnqpr  7736  ltnqpri  7737  archpr  7786  cauappcvgprlemladdfu  7797  cauappcvgprlemladdfl  7798  cauappcvgprlem2  7803  caucvgprlemladdfu  7820  caucvgprlem2  7823  caucvgprprlemopu  7842  suplocexprlemloc  7864