Theorem ltnqex 7768

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	|- { x | x <Q A } e. _V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7582	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7584	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4778	. . . 4 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . 3 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3302	. 2 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4227	1 |- { x | x <Q A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2202   {cab 2217   _Vcvv 2802   class class class wbr 4088   Q.cnq 7499   <Q cltq 7504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-qs 6707  df-ni 7523  df-nqqs 7567  df-ltnqqs 7572

This theorem is referenced by:  nqprl  7770  nqpru  7771  1prl  7774  1pru  7775  addnqprlemrl  7776  addnqprlemru  7777  addnqprlemfl  7778  addnqprlemfu  7779  mulnqprlemrl  7792  mulnqprlemru  7793  mulnqprlemfl  7794  mulnqprlemfu  7795  ltnqpr  7812  ltnqpri  7813  archpr  7862  cauappcvgprlemladdfu  7873  cauappcvgprlemladdfl  7874  cauappcvgprlem2  7879  caucvgprlemladdfu  7896  caucvgprlem2  7899  caucvgprprlemopu  7918  suplocexprlemloc  7940