Theorem ltnqex 7561

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	|- { x | x <Q A } e. _V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7375	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7377	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4690	. . . 4 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . 3 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3242	. 2 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4153	1 |- { x | x <Q A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2158   {cab 2173   _Vcvv 2749   class class class wbr 4015   Q.cnq 7292   <Q cltq 7297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-qs 6554  df-ni 7316  df-nqqs 7360  df-ltnqqs 7365

This theorem is referenced by:  nqprl  7563  nqpru  7564  1prl  7567  1pru  7568  addnqprlemrl  7569  addnqprlemru  7570  addnqprlemfl  7571  addnqprlemfu  7572  mulnqprlemrl  7585  mulnqprlemru  7586  mulnqprlemfl  7587  mulnqprlemfu  7588  ltnqpr  7605  ltnqpri  7606  archpr  7655  cauappcvgprlemladdfu  7666  cauappcvgprlemladdfl  7667  cauappcvgprlem2  7672  caucvgprlemladdfu  7689  caucvgprlem2  7692  caucvgprprlemopu  7711  suplocexprlemloc  7733