Theorem ltnqex 7757

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	|- { x | x <Q A } e. _V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7571	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7573	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4774	. . . 4 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . 3 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3300	. 2 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4223	1 |- { x | x <Q A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2800   class class class wbr 4084   Q.cnq 7488   <Q cltq 7493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-iinf 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-qs 6701  df-ni 7512  df-nqqs 7556  df-ltnqqs 7561

This theorem is referenced by:  nqprl  7759  nqpru  7760  1prl  7763  1pru  7764  addnqprlemrl  7765  addnqprlemru  7766  addnqprlemfl  7767  addnqprlemfu  7768  mulnqprlemrl  7781  mulnqprlemru  7782  mulnqprlemfl  7783  mulnqprlemfu  7784  ltnqpr  7801  ltnqpri  7802  archpr  7851  cauappcvgprlemladdfu  7862  cauappcvgprlemladdfl  7863  cauappcvgprlem2  7868  caucvgprlemladdfu  7885  caucvgprlem2  7888  caucvgprprlemopu  7907  suplocexprlemloc  7929