Theorem ltnqex 7381

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	|- { x | x <Q A } e. _V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7195	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7197	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4599	. . . 4 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 111	. . 3 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3177	. 2 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4074	1 |- { x | x <Q A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1481   {cab 2126   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   Q.cnq 7112   <Q cltq 7117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-qs 6443  df-ni 7136  df-nqqs 7180  df-ltnqqs 7185

This theorem is referenced by:  nqprl  7383  nqpru  7384  1prl  7387  1pru  7388  addnqprlemrl  7389  addnqprlemru  7390  addnqprlemfl  7391  addnqprlemfu  7392  mulnqprlemrl  7405  mulnqprlemru  7406  mulnqprlemfl  7407  mulnqprlemfu  7408  ltnqpr  7425  ltnqpri  7426  archpr  7475  cauappcvgprlemladdfu  7486  cauappcvgprlemladdfl  7487  cauappcvgprlem2  7492  caucvgprlemladdfu  7509  caucvgprlem2  7512  caucvgprprlemopu  7531  suplocexprlemloc  7553