Theorem ltnqex 7880

Description: The class of rationals less than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltnqex	|- { x | x <Q A } e. _V

Proof of Theorem ltnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7694	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7696	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4807	. . . 4 |- ( x <Q A -> ( x e. Q. /\ A e. Q. ) )
4	3	simpld 112	. . 3 |- ( x <Q A -> x e. Q. )
5	4	abssi 3317	. 2 |- { x | x <Q A } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4253	1 |- { x | x <Q A } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2205   {cab 2220   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   Q.cnq 7611   <Q cltq 7616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-qs 6786  df-ni 7635  df-nqqs 7679  df-ltnqqs 7684

This theorem is referenced by:  nqprl  7882  nqpru  7883  1prl  7886  1pru  7887  addnqprlemrl  7888  addnqprlemru  7889  addnqprlemfl  7890  addnqprlemfu  7891  mulnqprlemrl  7904  mulnqprlemru  7905  mulnqprlemfl  7906  mulnqprlemfu  7907  ltnqpr  7924  ltnqpri  7925  archpr  7974  cauappcvgprlemladdfu  7985  cauappcvgprlemladdfl  7986  cauappcvgprlem2  7991  caucvgprlemladdfu  8008  caucvgprlem2  8011  caucvgprprlemopu  8030  suplocexprlemloc  8052