ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1prl Unicode version

Theorem 1prl 7504
Description: The lower cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
1prl  |-  ( 1st `  1P )  =  {
x  |  x  <Q  1Q }

Proof of Theorem 1prl
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-i1p 7416 . . 3  |-  1P  =  <. { x  |  x 
<Q  1Q } ,  {
y  |  1Q  <Q  y } >.
21fveq2i 5497 . 2  |-  ( 1st `  1P )  =  ( 1st `  <. { x  |  x  <Q  1Q } ,  { y  |  1Q  <Q  y } >. )
3 ltnqex 7498 . . 3  |-  { x  |  x  <Q  1Q }  e.  _V
4 gtnqex 7499 . . 3  |-  { y  |  1Q  <Q  y }  e.  _V
53, 4op1st 6122 . 2  |-  ( 1st `  <. { x  |  x  <Q  1Q } ,  { y  |  1Q  <Q  y } >. )  =  { x  |  x 
<Q  1Q }
62, 5eqtri 2191 1  |-  ( 1st `  1P )  =  {
x  |  x  <Q  1Q }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1348   {cab 2156   <.cop 3584   class class class wbr 3987   ` cfv 5196   1stc1st 6114   1Qc1q 7230    <Q cltq 7234   1Pc1p 7241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1st 6116  df-qs 6515  df-ni 7253  df-nqqs 7297  df-ltnqqs 7302  df-i1p 7416
This theorem is referenced by:  1idprl  7539  recexprlem1ssl  7582  recexprlemss1l  7584
  Copyright terms: Public domain W3C validator