Theorem 1prl 7504

Description: The lower cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1prl	|- ( 1st ` 1P ) = { x | x <Q 1Q }

Proof of Theorem 1prl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7416	. . 3 |- 1P = <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >.
2	1	fveq2i 5497	. 2 |- ( 1st ` 1P ) = ( 1st ` <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >. )
3		ltnqex 7498	. . 3 |- { x | x <Q 1Q } e. _V
4		gtnqex 7499	. . 3 |- { y | 1Q <Q y } e. _V
5	3, 4	op1st 6122	. 2 |- ( 1st ` <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >. ) = { x | x <Q 1Q }
6	2, 5	eqtri 2191	1 |- ( 1st ` 1P ) = { x | x <Q 1Q }

Syntax hints:   = wceq 1348   {cab 2156   <.cop 3584   class class class wbr 3987   ` cfv 5196   1stc1st 6114   1Qc1q 7230   <Q cltq 7234   1Pc1p 7241

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-1st 6116  df-qs 6515  df-ni 7253  df-nqqs 7297  df-ltnqqs 7302  df-i1p 7416

This theorem is referenced by:  1idprl  7539  recexprlem1ssl  7582  recexprlemss1l  7584