Theorem 1prl 7870

Description: The lower cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1prl	|- ( 1st ` 1P ) = { x | x <Q 1Q }

Proof of Theorem 1prl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7782	. . 3 |- 1P = <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >.
2	1	fveq2i 5673	. 2 |- ( 1st ` 1P ) = ( 1st ` <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >. )
3		ltnqex 7864	. . 3 |- { x | x <Q 1Q } e. _V
4		gtnqex 7865	. . 3 |- { y | 1Q <Q y } e. _V
5	3, 4	op1st 6340	. 2 |- ( 1st ` <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >. ) = { x | x <Q 1Q }
6	2, 5	eqtri 2253	1 |- ( 1st ` 1P ) = { x | x <Q 1Q }

Syntax hints:   = wceq 1398   {cab 2218   <.cop 3692   class class class wbr 4109   ` cfv 5352   1stc1st 6332   1Qc1q 7596   <Q cltq 7600   1Pc1p 7607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1st 6334  df-qs 6773  df-ni 7619  df-nqqs 7663  df-ltnqqs 7668  df-i1p 7782

This theorem is referenced by:  1idprl  7905  recexprlem1ssl  7948  recexprlemss1l  7950