ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1prl Unicode version

Theorem 1prl 7363
Description: The lower cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
1prl  |-  ( 1st `  1P )  =  {
x  |  x  <Q  1Q }

Proof of Theorem 1prl
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-i1p 7275 . . 3  |-  1P  =  <. { x  |  x 
<Q  1Q } ,  {
y  |  1Q  <Q  y } >.
21fveq2i 5424 . 2  |-  ( 1st `  1P )  =  ( 1st `  <. { x  |  x  <Q  1Q } ,  { y  |  1Q  <Q  y } >. )
3 ltnqex 7357 . . 3  |-  { x  |  x  <Q  1Q }  e.  _V
4 gtnqex 7358 . . 3  |-  { y  |  1Q  <Q  y }  e.  _V
53, 4op1st 6044 . 2  |-  ( 1st `  <. { x  |  x  <Q  1Q } ,  { y  |  1Q  <Q  y } >. )  =  { x  |  x 
<Q  1Q }
62, 5eqtri 2160 1  |-  ( 1st `  1P )  =  {
x  |  x  <Q  1Q }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331   {cab 2125   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   1stc1st 6036   1Qc1q 7089    <Q cltq 7093   1Pc1p 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1st 6038  df-qs 6435  df-ni 7112  df-nqqs 7156  df-ltnqqs 7161  df-i1p 7275
This theorem is referenced by:  1idprl  7398  recexprlem1ssl  7441  recexprlemss1l  7443
  Copyright terms: Public domain W3C validator