Theorem 1prl 7774

Description: The lower cut of the positive real number 'one'. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1prl	|- ( 1st ` 1P ) = { x | x <Q 1Q }

Proof of Theorem 1prl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i1p 7686	. . 3 |- 1P = <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >.
2	1	fveq2i 5642	. 2 |- ( 1st ` 1P ) = ( 1st ` <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >. )
3		ltnqex 7768	. . 3 |- { x | x <Q 1Q } e. _V
4		gtnqex 7769	. . 3 |- { y | 1Q <Q y } e. _V
5	3, 4	op1st 6308	. 2 |- ( 1st ` <. { x | x <Q 1Q } , { y | 1Q <Q y } >. ) = { x | x <Q 1Q }
6	2, 5	eqtri 2252	1 |- ( 1st ` 1P ) = { x | x <Q 1Q }

Syntax hints:   = wceq 1397   {cab 2217   <.cop 3672   class class class wbr 4088   ` cfv 5326   1stc1st 6300   1Qc1q 7500   <Q cltq 7504   1Pc1p 7511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-qs 6707  df-ni 7523  df-nqqs 7567  df-ltnqqs 7572  df-i1p 7686

This theorem is referenced by:  1idprl  7809  recexprlem1ssl  7852  recexprlemss1l  7854