Theorem gtnqex 7662

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	|- { x | A <Q x } e. _V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7475	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7477	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4726	. . . 4 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
5	4	abssi 3267	. 2 |- { x | A <Q x } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4181	1 |- { x | A <Q x } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2175   {cab 2190   _Vcvv 2771   class class class wbr 4043   Q.cnq 7392   <Q cltq 7397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-qs 6625  df-ni 7416  df-nqqs 7460  df-ltnqqs 7465

This theorem is referenced by:  nqprl  7663  nqpru  7664  1prl  7667  1pru  7668  addnqprlemrl  7669  addnqprlemru  7670  addnqprlemfl  7671  addnqprlemfu  7672  mulnqprlemrl  7685  mulnqprlemru  7686  mulnqprlemfl  7687  mulnqprlemfu  7688  ltnqpr  7705  ltnqpri  7706  archpr  7755  cauappcvgprlemladdfu  7766  cauappcvgprlemladdfl  7767  cauappcvgprlem2  7772  caucvgprlemladdfu  7789  caucvgprlem2  7792  caucvgprprlemopu  7811  suplocexprlemloc  7833