Theorem gtnqex 7683

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	|- { x | A <Q x } e. _V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7496	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7498	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4735	. . . 4 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
5	4	abssi 3272	. 2 |- { x | A <Q x } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4190	1 |- { x | A <Q x } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2177   {cab 2192   _Vcvv 2773   class class class wbr 4051   Q.cnq 7413   <Q cltq 7418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-iinf 4644

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-qs 6639  df-ni 7437  df-nqqs 7481  df-ltnqqs 7486

This theorem is referenced by:  nqprl  7684  nqpru  7685  1prl  7688  1pru  7689  addnqprlemrl  7690  addnqprlemru  7691  addnqprlemfl  7692  addnqprlemfu  7693  mulnqprlemrl  7706  mulnqprlemru  7707  mulnqprlemfl  7708  mulnqprlemfu  7709  ltnqpr  7726  ltnqpri  7727  archpr  7776  cauappcvgprlemladdfu  7787  cauappcvgprlemladdfl  7788  cauappcvgprlem2  7793  caucvgprlemladdfu  7810  caucvgprlem2  7813  caucvgprprlemopu  7832  suplocexprlemloc  7854