Theorem gtnqex 7813

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	|- { x | A <Q x } e. _V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7626	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7628	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4784	. . . 4 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
5	4	abssi 3303	. 2 |- { x | A <Q x } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4232	1 |- { x | A <Q x } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2202   {cab 2217   _Vcvv 2803   class class class wbr 4093   Q.cnq 7543   <Q cltq 7548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-qs 6751  df-ni 7567  df-nqqs 7611  df-ltnqqs 7616

This theorem is referenced by:  nqprl  7814  nqpru  7815  1prl  7818  1pru  7819  addnqprlemrl  7820  addnqprlemru  7821  addnqprlemfl  7822  addnqprlemfu  7823  mulnqprlemrl  7836  mulnqprlemru  7837  mulnqprlemfl  7838  mulnqprlemfu  7839  ltnqpr  7856  ltnqpri  7857  archpr  7906  cauappcvgprlemladdfu  7917  cauappcvgprlemladdfl  7918  cauappcvgprlem2  7923  caucvgprlemladdfu  7940  caucvgprlem2  7943  caucvgprprlemopu  7962  suplocexprlemloc  7984