Theorem gtnqex 7610

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	|- { x | A <Q x } e. _V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7423	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7425	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4711	. . . 4 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
5	4	abssi 3254	. 2 |- { x | A <Q x } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4167	1 |- { x | A <Q x } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2164   {cab 2179   _Vcvv 2760   class class class wbr 4029   Q.cnq 7340   <Q cltq 7345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-qs 6593  df-ni 7364  df-nqqs 7408  df-ltnqqs 7413

This theorem is referenced by:  nqprl  7611  nqpru  7612  1prl  7615  1pru  7616  addnqprlemrl  7617  addnqprlemru  7618  addnqprlemfl  7619  addnqprlemfu  7620  mulnqprlemrl  7633  mulnqprlemru  7634  mulnqprlemfl  7635  mulnqprlemfu  7636  ltnqpr  7653  ltnqpri  7654  archpr  7703  cauappcvgprlemladdfu  7714  cauappcvgprlemladdfl  7715  cauappcvgprlem2  7720  caucvgprlemladdfu  7737  caucvgprlem2  7740  caucvgprprlemopu  7759  suplocexprlemloc  7781