Theorem gtnqex 7300

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	|- { x | A <Q x } e. _V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7113	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7115	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4549	. . . 4 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
4	3	simprd 113	. . 3 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
5	4	abssi 3136	. 2 |- { x | A <Q x } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4024	1 |- { x | A <Q x } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1461   {cab 2099   _Vcvv 2655   class class class wbr 3893   Q.cnq 7030   <Q cltq 7035

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-iinf 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-qs 6387  df-ni 7054  df-nqqs 7098  df-ltnqqs 7103

This theorem is referenced by:  nqprl  7301  nqpru  7302  1prl  7305  1pru  7306  addnqprlemrl  7307  addnqprlemru  7308  addnqprlemfl  7309  addnqprlemfu  7310  mulnqprlemrl  7323  mulnqprlemru  7324  mulnqprlemfl  7325  mulnqprlemfu  7326  ltnqpr  7343  ltnqpri  7344  archpr  7393  cauappcvgprlemladdfu  7404  cauappcvgprlemladdfl  7405  cauappcvgprlem2  7410  caucvgprlemladdfu  7427  caucvgprlem2  7430  caucvgprprlemopu  7449