Theorem gtnqex 7923

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	|- { x | A <Q x } e. _V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7736	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7738	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4829	. . . 4 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
5	4	abssi 3323	. 2 |- { x | A <Q x } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4273	1 |- { x | A <Q x } e. _V

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   class class class wbr 4131   Q.cnq 7653   <Q cltq 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-qs 6817  df-ni 7677  df-nqqs 7721  df-ltnqqs 7726

This theorem is used by:  nqprl  7924  nqpru  7925  1prl  7928  1pru  7929  addnqprlemrl  7930  addnqprlemru  7931  addnqprlemfl  7932  addnqprlemfu  7933  mulnqprlemrl  7946  mulnqprlemru  7947  mulnqprlemfl  7948  mulnqprlemfu  7949  ltnqpr  7966  ltnqpri  7967  archpr  8016  cauappcvgprlemladdfu  8027  cauappcvgprlemladdfl  8028  cauappcvgprlem2  8033  caucvgprlemladdfu  8050  caucvgprlem2  8053  caucvgprprlemopu  8072  suplocexprlemloc  8094