Theorem gtnqex 7917

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	|- { x | A <Q x } e. _V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7730	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7732	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4827	. . . 4 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
5	4	abssi 3323	. 2 |- { x | A <Q x } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4271	1 |- { x | A <Q x } e. _V

This proof depends on syntax axioms:   e. wcel 2209   {cab 2224   _Vcvv 2821   class class class wbr 4130   Q.cnq 7647   <Q cltq 7652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-qs 6813  df-ni 7671  df-nqqs 7715  df-ltnqqs 7720

This theorem is used by:  nqprl  7918  nqpru  7919  1prl  7922  1pru  7923  addnqprlemrl  7924  addnqprlemru  7925  addnqprlemfl  7926  addnqprlemfu  7927  mulnqprlemrl  7940  mulnqprlemru  7941  mulnqprlemfl  7942  mulnqprlemfu  7943  ltnqpr  7960  ltnqpri  7961  archpr  8010  cauappcvgprlemladdfu  8021  cauappcvgprlemladdfl  8022  cauappcvgprlem2  8027  caucvgprlemladdfu  8044  caucvgprlem2  8047  caucvgprprlemopu  8066  suplocexprlemloc  8088