Theorem gtnqex 7748

Description: The class of rationals greater than a given rational is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
gtnqex	|- { x | A <Q x } e. _V

Proof of Theorem gtnqex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqex 7561	. 2 |- Q. e. _V
2		ltrelnq 7563	. . . . 5 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
3	2	brel 4771	. . . 4 |- ( A <Q x -> ( A e. Q. /\ x e. Q. ) )
4	3	simprd 114	. . 3 |- ( A <Q x -> x e. Q. )
5	4	abssi 3299	. 2 |- { x | A <Q x } C_ Q.
6	1, 5	ssexi 4222	1 |- { x | A <Q x } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 2200   {cab 2215   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   Q.cnq 7478   <Q cltq 7483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-qs 6694  df-ni 7502  df-nqqs 7546  df-ltnqqs 7551

This theorem is referenced by:  nqprl  7749  nqpru  7750  1prl  7753  1pru  7754  addnqprlemrl  7755  addnqprlemru  7756  addnqprlemfl  7757  addnqprlemfu  7758  mulnqprlemrl  7771  mulnqprlemru  7772  mulnqprlemfl  7773  mulnqprlemfu  7774  ltnqpr  7791  ltnqpri  7792  archpr  7841  cauappcvgprlemladdfu  7852  cauappcvgprlemladdfl  7853  cauappcvgprlem2  7858  caucvgprlemladdfu  7875  caucvgprlem2  7878  caucvgprprlemopu  7897  suplocexprlemloc  7919