Theorem recexprlem1ssu 7442

Description: The upper cut of one is a subset of the upper cut of A .P. B. Lemma for recexpr 7446. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlem1ssu	|- ( A e. P. -> ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem recexprlem1ssu

Dummy variables z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pru 7364	. . . 4 |- ( 2nd ` 1P ) = { w | 1Q <Q w }
2	1	abeq2i 2250	. . 3 |- ( w e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q w )
3		prop 7283	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
4		prmuloc2 7375	. . . . . 6 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ 1Q <Q w ) -> E. v e. ( 1st ` A ) ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) )
5	3, 4	sylan 281	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) -> E. v e. ( 1st ` A ) ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) )
6		prnminu 7297	. . . . . . . 8 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) )
7	3, 6	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) )
8	7	ad2ant2rl 502	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) )
9		simp3 983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> z <Q ( v .Q w ) )
10		simp2l 1007	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> v e. ( 1st ` A ) )
11		elprnql 7289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ v e. ( 1st ` A ) ) -> v e. Q. )
12	3, 11	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. P. /\ v e. ( 1st ` A ) ) -> v e. Q. )
13	12	ad2ant2r 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> v e. Q. )
14	13	3adant3 1001	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> v e. Q. )
15		simp1r 1006	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> 1Q <Q w )
16		ltrelnq 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
17	16	brel 4591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1Q <Q w -> ( 1Q e. Q. /\ w e. Q. ) )
18	17	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1Q <Q w -> w e. Q. )
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> w e. Q. )
20		recclnq 7200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. Q. -> ( *Q ` w ) e. Q. )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` w ) e. Q. )
22		mulassnqg 7192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. /\ ( *Q ` w ) e. Q. ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) = ( v .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) )
23	14, 19, 21, 22	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) = ( v .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) )
24		recidnq 7201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. Q. -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
25	19, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
26	25	oveq2d 5790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( v .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( v .Q 1Q ) )
27		mulidnq 7197	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. Q. -> ( v .Q 1Q ) = v )
28	14, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( v .Q 1Q ) = v )
29	23, 26, 28	3eqtrd 2176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) = v )
30	29	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) <-> v e. ( 1st ` A ) ) )
31	10, 30	mpbird 166	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) )
32		ltrnqi 7229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z <Q ( v .Q w ) -> ( *Q ` ( v .Q w ) ) <Q ( *Q ` z ) )
33		ltmnqg 7209	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h .Q f ) <Q ( h .Q g ) ) )
34	33	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h .Q f ) <Q ( h .Q g ) ) )
35		mulclnq 7184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v .Q w ) e. Q. )
36	14, 19, 35	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( v .Q w ) e. Q. )
37		recclnq 7200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( *Q ` ( v .Q w ) ) e. Q. )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` ( v .Q w ) ) e. Q. )
39	16	brel 4591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z <Q ( v .Q w ) -> ( z e. Q. /\ ( v .Q w ) e. Q. ) )
40	39	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z <Q ( v .Q w ) -> z e. Q. )
41	9, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> z e. Q. )
42		recclnq 7200	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Q. -> ( *Q ` z ) e. Q. )
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` z ) e. Q. )
44		mulcomnqg 7191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) = ( g .Q f ) )
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f .Q g ) = ( g .Q f ) )
46	34, 38, 43, 19, 45	caovord2d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) <Q ( *Q ` z ) <-> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
47	32, 46	syl5ib 153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( z <Q ( v .Q w ) -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
48		1nq 7174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. Q.
49		mulidnq 7197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q )
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q
51		mulcomnqg 7191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( v .Q w ) e. Q. /\ ( *Q ` ( v .Q w ) ) e. Q. ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` ( v .Q w ) ) ) = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) )
52	37, 51	mpdan 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` ( v .Q w ) ) ) = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) )
53		recidnq 7201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` ( v .Q w ) ) ) = 1Q )
54	52, 53	eqtr3d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) = 1Q )
55	54, 24	oveqan12d 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( v .Q w ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
56	36, 19, 55	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
57		mulassnqg 7192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f .Q g ) .Q h ) = ( f .Q ( g .Q h ) ) )
58	57	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( ( f .Q g ) .Q h ) = ( f .Q ( g .Q h ) ) )
59		mulclnq 7184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
60	59	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
61	38, 36, 19, 45, 58, 21, 60	caov4d 5955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) )
62	56, 61	eqtr3d 2174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( 1Q .Q 1Q ) = ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) )
63	50, 62	syl5reqr 2187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q )
64	60, 38, 19	caovcld 5924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) e. Q. )
65	60, 36, 21	caovcld 5924	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. Q. )
66		recmulnqg 7199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) e. Q. /\ ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) = ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
67	64, 65, 66	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) = ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
68	63, 67	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) = ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) )
69	68	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) <-> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) ) )
70	69	biimprd 157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) )
71		breq1 3932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) <-> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
72		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) )
73	72	eleq1d 2208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) <-> ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) )
74	71, 73	anbi12d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) <-> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
75	74	spcegv 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) e. Q. -> ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
76	64, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
77		recexpr.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
78	77	recexprlemelu 7431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) <-> E. y ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) )
79	76, 78	syl6ibr 161	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) ) )
80	47, 70, 79	syl2and 293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( z <Q ( v .Q w ) /\ ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) ) )
81	9, 31, 80	mp2and 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) )
82		mulidnq 7197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = w )
83		mulcomnqg 7191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w ) )
84	48, 83	mpan2 421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w ) )
85	82, 84	eqtr3d 2174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Q. -> w = ( 1Q .Q w ) )
86	85	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( 1Q .Q w ) )
87		recidnq 7201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Q. -> ( z .Q ( *Q ` z ) ) = 1Q )
88	87	oveq1d 5789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Q. -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
89	88	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
90		mulassnqg 7192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. Q. /\ ( *Q ` z ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
91	42, 90	syl3an2 1250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
92	91	3anidm12 1273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
93	86, 89, 92	3eqtr2d 2178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
94	41, 19, 93	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
95		oveq2 5782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( z .Q x ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
96	95	eqeq2d 2151	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( w = ( z .Q x ) <-> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) )
97	96	rspcev 2789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) /\ w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) -> E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) )
98	81, 94, 97	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) )
99	98	3expia 1183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( z <Q ( v .Q w ) -> E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
100	99	reximdv 2533	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
101	77	recexprlempr 7440	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> B e. P. )
102		df-imp 7277	. . . . . . . . . 10 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> <. { u e. Q. | E. f e. Q. E. g e. Q. ( f e. ( 1st ` y ) /\ g e. ( 1st ` w ) /\ u = ( f .Q g ) ) } , { u e. Q. | E. f e. Q. E. g e. Q. ( f e. ( 2nd ` y ) /\ g e. ( 2nd ` w ) /\ u = ( f .Q g ) ) } >. )
103	102, 59	genpelvu 7321	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
104	101, 103	mpdan 417	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
105	104	ad2antrr 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
106	100, 105	sylibrd 168	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
107	8, 106	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )
108	5, 107	rexlimddv 2554	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )
109	108	ex 114	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1Q <Q w -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
110	2, 109	syl5bi 151	. 2 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 2nd ` 1P ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
111	110	ssrdv 3103	1 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   {cab 2125   E.wrex 2417   C_ wss 3071   <.cop 3530   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1stc1st 6036   2ndc2nd 6037   Q.cnq 7088   1Qc1q 7089   .Q cmq 7091   *Qcrq 7092   <Q cltq 7093   P.cnp 7099   1Pc1p 7100   .P. cmp 7102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-imp 7277

This theorem is referenced by:  recexprlemex  7445