Theorem recexprlem1ssu 7624

Description: The upper cut of one is a subset of the upper cut of A .P. B. Lemma for recexpr 7628. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlem1ssu	|- ( A e. P. -> ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem recexprlem1ssu

Dummy variables z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pru 7546	. . . 4 |- ( 2nd ` 1P ) = { w | 1Q <Q w }
2	1	abeq2i 2288	. . 3 |- ( w e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q w )
3		prop 7465	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
4		prmuloc2 7557	. . . . . 6 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ 1Q <Q w ) -> E. v e. ( 1st ` A ) ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) )
5	3, 4	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) -> E. v e. ( 1st ` A ) ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) )
6		prnminu 7479	. . . . . . . 8 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) )
7	3, 6	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) )
8	7	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) )
9		simp3 999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> z <Q ( v .Q w ) )
10		simp2l 1023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> v e. ( 1st ` A ) )
11		elprnql 7471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ v e. ( 1st ` A ) ) -> v e. Q. )
12	3, 11	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. P. /\ v e. ( 1st ` A ) ) -> v e. Q. )
13	12	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> v e. Q. )
14	13	3adant3 1017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> v e. Q. )
15		simp1r 1022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> 1Q <Q w )
16		ltrelnq 7355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
17	16	brel 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1Q <Q w -> ( 1Q e. Q. /\ w e. Q. ) )
18	17	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1Q <Q w -> w e. Q. )
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> w e. Q. )
20		recclnq 7382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. Q. -> ( *Q ` w ) e. Q. )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` w ) e. Q. )
22		mulassnqg 7374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. /\ ( *Q ` w ) e. Q. ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) = ( v .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) )
23	14, 19, 21, 22	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) = ( v .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) )
24		recidnq 7383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. Q. -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
25	19, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
26	25	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( v .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( v .Q 1Q ) )
27		mulidnq 7379	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. Q. -> ( v .Q 1Q ) = v )
28	14, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( v .Q 1Q ) = v )
29	23, 26, 28	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) = v )
30	29	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) <-> v e. ( 1st ` A ) ) )
31	10, 30	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) )
32		ltrnqi 7411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z <Q ( v .Q w ) -> ( *Q ` ( v .Q w ) ) <Q ( *Q ` z ) )
33		ltmnqg 7391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h .Q f ) <Q ( h .Q g ) ) )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h .Q f ) <Q ( h .Q g ) ) )
35		mulclnq 7366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v .Q w ) e. Q. )
36	14, 19, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( v .Q w ) e. Q. )
37		recclnq 7382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( *Q ` ( v .Q w ) ) e. Q. )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` ( v .Q w ) ) e. Q. )
39	16	brel 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z <Q ( v .Q w ) -> ( z e. Q. /\ ( v .Q w ) e. Q. ) )
40	39	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z <Q ( v .Q w ) -> z e. Q. )
41	9, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> z e. Q. )
42		recclnq 7382	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Q. -> ( *Q ` z ) e. Q. )
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` z ) e. Q. )
44		mulcomnqg 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) = ( g .Q f ) )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f .Q g ) = ( g .Q f ) )
46	34, 38, 43, 19, 45	caovord2d 6038	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) <Q ( *Q ` z ) <-> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
47	32, 46	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( z <Q ( v .Q w ) -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
48		mulcomnqg 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( v .Q w ) e. Q. /\ ( *Q ` ( v .Q w ) ) e. Q. ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` ( v .Q w ) ) ) = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) )
49	37, 48	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` ( v .Q w ) ) ) = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) )
50		recidnq 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` ( v .Q w ) ) ) = 1Q )
51	49, 50	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) = 1Q )
52	51, 24	oveqan12d 5888	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( v .Q w ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
53	36, 19, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
54		mulassnqg 7374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f .Q g ) .Q h ) = ( f .Q ( g .Q h ) ) )
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( ( f .Q g ) .Q h ) = ( f .Q ( g .Q h ) ) )
56		mulclnq 7366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
58	38, 36, 19, 45, 55, 21, 57	caov4d 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) )
59	53, 58	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( 1Q .Q 1Q ) = ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) )
60		1nq 7356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. Q.
61		mulidnq 7379	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q
63	59, 62	eqtr3di 2225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q )
64	57, 38, 19	caovcld 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) e. Q. )
65	57, 36, 21	caovcld 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. Q. )
66		recmulnqg 7381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) e. Q. /\ ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) = ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
67	64, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) = ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
68	63, 67	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) = ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) )
69	68	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) <-> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) ) )
70	69	biimprd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) )
71		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) <-> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
72		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) )
73	72	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) <-> ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) )
74	71, 73	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) <-> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
75	74	spcegv 2825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) e. Q. -> ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
76	64, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
77		recexpr.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
78	77	recexprlemelu 7613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) <-> E. y ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) )
79	76, 78	syl6ibr 162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) ) )
80	47, 70, 79	syl2and 295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( z <Q ( v .Q w ) /\ ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) ) )
81	9, 31, 80	mp2and 433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) )
82		mulidnq 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = w )
83		mulcomnqg 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w ) )
84	60, 83	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w ) )
85	82, 84	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Q. -> w = ( 1Q .Q w ) )
86	85	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( 1Q .Q w ) )
87		recidnq 7383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Q. -> ( z .Q ( *Q ` z ) ) = 1Q )
88	87	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Q. -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
89	88	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
90		mulassnqg 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. Q. /\ ( *Q ` z ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
91	42, 90	syl3an2 1272	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
92	91	3anidm12 1295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
93	86, 89, 92	3eqtr2d 2216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
94	41, 19, 93	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
95		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( z .Q x ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
96	95	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( w = ( z .Q x ) <-> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) )
97	96	rspcev 2841	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) /\ w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) -> E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) )
98	81, 94, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) )
99	98	3expia 1205	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( z <Q ( v .Q w ) -> E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
100	99	reximdv 2578	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
101	77	recexprlempr 7622	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> B e. P. )
102		df-imp 7459	. . . . . . . . . 10 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> <. { u e. Q. | E. f e. Q. E. g e. Q. ( f e. ( 1st ` y ) /\ g e. ( 1st ` w ) /\ u = ( f .Q g ) ) } , { u e. Q. | E. f e. Q. E. g e. Q. ( f e. ( 2nd ` y ) /\ g e. ( 2nd ` w ) /\ u = ( f .Q g ) ) } >. )
103	102, 56	genpelvu 7503	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
104	101, 103	mpdan 421	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
106	100, 105	sylibrd 169	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
107	8, 106	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )
108	5, 107	rexlimddv 2599	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )
109	108	ex 115	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1Q <Q w -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
110	2, 109	biimtrid 152	. 2 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 2nd ` 1P ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
111	110	ssrdv 3161	1 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {cab 2163   E.wrex 2456   C_ wss 3129   <.cop 3594   class class class wbr 4000   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1stc1st 6133   2ndc2nd 6134   Q.cnq 7270   1Qc1q 7271   .Q cmq 7273   *Qcrq 7274   <Q cltq 7275   P.cnp 7281   1Pc1p 7282   .P. cmp 7284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456  df-i1p 7457  df-imp 7459

This theorem is referenced by:  recexprlemex  7627