Theorem recexprlem1ssu 7782

Description: The upper cut of one is a subset of the upper cut of A .P. B. Lemma for recexpr 7786. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlem1ssu	|- ( A e. P. -> ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem recexprlem1ssu

Dummy variables z w v u f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pru 7704	. . . 4 |- ( 2nd ` 1P ) = { w | 1Q <Q w }
2	1	abeq2i 2318	. . 3 |- ( w e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q w )
3		prop 7623	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
4		prmuloc2 7715	. . . . . 6 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ 1Q <Q w ) -> E. v e. ( 1st ` A ) ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) )
5	3, 4	sylan 283	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) -> E. v e. ( 1st ` A ) ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) )
6		prnminu 7637	. . . . . . . 8 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) )
7	3, 6	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) )
8	7	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) )
9		simp3 1002	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> z <Q ( v .Q w ) )
10		simp2l 1026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> v e. ( 1st ` A ) )
11		elprnql 7629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ v e. ( 1st ` A ) ) -> v e. Q. )
12	3, 11	sylan 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. P. /\ v e. ( 1st ` A ) ) -> v e. Q. )
13	12	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> v e. Q. )
14	13	3adant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> v e. Q. )
15		simp1r 1025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> 1Q <Q w )
16		ltrelnq 7513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
17	16	brel 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1Q <Q w -> ( 1Q e. Q. /\ w e. Q. ) )
18	17	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1Q <Q w -> w e. Q. )
19	15, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> w e. Q. )
20		recclnq 7540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. Q. -> ( *Q ` w ) e. Q. )
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` w ) e. Q. )
22		mulassnqg 7532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. /\ ( *Q ` w ) e. Q. ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) = ( v .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) )
23	14, 19, 21, 22	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) = ( v .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) )
24		recidnq 7541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w e. Q. -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
25	19, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( w .Q ( *Q ` w ) ) = 1Q )
26	25	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( v .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( v .Q 1Q ) )
27		mulidnq 7537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. Q. -> ( v .Q 1Q ) = v )
28	14, 27	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( v .Q 1Q ) = v )
29	23, 26, 28	3eqtrd 2244	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) = v )
30	29	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) <-> v e. ( 1st ` A ) ) )
31	10, 30	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) )
32		ltrnqi 7569	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z <Q ( v .Q w ) -> ( *Q ` ( v .Q w ) ) <Q ( *Q ` z ) )
33		ltmnqg 7549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h .Q f ) <Q ( h .Q g ) ) )
34	33	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h .Q f ) <Q ( h .Q g ) ) )
35		mulclnq 7524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( v .Q w ) e. Q. )
36	14, 19, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( v .Q w ) e. Q. )
37		recclnq 7540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( *Q ` ( v .Q w ) ) e. Q. )
38	36, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` ( v .Q w ) ) e. Q. )
39	16	brel 4745	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z <Q ( v .Q w ) -> ( z e. Q. /\ ( v .Q w ) e. Q. ) )
40	39	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z <Q ( v .Q w ) -> z e. Q. )
41	9, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> z e. Q. )
42		recclnq 7540	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. Q. -> ( *Q ` z ) e. Q. )
43	41, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` z ) e. Q. )
44		mulcomnqg 7531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) = ( g .Q f ) )
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f .Q g ) = ( g .Q f ) )
46	34, 38, 43, 19, 45	caovord2d 6139	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) <Q ( *Q ` z ) <-> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
47	32, 46	imbitrid 154	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( z <Q ( v .Q w ) -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
48		mulcomnqg 7531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( v .Q w ) e. Q. /\ ( *Q ` ( v .Q w ) ) e. Q. ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` ( v .Q w ) ) ) = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) )
49	37, 48	mpdan 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` ( v .Q w ) ) ) = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) )
50		recidnq 7541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` ( v .Q w ) ) ) = 1Q )
51	49, 50	eqtr3d 2242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( v .Q w ) e. Q. -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) = 1Q )
52	51, 24	oveqan12d 5986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( v .Q w ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
53	36, 19, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( 1Q .Q 1Q ) )
54		mulassnqg 7532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f .Q g ) .Q h ) = ( f .Q ( g .Q h ) ) )
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( ( f .Q g ) .Q h ) = ( f .Q ( g .Q h ) ) )
56		mulclnq 7524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
58	38, 36, 19, 45, 55, 21, 57	caov4d 6154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q ( v .Q w ) ) .Q ( w .Q ( *Q ` w ) ) ) = ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) )
59	53, 58	eqtr3d 2242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( 1Q .Q 1Q ) = ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) )
60		1nq 7514	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. Q.
61		mulidnq 7537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q )
62	60, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1Q .Q 1Q ) = 1Q
63	59, 62	eqtr3di 2255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q )
64	57, 38, 19	caovcld 6123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) e. Q. )
65	57, 36, 21	caovcld 6123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. Q. )
66		recmulnqg 7539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) e. Q. /\ ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. Q. ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) = ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
67	64, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) = ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) <-> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) .Q ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) ) = 1Q ) )
68	63, 67	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) = ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) )
69	68	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) <-> ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) ) )
70	69	biimprd 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) -> ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) )
71		breq1 4062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) <-> ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
72		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( *Q ` y ) = ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) )
73	72	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) <-> ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) )
74	71, 73	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) -> ( ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) <-> ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
75	74	spcegv 2868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) e. Q. -> ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
76	64, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> E. y ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) ) )
77		recexpr.1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
78	77	recexprlemelu 7771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) <-> E. y ( y <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) )
79	76, 78	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) <Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) /\ ( *Q ` ( ( *Q ` ( v .Q w ) ) .Q w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) ) )
80	47, 70, 79	syl2and 295	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( z <Q ( v .Q w ) /\ ( ( v .Q w ) .Q ( *Q ` w ) ) e. ( 1st ` A ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) ) )
81	9, 31, 80	mp2and 433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) )
82		mulidnq 7537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = w )
83		mulcomnqg 7531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w ) )
84	60, 83	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. Q. -> ( w .Q 1Q ) = ( 1Q .Q w ) )
85	82, 84	eqtr3d 2242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. Q. -> w = ( 1Q .Q w ) )
86	85	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( 1Q .Q w ) )
87		recidnq 7541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. Q. -> ( z .Q ( *Q ` z ) ) = 1Q )
88	87	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. Q. -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
89	88	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( 1Q .Q w ) )
90		mulassnqg 7532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. Q. /\ ( *Q ` z ) e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
91	42, 90	syl3an2 1284	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. Q. /\ z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
92	91	3anidm12 1308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> ( ( z .Q ( *Q ` z ) ) .Q w ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
93	86, 89, 92	3eqtr2d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. Q. /\ w e. Q. ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
94	41, 19, 93	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
95		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( z .Q x ) = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) )
96	95	eqeq2d 2219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( ( *Q ` z ) .Q w ) -> ( w = ( z .Q x ) <-> w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) )
97	96	rspcev 2884	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( *Q ` z ) .Q w ) e. ( 2nd ` B ) /\ w = ( z .Q ( ( *Q ` z ) .Q w ) ) ) -> E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) )
98	81, 94, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) /\ z <Q ( v .Q w ) ) -> E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) )
99	98	3expia 1208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( z <Q ( v .Q w ) -> E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
100	99	reximdv 2609	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) -> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
101	77	recexprlempr 7780	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> B e. P. )
102		df-imp 7617	. . . . . . . . . 10 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> <. { u e. Q. | E. f e. Q. E. g e. Q. ( f e. ( 1st ` y ) /\ g e. ( 1st ` w ) /\ u = ( f .Q g ) ) } , { u e. Q. | E. f e. Q. E. g e. Q. ( f e. ( 2nd ` y ) /\ g e. ( 2nd ` w ) /\ u = ( f .Q g ) ) } >. )
103	102, 56	genpelvu 7661	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
104	101, 103	mpdan 421	. . . . . . . 8 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. x e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q x ) ) )
106	100, 105	sylibrd 169	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> ( E. z e. ( 2nd ` A ) z <Q ( v .Q w ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
107	8, 106	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) /\ ( v e. ( 1st ` A ) /\ ( v .Q w ) e. ( 2nd ` A ) ) ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )
108	5, 107	rexlimddv 2630	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1Q <Q w ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )
109	108	ex 115	. . 3 |- ( A e. P. -> ( 1Q <Q w -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
110	2, 109	biimtrid 152	. 2 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 2nd ` 1P ) -> w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
111	110	ssrdv 3207	1 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` 1P ) C_ ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {cab 2193   E.wrex 2487   C_ wss 3174   <.cop 3646   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   1stc1st 6247   2ndc2nd 6248   Q.cnq 7428   1Qc1q 7429   .Q cmq 7431   *Qcrq 7432   <Q cltq 7433   P.cnp 7439   1Pc1p 7440   .P. cmp 7442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-er 6643  df-ec 6645  df-qs 6649  df-ni 7452  df-pli 7453  df-mi 7454  df-lti 7455  df-plpq 7492  df-mpq 7493  df-enq 7495  df-nqqs 7496  df-plqqs 7497  df-mqqs 7498  df-1nqqs 7499  df-rq 7500  df-ltnqqs 7501  df-enq0 7572  df-nq0 7573  df-0nq0 7574  df-plq0 7575  df-mq0 7576  df-inp 7614  df-i1p 7615  df-imp 7617

This theorem is referenced by:  recexprlemex  7785