Theorem recexprlemss1u 7468

Description: The upper cut of A .P. B is a subset of the upper cut of one. Lemma for recexpr 7470. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
recexpr.1	|- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.

Assertion

Ref	Expression
recexprlemss1u	|- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. B ) ) C_ ( 2nd ` 1P ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y

Proof of Theorem recexprlemss1u

Dummy variables q z w u f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexpr.1	. . . . . 6 |- B = <. { x | E. y ( x <Q y /\ ( *Q ` y ) e. ( 2nd ` A ) ) } , { x | E. y ( y <Q x /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) } >.
2	1	recexprlempr 7464	. . . . 5 |- ( A e. P. -> B e. P. )
3		df-imp 7301	. . . . . 6 |- .P. = ( y e. P. , w e. P. |-> <. { u e. Q. | E. f e. Q. E. g e. Q. ( f e. ( 1st ` y ) /\ g e. ( 1st ` w ) /\ u = ( f .Q g ) ) } , { u e. Q. | E. f e. Q. E. g e. Q. ( f e. ( 2nd ` y ) /\ g e. ( 2nd ` w ) /\ u = ( f .Q g ) ) } >. )
4		mulclnq 7208	. . . . . 6 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f .Q g ) e. Q. )
5	3, 4	genpelvu 7345	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. q e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q q ) ) )
6	2, 5	mpdan 418	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) <-> E. z e. ( 2nd ` A ) E. q e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q q ) ) )
7	1	recexprlemelu 7455	. . . . . . . 8 |- ( q e. ( 2nd ` B ) <-> E. y ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) )
8		ltrelnq 7197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
9	8	brel 4599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y <Q q -> ( y e. Q. /\ q e. Q. ) )
10	9	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y <Q q -> y e. Q. )
11		prop 7307	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. P. -> <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. )
12		elprnqu 7314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> z e. Q. )
13	11, 12	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> z e. Q. )
14		ltmnqi 7235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y <Q q /\ z e. Q. ) -> ( z .Q y ) <Q ( z .Q q ) )
15	14	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. Q. -> ( y <Q q -> ( z .Q y ) <Q ( z .Q q ) ) )
16	13, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( y <Q q -> ( z .Q y ) <Q ( z .Q q ) ) )
17	16	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) /\ y e. Q. ) -> ( y <Q q -> ( z .Q y ) <Q ( z .Q q ) ) )
18		prltlu 7319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( <. ( 1st ` A ) , ( 2nd ` A ) >. e. P. /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( *Q ` y ) <Q z )
19	11, 18	syl3an1 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. P. /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( *Q ` y ) <Q z )
20	19	3com23 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) -> ( *Q ` y ) <Q z )
21	20	3expia 1184	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) -> ( *Q ` y ) <Q z ) )
22	21	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) -> ( *Q ` y ) <Q z ) )
23		ltmnqi 7235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( *Q ` y ) <Q z /\ y e. Q. ) -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) <Q ( y .Q z ) )
24	23	expcom 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` y ) <Q z -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) <Q ( y .Q z ) ) )
25	24	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) <Q z -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) <Q ( y .Q z ) ) )
26		recidnq 7225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y e. Q. -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
27	26	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q ( *Q ` y ) ) = 1Q )
28		mulcomnqg 7215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) = ( z .Q y ) )
29	27, 28	breq12d 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( y .Q ( *Q ` y ) ) <Q ( y .Q z ) <-> 1Q <Q ( z .Q y ) ) )
30	25, 29	sylibd 148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) <Q z -> 1Q <Q ( z .Q y ) ) )
31	30	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) <Q z -> 1Q <Q ( z .Q y ) ) )
32	13, 31	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) <Q z -> 1Q <Q ( z .Q y ) ) )
33	22, 32	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) -> 1Q <Q ( z .Q y ) ) )
34	17, 33	anim12d 333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) /\ y e. Q. ) -> ( ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) -> ( ( z .Q y ) <Q ( z .Q q ) /\ 1Q <Q ( z .Q y ) ) ) )
35		ltsonq 7230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <Q Or Q.
36	35, 8	sotri 4942	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1Q <Q ( z .Q y ) /\ ( z .Q y ) <Q ( z .Q q ) ) -> 1Q <Q ( z .Q q ) )
37	36	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z .Q y ) <Q ( z .Q q ) /\ 1Q <Q ( z .Q y ) ) -> 1Q <Q ( z .Q q ) )
38	34, 37	syl6 33	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) /\ y e. Q. ) -> ( ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) -> 1Q <Q ( z .Q q ) ) )
39	38	exp4b 365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( y e. Q. -> ( y <Q q -> ( ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) -> 1Q <Q ( z .Q q ) ) ) ) )
40	10, 39	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( y <Q q -> ( y <Q q -> ( ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) -> 1Q <Q ( z .Q q ) ) ) ) )
41	40	pm2.43d 50	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( y <Q q -> ( ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) -> 1Q <Q ( z .Q q ) ) ) )
42	41	impd 252	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) -> 1Q <Q ( z .Q q ) ) )
43	42	exlimdv 1792	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( E. y ( y <Q q /\ ( *Q ` y ) e. ( 1st ` A ) ) -> 1Q <Q ( z .Q q ) ) )
44	7, 43	syl5bi 151	. . . . . . 7 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( q e. ( 2nd ` B ) -> 1Q <Q ( z .Q q ) ) )
45		breq2 3941	. . . . . . . 8 |- ( w = ( z .Q q ) -> ( 1Q <Q w <-> 1Q <Q ( z .Q q ) ) )
46	45	biimprcd 159	. . . . . . 7 |- ( 1Q <Q ( z .Q q ) -> ( w = ( z .Q q ) -> 1Q <Q w ) )
47	44, 46	syl6 33	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ z e. ( 2nd ` A ) ) -> ( q e. ( 2nd ` B ) -> ( w = ( z .Q q ) -> 1Q <Q w ) ) )
48	47	expimpd 361	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( ( z e. ( 2nd ` A ) /\ q e. ( 2nd ` B ) ) -> ( w = ( z .Q q ) -> 1Q <Q w ) ) )
49	48	rexlimdvv 2559	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( E. z e. ( 2nd ` A ) E. q e. ( 2nd ` B ) w = ( z .Q q ) -> 1Q <Q w ) )
50	6, 49	sylbid 149	. . 3 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) -> 1Q <Q w ) )
51		1pru 7388	. . . 4 |- ( 2nd ` 1P ) = { w | 1Q <Q w }
52	51	abeq2i 2251	. . 3 |- ( w e. ( 2nd ` 1P ) <-> 1Q <Q w )
53	50, 52	syl6ibr 161	. 2 |- ( A e. P. -> ( w e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) -> w e. ( 2nd ` 1P ) ) )
54	53	ssrdv 3108	1 |- ( A e. P. -> ( 2nd ` ( A .P. B ) ) C_ ( 2nd ` 1P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   E.wrex 2418   C_ wss 3076   <.cop 3535   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1stc1st 6044   2ndc2nd 6045   Q.cnq 7112   1Qc1q 7113   .Q cmq 7115   *Qcrq 7116   <Q cltq 7117   P.cnp 7123   1Pc1p 7124   .P. cmp 7126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-pli 7137  df-mi 7138  df-lti 7139  df-plpq 7176  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-plqqs 7181  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-inp 7298  df-i1p 7299  df-imp 7301

This theorem is referenced by:  recexprlemex  7469