Theorem op2nd 6354

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4349	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6350	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5252	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2255	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   <.cop 3697   U.cuni 3919   ran crn 4755   ` cfv 5357   2ndc2nd 6346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-2nd 6348

This theorem is referenced by:  op2ndd  6356  op2ndg  6358  2ndval2  6363  fo2ndresm  6369  eloprabi  6405  fo2ndf  6436  f1o2ndf1  6437  xpmapenlem  7115  genpelvu  7844  nqprl  7882  1pru  7887  addnqprlemru  7889  addnqprlemfl  7890  addnqprlemfu  7891  mulnqprlemru  7905  mulnqprlemfl  7906  mulnqprlemfu  7907  ltnqpr  7924  ltnqpri  7925  ltexprlemelu  7930  recexprlemelu  7954  cauappcvgprlemm  7976  cauappcvgprlemopu  7979  cauappcvgprlemupu  7980  cauappcvgprlemdisj  7982  cauappcvgprlemloc  7983  cauappcvgprlemladdfu  7985  cauappcvgprlemladdru  7987  cauappcvgprlemladdrl  7988  cauappcvgprlem2  7991  caucvgprlemm  7999  caucvgprlemopu  8002  caucvgprlemupu  8003  caucvgprlemdisj  8005  caucvgprlemloc  8006  caucvgprlemladdfu  8008  caucvgprlem2  8011  caucvgprprlemelu  8017  caucvgprprlemmu  8026  caucvgprprlemexbt  8037  caucvgprprlem2  8041  suplocexprlemloc  8052  fsum2dlemstep  12145  fprod2dlemstep  12333  ctiunctlemfo  13274