Theorem op2nd 6148

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4229	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6144	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5114	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2198	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   {csn 3593   <.cop 3596   U.cuni 3810   ran crn 4628   ` cfv 5217   2ndc2nd 6140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-2nd 6142

This theorem is referenced by:  op2ndd  6150  op2ndg  6152  2ndval2  6157  fo2ndresm  6163  eloprabi  6197  fo2ndf  6228  f1o2ndf1  6229  xpmapenlem  6849  genpelvu  7512  nqprl  7550  1pru  7555  addnqprlemru  7557  addnqprlemfl  7558  addnqprlemfu  7559  mulnqprlemru  7573  mulnqprlemfl  7574  mulnqprlemfu  7575  ltnqpr  7592  ltnqpri  7593  ltexprlemelu  7598  recexprlemelu  7622  cauappcvgprlemm  7644  cauappcvgprlemopu  7647  cauappcvgprlemupu  7648  cauappcvgprlemdisj  7650  cauappcvgprlemloc  7651  cauappcvgprlemladdfu  7653  cauappcvgprlemladdru  7655  cauappcvgprlemladdrl  7656  cauappcvgprlem2  7659  caucvgprlemm  7667  caucvgprlemopu  7670  caucvgprlemupu  7671  caucvgprlemdisj  7673  caucvgprlemloc  7674  caucvgprlemladdfu  7676  caucvgprlem2  7679  caucvgprprlemelu  7685  caucvgprprlemmu  7694  caucvgprprlemexbt  7705  caucvgprprlem2  7709  suplocexprlemloc  7720  fsum2dlemstep  11442  fprod2dlemstep  11630  ctiunctlemfo  12440