Theorem op2nd 6381

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4368	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 430	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6377	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5272	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2259	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   <.cop 3712   U.cuni 3935   ran crn 4775   ` cfv 5377   2ndc2nd 6373

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-2nd 6375

This theorem is used by:  op2ndd  6383  op2ndg  6385  2ndval2  6390  fo2ndresm  6396  eloprabi  6432  fo2ndf  6463  f1o2ndf1  6464  xpmapenlem  7149  genpelvu  7880  nqprl  7918  1pru  7923  addnqprlemru  7925  addnqprlemfl  7926  addnqprlemfu  7927  mulnqprlemru  7941  mulnqprlemfl  7942  mulnqprlemfu  7943  ltnqpr  7960  ltnqpri  7961  ltexprlemelu  7966  recexprlemelu  7990  cauappcvgprlemm  8012  cauappcvgprlemopu  8015  cauappcvgprlemupu  8016  cauappcvgprlemdisj  8018  cauappcvgprlemloc  8019  cauappcvgprlemladdfu  8021  cauappcvgprlemladdru  8023  cauappcvgprlemladdrl  8024  cauappcvgprlem2  8027  caucvgprlemm  8035  caucvgprlemopu  8038  caucvgprlemupu  8039  caucvgprlemdisj  8041  caucvgprlemloc  8042  caucvgprlemladdfu  8044  caucvgprlem2  8047  caucvgprprlemelu  8053  caucvgprprlemmu  8062  caucvgprprlemexbt  8073  caucvgprprlem2  8077  suplocexprlemloc  8088  fsum2dlemstep  12201  fprod2dlemstep  12389  ctiunctlemfo  13330