Theorem op2nd 6319

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4326	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6315	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5228	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2252	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   {csn 3673   <.cop 3676   U.cuni 3898   ran crn 4732   ` cfv 5333   2ndc2nd 6311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-2nd 6313

This theorem is referenced by:  op2ndd  6321  op2ndg  6323  2ndval2  6328  fo2ndresm  6334  eloprabi  6370  fo2ndf  6401  f1o2ndf1  6402  xpmapenlem  7078  genpelvu  7776  nqprl  7814  1pru  7819  addnqprlemru  7821  addnqprlemfl  7822  addnqprlemfu  7823  mulnqprlemru  7837  mulnqprlemfl  7838  mulnqprlemfu  7839  ltnqpr  7856  ltnqpri  7857  ltexprlemelu  7862  recexprlemelu  7886  cauappcvgprlemm  7908  cauappcvgprlemopu  7911  cauappcvgprlemupu  7912  cauappcvgprlemdisj  7914  cauappcvgprlemloc  7915  cauappcvgprlemladdfu  7917  cauappcvgprlemladdru  7919  cauappcvgprlemladdrl  7920  cauappcvgprlem2  7923  caucvgprlemm  7931  caucvgprlemopu  7934  caucvgprlemupu  7935  caucvgprlemdisj  7937  caucvgprlemloc  7938  caucvgprlemladdfu  7940  caucvgprlem2  7943  caucvgprprlemelu  7949  caucvgprprlemmu  7958  caucvgprprlemexbt  7969  caucvgprprlem2  7973  suplocexprlemloc  7984  fsum2dlemstep  12058  fprod2dlemstep  12246  ctiunctlemfo  13123