Theorem op2nd 6172

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4246	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6168	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5131	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2210	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {csn 3607   <.cop 3610   U.cuni 3824   ran crn 4645   ` cfv 5235   2ndc2nd 6164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-2nd 6166

This theorem is referenced by:  op2ndd  6174  op2ndg  6176  2ndval2  6181  fo2ndresm  6187  eloprabi  6221  fo2ndf  6252  f1o2ndf1  6253  xpmapenlem  6877  genpelvu  7542  nqprl  7580  1pru  7585  addnqprlemru  7587  addnqprlemfl  7588  addnqprlemfu  7589  mulnqprlemru  7603  mulnqprlemfl  7604  mulnqprlemfu  7605  ltnqpr  7622  ltnqpri  7623  ltexprlemelu  7628  recexprlemelu  7652  cauappcvgprlemm  7674  cauappcvgprlemopu  7677  cauappcvgprlemupu  7678  cauappcvgprlemdisj  7680  cauappcvgprlemloc  7681  cauappcvgprlemladdfu  7683  cauappcvgprlemladdru  7685  cauappcvgprlemladdrl  7686  cauappcvgprlem2  7689  caucvgprlemm  7697  caucvgprlemopu  7700  caucvgprlemupu  7701  caucvgprlemdisj  7703  caucvgprlemloc  7704  caucvgprlemladdfu  7706  caucvgprlem2  7709  caucvgprprlemelu  7715  caucvgprprlemmu  7724  caucvgprprlemexbt  7735  caucvgprprlem2  7739  suplocexprlemloc  7750  fsum2dlemstep  11474  fprod2dlemstep  11662  ctiunctlemfo  12490