Theorem op2nd 6223

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4271	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6219	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5164	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2225	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1372   e. wcel 2175   _Vcvv 2771   {csn 3632   <.cop 3635   U.cuni 3849   ran crn 4674   ` cfv 5268   2ndc2nd 6215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-2nd 6217

This theorem is referenced by:  op2ndd  6225  op2ndg  6227  2ndval2  6232  fo2ndresm  6238  eloprabi  6272  fo2ndf  6303  f1o2ndf1  6304  xpmapenlem  6928  genpelvu  7608  nqprl  7646  1pru  7651  addnqprlemru  7653  addnqprlemfl  7654  addnqprlemfu  7655  mulnqprlemru  7669  mulnqprlemfl  7670  mulnqprlemfu  7671  ltnqpr  7688  ltnqpri  7689  ltexprlemelu  7694  recexprlemelu  7718  cauappcvgprlemm  7740  cauappcvgprlemopu  7743  cauappcvgprlemupu  7744  cauappcvgprlemdisj  7746  cauappcvgprlemloc  7747  cauappcvgprlemladdfu  7749  cauappcvgprlemladdru  7751  cauappcvgprlemladdrl  7752  cauappcvgprlem2  7755  caucvgprlemm  7763  caucvgprlemopu  7766  caucvgprlemupu  7767  caucvgprlemdisj  7769  caucvgprlemloc  7770  caucvgprlemladdfu  7772  caucvgprlem2  7775  caucvgprprlemelu  7781  caucvgprprlemmu  7790  caucvgprprlemexbt  7801  caucvgprprlem2  7805  suplocexprlemloc  7816  fsum2dlemstep  11664  fprod2dlemstep  11852  ctiunctlemfo  12729