Theorem op2nd 6309

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4320	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6305	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5221	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2252	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   {csn 3669   <.cop 3672   U.cuni 3893   ran crn 4726   ` cfv 5326   2ndc2nd 6301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-2nd 6303

This theorem is referenced by:  op2ndd  6311  op2ndg  6313  2ndval2  6318  fo2ndresm  6324  eloprabi  6360  fo2ndf  6391  f1o2ndf1  6392  xpmapenlem  7034  genpelvu  7732  nqprl  7770  1pru  7775  addnqprlemru  7777  addnqprlemfl  7778  addnqprlemfu  7779  mulnqprlemru  7793  mulnqprlemfl  7794  mulnqprlemfu  7795  ltnqpr  7812  ltnqpri  7813  ltexprlemelu  7818  recexprlemelu  7842  cauappcvgprlemm  7864  cauappcvgprlemopu  7867  cauappcvgprlemupu  7868  cauappcvgprlemdisj  7870  cauappcvgprlemloc  7871  cauappcvgprlemladdfu  7873  cauappcvgprlemladdru  7875  cauappcvgprlemladdrl  7876  cauappcvgprlem2  7879  caucvgprlemm  7887  caucvgprlemopu  7890  caucvgprlemupu  7891  caucvgprlemdisj  7893  caucvgprlemloc  7894  caucvgprlemladdfu  7896  caucvgprlem2  7899  caucvgprprlemelu  7905  caucvgprprlemmu  7914  caucvgprprlemexbt  7925  caucvgprprlem2  7929  suplocexprlemloc  7940  fsum2dlemstep  11994  fprod2dlemstep  12182  ctiunctlemfo  13059