Theorem op2nd 6053

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4158	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 423	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6049	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5031	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2161	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   {csn 3532   <.cop 3535   U.cuni 3744   ran crn 4548   ` cfv 5131   2ndc2nd 6045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-2nd 6047

This theorem is referenced by:  op2ndd  6055  op2ndg  6057  2ndval2  6062  fo2ndresm  6068  eloprabi  6102  fo2ndf  6132  f1o2ndf1  6133  xpmapenlem  6751  genpelvu  7345  nqprl  7383  1pru  7388  addnqprlemru  7390  addnqprlemfl  7391  addnqprlemfu  7392  mulnqprlemru  7406  mulnqprlemfl  7407  mulnqprlemfu  7408  ltnqpr  7425  ltnqpri  7426  ltexprlemelu  7431  recexprlemelu  7455  cauappcvgprlemm  7477  cauappcvgprlemopu  7480  cauappcvgprlemupu  7481  cauappcvgprlemdisj  7483  cauappcvgprlemloc  7484  cauappcvgprlemladdfu  7486  cauappcvgprlemladdru  7488  cauappcvgprlemladdrl  7489  cauappcvgprlem2  7492  caucvgprlemm  7500  caucvgprlemopu  7503  caucvgprlemupu  7504  caucvgprlemdisj  7506  caucvgprlemloc  7507  caucvgprlemladdfu  7509  caucvgprlem2  7512  caucvgprprlemelu  7518  caucvgprprlemmu  7527  caucvgprprlemexbt  7538  caucvgprprlem2  7542  suplocexprlemloc  7553  fsum2dlemstep  11235  ctiunctlemfo  11988