Theorem op2nd 6202

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4258	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6198	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5151	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2214	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3619   <.cop 3622   U.cuni 3836   ran crn 4661   ` cfv 5255   2ndc2nd 6194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-2nd 6196

This theorem is referenced by:  op2ndd  6204  op2ndg  6206  2ndval2  6211  fo2ndresm  6217  eloprabi  6251  fo2ndf  6282  f1o2ndf1  6283  xpmapenlem  6907  genpelvu  7575  nqprl  7613  1pru  7618  addnqprlemru  7620  addnqprlemfl  7621  addnqprlemfu  7622  mulnqprlemru  7636  mulnqprlemfl  7637  mulnqprlemfu  7638  ltnqpr  7655  ltnqpri  7656  ltexprlemelu  7661  recexprlemelu  7685  cauappcvgprlemm  7707  cauappcvgprlemopu  7710  cauappcvgprlemupu  7711  cauappcvgprlemdisj  7713  cauappcvgprlemloc  7714  cauappcvgprlemladdfu  7716  cauappcvgprlemladdru  7718  cauappcvgprlemladdrl  7719  cauappcvgprlem2  7722  caucvgprlemm  7730  caucvgprlemopu  7733  caucvgprlemupu  7734  caucvgprlemdisj  7736  caucvgprlemloc  7737  caucvgprlemladdfu  7739  caucvgprlem2  7742  caucvgprprlemelu  7748  caucvgprprlemmu  7757  caucvgprprlemexbt  7768  caucvgprprlem2  7772  suplocexprlemloc  7783  fsum2dlemstep  11580  fprod2dlemstep  11768  ctiunctlemfo  12599