Theorem op2nd 6371

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4363	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 430	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6367	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5267	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2259	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3705   <.cop 3708   U.cuni 3930   ran crn 4770   ` cfv 5372   2ndc2nd 6363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-2nd 6365

This theorem is referenced by:  op2ndd  6373  op2ndg  6375  2ndval2  6380  fo2ndresm  6386  eloprabi  6422  fo2ndf  6453  f1o2ndf1  6454  xpmapenlem  7139  genpelvu  7870  nqprl  7908  1pru  7913  addnqprlemru  7915  addnqprlemfl  7916  addnqprlemfu  7917  mulnqprlemru  7931  mulnqprlemfl  7932  mulnqprlemfu  7933  ltnqpr  7950  ltnqpri  7951  ltexprlemelu  7956  recexprlemelu  7980  cauappcvgprlemm  8002  cauappcvgprlemopu  8005  cauappcvgprlemupu  8006  cauappcvgprlemdisj  8008  cauappcvgprlemloc  8009  cauappcvgprlemladdfu  8011  cauappcvgprlemladdru  8013  cauappcvgprlemladdrl  8014  cauappcvgprlem2  8017  caucvgprlemm  8025  caucvgprlemopu  8028  caucvgprlemupu  8029  caucvgprlemdisj  8031  caucvgprlemloc  8032  caucvgprlemladdfu  8034  caucvgprlem2  8037  caucvgprprlemelu  8043  caucvgprprlemmu  8052  caucvgprprlemexbt  8063  caucvgprprlem2  8067  suplocexprlemloc  8078  fsum2dlemstep  12179  fprod2dlemstep  12367  ctiunctlemfo  13308