Theorem op2nd 6291

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4313	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6287	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5212	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2250	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   {csn 3666   <.cop 3669   U.cuni 3887   ran crn 4719   ` cfv 5317   2ndc2nd 6283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-2nd 6285

This theorem is referenced by:  op2ndd  6293  op2ndg  6295  2ndval2  6300  fo2ndresm  6306  eloprabi  6340  fo2ndf  6371  f1o2ndf1  6372  xpmapenlem  7006  genpelvu  7696  nqprl  7734  1pru  7739  addnqprlemru  7741  addnqprlemfl  7742  addnqprlemfu  7743  mulnqprlemru  7757  mulnqprlemfl  7758  mulnqprlemfu  7759  ltnqpr  7776  ltnqpri  7777  ltexprlemelu  7782  recexprlemelu  7806  cauappcvgprlemm  7828  cauappcvgprlemopu  7831  cauappcvgprlemupu  7832  cauappcvgprlemdisj  7834  cauappcvgprlemloc  7835  cauappcvgprlemladdfu  7837  cauappcvgprlemladdru  7839  cauappcvgprlemladdrl  7840  cauappcvgprlem2  7843  caucvgprlemm  7851  caucvgprlemopu  7854  caucvgprlemupu  7855  caucvgprlemdisj  7857  caucvgprlemloc  7858  caucvgprlemladdfu  7860  caucvgprlem2  7863  caucvgprprlemelu  7869  caucvgprprlemmu  7878  caucvgprprlemexbt  7889  caucvgprprlem2  7893  suplocexprlemloc  7904  fsum2dlemstep  11940  fprod2dlemstep  12128  ctiunctlemfo  13005