Theorem op2nd 6356

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 4350	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 6352	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 5254	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2255	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3695   <.cop 3698   U.cuni 3920   ran crn 4757   ` cfv 5359   2ndc2nd 6348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fv 5367  df-2nd 6350

This theorem is referenced by:  op2ndd  6358  op2ndg  6360  2ndval2  6365  fo2ndresm  6371  eloprabi  6407  fo2ndf  6438  f1o2ndf1  6439  xpmapenlem  7117  genpelvu  7846  nqprl  7884  1pru  7889  addnqprlemru  7891  addnqprlemfl  7892  addnqprlemfu  7893  mulnqprlemru  7907  mulnqprlemfl  7908  mulnqprlemfu  7909  ltnqpr  7926  ltnqpri  7927  ltexprlemelu  7932  recexprlemelu  7956  cauappcvgprlemm  7978  cauappcvgprlemopu  7981  cauappcvgprlemupu  7982  cauappcvgprlemdisj  7984  cauappcvgprlemloc  7985  cauappcvgprlemladdfu  7987  cauappcvgprlemladdru  7989  cauappcvgprlemladdrl  7990  cauappcvgprlem2  7993  caucvgprlemm  8001  caucvgprlemopu  8004  caucvgprlemupu  8005  caucvgprlemdisj  8007  caucvgprlemloc  8008  caucvgprlemladdfu  8010  caucvgprlem2  8013  caucvgprprlemelu  8019  caucvgprprlemmu  8028  caucvgprprlemexbt  8039  caucvgprprlem2  8043  suplocexprlemloc  8054  fsum2dlemstep  12151  fprod2dlemstep  12339  ctiunctlemfo  13280