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Theorem dvexp 15702

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6066	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4206	. . . 4
3	2	oveq2d 6074	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 6065	. . . . . 6
6	5	oveq2d 6074	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 6076	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4206	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2249	. 2
10		oveq2 6066	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4206	. . . 4
12	11	oveq2d 6074	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 6065	. . . . . 6
15	14	oveq2d 6074	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 6076	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4206	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2249	. 2
19		oveq2 6066	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4206	. . . 4
21	20	oveq2d 6074	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 6065	. . . . . 6
24	23	oveq2d 6074	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 6076	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4206	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2249	. 2
28		oveq2 6066	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4206	. . . 4
30	29	oveq2d 6074	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 6065	. . . . . 6
33	32	oveq2d 6074	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 6076	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4206	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2249	. 2
37		exp1 10931	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4201	. . . . 5
39		mptresid 5097	. . . . 5
40	38, 39	eqtr4i 2258	. . . 4
41	40	oveq2i 6069	. . 3
42		1m1e0 9323	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 6069	. . . . . . . . 9
44		exp0 10929	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrid 2279	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 6074	. . . . . . 7
47		1t1e1 9407	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2283	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4201	. . . . 5
50		fconstmpt 4802	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2258	. . . 4
52		dvid 15686	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2258	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2258	. 2
55		nncn 9262	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 8495	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 6074	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9520	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10943	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 8315	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mullidd 8308	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2271	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4205	. . . . . 6
72		cnex 8267	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 8310	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9554	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10943	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 8310	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2235	. . . . . . . . 9
81	39	a1i 9	. . . . . . . . 9
82	73, 78, 79, 80, 81	offval2 6291	. . . . . . . 8
83	56, 77, 79	mulassd 8313	. . . . . . . . . 10 $/\$
84		expm1t 10953	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85	84	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
86	85	oveq2d 6074	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	83, 86	eqtr4d 2270	. . . . . . . . 9 $/\$
88	87	mpteq2dva 4205	. . . . . . . 8
89	82, 88	eqtrd 2267	. . . . . . 7
90	52, 50	eqtri 2255	. . . . . . . . . 10
91	90	a1i 9	. . . . . . . . 9
92		eqidd 2235	. . . . . . . . 9
93	73, 62, 66, 91, 92	offval2 6291	. . . . . . . 8
94	68	mpteq2dva 4205	. . . . . . . 8
95	93, 94	eqtrd 2267	. . . . . . 7
96	73, 74, 66, 89, 95	offval2 6291	. . . . . 6
97	71, 96	eqtr4d 2270	. . . . 5
98		oveq1 6065	. . . . . . 7
99	98	oveq1d 6073	. . . . . 6
100	99	eqcomd 2240	. . . . 5
101	97, 100	sylan9eq 2287	. . . 4 $/\$
102		cnelprrecn 8279	. . . . . 6
103	102	a1i 9	. . . . 5 $/\$
104		ssidd 3263	. . . . 5 $/\$
105	66	fmpttd 5837	. . . . . 6
106	105	adantr 276	. . . . 5 $/\$
107		f1oi 5659	. . . . . 6
108		f1of 5619	. . . . . 6
109	107, 108	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
110		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
111	110	dmeqd 4963	. . . . . 6 $/\$
112	78	fmpttd 5837	. . . . . . . 8
113	112	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
114	113	fdmd 5520	. . . . . 6 $/\$
115	111, 114	eqtrd 2267	. . . . 5 $/\$
116		1ex 8285	. . . . . . . . 9
117	116	fconst 5568	. . . . . . . 8
118	52	feq1i 5506	. . . . . . . 8
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . 7
120	119	fdmi 5521	. . . . . 6
121	120	a1i 9	. . . . 5 $/\$
122	103, 104, 106, 109, 115, 121	dvimulf 15697	. . . 4 $/\$
123	73, 66, 79, 92, 81	offval2 6291	. . . . . . 7
124		expp1 10932	. . . . . . . . 9 $/\$
125	63, 64, 124	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
126	125	mpteq2dva 4205	. . . . . . 7
127	123, 126	eqtr4d 2270	. . . . . 6
128	127	oveq2d 6074	. . . . 5
129	128	adantr 276	. . . 4 $/\$
130	101, 122, 129	3eqtr2rd 2274	. . 3 $/\$
131	130	ex 115	. 2
132	9, 18, 27, 36, 54, 131	nnind 9270	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1398

wcel 2205

cvv 2815

csn 3694

cpr 3695

cmpt 4176

cid 4414

cxp 4752

cdm 4754

cres 4756

wf 5353

wf1o 5356 (class class class)co 6058

cof 6273

cc 8141

cr 8142

cc0 8143

c1 8144

caddc 8146

cmul 8148

cmin 8460

cn 9254

cn0 9513

cexp 10924

cdv 15646

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-coll 4230 ax-sep 4233 ax-nul 4241 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-iinf 4715 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261 ax-arch 8262 ax-caucvg 8263 ax-addf 8265 ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 839 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-csb 3142 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-nul 3513 df-if 3625 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-int 3955 df-iun 3998 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-tr 4214 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-iord 4492 df-on 4494 df-ilim 4495 df-suc 4497 df-iom 4718 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-f1 5362 df-fo 5363 df-f1o 5364 df-fv 5365 df-isom 5366 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-of 6275 df-1st 6347 df-2nd 6348 df-recs 6549 df-frec 6635 df-map 6897 df-pm 6898 df-sup 7288 df-inf 7289 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-inn 9255 df-2 9313 df-3 9314 df-4 9315 df-n0 9514 df-z 9595 df-uz 9872 df-q 9970 df-rp 10005 df-xneg 10124 df-xadd 10125 df-seqfrec 10834 df-exp 10925 df-cj 11552 df-re 11553 df-im 11554 df-rsqrt 11708 df-abs 11709 df-rest 13538 df-topgen 13557 df-psmet 14817 df-xmet 14818 df-met 14819 df-bl 14820 df-mopn 14821 df-top 14989 df-topon 15002 df-bases 15034 df-ntr 15087 df-cn 15179 df-cnp 15180 df-tx 15244 df-cncf 15562 df-limced 15647 df-dvap 15648

This theorem is referenced by: dvexp2 15703

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