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Theorem dvexp 12883

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5790	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4027	. . . 4
3	2	oveq2d 5798	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 5789	. . . . . 6
6	5	oveq2d 5798	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 5800	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4027	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2155	. 2
10		oveq2 5790	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4027	. . . 4
12	11	oveq2d 5798	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 5789	. . . . . 6
15	14	oveq2d 5798	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 5800	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4027	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2155	. 2
19		oveq2 5790	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4027	. . . 4
21	20	oveq2d 5798	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 5789	. . . . . 6
24	23	oveq2d 5798	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 5800	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4027	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2155	. 2
28		oveq2 5790	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4027	. . . 4
30	29	oveq2d 5798	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 5789	. . . . . 6
33	32	oveq2d 5798	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 5800	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4027	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2155	. 2
37		exp1 10330	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4022	. . . . 5
39		mptresid 4881	. . . . 5
40	38, 39	eqtri 2161	. . . 4
41	40	oveq2i 5793	. . 3
42		1m1e0 8813	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 5793	. . . . . . . . 9
44		exp0 10328	. . . . . . . . 9
45	43, 44	syl5eq 2185	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 5798	. . . . . . 7
47		1t1e1 8896	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2189	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4022	. . . . 5
50		fconstmpt 4594	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2164	. . . 4
52		dvid 12870	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2164	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2164	. 2
55		nncn 8752	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 7737	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 7992	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 410	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 5798	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9008	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10342	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 288	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 7815	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mulid2d 7808	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 5798	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2177	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4026	. . . . . 6
72		cnex 7768	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 7810	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9042	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10342	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 7810	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 109	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2141	. . . . . . . . 9
81	39	eqcomi 2144	. . . . . . . . . 10
82	81	a1i 9	. . . . . . . . 9
83	73, 78, 79, 80, 82	offval2 6005	. . . . . . . 8
84	56, 77, 79	mulassd 7813	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		expm1t 10352	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
86	85	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 $/\$
87	86	oveq2d 5798	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	84, 87	eqtr4d 2176	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	mpteq2dva 4026	. . . . . . . 8
90	83, 89	eqtrd 2173	. . . . . . 7
91	52, 50	eqtri 2161	. . . . . . . . . 10
92	91	a1i 9	. . . . . . . . 9
93		eqidd 2141	. . . . . . . . 9
94	73, 62, 66, 92, 93	offval2 6005	. . . . . . . 8
95	68	mpteq2dva 4026	. . . . . . . 8
96	94, 95	eqtrd 2173	. . . . . . 7
97	73, 74, 66, 90, 96	offval2 6005	. . . . . 6
98	71, 97	eqtr4d 2176	. . . . 5
99		oveq1 5789	. . . . . . 7
100	99	oveq1d 5797	. . . . . 6
101	100	eqcomd 2146	. . . . 5
102	98, 101	sylan9eq 2193	. . . 4 $/\$
103		cnelprrecn 7780	. . . . . 6
104	103	a1i 9	. . . . 5 $/\$
105		ssidd 3123	. . . . 5 $/\$
106	66	fmpttd 5583	. . . . . 6
107	106	adantr 274	. . . . 5 $/\$
108		f1oi 5413	. . . . . 6
109		f1of 5375	. . . . . 6
110	108, 109	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
111		simpr 109	. . . . . . 7 $/\$
112	111	dmeqd 4749	. . . . . 6 $/\$
113	78	fmpttd 5583	. . . . . . . 8
114	113	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$
115	114	fdmd 5287	. . . . . 6 $/\$
116	112, 115	eqtrd 2173	. . . . 5 $/\$
117		1ex 7785	. . . . . . . . 9
118	117	fconst 5326	. . . . . . . 8
119	52	feq1i 5273	. . . . . . . 8
120	118, 119	mpbir 145	. . . . . . 7
121	120	fdmi 5288	. . . . . 6
122	121	a1i 9	. . . . 5 $/\$
123	104, 105, 107, 110, 116, 122	dvimulf 12878	. . . 4 $/\$
124	73, 66, 79, 93, 82	offval2 6005	. . . . . . 7
125		expp1 10331	. . . . . . . . 9 $/\$
126	63, 64, 125	syl2anr 288	. . . . . . . 8 $/\$
127	126	mpteq2dva 4026	. . . . . . 7
128	124, 127	eqtr4d 2176	. . . . . 6
129	128	oveq2d 5798	. . . . 5
130	129	adantr 274	. . . 4 $/\$
131	102, 123, 130	3eqtr2rd 2180	. . 3 $/\$
132	131	ex 114	. 2
133	9, 18, 27, 36, 54, 132	nnind 8760	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wceq 1332

wcel 1481

cvv 2689

csn 3532

cpr 3533

cmpt 3997

cid 4218

cxp 4545

cdm 4547

cres 4549

wf 5127

wf1o 5130 (class class class)co 5782

cof 5988

cc 7642

cr 7643

cc0 7644

c1 7645

caddc 7647

cmul 7649

cmin 7957

cn 8744

cn0 9001

cexp 10323

cdv 12832

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 ax-addf 7766 ax-mulf 7767

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 817 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-isom 5140 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-of 5990 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-map 6552 df-pm 6553 df-sup 6879 df-inf 6880 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-xneg 9589 df-xadd 9590 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-rest 12161 df-topgen 12180 df-psmet 12195 df-xmet 12196 df-met 12197 df-bl 12198 df-mopn 12199 df-top 12204 df-topon 12217 df-bases 12249 df-ntr 12304 df-cn 12396 df-cnp 12397 df-tx 12461 df-cncf 12766 df-limced 12833 df-dvap 12834

This theorem is referenced by: dvexp2 12884

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