dvexp - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dvexp		Unicode version

Theorem dvexp 14947

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5930	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4124	. . . 4
3	2	oveq2d 5938	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 5929	. . . . . 6
6	5	oveq2d 5938	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 5940	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4124	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2211	. 2
10		oveq2 5930	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4124	. . . 4
12	11	oveq2d 5938	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 5929	. . . . . 6
15	14	oveq2d 5938	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 5940	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4124	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2211	. 2
19		oveq2 5930	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4124	. . . 4
21	20	oveq2d 5938	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 5929	. . . . . 6
24	23	oveq2d 5938	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 5940	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4124	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2211	. 2
28		oveq2 5930	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4124	. . . 4
30	29	oveq2d 5938	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 5929	. . . . . 6
33	32	oveq2d 5938	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 5940	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4124	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2211	. 2
37		exp1 10637	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4119	. . . . 5
39		mptresid 5000	. . . . 5
40	38, 39	eqtr4i 2220	. . . 4
41	40	oveq2i 5933	. . 3
42		1m1e0 9059	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 5933	. . . . . . . . 9
44		exp0 10635	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrid 2241	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 5938	. . . . . . 7
47		1t1e1 9143	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2245	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4119	. . . . 5
50		fconstmpt 4710	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2220	. . . 4
52		dvid 14931	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2220	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2220	. 2
55		nncn 8998	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 7972	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 8232	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9256	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10649	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 8052	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mulid2d 8045	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2233	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4123	. . . . . 6
72		cnex 8003	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 8047	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9290	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10649	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 8047	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2197	. . . . . . . . 9
81	39	a1i 9	. . . . . . . . 9
82	73, 78, 79, 80, 81	offval2 6151	. . . . . . . 8
83	56, 77, 79	mulassd 8050	. . . . . . . . . 10 $/\$
84		expm1t 10659	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85	84	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
86	85	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	83, 86	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 $/\$
88	87	mpteq2dva 4123	. . . . . . . 8
89	82, 88	eqtrd 2229	. . . . . . 7
90	52, 50	eqtri 2217	. . . . . . . . . 10
91	90	a1i 9	. . . . . . . . 9
92		eqidd 2197	. . . . . . . . 9
93	73, 62, 66, 91, 92	offval2 6151	. . . . . . . 8
94	68	mpteq2dva 4123	. . . . . . . 8
95	93, 94	eqtrd 2229	. . . . . . 7
96	73, 74, 66, 89, 95	offval2 6151	. . . . . 6
97	71, 96	eqtr4d 2232	. . . . 5
98		oveq1 5929	. . . . . . 7
99	98	oveq1d 5937	. . . . . 6
100	99	eqcomd 2202	. . . . 5
101	97, 100	sylan9eq 2249	. . . 4 $/\$
102		cnelprrecn 8015	. . . . . 6
103	102	a1i 9	. . . . 5 $/\$
104		ssidd 3204	. . . . 5 $/\$
105	66	fmpttd 5717	. . . . . 6
106	105	adantr 276	. . . . 5 $/\$
107		f1oi 5542	. . . . . 6
108		f1of 5504	. . . . . 6
109	107, 108	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
110		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
111	110	dmeqd 4868	. . . . . 6 $/\$
112	78	fmpttd 5717	. . . . . . . 8
113	112	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
114	113	fdmd 5414	. . . . . 6 $/\$
115	111, 114	eqtrd 2229	. . . . 5 $/\$
116		1ex 8021	. . . . . . . . 9
117	116	fconst 5453	. . . . . . . 8
118	52	feq1i 5400	. . . . . . . 8
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . 7
120	119	fdmi 5415	. . . . . 6
121	120	a1i 9	. . . . 5 $/\$
122	103, 104, 106, 109, 115, 121	dvimulf 14942	. . . 4 $/\$
123	73, 66, 79, 92, 81	offval2 6151	. . . . . . 7
124		expp1 10638	. . . . . . . . 9 $/\$
125	63, 64, 124	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
126	125	mpteq2dva 4123	. . . . . . 7
127	123, 126	eqtr4d 2232	. . . . . 6
128	127	oveq2d 5938	. . . . 5
129	128	adantr 276	. . . 4 $/\$
130	101, 122, 129	3eqtr2rd 2236	. . 3 $/\$
131	130	ex 115	. 2
132	9, 18, 27, 36, 54, 131	nnind 9006	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1364

wcel 2167

cvv 2763

csn 3622

cpr 3623

cmpt 4094

cid 4323

cxp 4661

cdm 4663

cres 4665

wf 5254

wf1o 5257 (class class class)co 5922

cof 6133

cc 7877

cr 7878

cc0 7879

c1 7880

caddc 7882

cmul 7884

cmin 8197

cn 8990

cn0 9249

cexp 10630

cdv 14891

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999 ax-addf 8001 ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-isom 5267 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-of 6135 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-map 6709 df-pm 6710 df-sup 7050 df-inf 7051 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-xneg 9847 df-xadd 9848 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-rest 12912 df-topgen 12931 df-psmet 14099 df-xmet 14100 df-met 14101 df-bl 14102 df-mopn 14103 df-top 14234 df-topon 14247 df-bases 14279 df-ntr 14332 df-cn 14424 df-cnp 14425 df-tx 14489 df-cncf 14807 df-limced 14892 df-dvap 14893

This theorem is referenced by: dvexp2 14948

W3C validator