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Theorem dvexp 15183

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5952	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4135	. . . 4
3	2	oveq2d 5960	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 5951	. . . . . 6
6	5	oveq2d 5960	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 5962	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4135	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2220	. 2
10		oveq2 5952	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4135	. . . 4
12	11	oveq2d 5960	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 5951	. . . . . 6
15	14	oveq2d 5960	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 5962	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4135	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2220	. 2
19		oveq2 5952	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4135	. . . 4
21	20	oveq2d 5960	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 5951	. . . . . 6
24	23	oveq2d 5960	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 5962	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4135	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2220	. 2
28		oveq2 5952	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4135	. . . 4
30	29	oveq2d 5960	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 5951	. . . . . 6
33	32	oveq2d 5960	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 5962	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4135	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2220	. 2
37		exp1 10690	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4130	. . . . 5
39		mptresid 5013	. . . . 5
40	38, 39	eqtr4i 2229	. . . 4
41	40	oveq2i 5955	. . 3
42		1m1e0 9105	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 5955	. . . . . . . . 9
44		exp0 10688	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrid 2250	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 5960	. . . . . . 7
47		1t1e1 9189	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2254	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4130	. . . . 5
50		fconstmpt 4722	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2229	. . . 4
52		dvid 15167	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2229	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2229	. 2
55		nncn 9044	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 8018	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 8278	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 5960	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9302	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10702	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 8098	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mulid2d 8091	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2242	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4134	. . . . . 6
72		cnex 8049	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 8093	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9336	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10702	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 8093	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2206	. . . . . . . . 9
81	39	a1i 9	. . . . . . . . 9
82	73, 78, 79, 80, 81	offval2 6174	. . . . . . . 8
83	56, 77, 79	mulassd 8096	. . . . . . . . . 10 $/\$
84		expm1t 10712	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85	84	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
86	85	oveq2d 5960	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	83, 86	eqtr4d 2241	. . . . . . . . 9 $/\$
88	87	mpteq2dva 4134	. . . . . . . 8
89	82, 88	eqtrd 2238	. . . . . . 7
90	52, 50	eqtri 2226	. . . . . . . . . 10
91	90	a1i 9	. . . . . . . . 9
92		eqidd 2206	. . . . . . . . 9
93	73, 62, 66, 91, 92	offval2 6174	. . . . . . . 8
94	68	mpteq2dva 4134	. . . . . . . 8
95	93, 94	eqtrd 2238	. . . . . . 7
96	73, 74, 66, 89, 95	offval2 6174	. . . . . 6
97	71, 96	eqtr4d 2241	. . . . 5
98		oveq1 5951	. . . . . . 7
99	98	oveq1d 5959	. . . . . 6
100	99	eqcomd 2211	. . . . 5
101	97, 100	sylan9eq 2258	. . . 4 $/\$
102		cnelprrecn 8061	. . . . . 6
103	102	a1i 9	. . . . 5 $/\$
104		ssidd 3214	. . . . 5 $/\$
105	66	fmpttd 5735	. . . . . 6
106	105	adantr 276	. . . . 5 $/\$
107		f1oi 5560	. . . . . 6
108		f1of 5522	. . . . . 6
109	107, 108	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
110		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
111	110	dmeqd 4880	. . . . . 6 $/\$
112	78	fmpttd 5735	. . . . . . . 8
113	112	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
114	113	fdmd 5432	. . . . . 6 $/\$
115	111, 114	eqtrd 2238	. . . . 5 $/\$
116		1ex 8067	. . . . . . . . 9
117	116	fconst 5471	. . . . . . . 8
118	52	feq1i 5418	. . . . . . . 8
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . 7
120	119	fdmi 5433	. . . . . 6
121	120	a1i 9	. . . . 5 $/\$
122	103, 104, 106, 109, 115, 121	dvimulf 15178	. . . 4 $/\$
123	73, 66, 79, 92, 81	offval2 6174	. . . . . . 7
124		expp1 10691	. . . . . . . . 9 $/\$
125	63, 64, 124	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
126	125	mpteq2dva 4134	. . . . . . 7
127	123, 126	eqtr4d 2241	. . . . . 6
128	127	oveq2d 5960	. . . . 5
129	128	adantr 276	. . . 4 $/\$
130	101, 122, 129	3eqtr2rd 2245	. . 3 $/\$
131	130	ex 115	. 2
132	9, 18, 27, 36, 54, 131	nnind 9052	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1373

wcel 2176

cvv 2772

csn 3633

cpr 3634

cmpt 4105

cid 4335

cxp 4673

cdm 4675

cres 4677

wf 5267

wf1o 5270 (class class class)co 5944

cof 6156

cc 7923

cr 7924

cc0 7925

c1 7926

caddc 7928

cmul 7930

cmin 8243

cn 9036

cn0 9295

cexp 10683

cdv 15127

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-coll 4159 ax-sep 4162 ax-nul 4170 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-iinf 4636 ax-cnex 8016 ax-resscn 8017 ax-1cn 8018 ax-1re 8019 ax-icn 8020 ax-addcl 8021 ax-addrcl 8022 ax-mulcl 8023 ax-mulrcl 8024 ax-addcom 8025 ax-mulcom 8026 ax-addass 8027 ax-mulass 8028 ax-distr 8029 ax-i2m1 8030 ax-0lt1 8031 ax-1rid 8032 ax-0id 8033 ax-rnegex 8034 ax-precex 8035 ax-cnre 8036 ax-pre-ltirr 8037 ax-pre-ltwlin 8038 ax-pre-lttrn 8039 ax-pre-apti 8040 ax-pre-ltadd 8041 ax-pre-mulgt0 8042 ax-pre-mulext 8043 ax-arch 8044 ax-caucvg 8045 ax-addf 8047 ax-mulf 8048

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-csb 3094 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-nul 3461 df-if 3572 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-int 3886 df-iun 3929 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-tr 4143 df-id 4340 df-po 4343 df-iso 4344 df-iord 4413 df-on 4415 df-ilim 4416 df-suc 4418 df-iom 4639 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-f1 5276 df-fo 5277 df-f1o 5278 df-fv 5279 df-isom 5280 df-riota 5899 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-of 6158 df-1st 6226 df-2nd 6227 df-recs 6391 df-frec 6477 df-map 6737 df-pm 6738 df-sup 7086 df-inf 7087 df-pnf 8109 df-mnf 8110 df-xr 8111 df-ltxr 8112 df-le 8113 df-sub 8245 df-neg 8246 df-reap 8648 df-ap 8655 df-div 8746 df-inn 9037 df-2 9095 df-3 9096 df-4 9097 df-n0 9296 df-z 9373 df-uz 9649 df-q 9741 df-rp 9776 df-xneg 9894 df-xadd 9895 df-seqfrec 10593 df-exp 10684 df-cj 11153 df-re 11154 df-im 11155 df-rsqrt 11309 df-abs 11310 df-rest 13073 df-topgen 13092 df-psmet 14305 df-xmet 14306 df-met 14307 df-bl 14308 df-mopn 14309 df-top 14470 df-topon 14483 df-bases 14515 df-ntr 14568 df-cn 14660 df-cnp 14661 df-tx 14725 df-cncf 15043 df-limced 15128 df-dvap 15129

This theorem is referenced by: dvexp2 15184

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