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Theorem dvexp 15385

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6009	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4175	. . . 4
3	2	oveq2d 6017	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 6008	. . . . . 6
6	5	oveq2d 6017	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 6019	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4175	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2244	. 2
10		oveq2 6009	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4175	. . . 4
12	11	oveq2d 6017	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 6008	. . . . . 6
15	14	oveq2d 6017	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 6019	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4175	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2244	. 2
19		oveq2 6009	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4175	. . . 4
21	20	oveq2d 6017	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 6008	. . . . . 6
24	23	oveq2d 6017	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 6019	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4175	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2244	. 2
28		oveq2 6009	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4175	. . . 4
30	29	oveq2d 6017	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 6008	. . . . . 6
33	32	oveq2d 6017	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 6019	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4175	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2244	. 2
37		exp1 10767	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4170	. . . . 5
39		mptresid 5059	. . . . 5
40	38, 39	eqtr4i 2253	. . . 4
41	40	oveq2i 6012	. . 3
42		1m1e0 9179	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 6012	. . . . . . . . 9
44		exp0 10765	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrid 2274	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 6017	. . . . . . 7
47		1t1e1 9263	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2278	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4170	. . . . 5
50		fconstmpt 4766	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2253	. . . 4
52		dvid 15369	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2253	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2253	. 2
55		nncn 9118	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 8092	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 8352	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 6017	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9376	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10779	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 8172	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mulid2d 8165	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 6017	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2266	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4174	. . . . . 6
72		cnex 8123	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 8167	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9410	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10779	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 8167	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2230	. . . . . . . . 9
81	39	a1i 9	. . . . . . . . 9
82	73, 78, 79, 80, 81	offval2 6234	. . . . . . . 8
83	56, 77, 79	mulassd 8170	. . . . . . . . . 10 $/\$
84		expm1t 10789	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85	84	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
86	85	oveq2d 6017	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	83, 86	eqtr4d 2265	. . . . . . . . 9 $/\$
88	87	mpteq2dva 4174	. . . . . . . 8
89	82, 88	eqtrd 2262	. . . . . . 7
90	52, 50	eqtri 2250	. . . . . . . . . 10
91	90	a1i 9	. . . . . . . . 9
92		eqidd 2230	. . . . . . . . 9
93	73, 62, 66, 91, 92	offval2 6234	. . . . . . . 8
94	68	mpteq2dva 4174	. . . . . . . 8
95	93, 94	eqtrd 2262	. . . . . . 7
96	73, 74, 66, 89, 95	offval2 6234	. . . . . 6
97	71, 96	eqtr4d 2265	. . . . 5
98		oveq1 6008	. . . . . . 7
99	98	oveq1d 6016	. . . . . 6
100	99	eqcomd 2235	. . . . 5
101	97, 100	sylan9eq 2282	. . . 4 $/\$
102		cnelprrecn 8135	. . . . . 6
103	102	a1i 9	. . . . 5 $/\$
104		ssidd 3245	. . . . 5 $/\$
105	66	fmpttd 5790	. . . . . 6
106	105	adantr 276	. . . . 5 $/\$
107		f1oi 5611	. . . . . 6
108		f1of 5572	. . . . . 6
109	107, 108	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
110		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
111	110	dmeqd 4925	. . . . . 6 $/\$
112	78	fmpttd 5790	. . . . . . . 8
113	112	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
114	113	fdmd 5480	. . . . . 6 $/\$
115	111, 114	eqtrd 2262	. . . . 5 $/\$
116		1ex 8141	. . . . . . . . 9
117	116	fconst 5521	. . . . . . . 8
118	52	feq1i 5466	. . . . . . . 8
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . 7
120	119	fdmi 5481	. . . . . 6
121	120	a1i 9	. . . . 5 $/\$
122	103, 104, 106, 109, 115, 121	dvimulf 15380	. . . 4 $/\$
123	73, 66, 79, 92, 81	offval2 6234	. . . . . . 7
124		expp1 10768	. . . . . . . . 9 $/\$
125	63, 64, 124	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
126	125	mpteq2dva 4174	. . . . . . 7
127	123, 126	eqtr4d 2265	. . . . . 6
128	127	oveq2d 6017	. . . . 5
129	128	adantr 276	. . . 4 $/\$
130	101, 122, 129	3eqtr2rd 2269	. . 3 $/\$
131	130	ex 115	. 2
132	9, 18, 27, 36, 54, 131	nnind 9126	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1395

wcel 2200

cvv 2799

csn 3666

cpr 3667

cmpt 4145

cid 4379

cxp 4717

cdm 4719

cres 4721

wf 5314

wf1o 5317 (class class class)co 6001

cof 6216

cc 7997

cr 7998

cc0 7999

c1 8000

caddc 8002

cmul 8004

cmin 8317

cn 9110

cn0 9369

cexp 10760

cdv 15329

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117 ax-arch 8118 ax-caucvg 8119 ax-addf 8121 ax-mulf 8122

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-isom 5327 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-of 6218 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-frec 6537 df-map 6797 df-pm 6798 df-sup 7151 df-inf 7152 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-2 9169 df-3 9170 df-4 9171 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-q 9815 df-rp 9850 df-xneg 9968 df-xadd 9969 df-seqfrec 10670 df-exp 10761 df-cj 11353 df-re 11354 df-im 11355 df-rsqrt 11509 df-abs 11510 df-rest 13274 df-topgen 13293 df-psmet 14507 df-xmet 14508 df-met 14509 df-bl 14510 df-mopn 14511 df-top 14672 df-topon 14685 df-bases 14717 df-ntr 14770 df-cn 14862 df-cnp 14863 df-tx 14927 df-cncf 15245 df-limced 15330 df-dvap 15331

This theorem is referenced by: dvexp2 15386

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