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Theorem dvexp 15735

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6083	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4217	. . . 4
3	2	oveq2d 6091	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 6082	. . . . . 6
6	5	oveq2d 6091	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 6093	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4217	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2253	. 2
10		oveq2 6083	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4217	. . . 4
12	11	oveq2d 6091	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 6082	. . . . . 6
15	14	oveq2d 6091	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 6093	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4217	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2253	. 2
19		oveq2 6083	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4217	. . . 4
21	20	oveq2d 6091	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 6082	. . . . . 6
24	23	oveq2d 6091	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 6093	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4217	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2253	. 2
28		oveq2 6083	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4217	. . . 4
30	29	oveq2d 6091	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 6082	. . . . . 6
33	32	oveq2d 6091	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 6093	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4217	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2253	. 2
37		exp1 10960	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4212	. . . . 5
39		mptresid 5112	. . . . 5
40	38, 39	eqtr4i 2262	. . . 4
41	40	oveq2i 6086	. . 3
42		1m1e0 9352	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 6086	. . . . . . . . 9
44		exp0 10958	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrid 2283	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 6091	. . . . . . 7
47		1t1e1 9436	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2287	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4212	. . . . 5
50		fconstmpt 4817	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2262	. . . 4
52		dvid 15719	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2262	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2262	. 2
55		nncn 9291	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 8522	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9549	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10972	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 8341	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mullidd 8334	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 6091	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2275	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4216	. . . . . 6
72		cnex 8293	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 8336	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9583	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10972	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 8336	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2239	. . . . . . . . 9
81	39	a1i 9	. . . . . . . . 9
82	73, 78, 79, 80, 81	offval2 6308	. . . . . . . 8
83	56, 77, 79	mulassd 8339	. . . . . . . . . 10 $/\$
84		expm1t 10982	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85	84	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
86	85	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	83, 86	eqtr4d 2274	. . . . . . . . 9 $/\$
88	87	mpteq2dva 4216	. . . . . . . 8
89	82, 88	eqtrd 2271	. . . . . . 7
90	52, 50	eqtri 2259	. . . . . . . . . 10
91	90	a1i 9	. . . . . . . . 9
92		eqidd 2239	. . . . . . . . 9
93	73, 62, 66, 91, 92	offval2 6308	. . . . . . . 8
94	68	mpteq2dva 4216	. . . . . . . 8
95	93, 94	eqtrd 2271	. . . . . . 7
96	73, 74, 66, 89, 95	offval2 6308	. . . . . 6
97	71, 96	eqtr4d 2274	. . . . 5
98		oveq1 6082	. . . . . . 7
99	98	oveq1d 6090	. . . . . 6
100	99	eqcomd 2244	. . . . 5
101	97, 100	sylan9eq 2291	. . . 4 $/\$
102		cnelprrecn 8305	. . . . . 6
103	102	a1i 9	. . . . 5 $/\$
104		ssidd 3269	. . . . 5 $/\$
105	66	fmpttd 5854	. . . . . 6
106	105	adantr 276	. . . . 5 $/\$
107		f1oi 5674	. . . . . 6
108		f1of 5634	. . . . . 6
109	107, 108	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
110		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
111	110	dmeqd 4978	. . . . . 6 $/\$
112	78	fmpttd 5854	. . . . . . . 8
113	112	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
114	113	fdmd 5535	. . . . . 6 $/\$
115	111, 114	eqtrd 2271	. . . . 5 $/\$
116		1ex 8311	. . . . . . . . 9
117	116	fconst 5583	. . . . . . . 8
118	52	feq1i 5521	. . . . . . . 8
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . 7
120	119	fdmi 5536	. . . . . 6
121	120	a1i 9	. . . . 5 $/\$
122	103, 104, 106, 109, 115, 121	dvimulf 15730	. . . 4 $/\$
123	73, 66, 79, 92, 81	offval2 6308	. . . . . . 7
124		expp1 10961	. . . . . . . . 9 $/\$
125	63, 64, 124	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
126	125	mpteq2dva 4216	. . . . . . 7
127	123, 126	eqtr4d 2274	. . . . . 6
128	127	oveq2d 6091	. . . . 5
129	128	adantr 276	. . . 4 $/\$
130	101, 122, 129	3eqtr2rd 2278	. . 3 $/\$
131	130	ex 115	. 2
132	9, 18, 27, 36, 54, 131	nnind 9299	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1402

wcel 2209

cvv 2821

csn 3705

cpr 3706

cmpt 4187

cid 4428

cxp 4767

cdm 4769

cres 4771

wf 5368

wf1o 5371 (class class class)co 6075

cof 6290

cc 8167

cr 8168

cc0 8169

c1 8170

caddc 8172

cmul 8174

cmin 8487

cn 9283

cn0 9542

cexp 10953

cdv 15679

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287 ax-arch 8288 ax-caucvg 8289 ax-addf 8291 ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-isom 5381 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-of 6292 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-frec 6652 df-map 6914 df-pm 6915 df-sup 7314 df-inf 7315 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-2 9342 df-3 9343 df-4 9344 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-q 9999 df-rp 10034 df-xneg 10153 df-xadd 10154 df-seqfrec 10863 df-exp 10954 df-cj 11585 df-re 11586 df-im 11587 df-rsqrt 11742 df-abs 11743 df-rest 13572 df-topgen 13591 df-psmet 14852 df-xmet 14853 df-met 14854 df-bl 14855 df-mopn 14856 df-top 15022 df-topon 15035 df-bases 15067 df-ntr 15120 df-cn 15212 df-cnp 15213 df-tx 15277 df-cncf 15595 df-limced 15680 df-dvap 15681

This theorem is referenced by: dvexp2 15736

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