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Theorem dvexp 15298

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5975	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4151	. . . 4
3	2	oveq2d 5983	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 5974	. . . . . 6
6	5	oveq2d 5983	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 5985	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4151	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2222	. 2
10		oveq2 5975	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4151	. . . 4
12	11	oveq2d 5983	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 5974	. . . . . 6
15	14	oveq2d 5983	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 5985	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4151	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2222	. 2
19		oveq2 5975	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4151	. . . 4
21	20	oveq2d 5983	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 5974	. . . . . 6
24	23	oveq2d 5983	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 5985	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4151	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2222	. 2
28		oveq2 5975	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4151	. . . 4
30	29	oveq2d 5983	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 5974	. . . . . 6
33	32	oveq2d 5983	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 5985	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4151	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2222	. 2
37		exp1 10727	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4146	. . . . 5
39		mptresid 5032	. . . . 5
40	38, 39	eqtr4i 2231	. . . 4
41	40	oveq2i 5978	. . 3
42		1m1e0 9140	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 5978	. . . . . . . . 9
44		exp0 10725	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrid 2252	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 5983	. . . . . . 7
47		1t1e1 9224	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2256	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4146	. . . . 5
50		fconstmpt 4740	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2231	. . . 4
52		dvid 15282	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2231	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2231	. 2
55		nncn 9079	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 8053	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 8313	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 5983	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9337	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10739	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 8133	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mulid2d 8126	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2244	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4150	. . . . . 6
72		cnex 8084	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 8128	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9371	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10739	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 8128	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2208	. . . . . . . . 9
81	39	a1i 9	. . . . . . . . 9
82	73, 78, 79, 80, 81	offval2 6197	. . . . . . . 8
83	56, 77, 79	mulassd 8131	. . . . . . . . . 10 $/\$
84		expm1t 10749	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85	84	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
86	85	oveq2d 5983	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	83, 86	eqtr4d 2243	. . . . . . . . 9 $/\$
88	87	mpteq2dva 4150	. . . . . . . 8
89	82, 88	eqtrd 2240	. . . . . . 7
90	52, 50	eqtri 2228	. . . . . . . . . 10
91	90	a1i 9	. . . . . . . . 9
92		eqidd 2208	. . . . . . . . 9
93	73, 62, 66, 91, 92	offval2 6197	. . . . . . . 8
94	68	mpteq2dva 4150	. . . . . . . 8
95	93, 94	eqtrd 2240	. . . . . . 7
96	73, 74, 66, 89, 95	offval2 6197	. . . . . 6
97	71, 96	eqtr4d 2243	. . . . 5
98		oveq1 5974	. . . . . . 7
99	98	oveq1d 5982	. . . . . 6
100	99	eqcomd 2213	. . . . 5
101	97, 100	sylan9eq 2260	. . . 4 $/\$
102		cnelprrecn 8096	. . . . . 6
103	102	a1i 9	. . . . 5 $/\$
104		ssidd 3222	. . . . 5 $/\$
105	66	fmpttd 5758	. . . . . 6
106	105	adantr 276	. . . . 5 $/\$
107		f1oi 5583	. . . . . 6
108		f1of 5544	. . . . . 6
109	107, 108	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
110		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
111	110	dmeqd 4899	. . . . . 6 $/\$
112	78	fmpttd 5758	. . . . . . . 8
113	112	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
114	113	fdmd 5452	. . . . . 6 $/\$
115	111, 114	eqtrd 2240	. . . . 5 $/\$
116		1ex 8102	. . . . . . . . 9
117	116	fconst 5493	. . . . . . . 8
118	52	feq1i 5438	. . . . . . . 8
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . 7
120	119	fdmi 5453	. . . . . 6
121	120	a1i 9	. . . . 5 $/\$
122	103, 104, 106, 109, 115, 121	dvimulf 15293	. . . 4 $/\$
123	73, 66, 79, 92, 81	offval2 6197	. . . . . . 7
124		expp1 10728	. . . . . . . . 9 $/\$
125	63, 64, 124	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
126	125	mpteq2dva 4150	. . . . . . 7
127	123, 126	eqtr4d 2243	. . . . . 6
128	127	oveq2d 5983	. . . . 5
129	128	adantr 276	. . . 4 $/\$
130	101, 122, 129	3eqtr2rd 2247	. . 3 $/\$
131	130	ex 115	. 2
132	9, 18, 27, 36, 54, 131	nnind 9087	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1373

wcel 2178

cvv 2776

csn 3643

cpr 3644

cmpt 4121

cid 4353

cxp 4691

cdm 4693

cres 4695

wf 5286

wf1o 5289 (class class class)co 5967

cof 6179

cc 7958

cr 7959

cc0 7960

c1 7961

caddc 7963

cmul 7965

cmin 8278

cn 9071

cn0 9330

cexp 10720

cdv 15242

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078 ax-arch 8079 ax-caucvg 8080 ax-addf 8082 ax-mulf 8083

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 833 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-isom 5299 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-of 6181 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-frec 6500 df-map 6760 df-pm 6761 df-sup 7112 df-inf 7113 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-2 9130 df-3 9131 df-4 9132 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-q 9776 df-rp 9811 df-xneg 9929 df-xadd 9930 df-seqfrec 10630 df-exp 10721 df-cj 11268 df-re 11269 df-im 11270 df-rsqrt 11424 df-abs 11425 df-rest 13188 df-topgen 13207 df-psmet 14420 df-xmet 14421 df-met 14422 df-bl 14423 df-mopn 14424 df-top 14585 df-topon 14598 df-bases 14630 df-ntr 14683 df-cn 14775 df-cnp 14776 df-tx 14840 df-cncf 15158 df-limced 15243 df-dvap 15244

This theorem is referenced by: dvexp2 15299

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