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Theorem dvexp 13842
Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:   x, N
Proof of Theorem dvexp
Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5877 . . . . 5 |- ( n = 1 -> ( x ^ n ) = ( x ^ 1 ) )
21mpteq2dv 4091 . . . 4 |- ( n = 1 -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) )
32oveq2d 5885 . . 3 |- ( n = 1 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) )
4 id 19 . . . . 5 |- ( n = 1 -> n = 1 )
5 oveq1 5876 . . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
65oveq2d 5885 . . . . 5 |- ( n = 1 -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( 1 - 1 ) ) )
74, 6oveq12d 5887 . . . 4 |- ( n = 1 -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
87mpteq2dv 4091 . . 3 |- ( n = 1 -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
93, 8eqeq12d 2192 . 2 |- ( n = 1 -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
10 oveq2 5877 . . . . 5 |- ( n = k -> ( x ^ n ) = ( x ^ k ) )
1110mpteq2dv 4091 . . . 4 |- ( n = k -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
1211oveq2d 5885 . . 3 |- ( n = k -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) )
13 id 19 . . . . 5 |- ( n = k -> n = k )
14 oveq1 5876 . . . . . 6 |- ( n = k -> ( n - 1 ) = ( k - 1 ) )
1514oveq2d 5885 . . . . 5 |- ( n = k -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( k - 1 ) ) )
1613, 15oveq12d 5887 . . . 4 |- ( n = k -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) )
1716mpteq2dv 4091 . . 3 |- ( n = k -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
1812, 17eqeq12d 2192 . 2 |- ( n = k -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 5877 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x ^ n ) = ( x ^ ( k + 1 ) ) )
2019mpteq2dv 4091 . . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) )
2120oveq2d 5885 . . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
22 id 19 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
23 oveq1 5876 . . . . . 6 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
2423oveq2d 5885 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
2522, 24oveq12d 5887 . . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
2625mpteq2dv 4091 . . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
2721, 26eqeq12d 2192 . 2 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 5877 . . . . 5 |- ( n = N -> ( x ^ n ) = ( x ^ N ) )
2928mpteq2dv 4091 . . . 4 |- ( n = N -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
3029oveq2d 5885 . . 3 |- ( n = N -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) )
31 id 19 . . . . 5 |- ( n = N -> n = N )
32 oveq1 5876 . . . . . 6 |- ( n = N -> ( n - 1 ) = ( N - 1 ) )
3332oveq2d 5885 . . . . 5 |- ( n = N -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( N - 1 ) ) )
3431, 33oveq12d 5887 . . . 4 |- ( n = N -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) )
3534mpteq2dv 4091 . . 3 |- ( n = N -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
3630, 35eqeq12d 2192 . 2 |- ( n = N -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
37 exp1 10512 . . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( x ^ 1 ) = x )
3837mpteq2ia 4086 . . . . 5 |- ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) = ( x e. CC |-> x )
39 mptresid 4957 . . . . 5 |- ( x e. CC |-> x ) = ( _I |` CC )
4038, 39eqtri 2198 . . . 4 |- ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) = ( _I |` CC )
4140oveq2i 5880 . . 3 |- ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( CC _D ( _I |` CC ) )
42 1m1e0 8977 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
4342oveq2i 5880 . . . . . . . . 9 |- ( x ^ ( 1 - 1 ) ) = ( x ^ 0 )
44 exp0 10510 . . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( x ^ 0 ) = 1 )
4543, 44eqtrid 2222 . . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( x ^ ( 1 - 1 ) ) = 1 )
4645oveq2d 5885 . . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( 1 x. 1 ) )
47 1t1e1 9060 . . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
4846, 47eqtrdi 2226 . . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) = 1 )
4948mpteq2ia 4086 . . . . 5 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> 1 )
50 fconstmpt 4670 . . . . 5 |- ( CC X. { 1 } ) = ( x e. CC |-> 1 )
5149, 50eqtr4i 2201 . . . 4 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( CC X. { 1 } )
52 dvid 13829 . . . 4 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( CC X. { 1 } )
5351, 52eqtr4i 2201 . . 3 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( CC _D ( _I |` CC ) )
5441, 53eqtr4i 2201 . 2 |- ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
55 nncn 8916 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. CC )
5655adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> k e. CC )
57 ax-1cn 7895 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
58 pncan 8153 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
5956, 57, 58sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
6059oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( x ^ k ) )
6160oveq2d 5885 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( x ^ k ) ) )
6257a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
63 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x e. CC )
64 nnnn0 9172 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
65 expcl 10524 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ k ) e. CC )
6663, 64, 65syl2anr 290 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ k ) e. CC )
6756, 62, 66adddird 7973 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) )
6866mulid2d 7966 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( 1 x. ( x ^ k ) ) = ( x ^ k ) )
6968oveq2d 5885 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) )
7061, 67, 693eqtrd 2214 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) )
7170mpteq2dva 4090 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) ) )
72 cnex 7926 . . . . . . . 8 |- CC e. _V
7372a1i 9 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> CC e. _V )
7456, 66mulcld 7968 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ k ) ) e. CC )
75 nnm1nn0 9206 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
76 expcl 10524 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( k - 1 ) e. NN0 ) -> ( x ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
7763, 75, 76syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
7856, 77mulcld 7968 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
79 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> x e. CC )
80 eqidd 2178 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
8139eqcomi 2181 . . . . . . . . . 10 |- ( _I |` CC ) = ( x e. CC |-> x )
8281a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( _I |` CC ) = ( x e. CC |-> x ) )
8373, 78, 79, 80, 82offval2 6092 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) ) )
8456, 77, 79mulassd 7971 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) = ( k x. ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) ) )
85 expm1t 10534 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN ) -> ( x ^ k ) = ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) )
8685ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ k ) = ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) )
8786oveq2d 5885 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ k ) ) = ( k x. ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) ) )
8884, 87eqtr4d 2213 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) = ( k x. ( x ^ k ) ) )
8988mpteq2dva 4090 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ k ) ) ) )
9083, 89eqtrd 2210 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ k ) ) ) )
9152, 50eqtri 2198 . . . . . . . . . 10 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> 1 )
9291a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
93 eqidd 2178 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9473, 62, 66, 92, 93offval2 6092 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) )
9568mpteq2dva 4090 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9694, 95eqtrd 2210 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9773, 74, 66, 90, 96offval2 6092 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) ) )
9871, 97eqtr4d 2213 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
99 oveq1 5876 . . . . . . 7 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) )
10099oveq1d 5884 . . . . . 6 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
101100eqcomd 2183 . . . . 5 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
10298, 101sylan9eq 2230 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
103 cnelprrecn 7938 . . . . . 6 |- CC e. { RR , CC }
104103a1i 9 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> CC e. { RR , CC } )
105 ssidd 3176 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> CC C_ CC )
10666fmpttd 5667 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
107106adantr 276 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
108 f1oi 5495 . . . . . 6 |- ( _I |` CC ) : CC -1-1-onto-> CC
109 f1of 5457 . . . . . 6 |- ( ( _I |` CC ) : CC -1-1-onto-> CC -> ( _I |` CC ) : CC --> CC )
110108, 109mp1i 10 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( _I |` CC ) : CC --> CC )
111 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
112111dmeqd 4825 . . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = dom ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
11378fmpttd 5667 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) : CC --> CC )
114113adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) : CC --> CC )
115114fdmd 5368 . . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) = CC )
116112, 115eqtrd 2210 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = CC )
117 1ex 7943 . . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
118117fconst 5407 . . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) : CC --> { 1 }
11952feq1i 5354 . . . . . . . 8 |- ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) : CC --> { 1 } <-> ( CC X. { 1 } ) : CC --> { 1 } )
120118, 119mpbir 146 . . . . . . 7 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) : CC --> { 1 }
121120fdmi 5369 . . . . . 6 |- dom ( CC _D ( _I |` CC ) ) = CC
122121a1i 9 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( _I |` CC ) ) = CC )
123104, 105, 107, 110, 116, 122dvimulf 13837 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
12473, 66, 79, 93, 82offval2 6092 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( ( x ^ k ) x. x ) ) )
125 expp1 10513 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ ( k + 1 ) ) = ( ( x ^ k ) x. x ) )
12663, 64, 125syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( k + 1 ) ) = ( ( x ^ k ) x. x ) )
127126mpteq2dva 4090 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( x ^ k ) x. x ) ) )
128124, 127eqtr4d 2213 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) )
129128oveq2d 5885 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
130129adantr 276 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
131102, 123, 1303eqtr2rd 2217 . . 3 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
132131ex 115 . 2 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
1339, 18, 27, 36, 54, 132nnind 8924 1 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   {csn 3591   {cpr 3592   |-> cmpt 4061   _I cid 4285   X. cxp 4621   dom cdm 4623   |` cres 4625   -->wf 5208   -1-1-onto->wf1o 5211  (class class class)co 5869   oFcof 6075   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   - cmin 8118   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ^cexp 10505   _D cdv 13791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-addf 7924  ax-mulf 7925
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793
This theorem is referenced by:  dvexp2  13843
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