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Theorem dvexp 15437
Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:   x, N
Proof of Theorem dvexp
Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6026 . . . . 5 |- ( n = 1 -> ( x ^ n ) = ( x ^ 1 ) )
21mpteq2dv 4180 . . . 4 |- ( n = 1 -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) )
32oveq2d 6034 . . 3 |- ( n = 1 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) )
4 id 19 . . . . 5 |- ( n = 1 -> n = 1 )
5 oveq1 6025 . . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
65oveq2d 6034 . . . . 5 |- ( n = 1 -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( 1 - 1 ) ) )
74, 6oveq12d 6036 . . . 4 |- ( n = 1 -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
87mpteq2dv 4180 . . 3 |- ( n = 1 -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
93, 8eqeq12d 2246 . 2 |- ( n = 1 -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
10 oveq2 6026 . . . . 5 |- ( n = k -> ( x ^ n ) = ( x ^ k ) )
1110mpteq2dv 4180 . . . 4 |- ( n = k -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
1211oveq2d 6034 . . 3 |- ( n = k -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) )
13 id 19 . . . . 5 |- ( n = k -> n = k )
14 oveq1 6025 . . . . . 6 |- ( n = k -> ( n - 1 ) = ( k - 1 ) )
1514oveq2d 6034 . . . . 5 |- ( n = k -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( k - 1 ) ) )
1613, 15oveq12d 6036 . . . 4 |- ( n = k -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) )
1716mpteq2dv 4180 . . 3 |- ( n = k -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
1812, 17eqeq12d 2246 . 2 |- ( n = k -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6026 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x ^ n ) = ( x ^ ( k + 1 ) ) )
2019mpteq2dv 4180 . . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) )
2120oveq2d 6034 . . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
22 id 19 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
23 oveq1 6025 . . . . . 6 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
2423oveq2d 6034 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
2522, 24oveq12d 6036 . . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
2625mpteq2dv 4180 . . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
2721, 26eqeq12d 2246 . 2 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6026 . . . . 5 |- ( n = N -> ( x ^ n ) = ( x ^ N ) )
2928mpteq2dv 4180 . . . 4 |- ( n = N -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
3029oveq2d 6034 . . 3 |- ( n = N -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) )
31 id 19 . . . . 5 |- ( n = N -> n = N )
32 oveq1 6025 . . . . . 6 |- ( n = N -> ( n - 1 ) = ( N - 1 ) )
3332oveq2d 6034 . . . . 5 |- ( n = N -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( N - 1 ) ) )
3431, 33oveq12d 6036 . . . 4 |- ( n = N -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) )
3534mpteq2dv 4180 . . 3 |- ( n = N -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
3630, 35eqeq12d 2246 . 2 |- ( n = N -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
37 exp1 10807 . . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( x ^ 1 ) = x )
3837mpteq2ia 4175 . . . . 5 |- ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) = ( x e. CC |-> x )
39 mptresid 5067 . . . . 5 |- ( _I |` CC ) = ( x e. CC |-> x )
4038, 39eqtr4i 2255 . . . 4 |- ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) = ( _I |` CC )
4140oveq2i 6029 . . 3 |- ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( CC _D ( _I |` CC ) )
42 1m1e0 9212 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
4342oveq2i 6029 . . . . . . . . 9 |- ( x ^ ( 1 - 1 ) ) = ( x ^ 0 )
44 exp0 10805 . . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( x ^ 0 ) = 1 )
4543, 44eqtrid 2276 . . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( x ^ ( 1 - 1 ) ) = 1 )
4645oveq2d 6034 . . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( 1 x. 1 ) )
47 1t1e1 9296 . . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
4846, 47eqtrdi 2280 . . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) = 1 )
4948mpteq2ia 4175 . . . . 5 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> 1 )
50 fconstmpt 4773 . . . . 5 |- ( CC X. { 1 } ) = ( x e. CC |-> 1 )
5149, 50eqtr4i 2255 . . . 4 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( CC X. { 1 } )
52 dvid 15421 . . . 4 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( CC X. { 1 } )
5351, 52eqtr4i 2255 . . 3 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( CC _D ( _I |` CC ) )
5441, 53eqtr4i 2255 . 2 |- ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
55 nncn 9151 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. CC )
5655adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> k e. CC )
57 ax-1cn 8125 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
58 pncan 8385 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
5956, 57, 58sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
6059oveq2d 6034 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( x ^ k ) )
6160oveq2d 6034 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( x ^ k ) ) )
6257a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
63 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x e. CC )
64 nnnn0 9409 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
65 expcl 10819 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ k ) e. CC )
6663, 64, 65syl2anr 290 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ k ) e. CC )
6756, 62, 66adddird 8205 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) )
6866mulid2d 8198 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( 1 x. ( x ^ k ) ) = ( x ^ k ) )
6968oveq2d 6034 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) )
7061, 67, 693eqtrd 2268 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) )
7170mpteq2dva 4179 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) ) )
72 cnex 8156 . . . . . . . 8 |- CC e. _V
7372a1i 9 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> CC e. _V )
7456, 66mulcld 8200 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ k ) ) e. CC )
75 nnm1nn0 9443 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
76 expcl 10819 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( k - 1 ) e. NN0 ) -> ( x ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
7763, 75, 76syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
7856, 77mulcld 8200 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
79 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> x e. CC )
80 eqidd 2232 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
8139a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( _I |` CC ) = ( x e. CC |-> x ) )
8273, 78, 79, 80, 81offval2 6251 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) ) )
8356, 77, 79mulassd 8203 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) = ( k x. ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) ) )
84 expm1t 10829 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN ) -> ( x ^ k ) = ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) )
8584ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ k ) = ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) )
8685oveq2d 6034 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ k ) ) = ( k x. ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) ) )
8783, 86eqtr4d 2267 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) = ( k x. ( x ^ k ) ) )
8887mpteq2dva 4179 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ k ) ) ) )
8982, 88eqtrd 2264 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ k ) ) ) )
9052, 50eqtri 2252 . . . . . . . . . 10 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> 1 )
9190a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
92 eqidd 2232 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9373, 62, 66, 91, 92offval2 6251 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) )
9468mpteq2dva 4179 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9593, 94eqtrd 2264 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9673, 74, 66, 89, 95offval2 6251 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) ) )
9771, 96eqtr4d 2267 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
98 oveq1 6025 . . . . . . 7 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) )
9998oveq1d 6033 . . . . . 6 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
10099eqcomd 2237 . . . . 5 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
10197, 100sylan9eq 2284 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
102 cnelprrecn 8168 . . . . . 6 |- CC e. { RR , CC }
103102a1i 9 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> CC e. { RR , CC } )
104 ssidd 3248 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> CC C_ CC )
10566fmpttd 5802 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
106105adantr 276 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
107 f1oi 5623 . . . . . 6 |- ( _I |` CC ) : CC -1-1-onto-> CC
108 f1of 5583 . . . . . 6 |- ( ( _I |` CC ) : CC -1-1-onto-> CC -> ( _I |` CC ) : CC --> CC )
109107, 108mp1i 10 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( _I |` CC ) : CC --> CC )
110 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
111110dmeqd 4933 . . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = dom ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
11278fmpttd 5802 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) : CC --> CC )
113112adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) : CC --> CC )
114113fdmd 5489 . . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) = CC )
115111, 114eqtrd 2264 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = CC )
116 1ex 8174 . . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
117116fconst 5532 . . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) : CC --> { 1 }
11852feq1i 5475 . . . . . . . 8 |- ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) : CC --> { 1 } <-> ( CC X. { 1 } ) : CC --> { 1 } )
119117, 118mpbir 146 . . . . . . 7 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) : CC --> { 1 }
120119fdmi 5490 . . . . . 6 |- dom ( CC _D ( _I |` CC ) ) = CC
121120a1i 9 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( _I |` CC ) ) = CC )
122103, 104, 106, 109, 115, 121dvimulf 15432 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
12373, 66, 79, 92, 81offval2 6251 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( ( x ^ k ) x. x ) ) )
124 expp1 10808 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ ( k + 1 ) ) = ( ( x ^ k ) x. x ) )
12563, 64, 124syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( k + 1 ) ) = ( ( x ^ k ) x. x ) )
126125mpteq2dva 4179 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( x ^ k ) x. x ) ) )
127123, 126eqtr4d 2267 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) )
128127oveq2d 6034 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
129128adantr 276 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
130101, 122, 1293eqtr2rd 2271 . . 3 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
131130ex 115 . 2 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
1329, 18, 27, 36, 54, 131nnind 9159 1 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   {csn 3669   {cpr 3670   |-> cmpt 4150   _I cid 4385   X. cxp 4723   dom cdm 4725   |` cres 4727   -->wf 5322   -1-1-onto->wf1o 5325  (class class class)co 6018   oFcof 6233   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   1c1 8033   + caddc 8035   x. cmul 8037   - cmin 8350   NNcn 9143   NN0cn0 9402   ^cexp 10800   _D cdv 15381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-addf 8154  ax-mulf 8155
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-map 6819  df-pm 6820  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-seqfrec 10710  df-exp 10801  df-cj 11403  df-re 11404  df-im 11405  df-rsqrt 11559  df-abs 11560  df-rest 13325  df-topgen 13344  df-psmet 14559  df-xmet 14560  df-met 14561  df-bl 14562  df-mopn 14563  df-top 14724  df-topon 14737  df-bases 14769  df-ntr 14822  df-cn 14914  df-cnp 14915  df-tx 14979  df-cncf 15297  df-limced 15382  df-dvap 15383
This theorem is referenced by:  dvexp2  15438
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