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Theorem dvexp 15937
Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:   x, N
Proof of Theorem dvexp
Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6096 . . . . 5 |- ( n = 1 -> ( x ^ n ) = ( x ^ 1 ) )
21mpteq2dv 4224 . . . 4 |- ( n = 1 -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) )
32oveq2d 6104 . . 3 |- ( n = 1 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) )
4 id 19 . . . . 5 |- ( n = 1 -> n = 1 )
5 oveq1 6095 . . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
65oveq2d 6104 . . . . 5 |- ( n = 1 -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( 1 - 1 ) ) )
74, 6oveq12d 6106 . . . 4 |- ( n = 1 -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
87mpteq2dv 4224 . . 3 |- ( n = 1 -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
93, 8eqeq12d 2253 . 2 |- ( n = 1 -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
10 oveq2 6096 . . . . 5 |- ( n = k -> ( x ^ n ) = ( x ^ k ) )
1110mpteq2dv 4224 . . . 4 |- ( n = k -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
1211oveq2d 6104 . . 3 |- ( n = k -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) )
13 id 19 . . . . 5 |- ( n = k -> n = k )
14 oveq1 6095 . . . . . 6 |- ( n = k -> ( n - 1 ) = ( k - 1 ) )
1514oveq2d 6104 . . . . 5 |- ( n = k -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( k - 1 ) ) )
1613, 15oveq12d 6106 . . . 4 |- ( n = k -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) )
1716mpteq2dv 4224 . . 3 |- ( n = k -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
1812, 17eqeq12d 2253 . 2 |- ( n = k -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6096 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x ^ n ) = ( x ^ ( k + 1 ) ) )
2019mpteq2dv 4224 . . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) )
2120oveq2d 6104 . . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
22 id 19 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
23 oveq1 6095 . . . . . 6 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
2423oveq2d 6104 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
2522, 24oveq12d 6106 . . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
2625mpteq2dv 4224 . . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
2721, 26eqeq12d 2253 . 2 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6096 . . . . 5 |- ( n = N -> ( x ^ n ) = ( x ^ N ) )
2928mpteq2dv 4224 . . . 4 |- ( n = N -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
3029oveq2d 6104 . . 3 |- ( n = N -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) )
31 id 19 . . . . 5 |- ( n = N -> n = N )
32 oveq1 6095 . . . . . 6 |- ( n = N -> ( n - 1 ) = ( N - 1 ) )
3332oveq2d 6104 . . . . 5 |- ( n = N -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( N - 1 ) ) )
3431, 33oveq12d 6106 . . . 4 |- ( n = N -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) )
3534mpteq2dv 4224 . . 3 |- ( n = N -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
3630, 35eqeq12d 2253 . 2 |- ( n = N -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
37 exp1 11003 . . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( x ^ 1 ) = x )
3837mpteq2ia 4219 . . . . 5 |- ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) = ( x e. CC |-> x )
39 mptresid 5120 . . . . 5 |- ( _I |` CC ) = ( x e. CC |-> x )
4038, 39eqtr4i 2262 . . . 4 |- ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) = ( _I |` CC )
4140oveq2i 6099 . . 3 |- ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( CC _D ( _I |` CC ) )
42 1m1e0 9382 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
4342oveq2i 6099 . . . . . . . . 9 |- ( x ^ ( 1 - 1 ) ) = ( x ^ 0 )
44 exp0 11001 . . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( x ^ 0 ) = 1 )
4543, 44eqtrid 2283 . . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( x ^ ( 1 - 1 ) ) = 1 )
4645oveq2d 6104 . . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( 1 x. 1 ) )
47 1t1e1 9466 . . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
4846, 47eqtrdi 2287 . . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) = 1 )
4948mpteq2ia 4219 . . . . 5 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> 1 )
50 fconstmpt 4824 . . . . 5 |- ( CC X. { 1 } ) = ( x e. CC |-> 1 )
5149, 50eqtr4i 2262 . . . 4 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( CC X. { 1 } )
52 dvid 15921 . . . 4 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( CC X. { 1 } )
5351, 52eqtr4i 2262 . . 3 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( CC _D ( _I |` CC ) )
5441, 53eqtr4i 2262 . 2 |- ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
55 nncn 9321 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. CC )
5655adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> k e. CC )
57 ax-1cn 8278 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
58 pncan 8539 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
5956, 57, 58sylancl 417 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
6059oveq2d 6104 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( x ^ k ) )
6160oveq2d 6104 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( x ^ k ) ) )
6257a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
63 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x e. CC )
64 nnnn0 9581 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
65 expcl 11015 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ k ) e. CC )
6663, 64, 65syl2anr 290 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ k ) e. CC )
6756, 62, 66adddird 8357 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) )
6866mullidd 8350 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( 1 x. ( x ^ k ) ) = ( x ^ k ) )
6968oveq2d 6104 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) )
7061, 67, 693eqtrd 2275 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) )
7170mpteq2dva 4223 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) ) )
72 cnex 8309 . . . . . . . 8 |- CC e. _V
7372a1i 9 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> CC e. _V )
7456, 66mulcld 8352 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ k ) ) e. CC )
75 nnm1nn0 9615 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
76 expcl 11015 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( k - 1 ) e. NN0 ) -> ( x ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
7763, 75, 76syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
7856, 77mulcld 8352 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
79 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> x e. CC )
80 eqidd 2239 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
8139a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( _I |` CC ) = ( x e. CC |-> x ) )
8273, 78, 79, 80, 81offval2 6322 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) ) )
8356, 77, 79mulassd 8355 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) = ( k x. ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) ) )
84 expm1t 11025 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN ) -> ( x ^ k ) = ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) )
8584ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ k ) = ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) )
8685oveq2d 6104 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ k ) ) = ( k x. ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) ) )
8783, 86eqtr4d 2274 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) = ( k x. ( x ^ k ) ) )
8887mpteq2dva 4223 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ k ) ) ) )
8982, 88eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ k ) ) ) )
9052, 50eqtri 2259 . . . . . . . . . 10 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> 1 )
9190a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
92 eqidd 2239 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9373, 62, 66, 91, 92offval2 6322 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) )
9468mpteq2dva 4223 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9593, 94eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9673, 74, 66, 89, 95offval2 6322 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) ) )
9771, 96eqtr4d 2274 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
98 oveq1 6095 . . . . . . 7 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) )
9998oveq1d 6103 . . . . . 6 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
10099eqcomd 2244 . . . . 5 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
10197, 100sylan9eq 2291 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
102 cnelprrecn 8321 . . . . . 6 |- CC e. { RR , CC }
103102a1i 9 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> CC e. { RR , CC } )
104 ssidd 3269 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> CC C_ CC )
10566fmpttd 5866 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
106105adantr 276 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
107 f1oi 5682 . . . . . 6 |- ( _I |` CC ) : CC -1-1-onto-> CC
108 f1of 5642 . . . . . 6 |- ( ( _I |` CC ) : CC -1-1-onto-> CC -> ( _I |` CC ) : CC --> CC )
109107, 108mp1i 10 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( _I |` CC ) : CC --> CC )
110 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
111110dmeqd 4985 . . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = dom ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
11278fmpttd 5866 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) : CC --> CC )
113112adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) : CC --> CC )
114113fdmd 5543 . . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) = CC )
115111, 114eqtrd 2271 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = CC )
116 1ex 8327 . . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
117116fconst 5591 . . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) : CC --> { 1 }
11852feq1i 5529 . . . . . . . 8 |- ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) : CC --> { 1 } <-> ( CC X. { 1 } ) : CC --> { 1 } )
119117, 118mpbir 146 . . . . . . 7 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) : CC --> { 1 }
120119fdmi 5544 . . . . . 6 |- dom ( CC _D ( _I |` CC ) ) = CC
121120a1i 9 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( _I |` CC ) ) = CC )
122103, 104, 106, 109, 115, 121dvimulf 15932 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
12373, 66, 79, 92, 81offval2 6322 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( ( x ^ k ) x. x ) ) )
124 expp1 11004 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ ( k + 1 ) ) = ( ( x ^ k ) x. x ) )
12563, 64, 124syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( k + 1 ) ) = ( ( x ^ k ) x. x ) )
126125mpteq2dva 4223 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( x ^ k ) x. x ) ) )
127123, 126eqtr4d 2274 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) )
128127oveq2d 6104 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
129128adantr 276 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
130101, 122, 1293eqtr2rd 2278 . . 3 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
131130ex 115 . 2 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
1329, 18, 27, 36, 54, 131nnind 9329 1 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   {cpr 3710   |-> cmpt 4193   _I cid 4435   X. cxp 4774   dom cdm 4776   |` cres 4778   -->wf 5376   -1-1-onto->wf1o 5379  (class class class)co 6088   oFcof 6303   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   + caddc 8188   x. cmul 8190   - cmin 8504   NNcn 9313   NN0cn0 9574   ^cexp 10996   _D cdv 15881
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-addf 8307  ax-mulf 8308
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-pm 6929  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-ntr 15322  df-cn 15414  df-cnp 15415  df-tx 15479  df-cncf 15797  df-limced 15882  df-dvap 15883
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