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Theorem dvexp 14528

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5896	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4106	. . . 4
3	2	oveq2d 5904	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 5895	. . . . . 6
6	5	oveq2d 5904	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 5906	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4106	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2202	. 2
10		oveq2 5896	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4106	. . . 4
12	11	oveq2d 5904	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 5895	. . . . . 6
15	14	oveq2d 5904	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 5906	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4106	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2202	. 2
19		oveq2 5896	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4106	. . . 4
21	20	oveq2d 5904	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 5895	. . . . . 6
24	23	oveq2d 5904	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 5906	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4106	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2202	. 2
28		oveq2 5896	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4106	. . . 4
30	29	oveq2d 5904	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 5895	. . . . . 6
33	32	oveq2d 5904	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 5906	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4106	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2202	. 2
37		exp1 10540	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4101	. . . . 5
39		mptresid 4973	. . . . 5
40	38, 39	eqtri 2208	. . . 4
41	40	oveq2i 5899	. . 3
42		1m1e0 9002	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 5899	. . . . . . . . 9
44		exp0 10538	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrid 2232	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 5904	. . . . . . 7
47		1t1e1 9085	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2236	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4101	. . . . 5
50		fconstmpt 4685	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2211	. . . 4
52		dvid 14515	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2211	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2211	. 2
55		nncn 8941	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 7918	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 8177	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 5904	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 5904	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9197	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10552	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 7997	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mulid2d 7990	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 5904	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2224	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4105	. . . . . 6
72		cnex 7949	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 7992	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9231	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10552	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 7992	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2188	. . . . . . . . 9
81	39	eqcomi 2191	. . . . . . . . . 10
82	81	a1i 9	. . . . . . . . 9
83	73, 78, 79, 80, 82	offval2 6112	. . . . . . . 8
84	56, 77, 79	mulassd 7995	. . . . . . . . . 10 $/\$
85		expm1t 10562	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
86	85	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
87	86	oveq2d 5904	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	84, 87	eqtr4d 2223	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88	mpteq2dva 4105	. . . . . . . 8
90	83, 89	eqtrd 2220	. . . . . . 7
91	52, 50	eqtri 2208	. . . . . . . . . 10
92	91	a1i 9	. . . . . . . . 9
93		eqidd 2188	. . . . . . . . 9
94	73, 62, 66, 92, 93	offval2 6112	. . . . . . . 8
95	68	mpteq2dva 4105	. . . . . . . 8
96	94, 95	eqtrd 2220	. . . . . . 7
97	73, 74, 66, 90, 96	offval2 6112	. . . . . 6
98	71, 97	eqtr4d 2223	. . . . 5
99		oveq1 5895	. . . . . . 7
100	99	oveq1d 5903	. . . . . 6
101	100	eqcomd 2193	. . . . 5
102	98, 101	sylan9eq 2240	. . . 4 $/\$
103		cnelprrecn 7961	. . . . . 6
104	103	a1i 9	. . . . 5 $/\$
105		ssidd 3188	. . . . 5 $/\$
106	66	fmpttd 5684	. . . . . 6
107	106	adantr 276	. . . . 5 $/\$
108		f1oi 5511	. . . . . 6
109		f1of 5473	. . . . . 6
110	108, 109	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
111		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
112	111	dmeqd 4841	. . . . . 6 $/\$
113	78	fmpttd 5684	. . . . . . . 8
114	113	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
115	114	fdmd 5384	. . . . . 6 $/\$
116	112, 115	eqtrd 2220	. . . . 5 $/\$
117		1ex 7966	. . . . . . . . 9
118	117	fconst 5423	. . . . . . . 8
119	52	feq1i 5370	. . . . . . . 8
120	118, 119	mpbir 146	. . . . . . 7
121	120	fdmi 5385	. . . . . 6
122	121	a1i 9	. . . . 5 $/\$
123	104, 105, 107, 110, 116, 122	dvimulf 14523	. . . 4 $/\$
124	73, 66, 79, 93, 82	offval2 6112	. . . . . . 7
125		expp1 10541	. . . . . . . . 9 $/\$
126	63, 64, 125	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
127	126	mpteq2dva 4105	. . . . . . 7
128	124, 127	eqtr4d 2223	. . . . . 6
129	128	oveq2d 5904	. . . . 5
130	129	adantr 276	. . . 4 $/\$
131	102, 123, 130	3eqtr2rd 2227	. . 3 $/\$
132	131	ex 115	. 2
133	9, 18, 27, 36, 54, 132	nnind 8949	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1363

wcel 2158

cvv 2749

csn 3604

cpr 3605

cmpt 4076

cid 4300

cxp 4636

cdm 4638

cres 4640

wf 5224

wf1o 5227 (class class class)co 5888

cof 6095

cc 7823

cr 7824

cc0 7825

c1 7826

caddc 7828

cmul 7830

cmin 8142

cn 8933

cn0 9190

cexp 10533

cdv 14477

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-nul 4141 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-iinf 4599 ax-cnex 7916 ax-resscn 7917 ax-1cn 7918 ax-1re 7919 ax-icn 7920 ax-addcl 7921 ax-addrcl 7922 ax-mulcl 7923 ax-mulrcl 7924 ax-addcom 7925 ax-mulcom 7926 ax-addass 7927 ax-mulass 7928 ax-distr 7929 ax-i2m1 7930 ax-0lt1 7931 ax-1rid 7932 ax-0id 7933 ax-rnegex 7934 ax-precex 7935 ax-cnre 7936 ax-pre-ltirr 7937 ax-pre-ltwlin 7938 ax-pre-lttrn 7939 ax-pre-apti 7940 ax-pre-ltadd 7941 ax-pre-mulgt0 7942 ax-pre-mulext 7943 ax-arch 7944 ax-caucvg 7945 ax-addf 7947 ax-mulf 7948

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 980 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-if 3547 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-tr 4114 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-iord 4378 df-on 4380 df-ilim 4381 df-suc 4383 df-iom 4602 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-isom 5237 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-of 6097 df-1st 6155 df-2nd 6156 df-recs 6320 df-frec 6406 df-map 6664 df-pm 6665 df-sup 6997 df-inf 6998 df-pnf 8008 df-mnf 8009 df-xr 8010 df-ltxr 8011 df-le 8012 df-sub 8144 df-neg 8145 df-reap 8546 df-ap 8553 df-div 8644 df-inn 8934 df-2 8992 df-3 8993 df-4 8994 df-n0 9191 df-z 9268 df-uz 9543 df-q 9634 df-rp 9668 df-xneg 9786 df-xadd 9787 df-seqfrec 10460 df-exp 10534 df-cj 10865 df-re 10866 df-im 10867 df-rsqrt 11021 df-abs 11022 df-rest 12708 df-topgen 12727 df-psmet 13786 df-xmet 13787 df-met 13788 df-bl 13789 df-mopn 13790 df-top 13851 df-topon 13864 df-bases 13896 df-ntr 13949 df-cn 14041 df-cnp 14042 df-tx 14106 df-cncf 14411 df-limced 14478 df-dvap 14479

This theorem is referenced by: dvexp2 14529

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