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Theorem dvexp 15031

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5933	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4125	. . . 4
3	2	oveq2d 5941	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 5932	. . . . . 6
6	5	oveq2d 5941	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 5943	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4125	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2211	. 2
10		oveq2 5933	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4125	. . . 4
12	11	oveq2d 5941	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 5932	. . . . . 6
15	14	oveq2d 5941	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 5943	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4125	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2211	. 2
19		oveq2 5933	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4125	. . . 4
21	20	oveq2d 5941	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 5932	. . . . . 6
24	23	oveq2d 5941	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 5943	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4125	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2211	. 2
28		oveq2 5933	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4125	. . . 4
30	29	oveq2d 5941	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 5932	. . . . . 6
33	32	oveq2d 5941	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 5943	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4125	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2211	. 2
37		exp1 10654	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4120	. . . . 5
39		mptresid 5001	. . . . 5
40	38, 39	eqtr4i 2220	. . . 4
41	40	oveq2i 5936	. . 3
42		1m1e0 9076	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 5936	. . . . . . . . 9
44		exp0 10652	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrid 2241	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 5941	. . . . . . 7
47		1t1e1 9160	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2245	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4120	. . . . 5
50		fconstmpt 4711	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2220	. . . 4
52		dvid 15015	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2220	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2220	. 2
55		nncn 9015	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 8249	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 5941	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9273	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10666	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 8069	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mulid2d 8062	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2233	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4124	. . . . . 6
72		cnex 8020	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 8064	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9307	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 8064	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2197	. . . . . . . . 9
81	39	a1i 9	. . . . . . . . 9
82	73, 78, 79, 80, 81	offval2 6155	. . . . . . . 8
83	56, 77, 79	mulassd 8067	. . . . . . . . . 10 $/\$
84		expm1t 10676	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85	84	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
86	85	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	83, 86	eqtr4d 2232	. . . . . . . . 9 $/\$
88	87	mpteq2dva 4124	. . . . . . . 8
89	82, 88	eqtrd 2229	. . . . . . 7
90	52, 50	eqtri 2217	. . . . . . . . . 10
91	90	a1i 9	. . . . . . . . 9
92		eqidd 2197	. . . . . . . . 9
93	73, 62, 66, 91, 92	offval2 6155	. . . . . . . 8
94	68	mpteq2dva 4124	. . . . . . . 8
95	93, 94	eqtrd 2229	. . . . . . 7
96	73, 74, 66, 89, 95	offval2 6155	. . . . . 6
97	71, 96	eqtr4d 2232	. . . . 5
98		oveq1 5932	. . . . . . 7
99	98	oveq1d 5940	. . . . . 6
100	99	eqcomd 2202	. . . . 5
101	97, 100	sylan9eq 2249	. . . 4 $/\$
102		cnelprrecn 8032	. . . . . 6
103	102	a1i 9	. . . . 5 $/\$
104		ssidd 3205	. . . . 5 $/\$
105	66	fmpttd 5720	. . . . . 6
106	105	adantr 276	. . . . 5 $/\$
107		f1oi 5545	. . . . . 6
108		f1of 5507	. . . . . 6
109	107, 108	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
110		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
111	110	dmeqd 4869	. . . . . 6 $/\$
112	78	fmpttd 5720	. . . . . . . 8
113	112	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
114	113	fdmd 5417	. . . . . 6 $/\$
115	111, 114	eqtrd 2229	. . . . 5 $/\$
116		1ex 8038	. . . . . . . . 9
117	116	fconst 5456	. . . . . . . 8
118	52	feq1i 5403	. . . . . . . 8
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . 7
120	119	fdmi 5418	. . . . . 6
121	120	a1i 9	. . . . 5 $/\$
122	103, 104, 106, 109, 115, 121	dvimulf 15026	. . . 4 $/\$
123	73, 66, 79, 92, 81	offval2 6155	. . . . . . 7
124		expp1 10655	. . . . . . . . 9 $/\$
125	63, 64, 124	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
126	125	mpteq2dva 4124	. . . . . . 7
127	123, 126	eqtr4d 2232	. . . . . 6
128	127	oveq2d 5941	. . . . 5
129	128	adantr 276	. . . 4 $/\$
130	101, 122, 129	3eqtr2rd 2236	. . 3 $/\$
131	130	ex 115	. 2
132	9, 18, 27, 36, 54, 131	nnind 9023	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1364

wcel 2167

cvv 2763

csn 3623

cpr 3624

cmpt 4095

cid 4324

cxp 4662

cdm 4664

cres 4666

wf 5255

wf1o 5258 (class class class)co 5925

cof 6137

cc 7894

cr 7895

cc0 7896

c1 7897

caddc 7899

cmul 7901

cmin 8214

cn 9007

cn0 9266

cexp 10647

cdv 14975

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016 ax-addf 8018 ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-of 6139 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-map 6718 df-pm 6719 df-sup 7059 df-inf 7060 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-xneg 9864 df-xadd 9865 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-rest 12943 df-topgen 12962 df-psmet 14175 df-xmet 14176 df-met 14177 df-bl 14178 df-mopn 14179 df-top 14318 df-topon 14331 df-bases 14363 df-ntr 14416 df-cn 14508 df-cnp 14509 df-tx 14573 df-cncf 14891 df-limced 14976 df-dvap 14977

This theorem is referenced by: dvexp2 15032

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