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Theorem dvexp 15593
Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvexp |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
Distinct variable group:   x, N
Proof of Theorem dvexp
Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6060 . . . . 5 |- ( n = 1 -> ( x ^ n ) = ( x ^ 1 ) )
21mpteq2dv 4203 . . . 4 |- ( n = 1 -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) )
32oveq2d 6068 . . 3 |- ( n = 1 -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) )
4 id 19 . . . . 5 |- ( n = 1 -> n = 1 )
5 oveq1 6059 . . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( n - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
65oveq2d 6068 . . . . 5 |- ( n = 1 -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( 1 - 1 ) ) )
74, 6oveq12d 6070 . . . 4 |- ( n = 1 -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
87mpteq2dv 4203 . . 3 |- ( n = 1 -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) )
93, 8eqeq12d 2249 . 2 |- ( n = 1 -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) ) )
10 oveq2 6060 . . . . 5 |- ( n = k -> ( x ^ n ) = ( x ^ k ) )
1110mpteq2dv 4203 . . . 4 |- ( n = k -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
1211oveq2d 6068 . . 3 |- ( n = k -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) )
13 id 19 . . . . 5 |- ( n = k -> n = k )
14 oveq1 6059 . . . . . 6 |- ( n = k -> ( n - 1 ) = ( k - 1 ) )
1514oveq2d 6068 . . . . 5 |- ( n = k -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( k - 1 ) ) )
1613, 15oveq12d 6070 . . . 4 |- ( n = k -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) )
1716mpteq2dv 4203 . . 3 |- ( n = k -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
1812, 17eqeq12d 2249 . 2 |- ( n = k -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) )
19 oveq2 6060 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x ^ n ) = ( x ^ ( k + 1 ) ) )
2019mpteq2dv 4203 . . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) )
2120oveq2d 6068 . . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
22 id 19 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
23 oveq1 6059 . . . . . 6 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n - 1 ) = ( ( k + 1 ) - 1 ) )
2423oveq2d 6068 . . . . 5 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) )
2522, 24oveq12d 6070 . . . 4 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) )
2625mpteq2dv 4203 . . 3 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
2721, 26eqeq12d 2249 . 2 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
28 oveq2 6060 . . . . 5 |- ( n = N -> ( x ^ n ) = ( x ^ N ) )
2928mpteq2dv 4203 . . . 4 |- ( n = N -> ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) )
3029oveq2d 6068 . . 3 |- ( n = N -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) )
31 id 19 . . . . 5 |- ( n = N -> n = N )
32 oveq1 6059 . . . . . 6 |- ( n = N -> ( n - 1 ) = ( N - 1 ) )
3332oveq2d 6068 . . . . 5 |- ( n = N -> ( x ^ ( n - 1 ) ) = ( x ^ ( N - 1 ) ) )
3431, 33oveq12d 6070 . . . 4 |- ( n = N -> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) = ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) )
3534mpteq2dv 4203 . . 3 |- ( n = N -> ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
3630, 35eqeq12d 2249 . 2 |- ( n = N -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ n ) ) ) = ( x e. CC |-> ( n x. ( x ^ ( n - 1 ) ) ) ) <-> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) ) )
37 exp1 10911 . . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( x ^ 1 ) = x )
3837mpteq2ia 4198 . . . . 5 |- ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) = ( x e. CC |-> x )
39 mptresid 5094 . . . . 5 |- ( _I |` CC ) = ( x e. CC |-> x )
4038, 39eqtr4i 2258 . . . 4 |- ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) = ( _I |` CC )
4140oveq2i 6063 . . 3 |- ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( CC _D ( _I |` CC ) )
42 1m1e0 9308 . . . . . . . . . 10 |- ( 1 - 1 ) = 0
4342oveq2i 6063 . . . . . . . . 9 |- ( x ^ ( 1 - 1 ) ) = ( x ^ 0 )
44 exp0 10909 . . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( x ^ 0 ) = 1 )
4543, 44eqtrid 2279 . . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( x ^ ( 1 - 1 ) ) = 1 )
4645oveq2d 6068 . . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) = ( 1 x. 1 ) )
47 1t1e1 9392 . . . . . . 7 |- ( 1 x. 1 ) = 1
4846, 47eqtrdi 2283 . . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) = 1 )
4948mpteq2ia 4198 . . . . 5 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> 1 )
50 fconstmpt 4799 . . . . 5 |- ( CC X. { 1 } ) = ( x e. CC |-> 1 )
5149, 50eqtr4i 2258 . . . 4 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( CC X. { 1 } )
52 dvid 15577 . . . 4 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( CC X. { 1 } )
5351, 52eqtr4i 2258 . . 3 |- ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) ) = ( CC _D ( _I |` CC ) )
5441, 53eqtr4i 2258 . 2 |- ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ ( 1 - 1 ) ) ) )
55 nncn 9247 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. CC )
5655adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> k e. CC )
57 ax-1cn 8222 . . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
58 pncan 8481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
5956, 57, 58sylancl 413 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
6059oveq2d 6068 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( x ^ k ) )
6160oveq2d 6068 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( k + 1 ) x. ( x ^ k ) ) )
6257a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
63 id 19 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x e. CC )
64 nnnn0 9505 . . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
65 expcl 10923 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ k ) e. CC )
6663, 64, 65syl2anr 290 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ k ) e. CC )
6756, 62, 66adddird 8301 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ k ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) )
6866mullidd 8294 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( 1 x. ( x ^ k ) ) = ( x ^ k ) )
6968oveq2d 6068 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) )
7061, 67, 693eqtrd 2271 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) )
7170mpteq2dva 4202 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) ) )
72 cnex 8253 . . . . . . . 8 |- CC e. _V
7372a1i 9 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> CC e. _V )
7456, 66mulcld 8296 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ k ) ) e. CC )
75 nnm1nn0 9539 . . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> ( k - 1 ) e. NN0 )
76 expcl 10923 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( k - 1 ) e. NN0 ) -> ( x ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
7763, 75, 76syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( k - 1 ) ) e. CC )
7856, 77mulcld 8296 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) e. CC )
79 simpr 110 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> x e. CC )
80 eqidd 2235 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
8139a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( _I |` CC ) = ( x e. CC |-> x ) )
8273, 78, 79, 80, 81offval2 6284 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) ) )
8356, 77, 79mulassd 8299 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) = ( k x. ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) ) )
84 expm1t 10933 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN ) -> ( x ^ k ) = ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) )
8584ancoms 268 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ k ) = ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) )
8685oveq2d 6068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( k x. ( x ^ k ) ) = ( k x. ( ( x ^ ( k - 1 ) ) x. x ) ) )
8783, 86eqtr4d 2270 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) = ( k x. ( x ^ k ) ) )
8887mpteq2dva 4202 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ k ) ) ) )
8982, 88eqtrd 2267 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ k ) ) ) )
9052, 50eqtri 2255 . . . . . . . . . 10 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> 1 )
9190a1i 9 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( CC _D ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
92 eqidd 2235 . . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9373, 62, 66, 91, 92offval2 6284 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) )
9468mpteq2dva 4202 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( 1 x. ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9593, 94eqtrd 2267 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) )
9673, 74, 66, 89, 95offval2 6284 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k x. ( x ^ k ) ) + ( x ^ k ) ) ) )
9771, 96eqtr4d 2270 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
98 oveq1 6059 . . . . . . 7 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) )
9998oveq1d 6067 . . . . . 6 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
10099eqcomd 2240 . . . . 5 |- ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( ( ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
10197, 100sylan9eq 2287 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
102 cnelprrecn 8265 . . . . . 6 |- CC e. { RR , CC }
103102a1i 9 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> CC e. { RR , CC } )
104 ssidd 3261 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> CC C_ CC )
10566fmpttd 5834 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
106105adantr 276 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) : CC --> CC )
107 f1oi 5656 . . . . . 6 |- ( _I |` CC ) : CC -1-1-onto-> CC
108 f1of 5616 . . . . . 6 |- ( ( _I |` CC ) : CC -1-1-onto-> CC -> ( _I |` CC ) : CC --> CC )
109107, 108mp1i 10 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( _I |` CC ) : CC --> CC )
110 simpr 110 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
111110dmeqd 4960 . . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = dom ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) )
11278fmpttd 5834 . . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) : CC --> CC )
113112adantr 276 . . . . . . 7 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) : CC --> CC )
114113fdmd 5517 . . . . . 6 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) = CC )
115111, 114eqtrd 2267 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = CC )
116 1ex 8271 . . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
117116fconst 5565 . . . . . . . 8 |- ( CC X. { 1 } ) : CC --> { 1 }
11852feq1i 5503 . . . . . . . 8 |- ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) : CC --> { 1 } <-> ( CC X. { 1 } ) : CC --> { 1 } )
119117, 118mpbir 146 . . . . . . 7 |- ( CC _D ( _I |` CC ) ) : CC --> { 1 }
120119fdmi 5518 . . . . . 6 |- dom ( CC _D ( _I |` CC ) ) = CC
121120a1i 9 . . . . 5 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> dom ( CC _D ( _I |` CC ) ) = CC )
122103, 104, 106, 109, 115, 121dvimulf 15588 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) oF + ( ( CC _D ( _I |` CC ) ) oF x. ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) ) )
12373, 66, 79, 92, 81offval2 6284 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( ( x ^ k ) x. x ) ) )
124 expp1 10912 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( x ^ ( k + 1 ) ) = ( ( x ^ k ) x. x ) )
12563, 64, 124syl2anr 290 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ x e. CC ) -> ( x ^ ( k + 1 ) ) = ( ( x ^ k ) x. x ) )
126125mpteq2dva 4202 . . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( x ^ k ) x. x ) ) )
127123, 126eqtr4d 2270 . . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) = ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) )
128127oveq2d 6068 . . . . 5 |- ( k e. NN -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
129128adantr 276 . . . 4 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) oF x. ( _I |` CC ) ) ) = ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
130101, 122, 1293eqtr2rd 2274 . . 3 |- ( ( k e. NN /\ ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
131130ex 115 . 2 |- ( k e. NN -> ( ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ k ) ) ) = ( x e. CC |-> ( k x. ( x ^ ( k - 1 ) ) ) ) -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ ( k + 1 ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( k + 1 ) x. ( x ^ ( ( k + 1 ) - 1 ) ) ) ) ) )
1329, 18, 27, 36, 54, 131nnind 9255 1 |- ( N e. NN -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( x ^ N ) ) ) = ( x e. CC |-> ( N x. ( x ^ ( N - 1 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3691   {cpr 3692   |-> cmpt 4173   _I cid 4411   X. cxp 4749   dom cdm 4751   |` cres 4753   -->wf 5350   -1-1-onto->wf1o 5353  (class class class)co 6052   oFcof 6266   CCcc 8127   RRcr 8128   0cc0 8129   1c1 8130   + caddc 8132   x. cmul 8134   - cmin 8446   NNcn 9239   NN0cn0 9498   ^cexp 10904   _D cdv 15537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249  ax-addf 8251  ax-mulf 8252
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-map 6886  df-pm 6887  df-sup 7277  df-inf 7278  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-xneg 10108  df-xadd 10109  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-rest 13471  df-topgen 13490  df-psmet 14708  df-xmet 14709  df-met 14710  df-bl 14711  df-mopn 14712  df-top 14880  df-topon 14893  df-bases 14925  df-ntr 14978  df-cn 15070  df-cnp 15071  df-tx 15135  df-cncf 15453  df-limced 15538  df-dvap 15539
This theorem is referenced by:  dvexp2  15594
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