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Theorem dvexp 14860

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5926	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4120	. . . 4
3	2	oveq2d 5934	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 5925	. . . . . 6
6	5	oveq2d 5934	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 5936	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4120	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2208	. 2
10		oveq2 5926	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4120	. . . 4
12	11	oveq2d 5934	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 5925	. . . . . 6
15	14	oveq2d 5934	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 5936	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4120	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2208	. 2
19		oveq2 5926	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4120	. . . 4
21	20	oveq2d 5934	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 5925	. . . . . 6
24	23	oveq2d 5934	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 5936	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4120	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2208	. 2
28		oveq2 5926	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4120	. . . 4
30	29	oveq2d 5934	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 5925	. . . . . 6
33	32	oveq2d 5934	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 5936	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4120	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2208	. 2
37		exp1 10616	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4115	. . . . 5
39		mptresid 4996	. . . . 5
40	38, 39	eqtr4i 2217	. . . 4
41	40	oveq2i 5929	. . 3
42		1m1e0 9051	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 5929	. . . . . . . . 9
44		exp0 10614	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrid 2238	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 5934	. . . . . . 7
47		1t1e1 9134	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2242	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4115	. . . . 5
50		fconstmpt 4706	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2217	. . . 4
52		dvid 14847	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2217	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2217	. 2
55		nncn 8990	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 7965	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 8225	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 5934	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9247	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10628	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 8045	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mulid2d 8038	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2230	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4119	. . . . . 6
72		cnex 7996	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 8040	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9281	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10628	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 8040	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2194	. . . . . . . . 9
81	39	a1i 9	. . . . . . . . 9
82	73, 78, 79, 80, 81	offval2 6146	. . . . . . . 8
83	56, 77, 79	mulassd 8043	. . . . . . . . . 10 $/\$
84		expm1t 10638	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85	84	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
86	85	oveq2d 5934	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	83, 86	eqtr4d 2229	. . . . . . . . 9 $/\$
88	87	mpteq2dva 4119	. . . . . . . 8
89	82, 88	eqtrd 2226	. . . . . . 7
90	52, 50	eqtri 2214	. . . . . . . . . 10
91	90	a1i 9	. . . . . . . . 9
92		eqidd 2194	. . . . . . . . 9
93	73, 62, 66, 91, 92	offval2 6146	. . . . . . . 8
94	68	mpteq2dva 4119	. . . . . . . 8
95	93, 94	eqtrd 2226	. . . . . . 7
96	73, 74, 66, 89, 95	offval2 6146	. . . . . 6
97	71, 96	eqtr4d 2229	. . . . 5
98		oveq1 5925	. . . . . . 7
99	98	oveq1d 5933	. . . . . 6
100	99	eqcomd 2199	. . . . 5
101	97, 100	sylan9eq 2246	. . . 4 $/\$
102		cnelprrecn 8008	. . . . . 6
103	102	a1i 9	. . . . 5 $/\$
104		ssidd 3200	. . . . 5 $/\$
105	66	fmpttd 5713	. . . . . 6
106	105	adantr 276	. . . . 5 $/\$
107		f1oi 5538	. . . . . 6
108		f1of 5500	. . . . . 6
109	107, 108	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
110		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
111	110	dmeqd 4864	. . . . . 6 $/\$
112	78	fmpttd 5713	. . . . . . . 8
113	112	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
114	113	fdmd 5410	. . . . . 6 $/\$
115	111, 114	eqtrd 2226	. . . . 5 $/\$
116		1ex 8014	. . . . . . . . 9
117	116	fconst 5449	. . . . . . . 8
118	52	feq1i 5396	. . . . . . . 8
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . 7
120	119	fdmi 5411	. . . . . 6
121	120	a1i 9	. . . . 5 $/\$
122	103, 104, 106, 109, 115, 121	dvimulf 14855	. . . 4 $/\$
123	73, 66, 79, 92, 81	offval2 6146	. . . . . . 7
124		expp1 10617	. . . . . . . . 9 $/\$
125	63, 64, 124	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
126	125	mpteq2dva 4119	. . . . . . 7
127	123, 126	eqtr4d 2229	. . . . . 6
128	127	oveq2d 5934	. . . . 5
129	128	adantr 276	. . . 4 $/\$
130	101, 122, 129	3eqtr2rd 2233	. . 3 $/\$
131	130	ex 115	. 2
132	9, 18, 27, 36, 54, 131	nnind 8998	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1364

wcel 2164

cvv 2760

csn 3618

cpr 3619

cmpt 4090

cid 4319

cxp 4657

cdm 4659

cres 4661

wf 5250

wf1o 5253 (class class class)co 5918

cof 6128

cc 7870

cr 7871

cc0 7872

c1 7873

caddc 7875

cmul 7877

cmin 8190

cn 8982

cn0 9240

cexp 10609

cdv 14809

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4144 ax-sep 4147 ax-nul 4155 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-iinf 4620 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990 ax-arch 7991 ax-caucvg 7992 ax-addf 7994 ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-csb 3081 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-nul 3447 df-if 3558 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-int 3871 df-iun 3914 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-tr 4128 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-iord 4397 df-on 4399 df-ilim 4400 df-suc 4402 df-iom 4623 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-f1 5259 df-fo 5260 df-f1o 5261 df-fv 5262 df-isom 5263 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-of 6130 df-1st 6193 df-2nd 6194 df-recs 6358 df-frec 6444 df-map 6704 df-pm 6705 df-sup 7043 df-inf 7044 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-inn 8983 df-2 9041 df-3 9042 df-4 9043 df-n0 9241 df-z 9318 df-uz 9593 df-q 9685 df-rp 9720 df-xneg 9838 df-xadd 9839 df-seqfrec 10519 df-exp 10610 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988 df-rsqrt 11142 df-abs 11143 df-rest 12852 df-topgen 12871 df-psmet 14039 df-xmet 14040 df-met 14041 df-bl 14042 df-mopn 14043 df-top 14166 df-topon 14179 df-bases 14211 df-ntr 14264 df-cn 14356 df-cnp 14357 df-tx 14421 df-cncf 14726 df-limced 14810 df-dvap 14811

This theorem is referenced by: dvexp2 14861

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