dvexp - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem dvexp 14890

Description: Derivative of a power function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
dvexp

Distinct variable group:

Proof of Theorem dvexp Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5927	. . . . 5
2	1	mpteq2dv 4121	. . . 4
3	2	oveq2d 5935	. . 3
4		id 19	. . . . 5
5		oveq1 5926	. . . . . 6
6	5	oveq2d 5935	. . . . 5
7	4, 6	oveq12d 5937	. . . 4
8	7	mpteq2dv 4121	. . 3
9	3, 8	eqeq12d 2208	. 2
10		oveq2 5927	. . . . 5
11	10	mpteq2dv 4121	. . . 4
12	11	oveq2d 5935	. . 3
13		id 19	. . . . 5
14		oveq1 5926	. . . . . 6
15	14	oveq2d 5935	. . . . 5
16	13, 15	oveq12d 5937	. . . 4
17	16	mpteq2dv 4121	. . 3
18	12, 17	eqeq12d 2208	. 2
19		oveq2 5927	. . . . 5
20	19	mpteq2dv 4121	. . . 4
21	20	oveq2d 5935	. . 3
22		id 19	. . . . 5
23		oveq1 5926	. . . . . 6
24	23	oveq2d 5935	. . . . 5
25	22, 24	oveq12d 5937	. . . 4
26	25	mpteq2dv 4121	. . 3
27	21, 26	eqeq12d 2208	. 2
28		oveq2 5927	. . . . 5
29	28	mpteq2dv 4121	. . . 4
30	29	oveq2d 5935	. . 3
31		id 19	. . . . 5
32		oveq1 5926	. . . . . 6
33	32	oveq2d 5935	. . . . 5
34	31, 33	oveq12d 5937	. . . 4
35	34	mpteq2dv 4121	. . 3
36	30, 35	eqeq12d 2208	. 2
37		exp1 10619	. . . . . 6
38	37	mpteq2ia 4116	. . . . 5
39		mptresid 4997	. . . . 5
40	38, 39	eqtr4i 2217	. . . 4
41	40	oveq2i 5930	. . 3
42		1m1e0 9053	. . . . . . . . . 10
43	42	oveq2i 5930	. . . . . . . . 9
44		exp0 10617	. . . . . . . . 9
45	43, 44	eqtrid 2238	. . . . . . . 8
46	45	oveq2d 5935	. . . . . . 7
47		1t1e1 9137	. . . . . . 7
48	46, 47	eqtrdi 2242	. . . . . 6
49	48	mpteq2ia 4116	. . . . 5
50		fconstmpt 4707	. . . . 5
51	49, 50	eqtr4i 2217	. . . 4
52		dvid 14874	. . . 4
53	51, 52	eqtr4i 2217	. . 3
54	41, 53	eqtr4i 2217	. 2
55		nncn 8992	. . . . . . . . . . . 12
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$
57		ax-1cn 7967	. . . . . . . . . . 11
58		pncan 8227	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $/\$
60	59	oveq2d 5935	. . . . . . . . 9 $/\$
61	60	oveq2d 5935	. . . . . . . 8 $/\$
62	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$
63		id 19	. . . . . . . . . 10
64		nnnn0 9250	. . . . . . . . . 10
65		expcl 10631	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	63, 64, 65	syl2anr 290	. . . . . . . . 9 $/\$
67	56, 62, 66	adddird 8047	. . . . . . . 8 $/\$
68	66	mulid2d 8040	. . . . . . . . 9 $/\$
69	68	oveq2d 5935	. . . . . . . 8 $/\$
70	61, 67, 69	3eqtrd 2230	. . . . . . 7 $/\$
71	70	mpteq2dva 4120	. . . . . 6
72		cnex 7998	. . . . . . . 8
73	72	a1i 9	. . . . . . 7
74	56, 66	mulcld 8042	. . . . . . 7 $/\$
75		nnm1nn0 9284	. . . . . . . . . . 11
76		expcl 10631	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77	63, 75, 76	syl2anr 290	. . . . . . . . . 10 $/\$
78	56, 77	mulcld 8042	. . . . . . . . 9 $/\$
79		simpr 110	. . . . . . . . 9 $/\$
80		eqidd 2194	. . . . . . . . 9
81	39	a1i 9	. . . . . . . . 9
82	73, 78, 79, 80, 81	offval2 6148	. . . . . . . 8
83	56, 77, 79	mulassd 8045	. . . . . . . . . 10 $/\$
84		expm1t 10641	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
85	84	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$
86	85	oveq2d 5935	. . . . . . . . . 10 $/\$
87	83, 86	eqtr4d 2229	. . . . . . . . 9 $/\$
88	87	mpteq2dva 4120	. . . . . . . 8
89	82, 88	eqtrd 2226	. . . . . . 7
90	52, 50	eqtri 2214	. . . . . . . . . 10
91	90	a1i 9	. . . . . . . . 9
92		eqidd 2194	. . . . . . . . 9
93	73, 62, 66, 91, 92	offval2 6148	. . . . . . . 8
94	68	mpteq2dva 4120	. . . . . . . 8
95	93, 94	eqtrd 2226	. . . . . . 7
96	73, 74, 66, 89, 95	offval2 6148	. . . . . 6
97	71, 96	eqtr4d 2229	. . . . 5
98		oveq1 5926	. . . . . . 7
99	98	oveq1d 5934	. . . . . 6
100	99	eqcomd 2199	. . . . 5
101	97, 100	sylan9eq 2246	. . . 4 $/\$
102		cnelprrecn 8010	. . . . . 6
103	102	a1i 9	. . . . 5 $/\$
104		ssidd 3201	. . . . 5 $/\$
105	66	fmpttd 5714	. . . . . 6
106	105	adantr 276	. . . . 5 $/\$
107		f1oi 5539	. . . . . 6
108		f1of 5501	. . . . . 6
109	107, 108	mp1i 10	. . . . 5 $/\$
110		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$
111	110	dmeqd 4865	. . . . . 6 $/\$
112	78	fmpttd 5714	. . . . . . . 8
113	112	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$
114	113	fdmd 5411	. . . . . 6 $/\$
115	111, 114	eqtrd 2226	. . . . 5 $/\$
116		1ex 8016	. . . . . . . . 9
117	116	fconst 5450	. . . . . . . 8
118	52	feq1i 5397	. . . . . . . 8
119	117, 118	mpbir 146	. . . . . . 7
120	119	fdmi 5412	. . . . . 6
121	120	a1i 9	. . . . 5 $/\$
122	103, 104, 106, 109, 115, 121	dvimulf 14885	. . . 4 $/\$
123	73, 66, 79, 92, 81	offval2 6148	. . . . . . 7
124		expp1 10620	. . . . . . . . 9 $/\$
125	63, 64, 124	syl2anr 290	. . . . . . . 8 $/\$
126	125	mpteq2dva 4120	. . . . . . 7
127	123, 126	eqtr4d 2229	. . . . . 6
128	127	oveq2d 5935	. . . . 5
129	128	adantr 276	. . . 4 $/\$
130	101, 122, 129	3eqtr2rd 2233	. . 3 $/\$
131	130	ex 115	. 2
132	9, 18, 27, 36, 54, 131	nnind 9000	1

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wceq 1364

wcel 2164

cvv 2760

csn 3619

cpr 3620

cmpt 4091

cid 4320

cxp 4658

cdm 4660

cres 4662

wf 5251

wf1o 5254 (class class class)co 5919

cof 6130

cc 7872

cr 7873

cc0 7874

c1 7875

caddc 7877

cmul 7879

cmin 8192

cn 8984

cn0 9243

cexp 10612

cdv 14834

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992 ax-arch 7993 ax-caucvg 7994 ax-addf 7996 ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-isom 5264 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-of 6132 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-frec 6446 df-map 6706 df-pm 6707 df-sup 7045 df-inf 7046 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-q 9688 df-rp 9723 df-xneg 9841 df-xadd 9842 df-seqfrec 10522 df-exp 10613 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991 df-rsqrt 11145 df-abs 11146 df-rest 12855 df-topgen 12874 df-psmet 14042 df-xmet 14043 df-met 14044 df-bl 14045 df-mopn 14046 df-top 14177 df-topon 14190 df-bases 14222 df-ntr 14275 df-cn 14367 df-cnp 14368 df-tx 14432 df-cncf 14750 df-limced 14835 df-dvap 14836

This theorem is referenced by: dvexp2 14891

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