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Theorem resqrexlemover 10961

Description: Lemma for resqrex 10977. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5494	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5865	. . . . 5
3	2	breq2d 3999	. . . 4
4	3	imbi2d 229	. . 3
5		fveq2 5494	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5865	. . . . 5
7	6	breq2d 3999	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		fveq2 5494	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5865	. . . . 5
11	10	breq2d 3999	. . . 4
12	11	imbi2d 229	. . 3
13		fveq2 5494	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5865	. . . . 5
15	14	breq2d 3999	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10622	. . . . . 6
19		2re 8935	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 7937	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 7936	. . . . 5
23		1red 7922	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 7936	. . . . 5
25	17	recnd 7935	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 7925	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9073	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8761	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 423	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1237	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4011	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10623	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8440	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 146	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8030	. . . . 5
37	22	ltp1d 8833	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8031	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 10959	. . . . . . 7
41		1cnd 7923	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8057	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2203	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5865	. . . . 5
45		binom21 10575	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2203	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4015	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 10958	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelrnda 5628	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9640	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9672	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8287	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10622	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 8942	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10622	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8287	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8438	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9643	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8838	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 7935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10594	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9646	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8734	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8699	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4013	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8535	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10624	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 8962	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8838	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8534	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8739	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8436	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 10960	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 7936	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 7935	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 8938	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 8958	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10609	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10558	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5861	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8696	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 7935	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10576	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10574	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 7927	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 8943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 7927	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 7929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 8936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 7932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 7915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addid2i 8049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 8992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2212	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 7937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8287	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 7937	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10622	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 7894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 7894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 7894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 7891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6030	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2214	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5865	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2203	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8217	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10594	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8733	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8699	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5866	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2207	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 3999	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 114	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 115	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8881	. 2
187	186	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 973

wceq 1348

wcel 2141

csn 3581 class class class wbr 3987

cxp 4607

cfv 5196 (class class class)co 5850

cmpo 5852

cc 7759

cr 7760

cc0 7761

c1 7762

caddc 7764

cmul 7766

clt 7941

cle 7942

cmin 8077

cneg 8078 # cap 8487

cdiv 8576

cn 8865

c2 8916

c4 8918

crp 9597

cseq 10388

cexp 10462

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4102 ax-sep 4105 ax-nul 4113 ax-pow 4158 ax-pr 4192 ax-un 4416 ax-setind 4519 ax-iinf 4570 ax-cnex 7852 ax-resscn 7853 ax-1cn 7854 ax-1re 7855 ax-icn 7856 ax-addcl 7857 ax-addrcl 7858 ax-mulcl 7859 ax-mulrcl 7860 ax-addcom 7861 ax-mulcom 7862 ax-addass 7863 ax-mulass 7864 ax-distr 7865 ax-i2m1 7866 ax-0lt1 7867 ax-1rid 7868 ax-0id 7869 ax-rnegex 7870 ax-precex 7871 ax-cnre 7872 ax-pre-ltirr 7873 ax-pre-ltwlin 7874 ax-pre-lttrn 7875 ax-pre-apti 7876 ax-pre-ltadd 7877 ax-pre-mulgt0 7878 ax-pre-mulext 7879

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3526 df-pw 3566 df-sn 3587 df-pr 3588 df-op 3590 df-uni 3795 df-int 3830 df-iun 3873 df-br 3988 df-opab 4049 df-mpt 4050 df-tr 4086 df-id 4276 df-po 4279 df-iso 4280 df-iord 4349 df-on 4351 df-ilim 4352 df-suc 4354 df-iom 4573 df-xp 4615 df-rel 4616 df-cnv 4617 df-co 4618 df-dm 4619 df-rn 4620 df-res 4621 df-ima 4622 df-iota 5158 df-fun 5198 df-fn 5199 df-f 5200 df-f1 5201 df-fo 5202 df-f1o 5203 df-fv 5204 df-riota 5806 df-ov 5853 df-oprab 5854 df-mpo 5855 df-1st 6116 df-2nd 6117 df-recs 6281 df-frec 6367 df-pnf 7943 df-mnf 7944 df-xr 7945 df-ltxr 7946 df-le 7947 df-sub 8079 df-neg 8080 df-reap 8481 df-ap 8488 df-div 8577 df-inn 8866 df-2 8924 df-3 8925 df-4 8926 df-n0 9123 df-z 9200 df-uz 9475 df-rp 9598 df-seqfrec 10389 df-exp 10463

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 10962 resqrexlemcalc2 10966 resqrexlemnmsq 10968 resqrexlemga 10974

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