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Theorem resqrexlemover 10775

Description: Lemma for resqrex 10791. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5414	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5782	. . . . 5
3	2	breq2d 3936	. . . 4
4	3	imbi2d 229	. . 3
5		fveq2 5414	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5782	. . . . 5
7	6	breq2d 3936	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		fveq2 5414	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5782	. . . . 5
11	10	breq2d 3936	. . . 4
12	11	imbi2d 229	. . 3
13		fveq2 5414	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5782	. . . . 5
15	14	breq2d 3936	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10443	. . . . . 6
19		2re 8783	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 7789	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 7788	. . . . 5
23		1red 7774	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 7788	. . . . 5
25	17	recnd 7787	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 7777	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 8921	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8609	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 421	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1220	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 3947	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10444	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8289	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 146	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 7879	. . . . 5
37	22	ltp1d 8681	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 7880	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 10773	. . . . . . 7
41		1cnd 7775	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 7906	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2170	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5782	. . . . 5
45		binom21 10397	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2170	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 3951	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 10772	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelrnda 5548	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9476	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9508	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8136	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10443	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 8790	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10443	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8136	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8287	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8686	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 7787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10415	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8583	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8548	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 3949	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8384	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10445	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 8810	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8686	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8383	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8587	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8285	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 10774	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 7788	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 7787	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 8786	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 8806	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10430	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10381	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5778	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	syl6eq 2186	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 7787	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10398	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 7779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 8791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 7779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 7781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8072	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 8784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130, 129, 129	addassi 7767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132	129	subidi 8026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
133	132	negeqi 7949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134	129, 129	negsubdii 8040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
135		neg0 8001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
136	133, 134, 135	3eqtr3i 2166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137	136	oveq1i 5777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138	129	addid2i 7898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139	137, 138	eqtri 2158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140		2p2e4 8840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141	140	oveq2i 5778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142	131, 139, 141	3eqtr3ri 2167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143	142	oveq1i 5777	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
145	144, 124, 71	adddird 7784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
146	99, 71	mulneg1d 8166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
147	146	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
148	145, 147	eqtrd 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
149	143, 148	syl5reqr 2185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2179	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 7789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8136	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 7789	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10443	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 7746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 7746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 7892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 7746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 7743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1258	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 5944	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2174	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2181	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5782	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2170	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8066	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10415	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8582	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8548	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5783	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2174	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 3936	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 114	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 115	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8729	. 2
187	186	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 962

wceq 1331

wcel 1480

csn 3522 class class class wbr 3924

cxp 4532

cfv 5118 (class class class)co 5767

cmpo 5769

cc 7611

cr 7612

cc0 7613

c1 7614

caddc 7616

cmul 7618

clt 7793

cle 7794

cmin 7926

cneg 7927 # cap 8336

cdiv 8425

cn 8713

c2 8764

c4 8766

crp 9434

cseq 10211

cexp 10285

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2119 ax-coll 4038 ax-sep 4041 ax-nul 4049 ax-pow 4093 ax-pr 4126 ax-un 4350 ax-setind 4447 ax-iinf 4497 ax-cnex 7704 ax-resscn 7705 ax-1cn 7706 ax-1re 7707 ax-icn 7708 ax-addcl 7709 ax-addrcl 7710 ax-mulcl 7711 ax-mulrcl 7712 ax-addcom 7713 ax-mulcom 7714 ax-addass 7715 ax-mulass 7716 ax-distr 7717 ax-i2m1 7718 ax-0lt1 7719 ax-1rid 7720 ax-0id 7721 ax-rnegex 7722 ax-precex 7723 ax-cnre 7724 ax-pre-ltirr 7725 ax-pre-ltwlin 7726 ax-pre-lttrn 7727 ax-pre-apti 7728 ax-pre-ltadd 7729 ax-pre-mulgt0 7730 ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2000 df-mo 2001 df-clab 2124 df-cleq 2130 df-clel 2133 df-nfc 2268 df-ne 2307 df-nel 2402 df-ral 2419 df-rex 2420 df-reu 2421 df-rmo 2422 df-rab 2423 df-v 2683 df-sbc 2905 df-csb 2999 df-dif 3068 df-un 3070 df-in 3072 df-ss 3079 df-nul 3359 df-if 3470 df-pw 3507 df-sn 3528 df-pr 3529 df-op 3531 df-uni 3732 df-int 3767 df-iun 3810 df-br 3925 df-opab 3985 df-mpt 3986 df-tr 4022 df-id 4210 df-po 4213 df-iso 4214 df-iord 4283 df-on 4285 df-ilim 4286 df-suc 4288 df-iom 4500 df-xp 4540 df-rel 4541 df-cnv 4542 df-co 4543 df-dm 4544 df-rn 4545 df-res 4546 df-ima 4547 df-iota 5083 df-fun 5120 df-fn 5121 df-f 5122 df-f1 5123 df-fo 5124 df-f1o 5125 df-fv 5126 df-riota 5723 df-ov 5770 df-oprab 5771 df-mpo 5772 df-1st 6031 df-2nd 6032 df-recs 6195 df-frec 6281 df-pnf 7795 df-mnf 7796 df-xr 7797 df-ltxr 7798 df-le 7799 df-sub 7928 df-neg 7929 df-reap 8330 df-ap 8337 df-div 8426 df-inn 8714 df-2 8772 df-3 8773 df-4 8774 df-n0 8971 df-z 9048 df-uz 9320 df-rp 9435 df-seqfrec 10212 df-exp 10286

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 10776 resqrexlemcalc2 10780 resqrexlemnmsq 10782 resqrexlemga 10788

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