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Theorem resqrexlemover 10504
 Description: Lemma for resqrex 10520. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5318 . . . . . 6
21oveq1d 5681 . . . . 5
32breq2d 3863 . . . 4
43imbi2d 229 . . 3
5 fveq2 5318 . . . . . 6
65oveq1d 5681 . . . . 5
76breq2d 3863 . . . 4
87imbi2d 229 . . 3
9 fveq2 5318 . . . . . 6
109oveq1d 5681 . . . . 5
1110breq2d 3863 . . . 4
1211imbi2d 229 . . 3
13 fveq2 5318 . . . . . 6
1413oveq1d 5681 . . . . 5
1514breq2d 3863 . . . 4
1615imbi2d 229 . . 3
17 resqrexlemex.a . . . . 5
1817resqcld 10173 . . . . . 6
19 2re 8553 . . . . . . . 8
2019a1i 9 . . . . . . 7
2120, 17remulcld 7579 . . . . . 6
2218, 21readdcld 7578 . . . . 5
23 1red 7564 . . . . . 6
2422, 23readdcld 7578 . . . . 5
2517recnd 7577 . . . . . . . 8
2625mulid2d 7567 . . . . . . 7
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8
28 1le2 8685 . . . . . . . . 9
29 lemul1a 8380 . . . . . . . . 9
3028, 29mpan2 417 . . . . . . . 8
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1179 . . . . . . 7
3226, 31eqbrtrrd 3873 . . . . . 6
3317sqge0d 10174 . . . . . . 7
3421, 18addge02d 8072 . . . . . . 7
3533, 34mpbid 146 . . . . . 6
3617, 21, 22, 32, 35letrd 7668 . . . . 5
3722ltp1d 8452 . . . . 5
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 7669 . . . 4
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8
4039, 17, 27resqrexlemf1 10502 . . . . . . 7
41 1cnd 7565 . . . . . . . 8
4241, 25addcomd 7694 . . . . . . 7
4340, 42eqtrd 2121 . . . . . 6
4443oveq1d 5681 . . . . 5
45 binom21 10127 . . . . . 6
4625, 45syl 14 . . . . 5
4744, 46eqtrd 2121 . . . 4
4838, 47breqtrrd 3877 . . 3
4939, 17, 27resqrexlemf 10501 . . . . . . . . . . . . . 14
5049ffvelrnda 5448 . . . . . . . . . . . . 13
5150rpred 9234 . . . . . . . . . . . 12
5217adantr 271 . . . . . . . . . . . . 13
5352, 50rerpdivcld 9266 . . . . . . . . . . . 12
5451, 53resubcld 7920 . . . . . . . . . . 11
5554adantr 271 . . . . . . . . . 10
5655resqcld 10173 . . . . . . . . 9
57 4re 8560 . . . . . . . . . 10
5857a1i 9 . . . . . . . . 9
5951resqcld 10173 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059, 52resubcld 7920 . . . . . . . . . . . . . 14
6160adantr 271 . . . . . . . . . . . . 13
6251adantr 271 . . . . . . . . . . . . 13
6352, 59posdifd 8070 . . . . . . . . . . . . . 14
6463biimpa 291 . . . . . . . . . . . . 13
6550rpgt0d 9237 . . . . . . . . . . . . . 14
6665adantr 271 . . . . . . . . . . . . 13
6761, 62, 64, 66divgt0d 8457 . . . . . . . . . . . 12
6851recnd 7577 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968sqcld 10145 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14
7125adantr 271 . . . . . . . . . . . . . . 15
7271adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14
7368adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14
7450rpap0d 9240 . . . . . . . . . . . . . . 15 #
7574adantr 271 . . . . . . . . . . . . . 14 #
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 8358 . . . . . . . . . . . . 13
7773sqvald 10144 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7877oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . 15
7973, 73, 75divcanap3d 8323 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078, 79eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . . 14
8180oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . 13
8276, 81eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . 12
8367, 82breqtrd 3875 . . . . . . . . . . 11
8455, 83gt0ap0d 8166 . . . . . . . . . 10 #
8555, 84sqgt0apd 10175 . . . . . . . . 9
86 4pos 8580 . . . . . . . . . 10
8786a1i 9 . . . . . . . . 9
8856, 58, 85, 87divgt0d 8457 . . . . . . . 8
8957, 86gt0ap0ii 8165 . . . . . . . . . . 11 #
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10 #
9156, 58, 90redivclapd 8362 . . . . . . . . 9
9252adantr 271 . . . . . . . . 9
9391, 92ltaddpos2d 8068 . . . . . . . 8
9488, 93mpbid 146 . . . . . . 7
9539, 17, 27resqrexlemfp1 10503 . . . . . . . . . . . . . 14
9695oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . 13
9751, 53readdcld 7578 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897recnd 7577 . . . . . . . . . . . . . 14
99 2cnd 8556 . . . . . . . . . . . . . 14
100 2ap0 8576 . . . . . . . . . . . . . . 15 #
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 #
10298, 99, 101sqdivapd 10160 . . . . . . . . . . . . 13
10396, 102eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . 12
104 sq2 10111 . . . . . . . . . . . . 13
105104oveq2i 5677 . . . . . . . . . . . 12
106103, 105syl6eq 2137 . . . . . . . . . . 11
10771, 68, 74divcanap2d 8320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
108107oveq2d 5682 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109108oveq2d 5682 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . 14
111110oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . 13
11253recnd 7577 . . . . . . . . . . . . . . 15
113 binom2sub 10128 . . . . . . . . . . . . . . 15
11468, 112, 113syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . 14
115114oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . 13
116 binom2 10126 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11768, 112, 116syl2anc 404 . . . . . . . . . . . . . . 15
118108oveq2d 5682 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119118oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . 15
120117, 119eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . . 14
12199, 71mulcld 7569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122121negcld 7841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
123 4cn 8561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125124, 71mulcld 7569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
12669, 122, 125addassd 7571 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12769, 121negsubd 7860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128127oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129 2cn 8554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130129negcli 7811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131130, 129, 129addassi 7557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132129subidi 7814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
133132negeqi 7737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134129, 129negsubdii 7828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
135 neg0 7789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
136133, 134, 1353eqtr3i 2117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137136oveq1i 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138129addid2i 7686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139137, 138eqtri 2109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140 2p2e4 8604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141140oveq2i 5677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142131, 139, 1413eqtr3ri 2118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143142oveq1i 5676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145144, 124, 71adddird 7574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14699, 71mulneg1d 7950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147146oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148145, 147eqtrd 2121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149143, 148syl5reqr 2136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
150149oveq2d 5682 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151126, 128, 1503eqtr3rd 2130 . . . . . . . . . . . . . . 15
152151oveq1d 5681 . . . . . . . . . . . . . 14
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
154153, 52remulcld 7579 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15559, 154resubcld 7920 . . . . . . . . . . . . . . 15
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16
157156, 52remulcld 7579 . . . . . . . . . . . . . . 15
15853resqcld 10173 . . . . . . . . . . . . . . 15
159 recn 7536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160 recn 7536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
161 addcom 7680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
162159, 160, 161syl2an 284 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163162adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . 15
164 recn 7536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
165 addass 7533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
166159, 160, 164, 165syl3an 1217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167166adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . 15
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 5839 . . . . . . . . . . . . . 14
169120, 152, 1683eqtrd 2125 . . . . . . . . . . . . 13
170111, 115, 1693eqtr4rd 2132 . . . . . . . . . . . 12
171170oveq1d 5681 . . . . . . . . . . 11
172106, 171eqtrd 2121 . . . . . . . . . 10
17368, 112subcld 7854 . . . . . . . . . . . 12
174173sqcld 10145 . . . . . . . . . . 11
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11 #
176174, 125, 124, 175divdirapd 8357 . . . . . . . . . 10
17771, 124, 175divcanap3d 8323 . . . . . . . . . . 11
178177oveq2d 5682 . . . . . . . . . 10
179172, 176, 1783eqtrd 2125 . . . . . . . . 9
180179breq2d 3863 . . . . . . . 8
181180adantr 271 . . . . . . 7
18294, 181mpbird 166 . . . . . 6
183182ex 114 . . . . 5
184183expcom 115 . . . 4
185184a2d 26 . . 3
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 8499 . 2
187186impcom 124 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 925   wceq 1290   wcel 1439  csn 3450   class class class wbr 3851   cxp 4450  cfv 5028  (class class class)co 5666   cmpt2 5668  cc 7409  cr 7410  cc0 7411  c1 7412   caddc 7414   cmul 7416   clt 7583   cle 7584   cmin 7714  cneg 7715   # cap 8119   cdiv 8200  cn 8483  c2 8534  c4 8536  crp 9195   cseq 9913  cexp 10015 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-inn 8484  df-2 8542  df-3 8543  df-4 8544  df-n0 8735  df-z 8812  df-uz 9081  df-rp 9196  df-iseq 9914  df-seq3 9915  df-exp 10016 This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  10505  resqrexlemcalc2  10509  resqrexlemnmsq  10511  resqrexlemga  10517
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