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Theorem resqrexlemover 10952

Description: Lemma for resqrex 10968. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5486	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5857	. . . . 5
3	2	breq2d 3994	. . . 4
4	3	imbi2d 229	. . 3
5		fveq2 5486	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5857	. . . . 5
7	6	breq2d 3994	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		fveq2 5486	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5857	. . . . 5
11	10	breq2d 3994	. . . 4
12	11	imbi2d 229	. . 3
13		fveq2 5486	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5857	. . . . 5
15	14	breq2d 3994	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10614	. . . . . 6
19		2re 8927	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 7929	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 7928	. . . . 5
23		1red 7914	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 7928	. . . . 5
25	17	recnd 7927	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 7917	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9065	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8753	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 422	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1232	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4006	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10615	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8432	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 146	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8022	. . . . 5
37	22	ltp1d 8825	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8023	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 10950	. . . . . . 7
41		1cnd 7915	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8049	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2198	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5857	. . . . 5
45		binom21 10567	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2198	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4010	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 10949	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelrnda 5620	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9632	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9664	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8279	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10614	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 8934	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10614	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8279	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8430	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9635	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8830	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10586	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9638	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8726	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8691	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8527	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10616	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 8954	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8830	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8526	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8731	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8428	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 10951	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 7928	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 8930	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 8950	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10601	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10550	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5853	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2215	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 7927	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10568	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 8935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 7919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 7921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 8928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 7924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 7907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addid2i 8041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 8984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2207	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 7929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8279	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 7929	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10614	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 7886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 7886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 7886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 7883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6022	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2202	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2209	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2198	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8209	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10586	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8725	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8691	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5858	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2202	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 3994	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 114	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 115	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8873	. 2
187	186	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 968

wceq 1343

wcel 2136

csn 3576 class class class wbr 3982

cxp 4602

cfv 5188 (class class class)co 5842

cmpo 5844

cc 7751

cr 7752

cc0 7753

c1 7754

caddc 7756

cmul 7758

clt 7933

cle 7934

cmin 8069

cneg 8070 # cap 8479

cdiv 8568

cn 8857

c2 8908

c4 8910

crp 9589

cseq 10380

cexp 10454

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-frec 6359 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-rp 9590 df-seqfrec 10381 df-exp 10455

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 10953 resqrexlemcalc2 10957 resqrexlemnmsq 10959 resqrexlemga 10965

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