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Theorem resqrexlemover 10504

Description: Lemma for resqrex 10520. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5318	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5681	. . . . 5
3	2	breq2d 3863	. . . 4
4	3	imbi2d 229	. . 3
5		fveq2 5318	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5681	. . . . 5
7	6	breq2d 3863	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		fveq2 5318	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5681	. . . . 5
11	10	breq2d 3863	. . . 4
12	11	imbi2d 229	. . 3
13		fveq2 5318	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5681	. . . . 5
15	14	breq2d 3863	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10173	. . . . . 6
19		2re 8553	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 7579	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 7578	. . . . 5
23		1red 7564	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 7578	. . . . 5
25	17	recnd 7577	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 7567	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 8685	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8380	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 417	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1179	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 3873	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10174	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8072	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 146	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 7668	. . . . 5
37	22	ltp1d 8452	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 7669	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 10502	. . . . . . 7
41		1cnd 7565	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 7694	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2121	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5681	. . . . 5
45		binom21 10127	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2121	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 3877	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 10501	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelrnda 5448	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 271	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9266	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 7920	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10173	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 8560	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10173	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 7920	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 271	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 271	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8070	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 291	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9237	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 271	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8457	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 7577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10145	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9240	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8358	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8323	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2121	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2121	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 3875	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8166	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10175	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 8580	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8457	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8165	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8362	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 271	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8068	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 10503	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 7578	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 7577	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 8556	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 8576	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10160	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2121	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10111	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5677	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	syl6eq 2137	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5682	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 7577	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10128	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 404	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 404	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2121	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 7569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 7841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 8561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 7569	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 7571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 7860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 8554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 7811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130, 129, 129	addassi 7557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132	129	subidi 7814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
133	132	negeqi 7737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134	129, 129	negsubdii 7828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
135		neg0 7789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
136	133, 134, 135	3eqtr3i 2117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137	136	oveq1i 5676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138	129	addid2i 7686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139	137, 138	eqtri 2109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140		2p2e4 8604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141	140	oveq2i 5677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142	131, 139, 141	3eqtr3ri 2118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143	142	oveq1i 5676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
145	144, 124, 71	adddird 7574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
146	99, 71	mulneg1d 7950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
147	146	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
148	145, 147	eqtrd 2121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
149	143, 148	syl5reqr 2136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2130	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 7579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 7920	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 7579	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10173	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 7536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 7536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 7680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 284	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 7536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 7533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 5839	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2125	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2132	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5681	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2121	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 7854	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10145	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8357	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8323	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5682	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2125	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 3863	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 271	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 114	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 115	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8499	. 2
187	186	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 925

wceq 1290

wcel 1439

csn 3450 class class class wbr 3851

cxp 4450

cfv 5028 (class class class)co 5666

cmpt2 5668

cc 7409

cr 7410

cc0 7411

c1 7412

caddc 7414

cmul 7416

clt 7583

cle 7584

cmin 7714

cneg 7715 # cap 8119

cdiv 8200

cn 8483

c2 8534

c4 8536

crp 9195

cseq 9913

cexp 10015

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416 ax-cnex 7497 ax-resscn 7498 ax-1cn 7499 ax-1re 7500 ax-icn 7501 ax-addcl 7502 ax-addrcl 7503 ax-mulcl 7504 ax-mulrcl 7505 ax-addcom 7506 ax-mulcom 7507 ax-addass 7508 ax-mulass 7509 ax-distr 7510 ax-i2m1 7511 ax-0lt1 7512 ax-1rid 7513 ax-0id 7514 ax-rnegex 7515 ax-precex 7516 ax-cnre 7517 ax-pre-ltirr 7518 ax-pre-ltwlin 7519 ax-pre-lttrn 7520 ax-pre-apti 7521 ax-pre-ltadd 7522 ax-pre-mulgt0 7523 ax-pre-mulext 7524

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-if 3398 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-iord 4202 df-on 4204 df-ilim 4205 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4458 df-rel 4459 df-cnv 4460 df-co 4461 df-dm 4462 df-rn 4463 df-res 4464 df-ima 4465 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-riota 5622 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-recs 6084 df-frec 6170 df-pnf 7585 df-mnf 7586 df-xr 7587 df-ltxr 7588 df-le 7589 df-sub 7716 df-neg 7717 df-reap 8113 df-ap 8120 df-div 8201 df-inn 8484 df-2 8542 df-3 8543 df-4 8544 df-n0 8735 df-z 8812 df-uz 9081 df-rp 9196 df-iseq 9914 df-seq3 9915 df-exp 10016

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 10505 resqrexlemcalc2 10509 resqrexlemnmsq 10511 resqrexlemga 10517

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