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Theorem resqrexlemover 11436

Description: Lemma for resqrex 11452. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5599	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5982	. . . . 5
3	2	breq2d 4071	. . . 4
4	3	imbi2d 230	. . 3
5		fveq2 5599	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5982	. . . . 5
7	6	breq2d 4071	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		fveq2 5599	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5982	. . . . 5
11	10	breq2d 4071	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		fveq2 5599	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5982	. . . . 5
15	14	breq2d 4071	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10881	. . . . . 6
19		2re 9141	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 8138	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 8137	. . . . 5
23		1red 8122	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 8137	. . . . 5
25	17	recnd 8136	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 8126	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9280	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8966	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 425	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1254	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4083	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10882	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8642	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8231	. . . . 5
37	22	ltp1d 9038	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8232	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11434	. . . . . . 7
41		1cnd 8123	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8258	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2240	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5982	. . . . 5
45		binom21 10834	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2240	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4087	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11433	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelcdmda 5738	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9853	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9885	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8488	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10881	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 9148	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10881	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8488	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8640	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9856	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 9043	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9859	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8938	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8903	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4085	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8737	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10883	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 9168	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 9043	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8736	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8943	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8638	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11435	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 8137	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 9144	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 9164	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10868	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10817	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5978	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2256	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8900	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 8136	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10835	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 8128	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 9149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 8128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 8130	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 9142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 8133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 8115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addlidi 8250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 5978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2249	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 8138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8488	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 8138	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10881	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 8093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 8093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 8093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 8090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2244	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2251	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2240	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8418	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10853	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8937	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8903	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5983	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2244	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4071	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 115	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 116	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 9087	. 2
187	186	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2178

csn 3643 class class class wbr 4059

cxp 4691

cfv 5290 (class class class)co 5967

cmpo 5969

cc 7958

cr 7959

cc0 7960

c1 7961

caddc 7963

cmul 7965

clt 8142

cle 8143

cmin 8278

cneg 8279 # cap 8689

cdiv 8780

cn 9071

c2 9122

c4 9124

crp 9810

cseq 10629

cexp 10720

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-coll 4175 ax-sep 4178 ax-nul 4186 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-iinf 4654 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 837 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-csb 3102 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-nul 3469 df-if 3580 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-int 3900 df-iun 3943 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-tr 4159 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-iord 4431 df-on 4433 df-ilim 4434 df-suc 4436 df-iom 4657 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-f1 5295 df-fo 5296 df-f1o 5297 df-fv 5298 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-1st 6249 df-2nd 6250 df-recs 6414 df-frec 6500 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-inn 9072 df-2 9130 df-3 9131 df-4 9132 df-n0 9331 df-z 9408 df-uz 9684 df-rp 9811 df-seqfrec 10630 df-exp 10721

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 11437 resqrexlemcalc2 11441 resqrexlemnmsq 11443 resqrexlemga 11449

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