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Theorem resqrexlemover 11003

Description: Lemma for resqrex 11019. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5511	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5884	. . . . 5
3	2	breq2d 4012	. . . 4
4	3	imbi2d 230	. . 3
5		fveq2 5511	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5884	. . . . 5
7	6	breq2d 4012	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		fveq2 5511	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5884	. . . . 5
11	10	breq2d 4012	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		fveq2 5511	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5884	. . . . 5
15	14	breq2d 4012	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10665	. . . . . 6
19		2re 8978	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 7978	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 7977	. . . . 5
23		1red 7963	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 7977	. . . . 5
25	17	recnd 7976	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 7966	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9116	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8804	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 425	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1242	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4024	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10666	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8481	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8071	. . . . 5
37	22	ltp1d 8876	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8072	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11001	. . . . . . 7
41		1cnd 7964	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8098	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2210	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5884	. . . . 5
45		binom21 10618	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2210	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4028	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11000	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9683	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9715	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8328	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 8985	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8328	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8479	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9686	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8881	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10637	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9689	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8776	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8741	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4026	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8576	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10667	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 9005	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8881	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8575	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8781	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8477	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11002	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 7977	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 8981	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 9001	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10652	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10601	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5880	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 7976	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10619	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 8986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 7970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 8979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 7973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 7956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addid2i 8090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2219	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 7978	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8328	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 7978	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 7935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 7935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 7935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 7932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6049	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2221	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2210	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8258	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10637	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8775	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8741	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2214	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4012	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 115	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 116	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8924	. 2
187	186	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 978

wceq 1353

wcel 2148

csn 3591 class class class wbr 4000

cxp 4621

cfv 5212 (class class class)co 5869

cmpo 5871

cc 7800

cr 7801

cc0 7802

c1 7803

caddc 7805

cmul 7807

clt 7982

cle 7983

cmin 8118

cneg 8119 # cap 8528

cdiv 8618

cn 8908

c2 8959

c4 8961

crp 9640

cseq 10431

cexp 10505

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-rp 9641 df-seqfrec 10432 df-exp 10506

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 11004 resqrexlemcalc2 11008 resqrexlemnmsq 11010 resqrexlemga 11016

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