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Theorem resqrexlemover 11157

Description: Lemma for resqrex 11173. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5555	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5934	. . . . 5
3	2	breq2d 4042	. . . 4
4	3	imbi2d 230	. . 3
5		fveq2 5555	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5934	. . . . 5
7	6	breq2d 4042	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		fveq2 5555	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5934	. . . . 5
11	10	breq2d 4042	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		fveq2 5555	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5934	. . . . 5
15	14	breq2d 4042	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10773	. . . . . 6
19		2re 9054	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 8052	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 8051	. . . . 5
23		1red 8036	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 8051	. . . . 5
25	17	recnd 8050	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 8040	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9193	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8879	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 425	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1253	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4054	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10774	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8555	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8145	. . . . 5
37	22	ltp1d 8951	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8146	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11155	. . . . . . 7
41		1cnd 8037	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8172	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2226	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5934	. . . . 5
45		binom21 10726	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2226	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4058	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11154	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelcdmda 5694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9765	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9797	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8402	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10773	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 9061	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10773	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8402	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8553	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9768	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8956	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10745	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9771	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8851	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8816	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4056	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8650	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10775	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 9081	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8956	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8649	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8856	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8551	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11156	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 8051	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 9057	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 9077	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10760	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10709	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5930	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 8050	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10727	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 8042	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 9062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 8042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 8044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8338	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 9055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 8047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 8029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addid2i 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2235	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 8052	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8402	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 8052	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10773	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 8004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6101	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2230	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2237	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5934	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8332	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10745	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8850	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8816	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5935	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2230	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4042	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 115	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 116	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 9000	. 2
187	186	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

csn 3619 class class class wbr 4030

cxp 4658

cfv 5255 (class class class)co 5919

cmpo 5921

cc 7872

cr 7873

cc0 7874

c1 7875

caddc 7877

cmul 7879

clt 8056

cle 8057

cmin 8192

cneg 8193 # cap 8602

cdiv 8693

cn 8984

c2 9035

c4 9037

crp 9722

cseq 10521

cexp 10612

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-coll 4145 ax-sep 4148 ax-nul 4156 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-iinf 4621 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-csb 3082 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-nul 3448 df-if 3559 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-int 3872 df-iun 3915 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-tr 4129 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-iord 4398 df-on 4400 df-ilim 4401 df-suc 4403 df-iom 4624 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-f1 5260 df-fo 5261 df-f1o 5262 df-fv 5263 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-1st 6195 df-2nd 6196 df-recs 6360 df-frec 6446 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-inn 8985 df-2 9043 df-3 9044 df-4 9045 df-n0 9244 df-z 9321 df-uz 9596 df-rp 9723 df-seqfrec 10522 df-exp 10613

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 11158 resqrexlemcalc2 11162 resqrexlemnmsq 11164 resqrexlemga 11170

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