resqrexlemover - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > resqrexlemover		Unicode version

Theorem resqrexlemover 10814

Description: Lemma for resqrex 10830. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5429	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5797	. . . . 5
3	2	breq2d 3949	. . . 4
4	3	imbi2d 229	. . 3
5		fveq2 5429	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5797	. . . . 5
7	6	breq2d 3949	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		fveq2 5429	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5797	. . . . 5
11	10	breq2d 3949	. . . 4
12	11	imbi2d 229	. . 3
13		fveq2 5429	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5797	. . . . 5
15	14	breq2d 3949	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10481	. . . . . 6
19		2re 8814	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 7820	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 7819	. . . . 5
23		1red 7805	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 7819	. . . . 5
25	17	recnd 7818	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 7808	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 8952	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8640	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 422	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1221	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 3960	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10482	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8320	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 146	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 7910	. . . . 5
37	22	ltp1d 8712	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 7911	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 10812	. . . . . . 7
41		1cnd 7806	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 7937	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2173	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5797	. . . . 5
45		binom21 10435	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2173	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 3964	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 10811	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelrnda 5563	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9513	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9545	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8167	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 8821	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8167	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8318	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9516	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8717	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10453	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9519	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8614	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8579	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 3962	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8415	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10483	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 8841	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8717	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8414	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8618	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8316	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 10813	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 7819	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 8817	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 8837	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10468	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10419	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5793	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2189	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 7818	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10436	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 7810	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 8822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 7810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 7812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 8815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130, 129, 129	addassi 7798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132	129	subidi 8057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
133	132	negeqi 7980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134	129, 129	negsubdii 8071	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
135		neg0 8032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
136	133, 134, 135	3eqtr3i 2169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
137	136	oveq1i 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138	129	addid2i 7929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
139	137, 138	eqtri 2161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140		2p2e4 8871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141	140	oveq2i 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
142	131, 139, 141	3eqtr3ri 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143	142	oveq1i 5792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
144	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
145	144, 124, 71	adddird 7815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
146	99, 71	mulneg1d 8197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
147	146	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
148	145, 147	eqtrd 2173	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
149	143, 148	syl5reqr 2188	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2182	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 7820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8167	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 7820	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 7777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 7777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 7923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 7777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 7774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 5959	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2177	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2184	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5797	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2173	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8097	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10453	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8613	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8579	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5798	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2177	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 3949	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 114	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 115	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8760	. 2
187	186	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 963

wceq 1332

wcel 1481

csn 3532 class class class wbr 3937

cxp 4545

cfv 5131 (class class class)co 5782

cmpo 5784

cc 7642

cr 7643

cc0 7644

c1 7645

caddc 7647

cmul 7649

clt 7824

cle 7825

cmin 7957

cneg 7958 # cap 8367

cdiv 8456

cn 8744

c2 8795

c4 8797

crp 9470

cseq 10249

cexp 10323

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-rp 9471 df-seqfrec 10250 df-exp 10324

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 10815 resqrexlemcalc2 10819 resqrexlemnmsq 10821 resqrexlemga 10827

W3C validator