resqrexlemover - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > resqrexlemover		Unicode version

Theorem resqrexlemover 11175

Description: Lemma for resqrex 11191. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5558	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5937	. . . . 5
3	2	breq2d 4045	. . . 4
4	3	imbi2d 230	. . 3
5		fveq2 5558	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5937	. . . . 5
7	6	breq2d 4045	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		fveq2 5558	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5937	. . . . 5
11	10	breq2d 4045	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		fveq2 5558	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5937	. . . . 5
15	14	breq2d 4045	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10791	. . . . . 6
19		2re 9060	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 8057	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 8056	. . . . 5
23		1red 8041	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 8056	. . . . 5
25	17	recnd 8055	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 8045	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9199	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8885	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 425	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1253	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4057	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10792	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8561	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8150	. . . . 5
37	22	ltp1d 8957	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8151	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11173	. . . . . . 7
41		1cnd 8042	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8177	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2229	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5937	. . . . 5
45		binom21 10744	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2229	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4061	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11172	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9771	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9803	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8407	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10791	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 9067	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10791	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8407	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8559	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9774	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8962	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9777	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8857	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8822	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10793	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 9087	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8962	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8655	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8862	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8557	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11174	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 8056	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 9063	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 9083	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10778	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10727	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5933	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 8055	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10745	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 8047	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8324	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 9068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 8047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 8049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 9061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 8052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 8034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addlidi 8169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 8057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8407	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 8057	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10791	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 8012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 8012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 8012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 8009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6104	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8337	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10763	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8856	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8822	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5938	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2233	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4045	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 115	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 116	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 9006	. 2
187	186	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

csn 3622 class class class wbr 4033

cxp 4661

cfv 5258 (class class class)co 5922

cmpo 5924

cc 7877

cr 7878

cc0 7879

c1 7880

caddc 7882

cmul 7884

clt 8061

cle 8062

cmin 8197

cneg 8198 # cap 8608

cdiv 8699

cn 8990

c2 9041

c4 9043

crp 9728

cseq 10539

cexp 10630

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-rp 9729 df-seqfrec 10540 df-exp 10631

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 11176 resqrexlemcalc2 11180 resqrexlemnmsq 11182 resqrexlemga 11188

W3C validator