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Theorem resqrexlemover 11570

Description: Lemma for resqrex 11586. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5639	. . . . . 6
2	1	oveq1d 6032	. . . . 5
3	2	breq2d 4100	. . . 4
4	3	imbi2d 230	. . 3
5		fveq2 5639	. . . . . 6
6	5	oveq1d 6032	. . . . 5
7	6	breq2d 4100	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		fveq2 5639	. . . . . 6
10	9	oveq1d 6032	. . . . 5
11	10	breq2d 4100	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		fveq2 5639	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6032	. . . . 5
15	14	breq2d 4100	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10960	. . . . . 6
19		2re 9212	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 8209	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 8208	. . . . 5
23		1red 8193	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 8208	. . . . 5
25	17	recnd 8207	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 8197	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9351	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 9037	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 425	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1277	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4112	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10961	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8713	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8302	. . . . 5
37	22	ltp1d 9109	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8303	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11568	. . . . . . 7
41		1cnd 8194	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8329	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2264	. . . . . 6
44	43	oveq1d 6032	. . . . 5
45		binom21 10913	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2264	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4116	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11567	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9930	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9962	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8559	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10960	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 9219	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10960	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8559	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8711	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9933	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 9114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10932	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9936	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 9009	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8974	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4114	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8808	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10962	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 9239	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 9114	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8807	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 9014	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8709	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11569	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 8208	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 9215	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 9235	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10947	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10896	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 6028	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8971	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 8207	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10914	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 9220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 8199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 8201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8495	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 9213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 8186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 6027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addlidi 8321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9269	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 6027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 6033	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 8209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8559	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 8209	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10960	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 8161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1315	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6202	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 6032	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8489	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10932	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 9008	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8974	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 6033	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2268	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4100	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 115	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 116	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 9158	. 2
187	186	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

csn 3669 class class class wbr 4088

cxp 4723

cfv 5326 (class class class)co 6017

cmpo 6019

cc 8029

cr 8030

cc0 8031

c1 8032

caddc 8034

cmul 8036

clt 8213

cle 8214

cmin 8349

cneg 8350 # cap 8760

cdiv 8851

cn 9142

c2 9193

c4 9195

crp 9887

cseq 10708

cexp 10799

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-1st 6302 df-2nd 6303 df-recs 6470 df-frec 6556 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-inn 9143 df-2 9201 df-3 9202 df-4 9203 df-n0 9402 df-z 9479 df-uz 9755 df-rp 9888 df-seqfrec 10709 df-exp 10800

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 11571 resqrexlemcalc2 11575 resqrexlemnmsq 11577 resqrexlemga 11583

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