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Theorem resqrexlemover 11776

Description: Lemma for resqrex 11792. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5695	. . . . . 6
2	1	oveq1d 6100	. . . . 5
3	2	breq2d 4142	. . . 4
4	3	imbi2d 230	. . 3
5		fveq2 5695	. . . . . 6
6	5	oveq1d 6100	. . . . 5
7	6	breq2d 4142	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		fveq2 5695	. . . . . 6
10	9	oveq1d 6100	. . . . 5
11	10	breq2d 4142	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		fveq2 5695	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6100	. . . . 5
15	14	breq2d 4142	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 11137	. . . . . 6
19		2re 9374	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 8356	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 8355	. . . . 5
23		1red 8341	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 8355	. . . . 5
25	17	recnd 8354	. . . . . . . 8
26	25	mullidd 8344	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9513	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 9188	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 429	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1282	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4154	. . . . . 6
33	17	sqge0d 11138	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8862	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8450	. . . . 5
37	22	ltp1d 9260	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8451	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11774	. . . . . . 7
41		1cnd 8342	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8477	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2271	. . . . . 6
44	43	oveq1d 6100	. . . . 5
45		binom21 11089	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2271	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4158	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11773	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 10097	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 10129	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8708	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 11137	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 9381	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 11137	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8708	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8860	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 10100	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 9265	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 11109	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 10103	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 9160	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 11108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 9125	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8957	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 11139	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 9401	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 9265	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8956	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 9165	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8858	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11775	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 8355	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 9377	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 9397	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 11124	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 11072	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 9122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 8354	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 11088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 9382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 8346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 8348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 9375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 8351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 8334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addlidi 8469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2280	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 8356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8708	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 8356	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 11137	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 8312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 8312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 8312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 8309	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8637	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 11109	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 9159	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 9125	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 6101	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2275	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4142	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 115	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 116	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 9320	. 2
187	186	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

csn 3709 class class class wbr 4130

cxp 4772

cfv 5377 (class class class)co 6085

cmpo 6087

cc 8177

cr 8178

cc0 8179

c1 8180

caddc 8182

cmul 8184

clt 8360

cle 8361

cmin 8497

cneg 8498 # cap 8909

cdiv 9002

cn 9304

c2 9355

c4 9357

crp 10054

cseq 10884

cexp 10975

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8903 df-ap 8910 df-div 9003 df-inn 9305 df-2 9363 df-3 9364 df-4 9365 df-n0 9564 df-z 9645 df-uz 9922 df-rp 10055 df-seqfrec 10885 df-exp 10976

This theorem is used by: resqrexlemdec 11777 resqrexlemcalc2 11781 resqrexlemnmsq 11783 resqrexlemga 11789

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