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Theorem resqrexlemover 10794
Description: Lemma for resqrex 10810. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables  f  g  h  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  ( F `  w )  =  ( F ` 
1 ) )
21oveq1d 5789 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 1 ) ^
2 ) )
32breq2d 3941 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  1
) ^ 2 ) ) )
43imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) ) ) )
5 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
65oveq1d 5789 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
76breq2d 3941 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  k
) ^ 2 ) ) )
87imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) ) ) )
9 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
109oveq1d 5789 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 ) )
1110breq2d 3941 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )
1211imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
13 fveq2 5421 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( F `  w )  =  ( F `  N ) )
1413oveq1d 5789 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )
1514breq2d 3941 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  N
) ^ 2 ) ) )
1615imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
17 resqrexlemex.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1817resqcld 10462 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
19 2re 8802 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2019a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
2120, 17remulcld 7808 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
2218, 21readdcld 7807 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  e.  RR )
23 1red 7793 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2422, 23readdcld 7807 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  1 )  e.  RR )
2517recnd 7806 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2625mulid2d 7796 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
28 1le2 8940 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  2
29 lemul1a 8628 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  1  <_  2 )  ->  ( 1  x.  A )  <_ 
( 2  x.  A
) )
3028, 29mpan2 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( 1  x.  A
)  <_  ( 2  x.  A ) )
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  <_  ( 2  x.  A ) )
3226, 31eqbrtrrd 3952 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  ( 2  x.  A ) )
3317sqge0d 10463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ 2 ) )
3421, 18addge02d 8308 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A ^ 2 )  <->  ( 2  x.  A )  <_ 
( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) ) ) )
3533, 34mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
3617, 21, 22, 32, 35letrd 7898 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
3722ltp1d 8700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  <  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 7899 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
4039, 17, 27resqrexlemf1 10792 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( 1  +  A ) )
41 1cnd 7794 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4241, 25addcomd 7925 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  A
)  =  ( A  +  1 ) )
4340, 42eqtrd 2172 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( A  +  1 ) )
4443oveq1d 5789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( A  +  1 ) ^ 2 ) )
45 binom21 10416 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4625, 45syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4744, 46eqtrd 2172 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4838, 47breqtrrd 3956 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
4939, 17, 27resqrexlemf 10791 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5049ffvelrnda 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR+ )
5150rpred 9495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
5217adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
5352, 50rerpdivcld 9527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  k ) )  e.  RR )
5451, 53resubcld 8155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  RR )
5554adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) )  e.  RR )
5655resqcld 10462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
57 4re 8809 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
5857a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  4  e.  RR )
5951resqcld 10462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
6059, 52resubcld 8155 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
6160adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
6251adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6352, 59posdifd 8306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 k ) ^
2 )  <->  0  <  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A ) ) )
6463biimpa 294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
) )
6550rpgt0d 9498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( F `  k
) )
6665adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( F `  k
) )
6761, 62, 64, 66divgt0d 8705 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  ( F `  k )
) )
6851recnd 7806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
6968sqcld 10434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  CC )
7069adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
) ^ 2 )  e.  CC )
7125adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
7271adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  CC )
7368adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7450rpap0d 9501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k ) #  0 )
7574adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k ) #  0 )
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 8602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  ( F `  k ) )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
7773sqvald 10433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k )  x.  ( F `  k
) ) )
7877oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( ( F `  k )  x.  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) ) )
7973, 73, 75divcanap3d 8567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k )  x.  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
8078, 79eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
8180oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  ( F `  k )
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
8276, 81eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
8367, 82breqtrd 3954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) )
8455, 83gt0ap0d 8403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) #  0 )
8555, 84sqgt0apd 10464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 ) )
86 4pos 8829 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
8786a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  4 )
8856, 58, 85, 87divgt0d 8705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
8957, 86gt0ap0ii 8402 . . . . . . . . . . 11  |-  4 #  0
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  4 #  0 )
9156, 58, 90redivclapd 8606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  /  4 )  e.  RR )
9252adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  RR )
9391, 92ltaddpos2d 8304 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
0  <  ( (
( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
9488, 93mpbid 146 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
9539, 17, 27resqrexlemfp1 10793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `
 k )  +  ( A  /  ( F `  k )
) )  /  2
) )
9695oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )
9751, 53readdcld 7807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  RR )
9897recnd 7806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  CC )
99 2cnd 8805 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
100 2ap0 8825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2 #  0
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2 #  0 )
10298, 99, 101sqdivapd 10449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
10396, 102eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
104 sq2 10400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
105104oveq2i 5785 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)
106103, 105syl6eq 2188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
10771, 68, 74divcanap2d 8564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) )  =  A )
108107oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
109108oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) ) )
110109oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
111110oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
11253recnd 7806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  k ) )  e.  CC )
113 binom2sub 10417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11468, 112, 113syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
115114oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  =  ( ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
116 binom2 10415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11768, 112, 116syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
118108oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) ) )
119118oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
120117, 119eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
12199, 71mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
122121negcld 8072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
2  x.  A )  e.  CC )
123 4cn 8810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  e.  CC
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
125124, 71mulcld 7798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  CC )
12669, 122, 125addassd 7800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  -u (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( -u ( 2  x.  A )  +  ( 4  x.  A
) ) ) )
12769, 121negsubd 8091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  -u ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
128127oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  -u (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A
) ) )
129 2cn 8803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
130129negcli 8042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 2  e.  CC
131130, 129, 129addassi 7786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  ( -u 2  +  ( 2  +  2 ) )
132129subidi 8045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  -  2 )  =  0
133132negeqi 7968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u (
2  -  2 )  =  -u 0
134129, 129negsubdii 8059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u (
2  -  2 )  =  ( -u 2  +  2 )
135 neg0 8020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u 0  =  0
136133, 134, 1353eqtr3i 2168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -u
2  +  2 )  =  0
137136oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  ( 0  +  2 )
138129addid2i 7917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  +  2 )  =  2
139137, 138eqtri 2160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  2
140 2p2e4 8859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  +  2 )  =  4
141140oveq2i 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u
2  +  ( 2  +  2 ) )  =  ( -u 2  +  4 )
142131, 139, 1413eqtr3ri 2169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
2  +  4 )  =  2
143142oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( 2  x.  A )
144130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
145144, 124, 71adddird 7803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( ( -u
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
14699, 71mulneg1d 8185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u
2  x.  A )  =  -u ( 2  x.  A ) )
147146oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  x.  A
)  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
148145, 147eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
149143, 148syl5reqr 2187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( 2  x.  A
)  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( 2  x.  A ) )
150149oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
151126, 128, 1503eqtr3rd 2181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
152151oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
154153, 52remulcld 7808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
15559, 154resubcld 8155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  e.  RR )
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
157156, 52remulcld 7808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  RR )
15853resqcld 10462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
159 recn 7765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  RR  ->  f  e.  CC )
160 recn 7765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  RR  ->  g  e.  CC )
161 addcom 7911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
162159, 160, 161syl2an 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
163162adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
f  e.  RR  /\  g  e.  RR )
)  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
164 recn 7765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  e.  RR  ->  h  e.  CC )
165 addass 7762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC  /\  h  e.  CC )  ->  (
( f  +  g )  +  h )  =  ( f  +  ( g  +  h
) ) )
166159, 160, 164, 165syl3an 1258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  h  e.  RR )  ->  (
( f  +  g )  +  h )  =  ( f  +  ( g  +  h
) ) )
167166adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  h  e.  RR ) )  -> 
( ( f  +  g )  +  h
)  =  ( f  +  ( g  +  h ) ) )
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 5951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
169120, 152, 1683eqtrd 2176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
170111, 115, 1693eqtr4rd 2183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( 4  x.  A ) ) )
171170oveq1d 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
172106, 171eqtrd 2172 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
17368, 112subcld 8085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  CC )
174173sqcld 10434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4 #  0 )
176174, 125, 124, 175divdirapd 8601 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  ( ( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
17771, 124, 175divcanap3d 8567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  A )  /  4 )  =  A )
178177oveq2d 5790 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  /  4 )  +  ( ( 4  x.  A )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
179172, 176, 1783eqtrd 2176 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
180179breq2d 3941 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
181180adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( A  <  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
18294, 181mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) )
183182ex 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 k ) ^
2 )  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )
184183expcom 115 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 )  ->  A  <  ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
185184a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( ph  ->  A  <  (
( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 8748 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  A  <  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
187186impcom 124 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   {csn 3527   class class class wbr 3929    X. cxp 4537   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776   CCcc 7630   RRcr 7631   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    x. cmul 7637    < clt 7812    <_ cle 7813    - cmin 7945   -ucneg 7946   # cap 8355    / cdiv 8444   NNcn 8732   2c2 8783   4c4 8785   RR+crp 9453    seqcseq 10230   ^cexp 10304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305
This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  10795  resqrexlemcalc2  10799  resqrexlemnmsq  10801  resqrexlemga  10807
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