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Theorem resqrexlemover 11036
Description: Lemma for resqrex 11052. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables  f  g  h  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5529 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  ( F `  w )  =  ( F ` 
1 ) )
21oveq1d 5905 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 1 ) ^
2 ) )
32breq2d 4029 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  1
) ^ 2 ) ) )
43imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) ) ) )
5 fveq2 5529 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
65oveq1d 5905 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
76breq2d 4029 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  k
) ^ 2 ) ) )
87imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) ) ) )
9 fveq2 5529 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
109oveq1d 5905 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 ) )
1110breq2d 4029 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )
1211imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
13 fveq2 5529 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( F `  w )  =  ( F `  N ) )
1413oveq1d 5905 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )
1514breq2d 4029 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  N
) ^ 2 ) ) )
1615imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
17 resqrexlemex.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1817resqcld 10697 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
19 2re 9006 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2019a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
2120, 17remulcld 8005 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
2218, 21readdcld 8004 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  e.  RR )
23 1red 7989 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2422, 23readdcld 8004 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  1 )  e.  RR )
2517recnd 8003 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2625mulid2d 7993 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
28 1le2 9144 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  2
29 lemul1a 8832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  1  <_  2 )  ->  ( 1  x.  A )  <_ 
( 2  x.  A
) )
3028, 29mpan2 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( 1  x.  A
)  <_  ( 2  x.  A ) )
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  <_  ( 2  x.  A ) )
3226, 31eqbrtrrd 4041 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  ( 2  x.  A ) )
3317sqge0d 10698 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ 2 ) )
3421, 18addge02d 8508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A ^ 2 )  <->  ( 2  x.  A )  <_ 
( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) ) ) )
3533, 34mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
3617, 21, 22, 32, 35letrd 8098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
3722ltp1d 8904 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  <  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 8099 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
4039, 17, 27resqrexlemf1 11034 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( 1  +  A ) )
41 1cnd 7990 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4241, 25addcomd 8125 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  A
)  =  ( A  +  1 ) )
4340, 42eqtrd 2221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( A  +  1 ) )
4443oveq1d 5905 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( A  +  1 ) ^ 2 ) )
45 binom21 10650 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4625, 45syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4744, 46eqtrd 2221 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4838, 47breqtrrd 4045 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
4939, 17, 27resqrexlemf 11033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5049ffvelcdmda 5666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR+ )
5150rpred 9713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
5217adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
5352, 50rerpdivcld 9745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  k ) )  e.  RR )
5451, 53resubcld 8355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  RR )
5554adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) )  e.  RR )
5655resqcld 10697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
57 4re 9013 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
5857a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  4  e.  RR )
5951resqcld 10697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
6059, 52resubcld 8355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
6160adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
6251adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6352, 59posdifd 8506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 k ) ^
2 )  <->  0  <  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A ) ) )
6463biimpa 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
) )
6550rpgt0d 9716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( F `  k
) )
6665adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( F `  k
) )
6761, 62, 64, 66divgt0d 8909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  ( F `  k )
) )
6851recnd 8003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
6968sqcld 10669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  CC )
7069adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
) ^ 2 )  e.  CC )
7125adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
7271adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  CC )
7368adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7450rpap0d 9719 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k ) #  0 )
7574adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k ) #  0 )
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 8804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  ( F `  k ) )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
7773sqvald 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k )  x.  ( F `  k
) ) )
7877oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( ( F `  k )  x.  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) ) )
7973, 73, 75divcanap3d 8769 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k )  x.  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
8078, 79eqtrd 2221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
8180oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  ( F `  k )
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
8276, 81eqtrd 2221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
8367, 82breqtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) )
8455, 83gt0ap0d 8603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) #  0 )
8555, 84sqgt0apd 10699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 ) )
86 4pos 9033 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
8786a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  4 )
8856, 58, 85, 87divgt0d 8909 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
8957, 86gt0ap0ii 8602 . . . . . . . . . . 11  |-  4 #  0
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  4 #  0 )
9156, 58, 90redivclapd 8809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  /  4 )  e.  RR )
9252adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  RR )
9391, 92ltaddpos2d 8504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
0  <  ( (
( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
9488, 93mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
9539, 17, 27resqrexlemfp1 11035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `
 k )  +  ( A  /  ( F `  k )
) )  /  2
) )
9695oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )
9751, 53readdcld 8004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  RR )
9897recnd 8003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  CC )
99 2cnd 9009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
100 2ap0 9029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2 #  0
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2 #  0 )
10298, 99, 101sqdivapd 10684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
10396, 102eqtrd 2221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
104 sq2 10633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
105104oveq2i 5901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)
106103, 105eqtrdi 2237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
10771, 68, 74divcanap2d 8766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) )  =  A )
108107oveq2d 5906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
109108oveq2d 5906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) ) )
110109oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
111110oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
11253recnd 8003 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  k ) )  e.  CC )
113 binom2sub 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11468, 112, 113syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
115114oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  =  ( ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
116 binom2 10649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11768, 112, 116syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
118108oveq2d 5906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) ) )
119118oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
120117, 119eqtrd 2221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
12199, 71mulcld 7995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
122121negcld 8272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
2  x.  A )  e.  CC )
123 4cn 9014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  e.  CC
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
125124, 71mulcld 7995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  CC )
12669, 122, 125addassd 7997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  -u (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( -u ( 2  x.  A )  +  ( 4  x.  A
) ) ) )
12769, 121negsubd 8291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  -u ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
128127oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  -u (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A
) ) )
129 2cn 9007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
130129negcli 8242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 2  e.  CC
131130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
132131, 124, 71adddird 8000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( ( -u
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
13399, 71mulneg1d 8385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u
2  x.  A )  =  -u ( 2  x.  A ) )
134133oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  x.  A
)  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
135132, 134eqtrd 2221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
136130, 129, 129addassi 7982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  ( -u 2  +  ( 2  +  2 ) )
137129subidi 8245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  -  2 )  =  0
138137negeqi 8168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u (
2  -  2 )  =  -u 0
139129, 129negsubdii 8259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u (
2  -  2 )  =  ( -u 2  +  2 )
140 neg0 8220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u 0  =  0
141138, 139, 1403eqtr3i 2217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -u
2  +  2 )  =  0
142141oveq1i 5900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  ( 0  +  2 )
143129addid2i 8117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  +  2 )  =  2
144142, 143eqtri 2209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  2
145 2p2e4 9063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  +  2 )  =  4
146145oveq2i 5901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u
2  +  ( 2  +  2 ) )  =  ( -u 2  +  4 )
147136, 144, 1463eqtr3ri 2218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
2  +  4 )  =  2
148147oveq1i 5900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( 2  x.  A )
149135, 148eqtr3di 2236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( 2  x.  A
)  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( 2  x.  A ) )
150149oveq2d 5906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
151126, 128, 1503eqtr3rd 2230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
152151oveq1d 5905 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
154153, 52remulcld 8005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
15559, 154resubcld 8355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  e.  RR )
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
157156, 52remulcld 8005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  RR )
15853resqcld 10697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
159 recn 7961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  RR  ->  f  e.  CC )
160 recn 7961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  RR  ->  g  e.  CC )
161 addcom 8111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
162159, 160, 161syl2an 289 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
163162adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
f  e.  RR  /\  g  e.  RR )
)  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
164 recn 7961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  e.  RR  ->  h  e.  CC )
165 addass 7958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC  /\  h  e.  CC )  ->  (
( f  +  g )  +  h )  =  ( f  +  ( g  +  h
) ) )
166159, 160, 164, 165syl3an 1290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  h  e.  RR )  ->  (
( f  +  g )  +  h )  =  ( f  +  ( g  +  h
) ) )
167166adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  h  e.  RR ) )  -> 
( ( f  +  g )  +  h
)  =  ( f  +  ( g  +  h ) ) )
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 6071 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
169120, 152, 1683eqtrd 2225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
170111, 115, 1693eqtr4rd 2232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( 4  x.  A ) ) )
171170oveq1d 5905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
172106, 171eqtrd 2221 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
17368, 112subcld 8285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  CC )
174173sqcld 10669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4 #  0 )
176174, 125, 124, 175divdirapd 8803 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  ( ( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
17771, 124, 175divcanap3d 8769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  A )  /  4 )  =  A )
178177oveq2d 5906 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  /  4 )  +  ( ( 4  x.  A )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
179172, 176, 1783eqtrd 2225 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
180179breq2d 4029 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
181180adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( A  <  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
18294, 181mpbird 167 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) )
183182ex 115 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 k ) ^
2 )  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )
184183expcom 116 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 )  ->  A  <  ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
185184a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( ph  ->  A  <  (
( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 8952 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  A  <  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
187186impcom 125 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2159   {csn 3606   class class class wbr 4017    X. cxp 4638   ` cfv 5230  (class class class)co 5890    e. cmpo 5892   CCcc 7826   RRcr 7827   0cc0 7828   1c1 7829    + caddc 7831    x. cmul 7833    < clt 8009    <_ cle 8010    - cmin 8145   -ucneg 8146   # cap 8555    / cdiv 8646   NNcn 8936   2c2 8987   4c4 8989   RR+crp 9670    seqcseq 10462   ^cexp 10536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945  ax-pre-mulext 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rmo 2475  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-ilim 4383  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-frec 6409  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-div 8647  df-inn 8937  df-2 8995  df-3 8996  df-4 8997  df-n0 9194  df-z 9271  df-uz 9546  df-rp 9671  df-seqfrec 10463  df-exp 10537
This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  11037  resqrexlemcalc2  11041  resqrexlemnmsq  11043  resqrexlemga  11049
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