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Theorem resqrexlemover 10974

Description: Lemma for resqrex 10990. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5496	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5868	. . . . 5
3	2	breq2d 4001	. . . 4
4	3	imbi2d 229	. . 3
5		fveq2 5496	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5868	. . . . 5
7	6	breq2d 4001	. . . 4
8	7	imbi2d 229	. . 3
9		fveq2 5496	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5868	. . . . 5
11	10	breq2d 4001	. . . 4
12	11	imbi2d 229	. . 3
13		fveq2 5496	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5868	. . . . 5
15	14	breq2d 4001	. . . 4
16	15	imbi2d 229	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10635	. . . . . 6
19		2re 8948	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 7950	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 7949	. . . . 5
23		1red 7935	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 7949	. . . . 5
25	17	recnd 7948	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 7938	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9086	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8774	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 423	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1237	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4013	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10636	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8453	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 146	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8043	. . . . 5
37	22	ltp1d 8846	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8044	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 10972	. . . . . . 7
41		1cnd 7936	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8070	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2203	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5868	. . . . 5
45		binom21 10588	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2203	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4017	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 10971	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9653	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9685	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8300	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 274	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10635	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 8955	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10635	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8300	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8451	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8851	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10607	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9659	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8747	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8712	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8548	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10637	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 8975	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8851	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8547	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8752	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 274	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8449	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 146	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 10973	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 7949	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 8951	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 8971	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10622	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10571	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8709	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 7948	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10589	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 8956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 7942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 8949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 7945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 7928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addid2i 8062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 5863	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2212	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 7950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8300	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 7950	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10635	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 7907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 7904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6033	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2214	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5868	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2203	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8230	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10607	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8746	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8712	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2207	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4001	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 274	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 166	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 114	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 115	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 8894	. 2
187	186	impcom 124	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 $/\$ w3a 973

wceq 1348

wcel 2141

csn 3583 class class class wbr 3989

cxp 4609

cfv 5198 (class class class)co 5853

cmpo 5855

cc 7772

cr 7773

cc0 7774

c1 7775

caddc 7777

cmul 7779

clt 7954

cle 7955

cmin 8090

cneg 8091 # cap 8500

cdiv 8589

cn 8878

c2 8929

c4 8931

crp 9610

cseq 10401

cexp 10475

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-rp 9611 df-seqfrec 10402 df-exp 10476

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 10975 resqrexlemcalc2 10979 resqrexlemnmsq 10981 resqrexlemga 10987

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