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Theorem resqrexlemover 11798

Description: Lemma for resqrex 11814. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5698	. . . . . 6
2	1	oveq1d 6103	. . . . 5
3	2	breq2d 4143	. . . 4
4	3	imbi2d 230	. . 3
5		fveq2 5698	. . . . . 6
6	5	oveq1d 6103	. . . . 5
7	6	breq2d 4143	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		fveq2 5698	. . . . . 6
10	9	oveq1d 6103	. . . . 5
11	10	breq2d 4143	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		fveq2 5698	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6103	. . . . 5
15	14	breq2d 4143	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 11158	. . . . . 6
19		2re 9383	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 8362	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 8361	. . . . 5
23		1red 8347	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 8361	. . . . 5
25	17	recnd 8360	. . . . . . . 8
26	25	mullidd 8350	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9524	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 9196	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 429	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1282	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4155	. . . . . 6
33	17	sqge0d 11159	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8869	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8457	. . . . 5
37	22	ltp1d 9268	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8458	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11796	. . . . . . 7
41		1cnd 8348	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8484	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2271	. . . . . 6
44	43	oveq1d 6103	. . . . 5
45		binom21 11110	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2271	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4159	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11795	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelcdmda 5846	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 10114	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 10146	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8715	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 11158	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 9390	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8715	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8867	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 10117	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 9273	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 8360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 11130	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 10120	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 9168	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 9133	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4157	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8965	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 11160	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 9410	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 9273	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8964	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 9173	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8865	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11797	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 8361	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 8360	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 9386	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 9406	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 11145	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 11093	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 9130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 8360	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 11111	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 11109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 8352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 8352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 8354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8650	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 9384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 8357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addlidi 8476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2280	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 8362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8715	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 8362	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 8318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 8318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 8318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 8315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6273	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 6103	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8644	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 11130	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 9167	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 9133	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 6104	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2275	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4143	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 115	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 116	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 9329	. 2
187	186	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

csn 3709 class class class wbr 4131

cxp 4774

cfv 5380 (class class class)co 6088

cmpo 6090

cc 8183

cr 8184

cc0 8185

c1 8186

caddc 8188

cmul 8190

clt 8366

cle 8367

cmin 8504

cneg 8505 # cap 8917

cdiv 9010

cn 9313

c2 9364

c4 9366

crp 10071

cseq 10905

cexp 10996

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4248 ax-sep 4251 ax-nul 4261 ax-pow 4313 ax-pr 4348 ax-un 4580 ax-setind 4686 ax-iinf 4737 ax-cnex 8276 ax-resscn 8277 ax-1cn 8278 ax-1re 8279 ax-icn 8280 ax-addcl 8281 ax-addrcl 8282 ax-mulcl 8283 ax-mulrcl 8284 ax-addcom 8285 ax-mulcom 8286 ax-addass 8287 ax-mulass 8288 ax-distr 8289 ax-i2m1 8290 ax-0lt1 8291 ax-1rid 8292 ax-0id 8293 ax-rnegex 8294 ax-precex 8295 ax-cnre 8296 ax-pre-ltirr 8297 ax-pre-ltwlin 8298 ax-pre-lttrn 8299 ax-pre-apti 8300 ax-pre-ltadd 8301 ax-pre-mulgt0 8302 ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4132 df-opab 4194 df-mpt 4195 df-tr 4232 df-id 4440 df-po 4443 df-iso 4444 df-iord 4513 df-on 4515 df-ilim 4516 df-suc 4518 df-iom 4740 df-xp 4782 df-rel 4783 df-cnv 4784 df-co 4785 df-dm 4786 df-rn 4787 df-res 4788 df-ima 4789 df-iota 5340 df-fun 5382 df-fn 5383 df-f 5384 df-f1 5385 df-fo 5386 df-f1o 5387 df-fv 5388 df-riota 6041 df-ov 6091 df-oprab 6092 df-mpo 6093 df-1st 6378 df-2nd 6379 df-recs 6580 df-frec 6666 df-pnf 8368 df-mnf 8369 df-xr 8370 df-ltxr 8371 df-le 8372 df-sub 8506 df-neg 8507 df-reap 8911 df-ap 8918 df-div 9011 df-inn 9314 df-2 9372 df-3 9373 df-4 9374 df-n0 9575 df-z 9656 df-uz 9938 df-rp 10072 df-seqfrec 10906 df-exp 10997

This theorem is used by: resqrexlemdec 11799 resqrexlemcalc2 11803 resqrexlemnmsq 11805 resqrexlemga 11811

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