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Theorem resqrexlemover 11192

Description: Lemma for resqrex 11208. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5561	. . . . . 6
2	1	oveq1d 5940	. . . . 5
3	2	breq2d 4046	. . . 4
4	3	imbi2d 230	. . 3
5		fveq2 5561	. . . . . 6
6	5	oveq1d 5940	. . . . 5
7	6	breq2d 4046	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		fveq2 5561	. . . . . 6
10	9	oveq1d 5940	. . . . 5
11	10	breq2d 4046	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		fveq2 5561	. . . . . 6
14	13	oveq1d 5940	. . . . 5
15	14	breq2d 4046	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10808	. . . . . 6
19		2re 9077	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 8074	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 8073	. . . . 5
23		1red 8058	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 8073	. . . . 5
25	17	recnd 8072	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 8062	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9216	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 8902	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 425	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1253	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4058	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10809	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8578	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8167	. . . . 5
37	22	ltp1d 8974	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8168	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11190	. . . . . . 7
41		1cnd 8059	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8194	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2229	. . . . . 6
44	43	oveq1d 5940	. . . . 5
45		binom21 10761	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2229	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4062	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11189	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelcdmda 5700	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9788	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9820	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8424	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10808	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 9084	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10808	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8424	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8576	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9791	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 8979	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10780	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9794	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8874	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8839	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4060	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8673	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10810	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 9104	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 8979	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8672	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8879	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8574	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11191	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 8073	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 9080	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 9100	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10795	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10744	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 5936	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 8072	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8341	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 9085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 8064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 8066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 9078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 8069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 8051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addlidi 8186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 5936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2238	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 8074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8424	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 8074	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10808	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 8029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 8029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8180	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 8029	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 8026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6108	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2233	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2240	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8354	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10780	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8873	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8839	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 5941	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2233	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4046	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 115	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 116	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 9023	. 2
187	186	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

csn 3623 class class class wbr 4034

cxp 4662

cfv 5259 (class class class)co 5925

cmpo 5927

cc 7894

cr 7895

cc0 7896

c1 7897

caddc 7899

cmul 7901

clt 8078

cle 8079

cmin 8214

cneg 8215 # cap 8625

cdiv 8716

cn 9007

c2 9058

c4 9060

crp 9745

cseq 10556

cexp 10647

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-rp 9746 df-seqfrec 10557 df-exp 10648

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 11193 resqrexlemcalc2 11197 resqrexlemnmsq 11199 resqrexlemga 11205

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