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Theorem resqrexlemover 10443
Description: Lemma for resqrex 10459. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemover  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemover
Dummy variables  f  g  h  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  ( F `  w )  =  ( F ` 
1 ) )
21oveq1d 5667 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 1 ) ^
2 ) )
32breq2d 3857 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  1
) ^ 2 ) ) )
43imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) ) ) )
5 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
65oveq1d 5667 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k ) ^
2 ) )
76breq2d 3857 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  k
) ^ 2 ) ) )
87imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) ) ) )
9 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
109oveq1d 5667 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 ) )
1110breq2d 3857 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )
1211imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
13 fveq2 5305 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  ( F `  w )  =  ( F `  N ) )
1413oveq1d 5667 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
( F `  w
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 N ) ^
2 ) )
1514breq2d 3857 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  ( A  <  ( ( F `
 w ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( F `  N
) ^ 2 ) ) )
1615imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  w ) ^ 2 ) )  <->  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  N ) ^ 2 ) ) ) )
17 resqrexlemex.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1817resqcld 10112 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
19 2re 8492 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
2019a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
2120, 17remulcld 7518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
2218, 21readdcld 7517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  e.  RR )
23 1red 7503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
2422, 23readdcld 7517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  1 )  e.  RR )
2517recnd 7516 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2625mulid2d 7506 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  =  A )
27 resqrexlemex.agt0 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
28 1le2 8624 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  2
29 lemul1a 8319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  /\  1  <_  2 )  ->  ( 1  x.  A )  <_ 
( 2  x.  A
) )
3028, 29mpan2 416 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )  -> 
( 1  x.  A
)  <_  ( 2  x.  A ) )
3123, 20, 17, 27, 30syl112anc 1178 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  A
)  <_  ( 2  x.  A ) )
3226, 31eqbrtrrd 3867 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  <_  ( 2  x.  A ) )
3317sqge0d 10113 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A ^ 2 ) )
3421, 18addge02d 8011 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A ^ 2 )  <->  ( 2  x.  A )  <_ 
( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) ) ) )
3533, 34mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  A
)  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
3617, 21, 22, 32, 35letrd 7607 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
3722ltp1d 8391 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  A ) )  <  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
3817, 22, 24, 36, 37lelttrd 7608 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
39 resqrexlemex.seq . . . . . . . 8  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
4039, 17, 27resqrexlemf1 10441 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( 1  +  A ) )
41 1cnd 7504 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4241, 25addcomd 7633 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  +  A
)  =  ( A  +  1 ) )
4340, 42eqtrd 2120 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( A  +  1 ) )
4443oveq1d 5667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( A  +  1 ) ^ 2 ) )
45 binom21 10066 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4625, 45syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4744, 46eqtrd 2120 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
1 ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  1 ) )
4838, 47breqtrrd 3871 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  ( ( F `  1 ) ^ 2 ) )
4939, 17, 27resqrexlemf 10440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5049ffvelrnda 5434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR+ )
5150rpred 9173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
5217adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
5352, 50rerpdivcld 9205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  k ) )  e.  RR )
5451, 53resubcld 7859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  RR )
5554adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) )  e.  RR )
5655resqcld 10112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
57 4re 8499 . . . . . . . . . 10  |-  4  e.  RR
5857a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  4  e.  RR )
5951resqcld 10112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  RR )
6059, 52resubcld 7859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
6160adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  e.  RR )
6251adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k )  e.  RR )
6352, 59posdifd 8009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 k ) ^
2 )  <->  0  <  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A ) ) )
6463biimpa 290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
) )
6550rpgt0d 9176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( F `  k
) )
6665adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( F `  k
) )
6761, 62, 64, 66divgt0d 8396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  A )  /  ( F `  k )
) )
6851recnd 7516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  CC )
6968sqcld 10084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k ) ^ 2 )  e.  CC )
7069adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
) ^ 2 )  e.  CC )
7125adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  CC )
7271adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  CC )
7368adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7450rpap0d 9179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k ) #  0 )
7574adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( F `  k ) #  0 )
7670, 72, 73, 75divsubdirapd 8297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  /  ( F `  k ) )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
7773sqvald 10083 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
) ^ 2 )  =  ( ( F `
 k )  x.  ( F `  k
) ) )
7877oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( ( F `  k )  x.  ( F `  k ) )  / 
( F `  k
) ) )
7973, 73, 75divcanap3d 8262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k )  x.  ( F `  k )
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
8078, 79eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( F `  k ) ^ 2 )  /  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
8180oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  /  ( F `  k )
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
8276, 81eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  A
)  /  ( F `
 k ) )  =  ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) )
8367, 82breqtrd 3869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) )
8455, 83gt0ap0d 8105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) #  0 )
8555, 84sqgt0apd 10114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 ) )
86 4pos 8519 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  4
8786a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  4 )
8856, 58, 85, 87divgt0d 8396 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  0  <  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
8957, 86gt0ap0ii 8104 . . . . . . . . . . 11  |-  4 #  0
9089a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  4 #  0 )
9156, 58, 90redivclapd 8301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  /  4 )  e.  RR )
9252adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  e.  RR )
9391, 92ltaddpos2d 8007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  (
0  <  ( (
( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
9488, 93mpbid 145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
9539, 17, 27resqrexlemfp1 10442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `
 k )  +  ( A  /  ( F `  k )
) )  /  2
) )
9695oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  / 
2 ) ^ 2 ) )
9751, 53readdcld 7517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  RR )
9897recnd 7516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  CC )
99 2cnd 8495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  CC )
100 2ap0 8515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2 #  0
101100a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2 #  0 )
10298, 99, 101sqdivapd 10099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) )  /  2 ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
10396, 102eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  (
2 ^ 2 ) ) )
104 sq2 10050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
105104oveq2i 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  /  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)
106103, 105syl6eq 2136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
) )
10771, 68, 74divcanap2d 8259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) )  =  A )
108107oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) )  =  ( 2  x.  A
) )
109108oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) ) )
110109oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
111110oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
11253recnd 7516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  k ) )  e.  CC )
113 binom2sub 10067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11468, 112, 113syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
115114oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  =  ( ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
116 binom2 10065 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  ( A  /  ( F `  k )
)  e.  CC )  ->  ( ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 ) ) )
11768, 112, 116syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  (
( F `  k
)  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
118108oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `  k )  x.  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) ) )
119118oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( ( F `
 k )  x.  ( A  /  ( F `  k )
) ) ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
120117, 119eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
12199, 71mulcld 7508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
122121negcld 7780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u (
2  x.  A )  e.  CC )
123 4cn 8500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  4  e.  CC
124123a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  CC )
125124, 71mulcld 7508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  CC )
12669, 122, 125addassd 7510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  -u (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( -u ( 2  x.  A )  +  ( 4  x.  A
) ) ) )
12769, 121negsubd 7799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  -u ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) ) )
128127oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  -u (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A
) ) )
129 2cn 8493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
130129negcli 7750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -u 2  e.  CC
131130, 129, 129addassi 7496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  ( -u 2  +  ( 2  +  2 ) )
132129subidi 7753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  -  2 )  =  0
133132negeqi 7676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u (
2  -  2 )  =  -u 0
134129, 129negsubdii 7767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u (
2  -  2 )  =  ( -u 2  +  2 )
135 neg0 7728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -u 0  =  0
136133, 134, 1353eqtr3i 2116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -u
2  +  2 )  =  0
137136oveq1i 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  ( 0  +  2 )
138129addid2i 7625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0  +  2 )  =  2
139137, 138eqtri 2108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u 2  +  2 )  +  2 )  =  2
140 2p2e4 8543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  +  2 )  =  4
141140oveq2i 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u
2  +  ( 2  +  2 ) )  =  ( -u 2  +  4 )
142131, 139, 1413eqtr3ri 2117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u
2  +  4 )  =  2
143142oveq1i 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( 2  x.  A )
144130a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  -u 2  e.  CC )
145144, 124, 71adddird 7513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( ( -u
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
14699, 71mulneg1d 7889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u
2  x.  A )  =  -u ( 2  x.  A ) )
147146oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  x.  A
)  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
148145, 147eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
-u 2  +  4 )  x.  A )  =  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )
149143, 148syl5reqr 2135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -u ( 2  x.  A
)  +  ( 4  x.  A ) )  =  ( 2  x.  A ) )
150149oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( -u (
2  x.  A )  +  ( 4  x.  A ) ) )  =  ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A
) ) )
151126, 128, 1503eqtr3rd 2129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A
) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
152151oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A
) )  +  ( ( A  /  ( F `  k )
) ^ 2 ) ) )
15319a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  2  e.  RR )
154153, 52remulcld 7518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A )  e.  RR )
15559, 154resubcld 7859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  e.  RR )
15657a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4  e.  RR )
157156, 52remulcld 7518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 4  x.  A )  e.  RR )
15853resqcld 10112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A  /  ( F `
 k ) ) ^ 2 )  e.  RR )
159 recn 7475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  RR  ->  f  e.  CC )
160 recn 7475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  RR  ->  g  e.  CC )
161 addcom 7619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
162159, 160, 161syl2an 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
163162adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
f  e.  RR  /\  g  e.  RR )
)  ->  ( f  +  g )  =  ( g  +  f ) )
164 recn 7475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  e.  RR  ->  h  e.  CC )
165 addass 7472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC  /\  h  e.  CC )  ->  (
( f  +  g )  +  h )  =  ( f  +  ( g  +  h
) ) )
166159, 160, 164, 165syl3an 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  h  e.  RR )  ->  (
( f  +  g )  +  h )  =  ( f  +  ( g  +  h
) ) )
167166adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
f  e.  RR  /\  g  e.  RR  /\  h  e.  RR ) )  -> 
( ( f  +  g )  +  h
)  =  ( f  +  ( g  +  h ) ) )
168155, 157, 158, 163, 167caov32d 5825 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k ) ^
2 )  -  (
2  x.  A ) )  +  ( 4  x.  A ) )  +  ( ( A  /  ( F `  k ) ) ^
2 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
169120, 152, 1683eqtrd 2124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
) ^ 2 )  -  ( 2  x.  A ) )  +  ( ( A  / 
( F `  k
) ) ^ 2 ) )  +  ( 4  x.  A ) ) )
170111, 115, 1693eqtr4rd 2131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  +  ( 4  x.  A ) ) )
171170oveq1d 5667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) ) ^ 2 )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
172106, 171eqtrd 2120 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A
) )  /  4
) )
17368, 112subcld 7793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) )  e.  CC )
174173sqcld 10084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
17589a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  4 #  0 )
176174, 125, 124, 175divdirapd 8296 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  +  ( 4  x.  A ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  ( ( 4  x.  A
)  /  4 ) ) )
17771, 124, 175divcanap3d 8262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 4  x.  A )  /  4 )  =  A )
178177oveq2d 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( F `
 k )  -  ( A  /  ( F `  k )
) ) ^ 2 )  /  4 )  +  ( ( 4  x.  A )  / 
4 ) )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
179172, 176, 1783eqtrd 2124 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( ( F `  k
)  -  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ^ 2 )  / 
4 )  +  A
) )
180179breq2d 3857 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
181180adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( A  <  ( ( F `
 ( k  +  1 ) ) ^
2 )  <->  A  <  ( ( ( ( ( F `  k )  -  ( A  / 
( F `  k
) ) ) ^
2 )  /  4
)  +  A ) ) )
18294, 181mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  A  <  ( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) )
183182ex 113 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  <  ( ( F `
 k ) ^
2 )  ->  A  <  ( ( F `  ( k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) )
184183expcom 114 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 )  ->  A  <  ( ( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
185184a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  A  < 
( ( F `  k ) ^ 2 ) )  ->  ( ph  ->  A  <  (
( F `  (
k  +  1 ) ) ^ 2 ) ) ) )
1864, 8, 12, 16, 48, 185nnind 8438 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  A  <  (
( F `  N
) ^ 2 ) ) )
187186impcom 123 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  A  < 
( ( F `  N ) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   {csn 3446   class class class wbr 3845    X. cxp 4436   ` cfv 5015  (class class class)co 5652    |-> cmpt2 5654   CCcc 7348   RRcr 7349   0cc0 7350   1c1 7351    + caddc 7353    x. cmul 7355    < clt 7522    <_ cle 7523    - cmin 7653   -ucneg 7654   # cap 8058    / cdiv 8139   NNcn 8422   2c2 8473   4c4 8475   RR+crp 9134    seqcseq 9852   ^cexp 9954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-mulrcl 7444  ax-addcom 7445  ax-mulcom 7446  ax-addass 7447  ax-mulass 7448  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-1rid 7452  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-precex 7455  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-apti 7460  ax-pre-ltadd 7461  ax-pre-mulgt0 7462  ax-pre-mulext 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-reap 8052  df-ap 8059  df-div 8140  df-inn 8423  df-2 8481  df-3 8482  df-4 8483  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-rp 9135  df-iseq 9853  df-seq3 9854  df-exp 9955
This theorem is referenced by:  resqrexlemdec  10444  resqrexlemcalc2  10448  resqrexlemnmsq  10450  resqrexlemga  10456
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