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Theorem resqrexlemover 11650

Description: Lemma for resqrex 11666. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5648	. . . . . 6
2	1	oveq1d 6043	. . . . 5
3	2	breq2d 4105	. . . 4
4	3	imbi2d 230	. . 3
5		fveq2 5648	. . . . . 6
6	5	oveq1d 6043	. . . . 5
7	6	breq2d 4105	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		fveq2 5648	. . . . . 6
10	9	oveq1d 6043	. . . . 5
11	10	breq2d 4105	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		fveq2 5648	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6043	. . . . 5
15	14	breq2d 4105	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 11024	. . . . . 6
19		2re 9272	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 8269	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 8268	. . . . 5
23		1red 8254	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 8268	. . . . 5
25	17	recnd 8267	. . . . . . . 8
26	25	mullidd 8257	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9411	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 9097	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 425	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1278	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4117	. . . . . 6
33	17	sqge0d 11025	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8773	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8362	. . . . 5
37	22	ltp1d 9169	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8363	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11648	. . . . . . 7
41		1cnd 8255	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8389	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2264	. . . . . 6
44	43	oveq1d 6043	. . . . 5
45		binom21 10977	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2264	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4121	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11647	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelcdmda 5790	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9992	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 10024	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8619	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 11024	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 9279	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 11024	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8619	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8771	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9995	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 9174	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10996	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9998	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 9069	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 9034	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8868	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 11026	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 9299	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 9174	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8867	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 9074	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8769	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11649	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 8268	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 9275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 9295	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 11011	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10960	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 9031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10978	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 8259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 8259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 8261	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 9273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 8264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 8247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addlidi 8381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 6039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 8269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8619	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 8269	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 11024	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 8225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 8222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6213	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2268	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2275	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2264	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8549	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10996	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 9068	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 9034	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 6044	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2268	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4105	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 115	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 116	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 9218	. 2
187	186	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202

csn 3673 class class class wbr 4093

cxp 4729

cfv 5333 (class class class)co 6028

cmpo 6030

cc 8090

cr 8091

cc0 8092

c1 8093

caddc 8095

cmul 8097

clt 8273

cle 8274

cmin 8409

cneg 8410 # cap 8820

cdiv 8911

cn 9202

c2 9253

c4 9255

crp 9949

cseq 10772

cexp 10863

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4209 ax-sep 4212 ax-nul 4220 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-iinf 4692 ax-cnex 8183 ax-resscn 8184 ax-1cn 8185 ax-1re 8186 ax-icn 8187 ax-addcl 8188 ax-addrcl 8189 ax-mulcl 8190 ax-mulrcl 8191 ax-addcom 8192 ax-mulcom 8193 ax-addass 8194 ax-mulass 8195 ax-distr 8196 ax-i2m1 8197 ax-0lt1 8198 ax-1rid 8199 ax-0id 8200 ax-rnegex 8201 ax-precex 8202 ax-cnre 8203 ax-pre-ltirr 8204 ax-pre-ltwlin 8205 ax-pre-lttrn 8206 ax-pre-apti 8207 ax-pre-ltadd 8208 ax-pre-mulgt0 8209 ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 843 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-csb 3129 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-nul 3497 df-if 3608 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-int 3934 df-iun 3977 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-tr 4193 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-iord 4469 df-on 4471 df-ilim 4472 df-suc 4474 df-iom 4695 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-f1 5338 df-fo 5339 df-f1o 5340 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-1st 6312 df-2nd 6313 df-recs 6514 df-frec 6600 df-pnf 8275 df-mnf 8276 df-xr 8277 df-ltxr 8278 df-le 8279 df-sub 8411 df-neg 8412 df-reap 8814 df-ap 8821 df-div 8912 df-inn 9203 df-2 9261 df-3 9262 df-4 9263 df-n0 9462 df-z 9541 df-uz 9817 df-rp 9950 df-seqfrec 10773 df-exp 10864

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 11651 resqrexlemcalc2 11655 resqrexlemnmsq 11657 resqrexlemga 11663

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