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Theorem resqrexlemover 11521

Description: Lemma for resqrex 11537. Each element of the sequence is an overestimate. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0

**Assertion**
Ref	Expression
resqrexlemover	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

Proof of Theorem resqrexlemover Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5627	. . . . . 6
2	1	oveq1d 6016	. . . . 5
3	2	breq2d 4095	. . . 4
4	3	imbi2d 230	. . 3
5		fveq2 5627	. . . . . 6
6	5	oveq1d 6016	. . . . 5
7	6	breq2d 4095	. . . 4
8	7	imbi2d 230	. . 3
9		fveq2 5627	. . . . . 6
10	9	oveq1d 6016	. . . . 5
11	10	breq2d 4095	. . . 4
12	11	imbi2d 230	. . 3
13		fveq2 5627	. . . . . 6
14	13	oveq1d 6016	. . . . 5
15	14	breq2d 4095	. . . 4
16	15	imbi2d 230	. . 3
17		resqrexlemex.a	. . . . 5
18	17	resqcld 10921	. . . . . 6
19		2re 9180	. . . . . . . 8
20	19	a1i 9	. . . . . . 7
21	20, 17	remulcld 8177	. . . . . 6
22	18, 21	readdcld 8176	. . . . 5
23		1red 8161	. . . . . 6
24	22, 23	readdcld 8176	. . . . 5
25	17	recnd 8175	. . . . . . . 8
26	25	mulid2d 8165	. . . . . . 7
27		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . 8
28		1le2 9319	. . . . . . . . 9
29		lemul1a 9005	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30	28, 29	mpan2 425	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
31	23, 20, 17, 27, 30	syl112anc 1275	. . . . . . 7
32	26, 31	eqbrtrrd 4107	. . . . . 6
33	17	sqge0d 10922	. . . . . . 7
34	21, 18	addge02d 8681	. . . . . . 7
35	33, 34	mpbid 147	. . . . . 6
36	17, 21, 22, 32, 35	letrd 8270	. . . . 5
37	22	ltp1d 9077	. . . . 5
38	17, 22, 24, 36, 37	lelttrd 8271	. . . 4
39		resqrexlemex.seq	. . . . . . . 8
40	39, 17, 27	resqrexlemf1 11519	. . . . . . 7
41		1cnd 8162	. . . . . . . 8
42	41, 25	addcomd 8297	. . . . . . 7
43	40, 42	eqtrd 2262	. . . . . 6
44	43	oveq1d 6016	. . . . 5
45		binom21 10874	. . . . . 6
46	25, 45	syl 14	. . . . 5
47	44, 46	eqtrd 2262	. . . 4
48	38, 47	breqtrrd 4111	. . 3
49	39, 17, 27	resqrexlemf 11518	. . . . . . . . . . . . . 14
50	49	ffvelcdmda 5770	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
51	50	rpred 9892	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	17	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53	52, 50	rerpdivcld 9924	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
54	51, 53	resubcld 8527	. . . . . . . . . . 11 $/\$
55	54	adantr 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	55	resqcld 10921	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
57		4re 9187	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	51	resqcld 10921	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	59, 52	resubcld 8527	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
62	51	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
63	52, 59	posdifd 8679	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
64	63	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
65	50	rpgt0d 9895	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
66	65	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
67	61, 62, 64, 66	divgt0d 9082	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	51	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
69	68	sqcld 10893	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
70	69	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
71	25	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
73	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
74	50	rpap0d 9898	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ #
75	74	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ #
76	70, 72, 73, 75	divsubdirapd 8977	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77	73	sqvald 10892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
78	77	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
79	73, 73, 75	divcanap3d 8942	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	78, 79	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	80	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
82	76, 81	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
83	67, 82	breqtrd 4109	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84	55, 83	gt0ap0d 8776	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
85	55, 84	sqgt0apd 10923	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
86		4pos 9207	. . . . . . . . . 10
87	86	a1i 9	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
88	56, 58, 85, 87	divgt0d 9082	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
89	57, 86	gt0ap0ii 8775	. . . . . . . . . . 11 #
90	89	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ #
91	56, 58, 90	redivclapd 8982	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
92	52	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
93	91, 92	ltaddpos2d 8677	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
94	88, 93	mpbid 147	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
95	39, 17, 27	resqrexlemfp1 11520	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
96	95	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
97	51, 53	readdcld 8176	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
98	97	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
99		2cnd 9183	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
100		2ap0 9203	. . . . . . . . . . . . . . 15 #
101	100	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ #
102	98, 99, 101	sqdivapd 10908	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103	96, 102	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
104		sq2 10857	. . . . . . . . . . . . 13
105	104	oveq2i 6012	. . . . . . . . . . . 12
106	103, 105	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . 11 $/\$
107	71, 68, 74	divcanap2d 8939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
108	107	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	108	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
110	109	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
111	110	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	53	recnd 8175	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
113		binom2sub 10875	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
114	68, 112, 113	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
115	114	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
116		binom2 10873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
117	68, 112, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
118	108	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	118	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	117, 119	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	99, 71	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
122	121	negcld 8444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
123		4cn 9188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
124	123	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
125	124, 71	mulcld 8167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
126	69, 122, 125	addassd 8169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	69, 121	negsubd 8463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128	127	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		2cn 9181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
130	129	negcli 8414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
131	130	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
132	131, 124, 71	adddird 8172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
133	99, 71	mulneg1d 8557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
134	133	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	132, 134	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
136	130, 129, 129	addassi 8154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137	129	subidi 8417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
138	137	negeqi 8340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
139	129, 129	negsubdii 8431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140		neg0 8392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
141	138, 139, 140	3eqtr3i 2258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
142	141	oveq1i 6011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143	129	addlidi 8289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144	142, 143	eqtri 2250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145		2p2e4 9237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
146	145	oveq2i 6012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
147	136, 144, 146	3eqtr3ri 2259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
148	147	oveq1i 6011	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
149	135, 148	eqtr3di 2277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
150	149	oveq2d 6017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
151	126, 128, 150	3eqtr3rd 2271	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	151	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
153	19	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153, 52	remulcld 8177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
155	59, 154	resubcld 8527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	57	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
157	156, 52	remulcld 8177	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
158	53	resqcld 10921	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
159		recn 8132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
160		recn 8132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		addcom 8283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
162	159, 160, 161	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
163	162	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
164		recn 8132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		addass 8129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
166	159, 160, 164, 165	syl3an 1313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
167	166	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 158, 163, 167	caov32d 6186	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
169	120, 152, 168	3eqtrd 2266	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
170	111, 115, 169	3eqtr4rd 2273	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
171	170	oveq1d 6016	. . . . . . . . . . 11 $/\$
172	106, 171	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 $/\$
173	68, 112	subcld 8457	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
174	173	sqcld 10893	. . . . . . . . . . 11 $/\$
175	89	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ #
176	174, 125, 124, 175	divdirapd 8976	. . . . . . . . . 10 $/\$
177	71, 124, 175	divcanap3d 8942	. . . . . . . . . . 11 $/\$
178	177	oveq2d 6017	. . . . . . . . . 10 $/\$
179	172, 176, 178	3eqtrd 2266	. . . . . . . . 9 $/\$
180	179	breq2d 4095	. . . . . . . 8 $/\$
181	180	adantr 276	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
182	94, 181	mpbird 167	. . . . . 6 $/\$ $/\$
183	182	ex 115	. . . . 5 $/\$
184	183	expcom 116	. . . 4
185	184	a2d 26	. . 3
186	4, 8, 12, 16, 48, 185	nnind 9126	. 2
187	186	impcom 125	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

csn 3666 class class class wbr 4083

cxp 4717

cfv 5318 (class class class)co 6001

cmpo 6003

cc 7997

cr 7998

cc0 7999

c1 8000

caddc 8002

cmul 8004

clt 8181

cle 8182

cmin 8317

cneg 8318 # cap 8728

cdiv 8819

cn 9110

c2 9161

c4 9163

crp 9849

cseq 10669

cexp 10760

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4199 ax-sep 4202 ax-nul 4210 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-iinf 4680 ax-cnex 8090 ax-resscn 8091 ax-1cn 8092 ax-1re 8093 ax-icn 8094 ax-addcl 8095 ax-addrcl 8096 ax-mulcl 8097 ax-mulrcl 8098 ax-addcom 8099 ax-mulcom 8100 ax-addass 8101 ax-mulass 8102 ax-distr 8103 ax-i2m1 8104 ax-0lt1 8105 ax-1rid 8106 ax-0id 8107 ax-rnegex 8108 ax-precex 8109 ax-cnre 8110 ax-pre-ltirr 8111 ax-pre-ltwlin 8112 ax-pre-lttrn 8113 ax-pre-apti 8114 ax-pre-ltadd 8115 ax-pre-mulgt0 8116 ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-int 3924 df-iun 3967 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-tr 4183 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-iord 4457 df-on 4459 df-ilim 4460 df-suc 4462 df-iom 4683 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-f1 5323 df-fo 5324 df-f1o 5325 df-fv 5326 df-riota 5954 df-ov 6004 df-oprab 6005 df-mpo 6006 df-1st 6286 df-2nd 6287 df-recs 6451 df-frec 6537 df-pnf 8183 df-mnf 8184 df-xr 8185 df-ltxr 8186 df-le 8187 df-sub 8319 df-neg 8320 df-reap 8722 df-ap 8729 df-div 8820 df-inn 9111 df-2 9169 df-3 9170 df-4 9171 df-n0 9370 df-z 9447 df-uz 9723 df-rp 9850 df-seqfrec 10670 df-exp 10761

This theorem is referenced by: resqrexlemdec 11522 resqrexlemcalc2 11526 resqrexlemnmsq 11528 resqrexlemga 11534

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