remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11053

Description: Lemma for remul 11054, immul 11061, and cjmul 11067. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11041	. . . . . 6
2		replim 11041	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 5944	. . . . 5 $/\$
4		recl 11035	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8072	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 7991	. . . . . . . 8
8		imcl 11036	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8072	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8023	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8063	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11035	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8072	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11036	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8072	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8023	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8068	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8069	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8069	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 5943	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8074	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8072	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8064	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8064	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8064	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8213	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8198	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8627	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 5935	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8074	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8072	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8453	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2241	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 5941	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8360	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2229	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8074	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8072	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8023	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8074	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8072	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8023	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8194	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8067	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8195	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 5943	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8068	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 5943	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2235	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2233	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5565	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8424	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8073	. . . 4 $/\$
64		crre 11039	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2229	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5565	. . 3 $/\$
68		crim 11040	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2229	. 2 $/\$
71		mulcl 8023	. . . 4 $/\$
72		remim 11042	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11042	. . . . 5
75		remim 11042	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 5944	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8354	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8458	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8402	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8457	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8457	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 5943	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 5941	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 5943	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 5943	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2239	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2233	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2232	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1179	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

cfv 5259 (class class class)co 5925

cc 7894

cr 7895

c1 7897

ci 7898

caddc 7899

cmul 7901

cmin 8214

cneg 8215

ccj 11021

cre 11022

cim 11023

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4152 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-2 9066 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026

This theorem is referenced by: remul 11054 immul 11061 cjmul 11067

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