remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11297

Description: Lemma for remul 11298, immul 11305, and cjmul 11311. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11285	. . . . . 6
2		replim 11285	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 5986	. . . . 5 $/\$
4		recl 11279	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8136	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 8055	. . . . . . . 8
8		imcl 11280	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8136	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8087	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8127	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11279	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8136	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11280	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8136	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8087	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8132	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8133	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8133	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 5985	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8138	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8136	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8128	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8128	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8128	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8277	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8262	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8691	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 5977	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8138	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8136	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8517	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2252	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2240	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8424	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2240	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8138	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8136	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8087	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8138	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8136	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8087	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8258	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8131	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8259	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 5985	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8132	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2250	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 5985	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2246	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2244	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5603	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8488	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8137	. . . 4 $/\$
64		crre 11283	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2240	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5603	. . 3 $/\$
68		crim 11284	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2240	. 2 $/\$
71		mulcl 8087	. . . 4 $/\$
72		remim 11286	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11286	. . . . 5
75		remim 11286	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 5986	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8418	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8522	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8466	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8521	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8521	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 5985	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2250	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 5983	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 5985	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2250	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 5985	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2250	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2244	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2243	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1180	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2178

cfv 5290 (class class class)co 5967

cc 7958

cr 7959

c1 7961

ci 7962

caddc 7963

cmul 7965

cmin 8278

cneg 8279

ccj 11265

cre 11266

cim 11267

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1471 ax-7 1472 ax-gen 1473 ax-ie1 1517 ax-ie2 1518 ax-8 1528 ax-10 1529 ax-11 1530 ax-i12 1531 ax-bndl 1533 ax-4 1534 ax-17 1550 ax-i9 1554 ax-ial 1558 ax-i5r 1559 ax-13 2180 ax-14 2181 ax-ext 2189 ax-sep 4178 ax-pow 4234 ax-pr 4269 ax-un 4498 ax-setind 4603 ax-cnex 8051 ax-resscn 8052 ax-1cn 8053 ax-1re 8054 ax-icn 8055 ax-addcl 8056 ax-addrcl 8057 ax-mulcl 8058 ax-mulrcl 8059 ax-addcom 8060 ax-mulcom 8061 ax-addass 8062 ax-mulass 8063 ax-distr 8064 ax-i2m1 8065 ax-0lt1 8066 ax-1rid 8067 ax-0id 8068 ax-rnegex 8069 ax-precex 8070 ax-cnre 8071 ax-pre-ltirr 8072 ax-pre-ltwlin 8073 ax-pre-lttrn 8074 ax-pre-apti 8075 ax-pre-ltadd 8076 ax-pre-mulgt0 8077 ax-pre-mulext 8078

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1485 df-sb 1787 df-eu 2058 df-mo 2059 df-clab 2194 df-cleq 2200 df-clel 2203 df-nfc 2339 df-ne 2379 df-nel 2474 df-ral 2491 df-rex 2492 df-reu 2493 df-rmo 2494 df-rab 2495 df-v 2778 df-sbc 3006 df-dif 3176 df-un 3178 df-in 3180 df-ss 3187 df-pw 3628 df-sn 3649 df-pr 3650 df-op 3652 df-uni 3865 df-br 4060 df-opab 4122 df-mpt 4123 df-id 4358 df-po 4361 df-iso 4362 df-xp 4699 df-rel 4700 df-cnv 4701 df-co 4702 df-dm 4703 df-rn 4704 df-res 4705 df-ima 4706 df-iota 5251 df-fun 5292 df-fn 5293 df-f 5294 df-fv 5298 df-riota 5922 df-ov 5970 df-oprab 5971 df-mpo 5972 df-pnf 8144 df-mnf 8145 df-xr 8146 df-ltxr 8147 df-le 8148 df-sub 8280 df-neg 8281 df-reap 8683 df-ap 8690 df-div 8781 df-2 9130 df-cj 11268 df-re 11269 df-im 11270

This theorem is referenced by: remul 11298 immul 11305 cjmul 11311

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