remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11449

Description: Lemma for remul 11450, immul 11457, and cjmul 11463. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11437	. . . . . 6
2		replim 11437	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 6037	. . . . 5 $/\$
4		recl 11431	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8208	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 8127	. . . . . . . 8
8		imcl 11432	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8208	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8159	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8199	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11431	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8208	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11432	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8208	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8159	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8204	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8205	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8205	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 6036	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8210	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8208	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8200	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8200	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8200	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8349	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8334	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8763	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 6028	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8210	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8208	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8589	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2276	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 6034	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8496	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2264	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8210	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8208	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8159	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8210	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8208	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8159	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8330	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8203	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8331	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 6036	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8204	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 6036	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2270	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2268	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5643	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8560	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8209	. . . 4 $/\$
64		crre 11435	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2264	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5643	. . 3 $/\$
68		crim 11436	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2264	. 2 $/\$
71		mulcl 8159	. . . 4 $/\$
72		remim 11438	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11438	. . . . 5
75		remim 11438	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 6037	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8490	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8594	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8538	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8593	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8593	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 6036	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 6034	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 6036	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 6036	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2274	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2268	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2267	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1203	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

cfv 5326 (class class class)co 6018

cc 8030

cr 8031

c1 8033

ci 8034

caddc 8035

cmul 8037

cmin 8350

cneg 8351

ccj 11417

cre 11418

cim 11419

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4207 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-fv 5334 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-2 9202 df-cj 11420 df-re 11421 df-im 11422

This theorem is referenced by: remul 11450 immul 11457 cjmul 11463

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