remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11581

Description: Lemma for remul 11582, immul 11589, and cjmul 11595. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11569	. . . . . 6
2		replim 11569	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 6077	. . . . 5 $/\$
4		recl 11563	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8318	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 8238	. . . . . . . 8
8		imcl 11564	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8318	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8270	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8309	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11563	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8318	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11564	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8318	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8270	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8314	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8315	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8315	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 6076	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8320	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8318	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8310	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8310	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8310	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8459	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8444	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8874	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8320	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8318	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8700	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2279	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2267	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 6074	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8606	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2267	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8320	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8318	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8270	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8320	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8318	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8270	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8440	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8313	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8441	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 6076	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8314	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2277	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 6076	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2273	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2271	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5679	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8671	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8319	. . . 4 $/\$
64		crre 11567	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2267	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5679	. . 3 $/\$
68		crim 11568	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2267	. 2 $/\$
71		mulcl 8270	. . . 4 $/\$
72		remim 11570	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11570	. . . . 5
75		remim 11570	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 6077	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8600	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8705	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8648	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8704	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8704	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 6076	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2277	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 6074	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 6076	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2277	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 6076	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2277	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2271	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2270	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1204	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2205

cfv 5357 (class class class)co 6058

cc 8141

cr 8142

c1 8144

ci 8145

caddc 8146

cmul 8148

cmin 8460

cneg 8461

ccj 11549

cre 11550

cim 11551

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-sep 4233 ax-pow 4292 ax-pr 4327 ax-un 4559 ax-setind 4664 ax-cnex 8234 ax-resscn 8235 ax-1cn 8236 ax-1re 8237 ax-icn 8238 ax-addcl 8239 ax-addrcl 8240 ax-mulcl 8241 ax-mulrcl 8242 ax-addcom 8243 ax-mulcom 8244 ax-addass 8245 ax-mulass 8246 ax-distr 8247 ax-i2m1 8248 ax-0lt1 8249 ax-1rid 8250 ax-0id 8251 ax-rnegex 8252 ax-precex 8253 ax-cnre 8254 ax-pre-ltirr 8255 ax-pre-ltwlin 8256 ax-pre-lttrn 8257 ax-pre-apti 8258 ax-pre-ltadd 8259 ax-pre-mulgt0 8260 ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3046 df-dif 3216 df-un 3218 df-in 3220 df-ss 3227 df-pw 3676 df-sn 3700 df-pr 3701 df-op 3703 df-uni 3920 df-br 4115 df-opab 4177 df-mpt 4178 df-id 4419 df-po 4422 df-iso 4423 df-xp 4760 df-rel 4761 df-cnv 4762 df-co 4763 df-dm 4764 df-rn 4765 df-res 4766 df-ima 4767 df-iota 5317 df-fun 5359 df-fn 5360 df-f 5361 df-fv 5365 df-riota 6011 df-ov 6061 df-oprab 6062 df-mpo 6063 df-pnf 8326 df-mnf 8327 df-xr 8328 df-ltxr 8329 df-le 8330 df-sub 8462 df-neg 8463 df-reap 8866 df-ap 8873 df-div 8964 df-2 9313 df-cj 11552 df-re 11553 df-im 11554

This theorem is referenced by: remul 11582 immul 11589 cjmul 11595

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