remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11018

Description: Lemma for remul 11019, immul 11026, and cjmul 11032. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11006	. . . . . 6
2		replim 11006	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 5938	. . . . 5 $/\$
4		recl 11000	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8050	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 7969	. . . . . . . 8
8		imcl 11001	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8050	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8001	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8041	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11000	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8050	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11001	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8050	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8001	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8046	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8047	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8047	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 5937	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8052	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8050	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8042	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8042	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8042	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8191	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8176	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8604	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 5929	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8052	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8050	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8431	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2238	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 5935	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8338	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2226	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8052	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8050	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8001	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8052	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8050	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8001	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8172	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8045	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8173	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 5937	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8046	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2236	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 5937	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2232	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2230	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5559	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8402	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8051	. . . 4 $/\$
64		crre 11004	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2226	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5559	. . 3 $/\$
68		crim 11005	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2226	. 2 $/\$
71		mulcl 8001	. . . 4 $/\$
72		remim 11007	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11007	. . . . 5
75		remim 11007	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 5938	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8332	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8436	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8380	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8435	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8435	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 5937	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2236	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 5935	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 5937	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2236	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 5937	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2236	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2230	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2229	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1179	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

cfv 5255 (class class class)co 5919

cc 7872

cr 7873

c1 7875

ci 7876

caddc 7877

cmul 7879

cmin 8192

cneg 8193

ccj 10986

cre 10987

cim 10988

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-sep 4148 ax-pow 4204 ax-pr 4239 ax-un 4465 ax-setind 4570 ax-cnex 7965 ax-resscn 7966 ax-1cn 7967 ax-1re 7968 ax-icn 7969 ax-addcl 7970 ax-addrcl 7971 ax-mulcl 7972 ax-mulrcl 7973 ax-addcom 7974 ax-mulcom 7975 ax-addass 7976 ax-mulass 7977 ax-distr 7978 ax-i2m1 7979 ax-0lt1 7980 ax-1rid 7981 ax-0id 7982 ax-rnegex 7983 ax-precex 7984 ax-cnre 7985 ax-pre-ltirr 7986 ax-pre-ltwlin 7987 ax-pre-lttrn 7988 ax-pre-apti 7989 ax-pre-ltadd 7990 ax-pre-mulgt0 7991 ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2987 df-dif 3156 df-un 3158 df-in 3160 df-ss 3167 df-pw 3604 df-sn 3625 df-pr 3626 df-op 3628 df-uni 3837 df-br 4031 df-opab 4092 df-mpt 4093 df-id 4325 df-po 4328 df-iso 4329 df-xp 4666 df-rel 4667 df-cnv 4668 df-co 4669 df-dm 4670 df-rn 4671 df-res 4672 df-ima 4673 df-iota 5216 df-fun 5257 df-fn 5258 df-f 5259 df-fv 5263 df-riota 5874 df-ov 5922 df-oprab 5923 df-mpo 5924 df-pnf 8058 df-mnf 8059 df-xr 8060 df-ltxr 8061 df-le 8062 df-sub 8194 df-neg 8195 df-reap 8596 df-ap 8603 df-div 8694 df-2 9043 df-cj 10989 df-re 10990 df-im 10991

This theorem is referenced by: remul 11019 immul 11026 cjmul 11032

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