remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11494

Description: Lemma for remul 11495, immul 11502, and cjmul 11508. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11482	. . . . . 6
2		replim 11482	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 6047	. . . . 5 $/\$
4		recl 11476	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8250	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 8170	. . . . . . . 8
8		imcl 11477	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8250	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8202	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8241	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11476	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8250	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11477	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8250	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8202	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8246	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8247	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8247	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 6046	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8252	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8250	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8242	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8242	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8242	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8391	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8376	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8805	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8252	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8250	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8631	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2276	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 6044	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8538	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2264	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8252	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8202	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8252	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8250	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8202	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8372	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8245	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8373	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 6046	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8246	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 6046	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2270	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2268	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5652	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8602	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8251	. . . 4 $/\$
64		crre 11480	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2264	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5652	. . 3 $/\$
68		crim 11481	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2264	. 2 $/\$
71		mulcl 8202	. . . 4 $/\$
72		remim 11483	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11483	. . . . 5
75		remim 11483	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 6047	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8532	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8636	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8580	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8635	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8635	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 6046	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 6044	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 6046	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 6046	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2274	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2268	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2267	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1204	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1005

wceq 1398

wcel 2202

cfv 5333 (class class class)co 6028

cc 8073

cr 8074

c1 8076

ci 8077

caddc 8078

cmul 8080

cmin 8392

cneg 8393

ccj 11462

cre 11463

cim 11464

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4212 ax-pow 4270 ax-pr 4305 ax-un 4536 ax-setind 4641 ax-cnex 8166 ax-resscn 8167 ax-1cn 8168 ax-1re 8169 ax-icn 8170 ax-addcl 8171 ax-addrcl 8172 ax-mulcl 8173 ax-mulrcl 8174 ax-addcom 8175 ax-mulcom 8176 ax-addass 8177 ax-mulass 8178 ax-distr 8179 ax-i2m1 8180 ax-0lt1 8181 ax-1rid 8182 ax-0id 8183 ax-rnegex 8184 ax-precex 8185 ax-cnre 8186 ax-pre-ltirr 8187 ax-pre-ltwlin 8188 ax-pre-lttrn 8189 ax-pre-apti 8190 ax-pre-ltadd 8191 ax-pre-mulgt0 8192 ax-pre-mulext 8193

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2364 df-ne 2404 df-nel 2499 df-ral 2516 df-rex 2517 df-reu 2518 df-rmo 2519 df-rab 2520 df-v 2805 df-sbc 3033 df-dif 3203 df-un 3205 df-in 3207 df-ss 3214 df-pw 3658 df-sn 3679 df-pr 3680 df-op 3682 df-uni 3899 df-br 4094 df-opab 4156 df-mpt 4157 df-id 4396 df-po 4399 df-iso 4400 df-xp 4737 df-rel 4738 df-cnv 4739 df-co 4740 df-dm 4741 df-rn 4742 df-res 4743 df-ima 4744 df-iota 5293 df-fun 5335 df-fn 5336 df-f 5337 df-fv 5341 df-riota 5981 df-ov 6031 df-oprab 6032 df-mpo 6033 df-pnf 8258 df-mnf 8259 df-xr 8260 df-ltxr 8261 df-le 8262 df-sub 8394 df-neg 8395 df-reap 8797 df-ap 8804 df-div 8895 df-2 9244 df-cj 11465 df-re 11466 df-im 11467

This theorem is referenced by: remul 11495 immul 11502 cjmul 11508

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