remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11153

Description: Lemma for remul 11154, immul 11161, and cjmul 11167. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11141	. . . . . 6
2		replim 11141	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 5962	. . . . 5 $/\$
4		recl 11135	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8100	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 8019	. . . . . . . 8
8		imcl 11136	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8100	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8051	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8091	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11135	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8100	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11136	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8100	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8051	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8096	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8097	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8097	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 5961	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8102	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8100	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8092	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8092	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8092	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8241	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8226	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8655	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 5953	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8102	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8100	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2249	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2237	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 5959	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8388	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2237	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8102	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8100	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8051	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8102	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8100	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8051	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8222	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8095	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8223	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 5961	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8096	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2247	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 5961	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2243	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2241	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5579	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8452	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8101	. . . 4 $/\$
64		crre 11139	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2237	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5579	. . 3 $/\$
68		crim 11140	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2237	. 2 $/\$
71		mulcl 8051	. . . 4 $/\$
72		remim 11142	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11142	. . . . 5
75		remim 11142	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 5962	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8382	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8486	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8430	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8485	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8485	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 5961	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2247	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 5959	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 5961	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2247	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 5961	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2247	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2241	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2240	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1179	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1372

wcel 2175

cfv 5270 (class class class)co 5943

cc 7922

cr 7923

c1 7925

ci 7926

caddc 7927

cmul 7929

cmin 8242

cneg 8243

ccj 11121

cre 11122

cim 11123

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1469 ax-7 1470 ax-gen 1471 ax-ie1 1515 ax-ie2 1516 ax-8 1526 ax-10 1527 ax-11 1528 ax-i12 1529 ax-bndl 1531 ax-4 1532 ax-17 1548 ax-i9 1552 ax-ial 1556 ax-i5r 1557 ax-13 2177 ax-14 2178 ax-ext 2186 ax-sep 4161 ax-pow 4217 ax-pr 4252 ax-un 4479 ax-setind 4584 ax-cnex 8015 ax-resscn 8016 ax-1cn 8017 ax-1re 8018 ax-icn 8019 ax-addcl 8020 ax-addrcl 8021 ax-mulcl 8022 ax-mulrcl 8023 ax-addcom 8024 ax-mulcom 8025 ax-addass 8026 ax-mulass 8027 ax-distr 8028 ax-i2m1 8029 ax-0lt1 8030 ax-1rid 8031 ax-0id 8032 ax-rnegex 8033 ax-precex 8034 ax-cnre 8035 ax-pre-ltirr 8036 ax-pre-ltwlin 8037 ax-pre-lttrn 8038 ax-pre-apti 8039 ax-pre-ltadd 8040 ax-pre-mulgt0 8041 ax-pre-mulext 8042

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1375 df-fal 1378 df-nf 1483 df-sb 1785 df-eu 2056 df-mo 2057 df-clab 2191 df-cleq 2197 df-clel 2200 df-nfc 2336 df-ne 2376 df-nel 2471 df-ral 2488 df-rex 2489 df-reu 2490 df-rmo 2491 df-rab 2492 df-v 2773 df-sbc 2998 df-dif 3167 df-un 3169 df-in 3171 df-ss 3178 df-pw 3617 df-sn 3638 df-pr 3639 df-op 3641 df-uni 3850 df-br 4044 df-opab 4105 df-mpt 4106 df-id 4339 df-po 4342 df-iso 4343 df-xp 4680 df-rel 4681 df-cnv 4682 df-co 4683 df-dm 4684 df-rn 4685 df-res 4686 df-ima 4687 df-iota 5231 df-fun 5272 df-fn 5273 df-f 5274 df-fv 5278 df-riota 5898 df-ov 5946 df-oprab 5947 df-mpo 5948 df-pnf 8108 df-mnf 8109 df-xr 8110 df-ltxr 8111 df-le 8112 df-sub 8244 df-neg 8245 df-reap 8647 df-ap 8654 df-div 8745 df-2 9094 df-cj 11124 df-re 11125 df-im 11126

This theorem is referenced by: remul 11154 immul 11161 cjmul 11167

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