remullem - Intuitionistic Logic Explorer

	Intuitionistic Logic Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > remullem		Unicode version

Theorem remullem 11377

Description: Lemma for remul 11378, immul 11385, and cjmul 11391. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11365	. . . . . 6
2		replim 11365	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 6019	. . . . 5 $/\$
4		recl 11359	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8171	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 8090	. . . . . . . 8
8		imcl 11360	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8171	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8122	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8162	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11359	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8171	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11360	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8171	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8122	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8167	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8168	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8168	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 6018	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8173	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8171	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8163	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8163	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8163	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8312	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8297	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8726	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 6010	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8173	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8171	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8552	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2274	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 6016	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8459	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2262	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8173	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8171	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8122	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8173	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8171	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8122	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8293	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8166	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8294	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 6018	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8167	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 6018	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2268	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2266	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5630	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8523	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8172	. . . 4 $/\$
64		crre 11363	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2262	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5630	. . 3 $/\$
68		crim 11364	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2262	. 2 $/\$
71		mulcl 8122	. . . 4 $/\$
72		remim 11366	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11366	. . . . 5
75		remim 11366	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 6019	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8453	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8557	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8501	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8556	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8556	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 6018	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 6016	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 6018	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 6018	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2272	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2266	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2265	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1201	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

cfv 5317 (class class class)co 6000

cc 7993

cr 7994

c1 7996

ci 7997

caddc 7998

cmul 8000

cmin 8313

cneg 8314

ccj 11345

cre 11346

cim 11347

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-sep 4201 ax-pow 4257 ax-pr 4292 ax-un 4523 ax-setind 4628 ax-cnex 8086 ax-resscn 8087 ax-1cn 8088 ax-1re 8089 ax-icn 8090 ax-addcl 8091 ax-addrcl 8092 ax-mulcl 8093 ax-mulrcl 8094 ax-addcom 8095 ax-mulcom 8096 ax-addass 8097 ax-mulass 8098 ax-distr 8099 ax-i2m1 8100 ax-0lt1 8101 ax-1rid 8102 ax-0id 8103 ax-rnegex 8104 ax-precex 8105 ax-cnre 8106 ax-pre-ltirr 8107 ax-pre-ltwlin 8108 ax-pre-lttrn 8109 ax-pre-apti 8110 ax-pre-ltadd 8111 ax-pre-mulgt0 8112 ax-pre-mulext 8113

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3888 df-br 4083 df-opab 4145 df-mpt 4146 df-id 4383 df-po 4386 df-iso 4387 df-xp 4724 df-rel 4725 df-cnv 4726 df-co 4727 df-dm 4728 df-rn 4729 df-res 4730 df-ima 4731 df-iota 5277 df-fun 5319 df-fn 5320 df-f 5321 df-fv 5325 df-riota 5953 df-ov 6003 df-oprab 6004 df-mpo 6005 df-pnf 8179 df-mnf 8180 df-xr 8181 df-ltxr 8182 df-le 8183 df-sub 8315 df-neg 8316 df-reap 8718 df-ap 8725 df-div 8816 df-2 9165 df-cj 11348 df-re 11349 df-im 11350

This theorem is referenced by: remul 11378 immul 11385 cjmul 11391

W3C validator