remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11431

Description: Lemma for remul 11432, immul 11439, and cjmul 11445. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11419	. . . . . 6
2		replim 11419	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 6036	. . . . 5 $/\$
4		recl 11413	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8207	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 8126	. . . . . . . 8
8		imcl 11414	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8207	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8158	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8198	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11413	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8207	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11414	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8207	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8158	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8203	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8204	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8204	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 6035	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8209	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8207	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8199	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8199	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8199	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8348	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8333	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8762	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 6027	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8209	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8207	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8588	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2276	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8495	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2264	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8209	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8207	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8158	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8209	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8207	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8158	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8329	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8202	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8330	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 6035	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8203	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 6035	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2270	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2268	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5643	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8559	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8208	. . . 4 $/\$
64		crre 11417	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2264	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5643	. . 3 $/\$
68		crim 11418	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2264	. 2 $/\$
71		mulcl 8158	. . . 4 $/\$
72		remim 11420	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11420	. . . . 5
75		remim 11420	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 6036	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8489	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8593	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8537	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8592	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8592	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 6035	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 6033	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 6035	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2274	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 6035	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2274	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2268	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2267	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1203	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

cfv 5326 (class class class)co 6017

cc 8029

cr 8030

c1 8032

ci 8033

caddc 8034

cmul 8036

cmin 8349

cneg 8350

ccj 11399

cre 11400

cim 11401

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-sep 4207 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-cnex 8122 ax-resscn 8123 ax-1cn 8124 ax-1re 8125 ax-icn 8126 ax-addcl 8127 ax-addrcl 8128 ax-mulcl 8129 ax-mulrcl 8130 ax-addcom 8131 ax-mulcom 8132 ax-addass 8133 ax-mulass 8134 ax-distr 8135 ax-i2m1 8136 ax-0lt1 8137 ax-1rid 8138 ax-0id 8139 ax-rnegex 8140 ax-precex 8141 ax-cnre 8142 ax-pre-ltirr 8143 ax-pre-ltwlin 8144 ax-pre-lttrn 8145 ax-pre-apti 8146 ax-pre-ltadd 8147 ax-pre-mulgt0 8148 ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-fv 5334 df-riota 5970 df-ov 6020 df-oprab 6021 df-mpo 6022 df-pnf 8215 df-mnf 8216 df-xr 8217 df-ltxr 8218 df-le 8219 df-sub 8351 df-neg 8352 df-reap 8754 df-ap 8761 df-div 8852 df-2 9201 df-cj 11402 df-re 11403 df-im 11404

This theorem is referenced by: remul 11432 immul 11439 cjmul 11445

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