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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > remullem | Unicode version |
Description: Lemma for remul 10485, immul 10492, and cjmul 10498. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
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remullem |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | replim 10472 |
. . . . . 6
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2 | replim 10472 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | oveqan12d 5725 |
. . . . 5
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4 | recl 10466 |
. . . . . . . . 9
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5 | 4 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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6 | 5 | recnd 7666 |
. . . . . . 7
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7 | ax-icn 7590 |
. . . . . . . 8
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8 | imcl 10467 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 8 | adantr 272 |
. . . . . . . . 9
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10 | 9 | recnd 7666 |
. . . . . . . 8
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11 | mulcl 7619 |
. . . . . . . 8
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12 | 7, 10, 11 | sylancr 408 |
. . . . . . 7
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13 | 6, 12 | addcld 7657 |
. . . . . 6
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14 | recl 10466 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | adantl 273 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | recnd 7666 |
. . . . . 6
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17 | imcl 10467 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | adantl 273 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | recnd 7666 |
. . . . . . 7
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20 | mulcl 7619 |
. . . . . . 7
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21 | 7, 19, 20 | sylancr 408 |
. . . . . 6
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22 | 13, 16, 21 | adddid 7662 |
. . . . 5
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23 | 6, 12, 16 | adddird 7663 |
. . . . . . 7
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24 | 6, 12, 21 | adddird 7663 |
. . . . . . 7
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25 | 23, 24 | oveq12d 5724 |
. . . . . 6
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26 | 5, 15 | remulcld 7668 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | recnd 7666 |
. . . . . . 7
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28 | 12, 21 | mulcld 7658 |
. . . . . . 7
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29 | 12, 16 | mulcld 7658 |
. . . . . . 7
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30 | 6, 21 | mulcld 7658 |
. . . . . . 7
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31 | 27, 28, 29, 30 | add42d 7803 |
. . . . . 6
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32 | 7 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32, 10, 32, 19 | mul4d 7788 |
. . . . . . . . . 10
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34 | ixi 8211 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 34 | oveq1i 5716 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 9, 18 | remulcld 7668 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | 36 | recnd 7666 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | mulm1d 8039 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 35, 38 | syl5eq 2144 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 33, 39 | eqtrd 2132 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | oveq2d 5722 |
. . . . . . . 8
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42 | 27, 37 | negsubd 7950 |
. . . . . . . 8
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43 | 41, 42 | eqtrd 2132 |
. . . . . . 7
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44 | 9, 15 | remulcld 7668 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 44 | recnd 7666 |
. . . . . . . . . 10
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46 | mulcl 7619 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 7, 45, 46 | sylancr 408 |
. . . . . . . . 9
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48 | 5, 18 | remulcld 7668 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 48 | recnd 7666 |
. . . . . . . . . 10
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50 | mulcl 7619 |
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82 | 80, 81 | oveq12d 5724 |
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85 | 54, 53 | oveq12d 5724 |
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87 | 83, 86 | oveq12d 5724 |
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88 | 79, 82, 87 | 3eqtr4d 2142 |
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89 | 76, 78, 88 | 3eqtrd 2136 |
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90 | 73, 89 | eqtr4d 2135 |
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91 | 66, 70, 90 | 3jca 1129 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-sep 3986 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-fv 5067 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-2 8637 df-cj 10455 df-re 10456 df-im 10457 |
This theorem is referenced by: remul 10485 immul 10492 cjmul 10498 |
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