ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  remullem Unicode version

Theorem remullem 10200
Description: Lemma for remul 10201, immul 10208, and cjmul 10214. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  /\  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  /\  ( * `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( * `
 B ) ) ) )

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 10188 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2 replim 10188 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
31, 2oveqan12d 5632 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
4 recl 10182 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
54adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
65recnd 7460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
7 ax-icn 7384 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
8 imcl 10183 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
98adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
109recnd 7460 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
11 mulcl 7413 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
127, 10, 11sylancr 405 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
136, 12addcld 7451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  e.  CC )
14 recl 10182 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1514adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1615recnd 7460 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
17 imcl 10183 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1817adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1918recnd 7460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
20 mulcl 7413 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
217, 19, 20sylancr 405 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2213, 16, 21adddid 7456 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
236, 12, 16adddird 7457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
246, 12, 21adddird 7457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
2523, 24oveq12d 5631 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) ) )  +  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) ) )
265, 15remulcld 7462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  RR )
2726recnd 7460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
2812, 21mulcld 7452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
2912, 16mulcld 7452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
306, 21mulcld 7452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
3127, 28, 29, 30add42d 7596 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  +  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) ) )  +  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
327a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
3332, 10, 32, 19mul4d 7581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
34 ixi 8001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
3534oveq1i 5623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )
369, 18remulcld 7462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  RR )
3736recnd 7460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
3837mulm1d 7832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  =  -u ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )
3935, 38syl5eq 2129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )
4033, 39eqtrd 2117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )
4140oveq2d 5629 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
4227, 37negsubd 7743 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  -u ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
4341, 42eqtrd 2117 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
449, 15remulcld 7462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  RR )
4544recnd 7460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
46 mulcl 7413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  CC )
477, 45, 46sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  CC )
485, 18remulcld 7462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  RR )
4948recnd 7460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
50 mulcl 7413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  CC )
517, 49, 50sylancr 405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  CC )
5247, 51addcomd 7577 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5332, 10, 16mulassd 7455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) )
546, 32, 19mul12d 7578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
5553, 54oveq12d 5631 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
5632, 49, 45adddid 7456 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5752, 55, 563eqtr4d 2127 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5843, 57oveq12d 5631 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  +  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) )
5925, 31, 583eqtr2d 2123 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )
603, 22, 593eqtrd 2121 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) ) )
6160fveq2d 5272 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( Re
`  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) ) )
6226, 36resubcld 7803 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR )
6348, 44readdcld 7461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )
64 crre 10186 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
6562, 63, 64syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
6661, 65eqtrd 2117 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
6760fveq2d 5272 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( Im
`  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) ) )
68 crim 10187 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )
6962, 63, 68syl2anc 403 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
7067, 69eqtrd 2117 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
71 mulcl 7413 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
72 remim 10189 . . . 4  |-  ( ( A  x.  B )  e.  CC  ->  (
* `  ( A  x.  B ) )  =  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  x.  B
) ) ) ) )
7371, 72syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
74 remim 10189 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
75 remim 10189 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  =  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
7674, 75oveqan12d 5632 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
7716, 21subcld 7737 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
786, 12, 77subdird 7837 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
7927, 30, 29, 28subadd4d 7785 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
806, 16, 21subdid 7836 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
8112, 16, 21subdid 7836 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
8280, 81oveq12d 5631 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
8365, 61, 433eqtr4d 2127 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
8470oveq2d 5629 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
8554, 53oveq12d 5631 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
8656, 84, 853eqtr4d 2127 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
8783, 86oveq12d 5631 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  x.  B
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
8879, 82, 873eqtr4d 2127 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( Re
`  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
8976, 78, 883eqtrd 2121 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
9073, 89eqtr4d 2120 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( * `  B ) ) )
9166, 70, 903jca 1121 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  /\  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  /\  ( * `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( * `
 B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 922    = wceq 1287    e. wcel 1436   ` cfv 4981  (class class class)co 5613   CCcc 7292   RRcr 7293   1c1 7295   _ici 7296    + caddc 7297    x. cmul 7299    - cmin 7597   -ucneg 7598   *ccj 10168   Recre 10169   Imcim 10170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-2 8416  df-cj 10171  df-re 10172  df-im 10173
This theorem is referenced by:  remul  10201  immul  10208  cjmul  10214
  Copyright terms: Public domain W3C validator