remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 10911

Description: Lemma for remul 10912, immul 10919, and cjmul 10925. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 10899	. . . . . 6
2		replim 10899	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 5914	. . . . 5 $/\$
4		recl 10893	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8015	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 7935	. . . . . . . 8
8		imcl 10894	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8015	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 7967	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8006	. . . . . 6 $/\$
14		recl 10893	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8015	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 10894	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8015	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 7967	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8011	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8012	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8012	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 5913	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8017	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8015	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8007	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8007	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8007	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8156	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8141	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8569	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 5905	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8017	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8015	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8396	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2234	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2222	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 5911	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8303	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2222	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8017	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8015	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 7967	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8017	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8015	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 7967	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8137	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8010	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8138	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 5913	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8011	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2232	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 5913	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2228	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2226	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5538	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8367	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8016	. . . 4 $/\$
64		crre 10897	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2222	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5538	. . 3 $/\$
68		crim 10898	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2222	. 2 $/\$
71		mulcl 7967	. . . 4 $/\$
72		remim 10900	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 10900	. . . . 5
75		remim 10900	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 5914	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8297	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8401	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8345	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8400	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8400	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 5913	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2232	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 5911	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 5913	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2232	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 5913	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2232	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2226	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2225	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1179	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2160

cfv 5235 (class class class)co 5895

cc 7838

cr 7839

c1 7841

ci 7842

caddc 7843

cmul 7845

cmin 8157

cneg 8158

ccj 10879

cre 10880

cim 10881

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-fv 5243 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-2 9007 df-cj 10882 df-re 10883 df-im 10884

This theorem is referenced by: remul 10912 immul 10919 cjmul 10925

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