remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11036

Description: Lemma for remul 11037, immul 11044, and cjmul 11050. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11024	. . . . . 6
2		replim 11024	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 5941	. . . . 5 $/\$
4		recl 11018	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8055	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 7974	. . . . . . . 8
8		imcl 11019	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8055	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8006	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8046	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11018	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8055	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11019	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8055	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8006	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8051	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8052	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8052	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 5940	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8057	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8055	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8047	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8047	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8047	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8196	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8181	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8610	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 5932	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8057	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8055	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8436	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2241	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 5938	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8343	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2229	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8057	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8055	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8006	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8057	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8055	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8006	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8177	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8050	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8178	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8051	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 5940	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2235	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2233	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5562	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8407	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8056	. . . 4 $/\$
64		crre 11022	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2229	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5562	. . 3 $/\$
68		crim 11023	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2229	. 2 $/\$
71		mulcl 8006	. . . 4 $/\$
72		remim 11025	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11025	. . . . 5
75		remim 11025	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 5941	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8337	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8441	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8385	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8440	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8440	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 5940	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 5938	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 5940	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 5940	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2239	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2233	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2232	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1179	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

cfv 5258 (class class class)co 5922

cc 7877

cr 7878

c1 7880

ci 7881

caddc 7882

cmul 7884

cmin 8197

cneg 8198

ccj 11004

cre 11005

cim 11006

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4151 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-2 9049 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009

This theorem is referenced by: remul 11037 immul 11044 cjmul 11050

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