remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11038

Description: Lemma for remul 11039, immul 11046, and cjmul 11052. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11026	. . . . . 6
2		replim 11026	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 5942	. . . . 5 $/\$
4		recl 11020	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8057	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 7976	. . . . . . . 8
8		imcl 11021	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8057	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8008	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8048	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11020	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8057	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11021	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8057	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8008	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8053	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8054	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8054	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 5941	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8059	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8057	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8049	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8049	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8049	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8198	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8183	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8612	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 5933	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8059	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8057	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8438	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2241	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 5939	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8345	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2229	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8059	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8057	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8008	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8059	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8057	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8008	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8179	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8052	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8180	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 5941	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8053	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 5941	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2235	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2233	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5563	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8409	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8058	. . . 4 $/\$
64		crre 11024	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2229	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5563	. . 3 $/\$
68		crim 11025	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2229	. 2 $/\$
71		mulcl 8008	. . . 4 $/\$
72		remim 11027	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11027	. . . . 5
75		remim 11027	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 5942	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8339	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8443	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8387	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8442	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8442	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 5941	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 5939	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 5941	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2239	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 5941	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2239	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2233	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2232	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1179	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

cfv 5259 (class class class)co 5923

cc 7879

cr 7880

c1 7882

ci 7883

caddc 7884

cmul 7886

cmin 8199

cneg 8200

ccj 11006

cre 11007

cim 11008

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4152 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-cnex 7972 ax-resscn 7973 ax-1cn 7974 ax-1re 7975 ax-icn 7976 ax-addcl 7977 ax-addrcl 7978 ax-mulcl 7979 ax-mulrcl 7980 ax-addcom 7981 ax-mulcom 7982 ax-addass 7983 ax-mulass 7984 ax-distr 7985 ax-i2m1 7986 ax-0lt1 7987 ax-1rid 7988 ax-0id 7989 ax-rnegex 7990 ax-precex 7991 ax-cnre 7992 ax-pre-ltirr 7993 ax-pre-ltwlin 7994 ax-pre-lttrn 7995 ax-pre-apti 7996 ax-pre-ltadd 7997 ax-pre-mulgt0 7998 ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-fv 5267 df-riota 5878 df-ov 5926 df-oprab 5927 df-mpo 5928 df-pnf 8065 df-mnf 8066 df-xr 8067 df-ltxr 8068 df-le 8069 df-sub 8201 df-neg 8202 df-reap 8604 df-ap 8611 df-div 8702 df-2 9051 df-cj 11009 df-re 11010 df-im 11011

This theorem is referenced by: remul 11039 immul 11046 cjmul 11052

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