remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11182

Description: Lemma for remul 11183, immul 11190, and cjmul 11196. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11170	. . . . . 6
2		replim 11170	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 5963	. . . . 5 $/\$
4		recl 11164	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8101	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 8020	. . . . . . . 8
8		imcl 11165	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8101	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8052	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8092	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11164	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8101	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11165	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8101	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8052	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8097	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8098	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8098	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 5962	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8103	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8101	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8093	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8093	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8093	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8242	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8227	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8656	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 5954	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8103	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8101	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2250	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2238	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8389	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2238	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8103	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8101	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8052	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8103	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8101	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8052	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8223	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8096	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8224	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 5962	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8097	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2248	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 5962	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2244	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2242	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5580	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8453	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8102	. . . 4 $/\$
64		crre 11168	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2238	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5580	. . 3 $/\$
68		crim 11169	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2238	. 2 $/\$
71		mulcl 8052	. . . 4 $/\$
72		remim 11171	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11171	. . . . 5
75		remim 11171	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 5963	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8383	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8487	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8431	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8486	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8486	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 5962	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2248	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 5960	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 5962	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2248	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 5962	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2248	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2242	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2241	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1180	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 981

wceq 1373

wcel 2176

cfv 5271 (class class class)co 5944

cc 7923

cr 7924

c1 7926

ci 7927

caddc 7928

cmul 7930

cmin 8243

cneg 8244

ccj 11150

cre 11151

cim 11152

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-sep 4162 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-cnex 8016 ax-resscn 8017 ax-1cn 8018 ax-1re 8019 ax-icn 8020 ax-addcl 8021 ax-addrcl 8022 ax-mulcl 8023 ax-mulrcl 8024 ax-addcom 8025 ax-mulcom 8026 ax-addass 8027 ax-mulass 8028 ax-distr 8029 ax-i2m1 8030 ax-0lt1 8031 ax-1rid 8032 ax-0id 8033 ax-rnegex 8034 ax-precex 8035 ax-cnre 8036 ax-pre-ltirr 8037 ax-pre-ltwlin 8038 ax-pre-lttrn 8039 ax-pre-apti 8040 ax-pre-ltadd 8041 ax-pre-mulgt0 8042 ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-br 4045 df-opab 4106 df-mpt 4107 df-id 4340 df-po 4343 df-iso 4344 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-rn 4686 df-res 4687 df-ima 4688 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fn 5274 df-f 5275 df-fv 5279 df-riota 5899 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-pnf 8109 df-mnf 8110 df-xr 8111 df-ltxr 8112 df-le 8113 df-sub 8245 df-neg 8246 df-reap 8648 df-ap 8655 df-div 8746 df-2 9095 df-cj 11153 df-re 11154 df-im 11155

This theorem is referenced by: remul 11183 immul 11190 cjmul 11196

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