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Theorem remullem 10911
Description: Lemma for remul 10912, immul 10919, and cjmul 10925. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
remullem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  /\  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  /\  ( * `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( * `
 B ) ) ) )

Proof of Theorem remullem
StepHypRef Expression
1 replim 10899 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2 replim 10899 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
31, 2oveqan12d 5914 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
4 recl 10893 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
54adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
65recnd 8015 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
7 ax-icn 7935 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
8 imcl 10894 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
98adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  RR )
109recnd 8015 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  A
)  e.  CC )
11 mulcl 7967 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
127, 10, 11sylancr 414 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
136, 12addcld 8006 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  e.  CC )
14 recl 10893 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1514adantl 277 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
1615recnd 8015 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
17 imcl 10894 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1817adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
1918recnd 8015 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
20 mulcl 7967 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
217, 19, 20sylancr 414 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2213, 16, 21adddid 8011 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
236, 12, 16adddird 8012 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
Re `  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
246, 12, 21adddird 8012 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
2523, 24oveq12d 5913 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) ) )  +  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) ) )
265, 15remulcld 8017 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  RR )
2726recnd 8015 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
2812, 21mulcld 8007 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
2912, 16mulcld 8007 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) )  e.  CC )
306, 21mulcld 8007 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
3127, 28, 29, 30add42d 8156 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  +  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) ) )  +  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
327a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
3332, 10, 32, 19mul4d 8141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
34 ixi 8569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( _i  x.  _i )  = 
-u 1
3534oveq1i 5905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( _i  x.  _i )  x.  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )
369, 18remulcld 8017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  RR )
3736recnd 8015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
3837mulm1d 8396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  =  -u ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )
3935, 38eqtrid 2234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  _i )  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )
4033, 39eqtrd 2222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )
4140oveq2d 5911 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
4227, 37negsubd 8303 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  -u ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
4341, 42eqtrd 2222 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
449, 15remulcld 8017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  RR )
4544recnd 8015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
46 mulcl 7967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) )  e.  CC )
477, 45, 46sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  CC )
485, 18remulcld 8017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  RR )
4948recnd 8015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
50 mulcl 7967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  e.  CC )
517, 49, 50sylancr 414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  CC )
5247, 51addcomd 8137 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5332, 10, 16mulassd 8010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re
`  B ) )  =  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) )
546, 32, 19mul12d 8138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
5553, 54oveq12d 5913 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
5632, 49, 45adddid 8011 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5752, 55, 563eqtr4d 2232 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  +  ( ( Re `  A
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
5843, 57oveq12d 5913 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  +  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) )
5925, 31, 583eqtr2d 2228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  (
Re `  B )
)  +  ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )
603, 22, 593eqtrd 2226 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  =  ( ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) ) )
6160fveq2d 5538 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( Re
`  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) ) )
6226, 36resubcld 8367 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR )
6348, 44readdcld 8016 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )
64 crre 10897 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) ) )
6562, 63, 64syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
6661, 65eqtrd 2222 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
6760fveq2d 5538 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( Im
`  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )  +  ( _i  x.  (
( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) ) ) ) )
68 crim 10898 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  e.  RR )  ->  ( Im `  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) ) )
6962, 63, 68syl2anc 411 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  (
( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
7067, 69eqtrd 2222 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
71 mulcl 7967 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
72 remim 10900 . . . 4  |-  ( ( A  x.  B )  e.  CC  ->  (
* `  ( A  x.  B ) )  =  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  x.  B
) ) ) ) )
7371, 72syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
74 remim 10900 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
75 remim 10900 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  =  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
7674, 75oveqan12d 5914 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
7716, 21subcld 8297 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) )  e.  CC )
786, 12, 77subdird 8401 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  x.  (
( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
7927, 30, 29, 28subadd4d 8345 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  -  ( ( Re `  A )  x.  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
806, 16, 21subdid 8400 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
( Re `  B
)  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
8112, 16, 21subdid 8400 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( ( Re `  B )  -  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) )
8280, 81oveq12d 5913 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( Re `  B
) )  -  (
( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) ) ) )
8365, 61, 433eqtr4d 2232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )
8470oveq2d 5911 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) )  =  ( _i  x.  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
8554, 53oveq12d 5913 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( Re `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
) ) ) )
8656, 84, 853eqtr4d 2232 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) )
8783, 86oveq12d 5913 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  -  (
_i  x.  ( Im `  ( A  x.  B
) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )  -  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  A )
)  x.  ( Re
`  B ) ) ) ) )
8879, 82, 873eqtr4d 2232 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( ( Re `  B )  -  (
_i  x.  ( Im `  B ) ) ) )  -  ( ( _i  x.  ( Im
`  A ) )  x.  ( ( Re
`  B )  -  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) ) )  =  ( ( Re
`  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  (
Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
8976, 78, 883eqtrd 2226 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( * `  A )  x.  (
* `  B )
)  =  ( ( Re `  ( A  x.  B ) )  -  ( _i  x.  ( Im `  ( A  x.  B ) ) ) ) )
9073, 89eqtr4d 2225 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( * `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( * `  A )  x.  ( * `  B ) ) )
9166, 70, 903jca 1179 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  -  ( ( Im `  A )  x.  ( Im `  B ) ) )  /\  ( Im `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  +  ( ( Im `  A )  x.  ( Re `  B ) ) )  /\  ( * `  ( A  x.  B
) )  =  ( ( * `  A
)  x.  ( * `
 B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5895   CCcc 7838   RRcr 7839   1c1 7841   _ici 7842    + caddc 7843    x. cmul 7845    - cmin 8157   -ucneg 8158   *ccj 10879   Recre 10880   Imcim 10881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7931  ax-resscn 7932  ax-1cn 7933  ax-1re 7934  ax-icn 7935  ax-addcl 7936  ax-addrcl 7937  ax-mulcl 7938  ax-mulrcl 7939  ax-addcom 7940  ax-mulcom 7941  ax-addass 7942  ax-mulass 7943  ax-distr 7944  ax-i2m1 7945  ax-0lt1 7946  ax-1rid 7947  ax-0id 7948  ax-rnegex 7949  ax-precex 7950  ax-cnre 7951  ax-pre-ltirr 7952  ax-pre-ltwlin 7953  ax-pre-lttrn 7954  ax-pre-apti 7955  ax-pre-ltadd 7956  ax-pre-mulgt0 7957  ax-pre-mulext 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-fv 5243  df-riota 5851  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-pnf 8023  df-mnf 8024  df-xr 8025  df-ltxr 8026  df-le 8027  df-sub 8159  df-neg 8160  df-reap 8561  df-ap 8568  df-div 8659  df-2 9007  df-cj 10882  df-re 10883  df-im 10884
This theorem is referenced by:  remul  10912  immul  10919  cjmul  10925
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