remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11397

Description: Lemma for remul 11398, immul 11405, and cjmul 11411. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11385	. . . . . 6
2		replim 11385	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 6026	. . . . 5 $/\$
4		recl 11379	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8186	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 8105	. . . . . . . 8
8		imcl 11380	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8186	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8137	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8177	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11379	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8186	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11380	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8186	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8137	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8182	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8183	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8183	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 6025	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8188	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8186	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8178	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8178	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8178	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8327	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8312	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8741	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 6017	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8188	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8186	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8567	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2274	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 6023	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8474	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2262	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8188	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8186	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8137	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8188	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8186	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8137	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8308	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8181	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8309	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 6025	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8182	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 6025	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2268	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2266	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5633	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8538	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8187	. . . 4 $/\$
64		crre 11383	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2262	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5633	. . 3 $/\$
68		crim 11384	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2262	. 2 $/\$
71		mulcl 8137	. . . 4 $/\$
72		remim 11386	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11386	. . . . 5
75		remim 11386	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 6026	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8468	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8572	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8516	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8571	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8571	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 6025	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 6023	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 6025	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 6025	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2272	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2266	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2265	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1201	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

cfv 5318 (class class class)co 6007

cc 8008

cr 8009

c1 8011

ci 8012

caddc 8013

cmul 8015

cmin 8328

cneg 8329

ccj 11365

cre 11366

cim 11367

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-sep 4202 ax-pow 4258 ax-pr 4293 ax-un 4524 ax-setind 4629 ax-cnex 8101 ax-resscn 8102 ax-1cn 8103 ax-1re 8104 ax-icn 8105 ax-addcl 8106 ax-addrcl 8107 ax-mulcl 8108 ax-mulrcl 8109 ax-addcom 8110 ax-mulcom 8111 ax-addass 8112 ax-mulass 8113 ax-distr 8114 ax-i2m1 8115 ax-0lt1 8116 ax-1rid 8117 ax-0id 8118 ax-rnegex 8119 ax-precex 8120 ax-cnre 8121 ax-pre-ltirr 8122 ax-pre-ltwlin 8123 ax-pre-lttrn 8124 ax-pre-apti 8125 ax-pre-ltadd 8126 ax-pre-mulgt0 8127 ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3889 df-br 4084 df-opab 4146 df-mpt 4147 df-id 4384 df-po 4387 df-iso 4388 df-xp 4725 df-rel 4726 df-cnv 4727 df-co 4728 df-dm 4729 df-rn 4730 df-res 4731 df-ima 4732 df-iota 5278 df-fun 5320 df-fn 5321 df-f 5322 df-fv 5326 df-riota 5960 df-ov 6010 df-oprab 6011 df-mpo 6012 df-pnf 8194 df-mnf 8195 df-xr 8196 df-ltxr 8197 df-le 8198 df-sub 8330 df-neg 8331 df-reap 8733 df-ap 8740 df-div 8831 df-2 9180 df-cj 11368 df-re 11369 df-im 11370

This theorem is referenced by: remul 11398 immul 11405 cjmul 11411

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