remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11422

Description: Lemma for remul 11423, immul 11430, and cjmul 11436. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11410	. . . . . 6
2		replim 11410	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 6032	. . . . 5 $/\$
4		recl 11404	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8198	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 8117	. . . . . . . 8
8		imcl 11405	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8198	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 8149	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8189	. . . . . 6 $/\$
14		recl 11404	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8198	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 11405	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8198	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 8149	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8194	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8195	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8195	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 6031	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8200	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8198	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8190	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8190	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8190	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8339	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8324	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8753	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 6023	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8200	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8198	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8579	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2274	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 6029	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8486	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2262	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8200	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8198	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 8149	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8200	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8198	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 8149	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8320	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8193	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8321	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 6031	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8194	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2272	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 6031	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2268	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2266	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5639	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8550	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8199	. . . 4 $/\$
64		crre 11408	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2262	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5639	. . 3 $/\$
68		crim 11409	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2262	. 2 $/\$
71		mulcl 8149	. . . 4 $/\$
72		remim 11411	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11411	. . . . 5
75		remim 11411	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 6032	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8480	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8584	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8528	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8583	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8583	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 6031	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 6029	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 6031	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2272	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 6031	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2272	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2266	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2265	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1201	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

cfv 5324 (class class class)co 6013

cc 8020

cr 8021

c1 8023

ci 8024

caddc 8025

cmul 8027

cmin 8340

cneg 8341

ccj 11390

cre 11391

cim 11392

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-sep 4205 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-2 9192 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395

This theorem is referenced by: remul 11423 immul 11430 cjmul 11436

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