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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > remullem | Unicode version |
Description: Lemma for remul 10912, immul 10919, and cjmul 10925. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
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remullem |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | replim 10899 |
. . . . . 6
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2 | replim 10899 |
. . . . . 6
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3 | 1, 2 | oveqan12d 5914 |
. . . . 5
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4 | recl 10893 |
. . . . . . . . 9
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5 | 4 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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6 | 5 | recnd 8015 |
. . . . . . 7
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7 | ax-icn 7935 |
. . . . . . . 8
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8 | imcl 10894 |
. . . . . . . . . 10
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9 | 8 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
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10 | 9 | recnd 8015 |
. . . . . . . 8
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11 | mulcl 7967 |
. . . . . . . 8
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12 | 7, 10, 11 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
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13 | 6, 12 | addcld 8006 |
. . . . . 6
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14 | recl 10893 |
. . . . . . . 8
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15 | 14 | adantl 277 |
. . . . . . 7
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16 | 15 | recnd 8015 |
. . . . . 6
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17 | imcl 10894 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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19 | 18 | recnd 8015 |
. . . . . . 7
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20 | mulcl 7967 |
. . . . . . 7
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21 | 7, 19, 20 | sylancr 414 |
. . . . . 6
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22 | 13, 16, 21 | adddid 8011 |
. . . . 5
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23 | 6, 12, 16 | adddird 8012 |
. . . . . . 7
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24 | 6, 12, 21 | adddird 8012 |
. . . . . . 7
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25 | 23, 24 | oveq12d 5913 |
. . . . . 6
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26 | 5, 15 | remulcld 8017 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | recnd 8015 |
. . . . . . 7
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28 | 12, 21 | mulcld 8007 |
. . . . . . 7
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29 | 12, 16 | mulcld 8007 |
. . . . . . 7
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30 | 6, 21 | mulcld 8007 |
. . . . . . 7
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31 | 27, 28, 29, 30 | add42d 8156 |
. . . . . 6
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32 | 7 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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33 | 32, 10, 32, 19 | mul4d 8141 |
. . . . . . . . . 10
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34 | ixi 8569 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 34 | oveq1i 5905 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 9, 18 | remulcld 8017 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | 36 | recnd 8015 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | mulm1d 8396 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 35, 38 | eqtrid 2234 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 33, 39 | eqtrd 2222 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | oveq2d 5911 |
. . . . . . . 8
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42 | 27, 37 | negsubd 8303 |
. . . . . . . 8
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43 | 41, 42 | eqtrd 2222 |
. . . . . . 7
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44 | 9, 15 | remulcld 8017 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 44 | recnd 8015 |
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46 | mulcl 7967 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 7, 45, 46 | sylancr 414 |
. . . . . . . . 9
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48 | 5, 18 | remulcld 8017 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 48 | recnd 8015 |
. . . . . . . . . 10
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50 | mulcl 7967 |
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56 | 32, 49, 45 | adddid 8011 |
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59 | 25, 31, 58 | 3eqtr2d 2228 |
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80 | 6, 16, 21 | subdid 8400 |
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81 | 12, 16, 21 | subdid 8400 |
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82 | 80, 81 | oveq12d 5913 |
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83 | 65, 61, 43 | 3eqtr4d 2232 |
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84 | 70 | oveq2d 5911 |
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85 | 54, 53 | oveq12d 5913 |
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86 | 56, 84, 85 | 3eqtr4d 2232 |
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87 | 83, 86 | oveq12d 5913 |
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88 | 79, 82, 87 | 3eqtr4d 2232 |
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89 | 76, 78, 88 | 3eqtrd 2226 |
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90 | 73, 89 | eqtr4d 2225 |
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91 | 66, 70, 90 | 3jca 1179 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-sep 4136 ax-pow 4192 ax-pr 4227 ax-un 4451 ax-setind 4554 ax-cnex 7931 ax-resscn 7932 ax-1cn 7933 ax-1re 7934 ax-icn 7935 ax-addcl 7936 ax-addrcl 7937 ax-mulcl 7938 ax-mulrcl 7939 ax-addcom 7940 ax-mulcom 7941 ax-addass 7942 ax-mulass 7943 ax-distr 7944 ax-i2m1 7945 ax-0lt1 7946 ax-1rid 7947 ax-0id 7948 ax-rnegex 7949 ax-precex 7950 ax-cnre 7951 ax-pre-ltirr 7952 ax-pre-ltwlin 7953 ax-pre-lttrn 7954 ax-pre-apti 7955 ax-pre-ltadd 7956 ax-pre-mulgt0 7957 ax-pre-mulext 7958 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4311 df-po 4314 df-iso 4315 df-xp 4650 df-rel 4651 df-cnv 4652 df-co 4653 df-dm 4654 df-rn 4655 df-res 4656 df-ima 4657 df-iota 5196 df-fun 5237 df-fn 5238 df-f 5239 df-fv 5243 df-riota 5851 df-ov 5898 df-oprab 5899 df-mpo 5900 df-pnf 8023 df-mnf 8024 df-xr 8025 df-ltxr 8026 df-le 8027 df-sub 8159 df-neg 8160 df-reap 8561 df-ap 8568 df-div 8659 df-2 9007 df-cj 10882 df-re 10883 df-im 10884 |
This theorem is referenced by: remul 10912 immul 10919 cjmul 10925 |
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