remullem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem remullem 11015

Description: Lemma for remul 11016, immul 11023, and cjmul 11029. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
remullem	$/\$ $/\$ $/\$

**Proof of Theorem remullem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 11003	. . . . . 6
2		replim 11003	. . . . . 6
3	1, 2	oveqan12d 5937	. . . . 5 $/\$
4		recl 10997	. . . . . . . . 9
5	4	adantr 276	. . . . . . . 8 $/\$
6	5	recnd 8048	. . . . . . 7 $/\$
7		ax-icn 7967	. . . . . . . 8
8		imcl 10998	. . . . . . . . . 10
9	8	adantr 276	. . . . . . . . 9 $/\$
10	9	recnd 8048	. . . . . . . 8 $/\$
11		mulcl 7999	. . . . . . . 8 $/\$
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 $/\$
13	6, 12	addcld 8039	. . . . . 6 $/\$
14		recl 10997	. . . . . . . 8
15	14	adantl 277	. . . . . . 7 $/\$
16	15	recnd 8048	. . . . . 6 $/\$
17		imcl 10998	. . . . . . . . 9
18	17	adantl 277	. . . . . . . 8 $/\$
19	18	recnd 8048	. . . . . . 7 $/\$
20		mulcl 7999	. . . . . . 7 $/\$
21	7, 19, 20	sylancr 414	. . . . . 6 $/\$
22	13, 16, 21	adddid 8044	. . . . 5 $/\$
23	6, 12, 16	adddird 8045	. . . . . . 7 $/\$
24	6, 12, 21	adddird 8045	. . . . . . 7 $/\$
25	23, 24	oveq12d 5936	. . . . . 6 $/\$
26	5, 15	remulcld 8050	. . . . . . . 8 $/\$
27	26	recnd 8048	. . . . . . 7 $/\$
28	12, 21	mulcld 8040	. . . . . . 7 $/\$
29	12, 16	mulcld 8040	. . . . . . 7 $/\$
30	6, 21	mulcld 8040	. . . . . . 7 $/\$
31	27, 28, 29, 30	add42d 8189	. . . . . 6 $/\$
32	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	32, 10, 32, 19	mul4d 8174	. . . . . . . . . 10 $/\$
34		ixi 8602	. . . . . . . . . . . 12
35	34	oveq1i 5928	. . . . . . . . . . 11
36	9, 18	remulcld 8050	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
37	36	recnd 8048	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
38	37	mulm1d 8429	. . . . . . . . . . 11 $/\$
39	35, 38	eqtrid 2238	. . . . . . . . . 10 $/\$
40	33, 39	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 $/\$
41	40	oveq2d 5934	. . . . . . . 8 $/\$
42	27, 37	negsubd 8336	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	eqtrd 2226	. . . . . . 7 $/\$
44	9, 15	remulcld 8050	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 $/\$
46		mulcl 7999	. . . . . . . . . 10 $/\$
47	7, 45, 46	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
48	5, 18	remulcld 8050	. . . . . . . . . . 11 $/\$
49	48	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 $/\$
50		mulcl 7999	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	7, 49, 50	sylancr 414	. . . . . . . . 9 $/\$
52	47, 51	addcomd 8170	. . . . . . . 8 $/\$
53	32, 10, 16	mulassd 8043	. . . . . . . . 9 $/\$
54	6, 32, 19	mul12d 8171	. . . . . . . . 9 $/\$
55	53, 54	oveq12d 5936	. . . . . . . 8 $/\$
56	32, 49, 45	adddid 8044	. . . . . . . 8 $/\$
57	52, 55, 56	3eqtr4d 2236	. . . . . . 7 $/\$
58	43, 57	oveq12d 5936	. . . . . 6 $/\$
59	25, 31, 58	3eqtr2d 2232	. . . . 5 $/\$
60	3, 22, 59	3eqtrd 2230	. . . 4 $/\$
61	60	fveq2d 5558	. . 3 $/\$
62	26, 36	resubcld 8400	. . . 4 $/\$
63	48, 44	readdcld 8049	. . . 4 $/\$
64		crre 11001	. . . 4 $/\$
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . 3 $/\$
66	61, 65	eqtrd 2226	. 2 $/\$
67	60	fveq2d 5558	. . 3 $/\$
68		crim 11002	. . . 4 $/\$
69	62, 63, 68	syl2anc 411	. . 3 $/\$
70	67, 69	eqtrd 2226	. 2 $/\$
71		mulcl 7999	. . . 4 $/\$
72		remim 11004	. . . 4
73	71, 72	syl 14	. . 3 $/\$
74		remim 11004	. . . . 5
75		remim 11004	. . . . 5
76	74, 75	oveqan12d 5937	. . . 4 $/\$
77	16, 21	subcld 8330	. . . . 5 $/\$
78	6, 12, 77	subdird 8434	. . . 4 $/\$
79	27, 30, 29, 28	subadd4d 8378	. . . . 5 $/\$
80	6, 16, 21	subdid 8433	. . . . . 6 $/\$
81	12, 16, 21	subdid 8433	. . . . . 6 $/\$
82	80, 81	oveq12d 5936	. . . . 5 $/\$
83	65, 61, 43	3eqtr4d 2236	. . . . . 6 $/\$
84	70	oveq2d 5934	. . . . . . 7 $/\$
85	54, 53	oveq12d 5936	. . . . . . 7 $/\$
86	56, 84, 85	3eqtr4d 2236	. . . . . 6 $/\$
87	83, 86	oveq12d 5936	. . . . 5 $/\$
88	79, 82, 87	3eqtr4d 2236	. . . 4 $/\$
89	76, 78, 88	3eqtrd 2230	. . 3 $/\$
90	73, 89	eqtr4d 2229	. 2 $/\$
91	66, 70, 90	3jca 1179	1 $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2164

cfv 5254 (class class class)co 5918

cc 7870

cr 7871

c1 7873

ci 7874

caddc 7875

cmul 7877

cmin 8190

cneg 8191

ccj 10983

cre 10984

cim 10985

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2166 ax-14 2167 ax-ext 2175 ax-sep 4147 ax-pow 4203 ax-pr 4238 ax-un 4464 ax-setind 4569 ax-cnex 7963 ax-resscn 7964 ax-1cn 7965 ax-1re 7966 ax-icn 7967 ax-addcl 7968 ax-addrcl 7969 ax-mulcl 7970 ax-mulrcl 7971 ax-addcom 7972 ax-mulcom 7973 ax-addass 7974 ax-mulass 7975 ax-distr 7976 ax-i2m1 7977 ax-0lt1 7978 ax-1rid 7979 ax-0id 7980 ax-rnegex 7981 ax-precex 7982 ax-cnre 7983 ax-pre-ltirr 7984 ax-pre-ltwlin 7985 ax-pre-lttrn 7986 ax-pre-apti 7987 ax-pre-ltadd 7988 ax-pre-mulgt0 7989 ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2045 df-mo 2046 df-clab 2180 df-cleq 2186 df-clel 2189 df-nfc 2325 df-ne 2365 df-nel 2460 df-ral 2477 df-rex 2478 df-reu 2479 df-rmo 2480 df-rab 2481 df-v 2762 df-sbc 2986 df-dif 3155 df-un 3157 df-in 3159 df-ss 3166 df-pw 3603 df-sn 3624 df-pr 3625 df-op 3627 df-uni 3836 df-br 4030 df-opab 4091 df-mpt 4092 df-id 4324 df-po 4327 df-iso 4328 df-xp 4665 df-rel 4666 df-cnv 4667 df-co 4668 df-dm 4669 df-rn 4670 df-res 4671 df-ima 4672 df-iota 5215 df-fun 5256 df-fn 5257 df-f 5258 df-fv 5262 df-riota 5873 df-ov 5921 df-oprab 5922 df-mpo 5923 df-pnf 8056 df-mnf 8057 df-xr 8058 df-ltxr 8059 df-le 8060 df-sub 8192 df-neg 8193 df-reap 8594 df-ap 8601 df-div 8692 df-2 9041 df-cj 10986 df-re 10987 df-im 10988

This theorem is referenced by: remul 11016 immul 11023 cjmul 11029

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